初中数学人教版八年级上册《153分式方程(1)》教学设计

课题：15.3分式方程（1）

教学目标：

理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．

重点：

解分式方程的基本思路和解法．

难点：

理解解分式方程时可能无解的原因．

教学流程：

一、复习引入

问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

题目中相等的数量关系是：t t

顺逆

＝

解：设江水的流速为v km/h.

依题意得：

9060

. 3030

v v

=

+-

追问：仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？归纳：分母中含未知数的方程叫做分式方程.

二、探究

想一想：解一元一次方程的一般步骤是什么?

答案：去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1

思考:如何解分式方程

9060 3030

v v

=

+-

呢?

答案：先去分母，将分式方程转化为整式方程, 再解整式方程.即：利用等式的性质2，方程两边都乘(30+v)(30－v)

追问：怎样去分母呢？

答案：乘各分母的最简公分母

解：方程两边都乘(30+v)(30－v)得，

解得，v=6

90(30－v)=60(30+v)

检验：把v =6代入原方程中，左边＝右边

因此v＝6是原方程的解

即，江水的流速为6km/h.

解分式方程的一般思路：

分式方程－去分母（两边乘最简公分母）－整式方程 尝试练习：解分式方程：211055

x x =-- 解：方程两边乘最简公分母 (x +5)(x －5)得，

解得， x =5

x +5=10

检验:把x = 5 代入原方程中，发现x －5和x 2－25的值都为0，相应的分式无意义，因此x =5虽是方程x +5=10的解，但不是原分式方程

211055x x =--的解．实际上，这个分式方程无解．

思考：上面两个分式方程中，为什么90603030v v

=+-去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而2110525

x x =-- 去分母后得到的整式方程的解，却不是原分式方程的解呢？ 归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,所以分式方程的解必须检验.

追问：怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．

例：解方程2331213112x x x x x x =-=---+（）； （）．（）（）

解：（1）方程两边乘 x (x －3)得，

2x =3x －9

解得，x =9

检验：当x =9时， x (x －3)≠0.

所以，原分式方程的解为x =9.

（2）方程两边同乘以 (x －1) (x ＋2) , 得

x (x +2)－(x －1)(x +2)=3

解得, x = 1

检验：当x = 1 时，(x －1) (x ＋2)＝0，因此x =１不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解．

三、归纳

解分式方程的一般步骤

练习：

1．下列方程不是分式方程的是( ) A.1x －x ＝0 B.x 2－23x ＝15 C.21－x ＋11＋x

＝1 D.2x ＝6x －3 答案：B

2．把分式方程2x ＋4＝1x

转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( ) A ．x B ．2x C ．x ＋4 D ．x(x ＋4)

答案：D

3．若关于x 的方程m x －4＝1－x 4－x

有增根，则增根是( ) A ．－4

B ．1

C ．4

D ．－1 答案：C

4.解方程：23=133

x x x --+- 解：方程两边乘 (x +3)(x －3)得，

(x －2)(x －3)－3 (x +3)＝(x +3) (x －3)

解得，34

x = 检验：当34x =

时， (x +3) (x －3)≠0. 分式方程 整式方程

a 是分式

方程的解 x ＝a

a 不是分式 方程的解 去分母

解整式方程

检验 目标 最简公分

最简公

所以，原分式方程的解为34

x

. 四、应用提高 已知关于x 的方程x ＋1x －2－x x ＋3＝x ＋a （x －2）（x ＋3）

的解是负数，求a 的取值范围． 解：去分母，得5x ＝a －3，

∴x ＝a －35

， 依题意得x ＜0且x≠－3，

∴a －35＜0且a －35

≠－3， 解得a ＜3且a≠－12

五、体验收获

今天我们学习了哪些知识？

1.什么是分式方程？

2.解分式方程的一般步骤是什么？

3.分式方程为什么是检验？

六、达标测评

1．下列方程：

①x －12＝16；②x －2x ＝3；③x （x －1）x ＝1；④4－x π＝x 3；⑤3x ＋x －25＝10；⑥1x ＋2y ＝7， 其中是整式方程的有__________，

是分式方程的有_______________.(填序号)

答案：①④⑤；②③⑥

2．将分式程1－2x x －1＝3x －1

去分母，得到正确的整式方程是( ) A ．1－2x ＝3 B ．x －1－2x ＝3 C ．1＋2x ＝3 D ．x －1＋2x ＝3

答案：B

3．若方程x x －4＝2＋a x －4

有增根，则a ＝____． 答案：4

4．若关于x 的分式方程m －1x －1

＝2的解为非负数，则m 的取值范围是( ) A ．m>－1 B ．m≥1 C ．m>－1且m≠1 D ．m≥－1且m≠1

答案：D