状态反馈系统解耦

x Ax Bv
导出积分型解耦系统 y C x
且A, B 保持为完全能控。
A A BE 1 F , B BE 1 , C C
Step5：判断
A, C
的能观测性，若不完全能观测，计算
C CA rankQ0 rank m C A n 1
C1Ad1 1 F C Ad p 1 p
令E为非奇异即det E 0
取 Lp p E 1, K pn E 1F
无实际应用价值 理论分析应用
则可导出包含输入变换状态反馈系统
1 S d1 1 1 闭环传递函数为： KL s C SI A BE 1 F BE 1 G 1 d 1 称为积分型解耦系统。 S p
采用包含输入变换的状态反馈u
G( s) C ( sI A) 1 B
dim u dim y
y

LuB源自 x∫ A
x
C
三点基本假设
K
u K pn x Lp p
det L 0
3点基本假设
（1）
dim u dim y
,即输入和输出具有相同的变量个数；
（2）控制律采用状态反馈结合输入变换，即 u K pn x Lp p 其中K为 p n 维反馈增益阵，L为 p p 维输入变换阵，v为参考输入 ；相应的反馈系统结构图及包含输入变换的状态反馈图如前所示；
三、可动态解耦条件
3.1积分型解耦系统 设方多输入多输出连续时间线性时不变系统 基于结构特 征向量组成 的p×p矩阵
E1 E 2 E E p
x Ann x Bn p u y C q n x
基于结构特 性指数组成 的p×n矩阵
0 ≤ di ≤ n-1, i = 1,2,·,p · ·
对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：
Ei CiAdi B
或 Ei Lim s di 1 g is ,
s
i 1 2， ，p ，
x A BK x BLv 包含输入变换状态反馈闭环系统的状态空间描述为： y Cx
u Kx Lv
x A BE1F x BE1v y Cx




3.2可解耦条件 设方多输入多输出连续时间线性时不变系统
E1 E 2 基于结构特征向量组成的p×p矩阵 E E p
x Ann x Bn p u y C q n x
一、动态解耦问题的提出
解耦控制是在系统控制理论中得到广泛研究的重要问题。 现代化的工业生产装置，往往被控制的参数较多，这就要求要设置多个控 制回路去控制这些参数。然而，这些回路常常会发生相互耦合、相互影响，使 系统的性能变差、难于控制，甚至系统无法正常工作。 设多输入多输出连续时间线性时不变系统
x Ax Bu y Cx
Step6：引入线性非奇异变换 ~ T 1 x 化积分型解耦系统为解耦规范型。 x 对完全能观测 A, C ，解耦规范型具有形式： ~ ~ b1 A1 ~ ~ A T 1 A T B T 1 B ~ ~ Ap bp ~ C1 ~ C CT i 1,2, , p ~ C p p ~ ~ mi mi mi 1 ~ R1mi Ai R bi R ci mi n
（3）输入变换阵L为非奇异，即有 det L 0
。
则系统状态空间描述为：
x A BK x BLv 1 GKL s C sI A BK BL y Cx
p p 和状态反馈矩阵 K R pn 所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换 L R
i i
~ 1, Ci
1mi
0 0
0 ~ 0 Ai mi mi 0
1 1 0 0 * *
0 0 0 *
di+1 mi-(di+1)
← di+1
1mi
~ Ci 1 0 0
di+1
mi-(di+1)
Step7 求 T 1
结构特性指数定义为：
ij gij s 分母多项式次数”“gij s 分子多项式次数” “ —
gis gi1 s , gi 2 s , gip s

g1 s g s 2 C ( sI A) 1 B g p s
使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵
g11 s GKL s g pp s
g ii s 0
动态解耦的实质是把一个p维输入p维输出的耦合系统，通过引入适当的 {L,K}，化为p个独立的单输入单输出系统； 动态解耦综合的两个基本问题：可解耦条件和可解耦算法；


i 1
，解耦规范型具有形式: 对不完全能观测 A, C
能观性分解
~ ~ ~ b1 A1 C1 0 ~ ~ ~ A B ~ C ~ Ap 0 bp ~ ~ ~ ~ ~ ~ Ac1 Ac p Ap 1 bc1 bc p C p p ~ ~ mi mi mi 1 ~ R1mi i 1,2,, p Ai R bi R ci mi m
d i , Ei
i 1,2, p
Step 2：基于结构特征向量组成并判断矩阵E的非奇异性 若E为非奇异，即能解耦，若E为奇异，则不能解耦。
C1 Adi 1 1 Step3： 计算E , F C Ad p 1 p
1 1 L K Step 4： 取预输入变换 和预状态反馈 为：L E , K E F
0 0
mi d i 1, ~ ki ki 0 , ki1 , , kidi



mi d i 1, ~ ki ki 0 , ki1 , , kidi , 0, , 0

状态反馈矩阵 K 的这种选择必可使 A, B, C 实现动态解耦：
~ ~~ ~ c ' sI A b k 1 1 1 1 ~ ~ ~ ~ 1 ~ C sI A B K B

u di i n 1
当CiAk B 0, k 0,1,2i 1, 而CiAi B 0 当CiAk B 0, k 0,1,2,n 1
两种定义等价
或 di min i1, i 2 , ip 1 , i 1 2， ，p ，
状态反馈系统解耦
组员：吴权伟 朱贤宝 曹亚杰 颜小龙
目录 状态反馈动态解耦
1
2
状态反馈静态解耦
状态反馈动态解耦
1
动态解耦问题的提出
系统的结构特征量
2
3
可动态解耦条件
动态解耦算法
4
解耦问题的提出
在多变量系统中,不同的输入和输出之间存在着耦合,即系 统的第一个输入量不但会对第一个输出量产生影响,而且 还会影响到其他的输出量。这样就造成了控制系统设计和 实际操作的困难。因此,控制领域的工程人员就提出了解 耦的思想,试图把多变量系统分解为多个单变量系统。解 耦控制的思想最早是由gilbert完成的。当时称为Morgan 问题。解耦问题是多输入多输出线性定常系统综合理论的 一个重要组成部分。其目的是寻找合适的控制规律使闭环 控制系统实现一个输出分量仅仅受一个输入分量控制,而 且不同的输出分量受不同的输入分量控制,从而可以运用 经典的控制系统综合方法进行系统校正,以使系统的动静 态性能及各项指标满足工程实际的需要。
四、解耦控制综合算法
给定n维方连续时间线性时不变受控系统
其中dim u dim y，
x Ax Bu y Cx
A, B 为完全能控
要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对{L,K},使系统实现动态解耦，并使 解耦后每个单输入单输出系统实现期望极点配置。 Step1：计算受控系统(A,B,C)的结构特征量
其结构特征量为
Ei为1×p行向量，且两种定义等价。
ui di n 1
当Ci( A BK ) k BL 0, k 0,1,2 i 1 而Ci( A BK ) i BL 0
当Ci( A BK)k BL 0, k 0,1,2,n 1
结论：对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实 现动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的p×p矩阵E非奇异。 虽然积分型解耦系统在实际工程中无应用价值，但是我们还是可以通过判 断一个包括输入变换的状态反馈系统能否通过 取 Lp p E 1, K pn E 1F 转化 为积分型解耦系统来判定原系统是否能进行解耦！这就是我们引入积分型解耦 系统的意义。
解耦控制对于过程控制有着重要意义和广泛应用。
二、系统的结构特征量
设方多输入多输出连续时间线性时不变系统
C1 C 2 C p
x Ax Bu y Cx
输出矩阵 C pn
传递函数矩阵 G s p p
ci ci1 , ci 2 ,cin
Ei Ci( A BK)di BL,
开环和闭环结构特征量相等
i 1 2， ，p ，
di di i 1,2,, p
Ei Ei L i 1,2,, p
证明如下: 对任意
,基于
的定义,有
基此 ,对任意L和K，可以导出：
而L非奇异，又可导出
从而 ，由式(6.149)和式（6.150），并据 和 的定义，即可证得 di di i 1,2,, p 和 Ei Ei L i 1,2,, p



~~ A B , ,
~ ~ A n 1 B





1
~ ~ ~ ~ Step8：对解耦规范型 A, B, C 选取 p n 状态反馈矩阵 K 的结构


对完全能观测
对不完全能观测
~ k1 ~ K ~ kp
~ k1 ~ K ~ kp
~
~ ~ ~
~ ~ ~ 由 A T 1 A T . B T 1 B . C C T ~ ~ Qc B , A B , , A n 1 B , c B , Q ~ C C ~~ C A ~ CA Q0 Q0 ~~ n 1 C A n 1 CA ~ T ~ 1 ~ T ~ ~T ~ ~ T 1 Q0 Q0 Q0 Q0 T Qc Qc Qc QcT
0 ~ bi 0 mi 1 1
0 0 ~ bi 1 mi 1 0 0
i 1
0 0
0 1 ~ 对mi d i 1情形： Ai 0 1 mi mi 0 0 0 对m d 1情形：