新版正弦交流电的表示方法
正弦交流电的表示法_电工电子技术_[共4页]
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电工电子技术
– 36 – 2.1.2 正弦交流电的表示法
前面已经介绍了一个正弦量具有幅值、频率及初相位三个特征。
这些特征可以用三角函数或波形图表示出来。
用此方法表示的正弦量进行四则运算显得很麻烦。
为方便电路的分析与计算，本节将引出“相量法”的概念。
应用相量法，可以把交流电路中正弦规律变化的电压、电流变换成相量图或复数的形式，使正弦量的运算变换为几何运算。
1．解析式表示法
一个正弦量可以用解析式，即三角函数来表示。
如正弦交流电的电动势、电压和电流的瞬时值表达式就是交流电的解析式，即
m m m sin()
sin()sin()
e u i e E t u U t i I t ωϕωϕωϕ=+=+=+
如果知道了交流电的有效值（或最大值）、频率（或周期、角频率）和初相，就可以写出它的解析式，可算出交流电任何瞬间的瞬时值。
例如，已知某正弦交流电压的最大值m 310V U =，频率50Hz f =，初相030ϕ=°，则它的解析式为
m 0sin()310sin(100π30)V u U t t ωϕ=+=+°
0.01s t =时，电压的瞬时值为
m sin(100π0.0130)V 310sin 210V 155V u U =×+°=°=− 2．波形图表示法
正弦交流电还可用与解析式相对应的波形图，即正弦曲线来表示，如图2-4所示。
图中的
图2-4 正弦交流电的波形图。
正弦交流电的三种表示法
u1 U m sin(t ) 250sin (100 t )
3
)V
小结：
i I m sin
最大值
t 0
初相位
角频率
周期
i
最大值
Im
T
t
初相位 0
I m 最大值
0
初相位
作业：
0
。
例
已知：某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz，
初相角为
解：已知
6
, 请写出瞬时值表达式。
i
6
I m 2A
f 50Hz
2f 2 50 100 rad / s
i I m sin t 0 2sin (100
6
习题册：P80
u Um
u Um sin（ t -/2）
t
-/2 /2 3/2 2 5/2
小规律： 若起点在坐标原点（或纵轴）的左侧， 0 >0； 若起点在坐标原点（或纵轴）的右侧， 0 <0。
几种不同起点的正弦电流波的初相位：
i
Im
i1
i
i
Im
0
i2
Im
t
0
i3
0
t
3
3
小技巧： i I m sin t 0 sin前面的值为最大值；
)
t前面的值为角频率ω ；
t后面的值为初相位
。
找到问题了吗？
I 5 sin100t A 6
正弦交流电的数值有下述四种表示方法
正弦交流电的数值有下述四种表示方法：
（1）瞬时值：指交流电在任一瞬间所具有的代数值。
（2）最大值：指交流电在一个周期中所出现的最大瞬时值。
（3）平均值：指正弦交流电在一个周期内绝对值的平均值，或正半周内的平均值。
（4）有效值：指交流电通过电阻性负载，如果所产生的热量与直流电在相同的时间内通过同一负载所产生的热量相等时，这一直流电的大小就是交流电的有效值。
4.答：
主要有一下三种原因：
（1）变频调速所对应的电动机一般为鼠笼型异步电动机。
而异步电动机的调速，无论采用什么手段，附属设备都比较复杂和价格昂贵。
（2）与其它交流电动机调速手段相比，变频调速的性能好，连续性强。
（3）变频调速和交流电动机总的造价和直流电动机相比较低，而调速性能和直流调速相近，而且交流电动机对应用环境比直流电动机较宽。
综上所述，变频调速将是各种调速手段的发展方向。
5.答：
对于电感性负载的整流电路，如果不接续流二极管，在电源电压过零变负时，电流也要变小，感性负载的电感将产生自感电动势，以反抗电流的变小，导致晶闸管不能及时关断，电流还将继续流通一段时间，因而负载两端将得到负向电压，使平均电压变小。
当电感较大时，可能使输出电压的正负面积接近相等，负载上的平均电压将很小。
为了晶闸管的及时关断免除感性负载的影响，因在负载两端并联续流二极管，当电源电压过零变负后，负载上由电感产生的电流由此续流二极管形成回路短路掉，而不流经电源及晶闸管。
晶闸管因其电流小于维持电流而自行关断，避免负电压输出。
输出电压的平均值将和纯阻性负载时基本相同。
正弦交流电路的相量表示法
直观，但不便于分析计算。
便于完成正弦量的加减乘除运算
【 重点与难点 】
1.正弦量的三要素。
2.正弦量各种表达方法之间的互相转换
Im
对应
新中国成立后，我国的整个工业行业师从前苏联，电力行业也不例外，完全执行前苏联的国家标准。苏联当时采用的频率是50赫兹，这个标准与IEC国际电工委员会推荐值之一，并不矛盾，所以我国一直采用50赫兹。 这是一种国家制定的标准,从此以后,所有生产的发电及用电设备,都按50赫芝控制.这样全国就统一了,就不会乱.否则你北京造的电视机是50HZ的,天津造的是30HZ的,上海造的是100HZ的.那不乱套了嘛.这就和秦始皇统一汉字,度量衡是一个目的.现在有的日本电器,是60HZ的.在中国用还要连接变频器,多麻烦啊! 其实其它频率也是有的，以前日本在东北使用的是25Hz；我国电网是50Hz；香港沿袭英国的习惯使用60Hz。 使用低于50Hz的电网供电时的照明光源往往存在一个频闪问题；如果给电机供电其同步速仅为1500rpm。 50或60是有政治因素的，学苏联的肯定不可能学日本的， 100，1000高频率的话对硅钢片材料的要求更高，危险性更大，损耗大，那将是现在技术不行的， 如果现在提高频率肯定不利的，大量设备将不能用。
知识链接
相量的加、减、乘、除运算公式
设：U1、U2均为正实数。
U1±U2 =
(U1a±U2a)＋j ( U1b±U2b)
ψ1＋ ψ2
U1×U2 =
U1×U2
U1÷U2 =
ψ1－ ψ2
U1÷U2
有U1=U1 ψ1=U1a+jU1b；
U2=U2 ψ2=U2a+jU2b；
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入相量的复数运算法。
第二章正弦交流电的表示方法
I
U
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i I m sin ( t )
uip
则 p u i U m sin t I m sin t u U m sin ( t ) U m I m sin 2 t
p
u
0
i
ωt
结论：1. p随时间变化 2. p≥0；耗能元件,吸收电能，转换为热能
最大值 频率 初相角
第一篇
电工电子技术
一、解析式表示法
例1：已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 50 Hz，初 相位为 60 ，写出该电流的解析式，并求t=0时的瞬时值。 Im=2A ；
ω 2πf 2 50π 100π rad / s
60
i0
则它的解析式是： i = Imsin( t i0) = 2sin(100π t 60) A t=0s时的电流瞬时值是： i = 2sin(100π ×0 60°) = 2sin(60) =2× 3 = 3 A
答：初相位是2π /3 rad，t=0.5s时的瞬时值是1.59A。
电工电子技术 五、正弦交流电的表示方法
前提： 在分析正弦交流电路时，同一电路中的 所有电压、电流都是同频率的正弦量， 且频率与电源的频率相同。 因此： 一个正弦量由最大值（或有效值）和初 相位两个要素也能确定。 描述正弦交流电的有向线段称为相量。
电工电子技术
参数
见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。 1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε， 电容极板的正对面积S，电容极板的距离d有 关。
交流电的表达式
交流电的表达式
1.正弦交流电压：U=Umsin(ωt+τu)，u-电压瞬时值（V），Um-电压最大值（V），τu-角频率（rad/s)。
2.正弦交流电流：Imsin(ωt+τi)，u-电压瞬时值（V），Um-电压最大值（V），τu-电流初相角（rad)。
拓展资料： 1.大小和方向随时间作有规律变化的电压和电流称为交流电，又称交变电流。
正弦交流电是随时间按照正弦函数规律变化的电压和电流。
由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的，也就是说，每。
一瞬间电压（电动势）和电流的数值都不相同，所以在分析和计算交流电路时，必须标明它的正方向。
2.正弦交流电在工业中得到广泛的应用，它在生产、输送和应用上比起直流电来有不少优点，而且正弦交流电变化平滑且不易产生高次谐波，这有利于保护电器设备的绝缘性能和减少电器设备运行中的能量损耗。
另外各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而成（用傅里叶分析法），因此可用正弦交流电的分析方法来分析非正弦交流电。
3.正弦交流电在生活中有着广泛的应用，最基础的是照明，各类小电器，汽车的蓄电池也是由它转换。
但是，在各种广泛的用途中，并不能直接去应用交流电，这就需要稳压和滤波，比如各类小家电的供电，如果直接引入交流电，脉动电流将会瞬间烧毁电器，这就需要知道电器需要的电压值和电流值，通过变压来适合电器工作，值得一提的是，多年的工作经验告诉，稳压和滤波在电器的整体性能里面占非常重要的一面，很多的电器是因为滤波不良而导致电压不稳，烧毁用电器。
正弦交流电的表示方法
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形式为：
I1 = 100 －60°A I2 = 10 30° A
求： i1、i2
解： 2 f 2 1000 6280rad s i1 100 2 sin(6280t 60 ) A i2 10 2 sin(6280t 30 ) A
1.电压、电流关系
ui R
–
瞬时值 设：i Im sin t Im Im 00 电阻的电压
则u Ri RIm sint Um sint
与电流瞬时值
最大值、有效值 Um RIm 或
Um Im
U I
U m Um
R
00 、有效值、最
大值都满足欧 姆定律。
2. 电压电流的相位关系
最大值、有效值
Um Im L Im XL U IL IX L
XL L 感抗()
电感的电压与 电流有效值、最 大值满足欧姆定 律形式。
当 L一定时,线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高，感 抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。
2. 电压电流的相位关系
i Im sint
故计算过程中一个正弦量可用幅值和初相角两个 特征量来确定。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。
设有正弦电流 i Im sint
比复较数得I：mei
jψ
e
Im
jt I
sint
m
cos(t
Im
)
Ime
jψ
jIm
e jt
sin(t
一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。
正弦交流电的表示方法
电压瞬时值表达式为：u2202sin(314t60) 电流瞬时值表达式为：i222sin(314t30) 相位差为：60(30)90
所以电压超前电流 9 0 ，二者相位关系为正交。
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形msint I m I m 0 0 电阻的电压
则 u R R m isI i t U n m si tn与电流瞬时值
最大值、有效值 UmRIm 或
Um
U
U
R
m
Im I
U
m
0 0 、有效值、最
大值都满足欧 姆定律。
2. 电压电流的相位关系
1.电压、电流关系
uC
瞬时值 设：uUms iω nt
则 i C du U 最m i大 值C Im ω 、CU 1有ωm 效c 值Im ω o XtC dt I s m s X容C抗ω i(t n 1C)9 ) (电最姆0 电流大定容有值律的效满形电值足式压、欧。与
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im si n t ( i)
+
0
i
t
振幅
角频率
正半周： 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周：
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
描述正弦量数值大小的参数：
正弦交流电的表示法
相量表示法的应用
相量表示法在交流电路分析中具有广泛应用，可以用于计算阻抗、感抗和容抗等参 数，简化正弦交流电路的分析过程。
通过相量图，可以直观地分析正弦交流电在电路中的相位关系，有助于理解交流电 路的工作原理。
相量表示法的定义
相量表示法是一种用于描述正弦交流 电的方法，通过将正弦交流电的幅度 和相位用复数（相量）表示，可以简 化电路分析和计算。
相量表示法中，正弦交流电的三要素 （幅值、频率和相位）被整合到一个 复数中，使得正弦波的数学描述更加 简洁明了。
相量图及其绘制方法
相量图是一种用于表示正弦交流电相量关系的图形，通过在复平面（极坐标系）上绘制相量，可以直 观地展示各正弦波之间的相位关系。
极坐标表示法
极坐标表示法是一种通过极角和极幅来表示正弦交流电的方法。
在极坐标系中，正弦交流电的电压和电流可以表示为：$e = E(cosalphacosbeta + sinalphasinbeta)$， 其中$E$是幅值，$alpha$是初相角，$beta$是相位角。
极坐标表示法可以直观地展示出正弦交流电的幅值和相位信息，方便理解和计算。
相量表示法还可以用于交流电路的稳定性分析，预测系统的动态响应和稳定性。
04
正弦交流电的功率和能量
有功功率和无功功率
有功功率
表示实际消耗的功率，用于转换和 利用能量，单位是瓦特（W）。
无功功率
表示与实际消耗无关的功率，用于 维持磁场和电场，单位是乏 （var）。
视在功率和功率因数
视在功率
表示电源提供的总功率，是有功功率和无功功率的矢量和，单位是伏安（VA）。
正弦交流电波形图表示方法
正弦交流电波形图表示方法
正弦交流电可在实验室用波形图观察到，将其在建立的直角坐标系中直观画出随时间变化的曲线，这种用正弦波形图表示正弦交流电的方法，称为波形图方法。
画法：以熟悉的初相为0的正弦函数a(t) = Amsinwt 的波形为参照,根据所需表示的正弦交流电的初相判定超前或滞后关系，将波形起始点前移或后移相应角度，结合最大（有效）值调整幅值，并按波形的自然趋势补充完整。
设有一正弦电压，其波形如图下图所示，左图是直角坐标系中的一旋转有向线段。
有向线段的长度代表正弦量的幅值Um，它的初始位置（时的位置）与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位。
并以正弦量的角频率作为逆时针方向旋转。
可见，这一旋转有向线段具有正弦量的三个特征，故可以用来表示正弦量。
正弦量的某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵坐标轴上的投影表示出来。
正弦量的波形图表示法
当时，
；
当
时，。
由以上可见，正弦量可以用旋转的有向线段来表示。
有向线段表示正弦量即是正弦量的向量表示法，除此之外，正弦向量可以用复数表示，有兴趣的同学可参考相关的书籍进行学习，此处不再赘述。
结合上例u = 311sin(314t - 45°) V，i = 4sin(314t + 90°)分别画出相应波形图。
[略]
两种表示方法比较：均为直观表示法，简单明了反映正弦交流电的三要素，及任一时刻的瞬时值。
缺点：难以实现加减及乘除的运算。
正弦交流电的表示方法_物理
第9章 交 流 电 路·125· 如果一个正弦交流电比另一个正弦交流电提前到达零值或最大值，则前者叫超前，后者叫滞后。
很显然，在图9-3（b ）中，e 1超前e 2，或者e 2滞后e 1。
若两个正弦交流电同时到达零值或最大值，则两者的初相相同，即它们的相位相同，简称同相。
图9-4所示的正弦交流电压u 1和u 2的相位相同。
图9-4 同相 图9-5 反相若一个正弦交流电到达正的最大值时，另一个正弦交流电同时到达负的最大值，则两者的初相相差180°，即它们的相位相反，简称反相。
图9-5所示的正弦交流电流i 1和i 2的相位相反。
超前和滞后是相对的，习惯上相位差以不超过180°为限。
如e 1超前e 2 200°时，习惯上表达为e 1滞后e 2 160°。
8．正弦交流电的三要素正弦交流电的最大值表示正弦交流电的变化范围；角频率表示正弦交流电的变化快慢；初相位表示正弦交流电的初始值。
如果已知最大值、角频率和初相位就可以唯一确定一个正弦交流电，也就是说最大值（或有效值）、角频率（或频率或周期）和初相位是正弦交流电必不可少的三个要素，通常称为正弦交流电的三要素。
9.1.3 正弦交流电的表示方法1．解析法正弦交流电的电动势、电压和电流的瞬时值表达式（或解析式）就是正弦交流电的解析表示法。
即m m m sin sin sin e u i e E t u U t i I t ωϕωϕωϕ=+=+=+（）（）（）（9-9） 2．波形图根据正弦交流电的瞬时值表达式可在平面直角坐标系中做出它的曲线图即波形图，如图9-2和图9-3（b ）所示。
正弦交流电的数值有下述四种表示方法
正弦交流电的数值有下述四种表示方法
正弦交流电的数值有下述四种表示方法：
（1）瞬时值：指交流电在任一瞬间所具有的代数值。
（2）最大值：指交流电在一个周期中所出现的最大瞬时值。
（3）平均值：指正弦交流电在一个周期内绝对值的平均值，或正半周内的平均值。
（4）有效值：指交流电通过电阻性负载，如果所产生的热量与直流电在相同的时间内通过同一负载所产生的热量相等时，这一直流电的大小就是交流电的有效值。
4.答：
主要有一下三种原因：
（1）变频调速所对应的电动机一般为鼠笼型异步电动机。
而异步电动机的调速，无论采用什么手段，附属设备都比较复杂和价格昂贵。
（2）与其它交流电动机调速手段相比，变频调速的性能好，连续性强。
（3）变频调速和交流电动机总的造价和直流电动机相比较低，而调速性能和直流调速相近，而且交流电动机对应用环境比直流电动机较宽。
综上所述，变频调速将是各种调速手段的发展方向。
5.答：
对于电感性负载的整流电路，如果不接续流二极管，在电源电压过零变负时，电流也要变小，感性负载的电感将产生自感电动势，以反抗电流的变小，导致晶闸管不能及时关断，电流还将继续流通一段时间，因而负载两端将得到负向电压，使平均电压变小。
当电感较大时，可能使输出电压的正负面积接近相等，负载上的平均电压将很小。
为了晶闸管的及时关断免除感性负载的影响，因在负载两端并联续流二极管，当电源电压过零变负后，负载上由电感产生的电流由此续流二极管形成回路短路掉，而不流经电源及晶闸管。
晶闸管因其电流小于维持电流而自行关断，避免负电压输出。
输出电压的平均值将和纯
阻性负载时基本相同。
正弦交流电的三种表示法
例
已知： u
3sin1000
t
A
6
写出表达式的三要素。
幅度： U m 3A
角频率： 1000 rad/s
初相位：
0
6
小技巧：
i Im sin t
sin前面的值为最大值；
t前面的值为角频率ω；
t后面的值为初相位 。
例 已知：某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz，
初相角为 , 请写出瞬时值表达式。
4
量的三要素。
解：根据 u Um sin t u
最大值：Um =220 2V,
角频率：ω=314 rad/s,
初相位： u
4
小技巧：
i Im sin t
sin前面的值为最大值；
t前面的值为角频率ω；
t后面的值为初相位 。
习题2： 已知两个同频正弦交流电压的波形图如下图所示, 试写出u1及u2的瞬时值表达式，画出矢量图。
3
i=Imsin(ωt+π/3)
0
t
3
3
i=Imsin(ωt -π/3)
5.1.3 正弦交流电的三要素
例 已知某正弦交流电流的波形图如下图
所示, 试写出电流的三要素和瞬时值表达式i。
i/A
解： 2 2 100 rad / s
T 0.02
1.6
最大值
i
i Im sin(t )
Im 1.6A
6
解：已知 Im 2A
i
6
f 50Hz
2f 2 50 100 rad/ s
i Im sin t 0
2sin(100 )
6
小技巧：i Im sin t 0
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U 10 60 0 V
但 u 10 2sin( t600) 10 600
例： i1 7.7 0 si3 n1 t (3 4 0)0 A求： i i1i2
i26s0i3 n1 t (6 4 0)0 A用相量表示
解:（1）i1 7.7 0 si3 n1 t (3 4 0)0 A
I1
70.7 2
300
i26s0i3 n1 t (6 4 0)0 A
（2） 用相量进行计算
I2
60 2
600
II1I272 .7 0300 620 600
6.5 4 j1.8 1
65 .5 10 .37 0 A
（3） 把相量再表示为正弦量
I 65.5 10.370
i 6.5 52si3 n1 t (1 4 .3 00)7 A
当 C一定时,电容的容抗与频率f 成反比。频率越高， 感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2. 电压电流的相位关系
uUmsiω nt
U m U m 0 0
iIm siω nt(90 ) Im Im 90 0
i uC
i 超前u
ui
2
u
3. 电压电流的相量关系 i
UImm
Um
Im
00 900
和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是
已知的，计算时可不必考虑。
如： i i1i2
角频率 不变
Ims1 int(1)Ims2 int(2)
Imsint()
故计算过程中一个正弦量可用幅值和初相角两个
特征量来确定。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。
比复设较数有得正I ：弦m e i电j ψ 流I e m j s t i iI tI m n m c s iI t to n I m m e ) j ψ j s e I j m ts ( t i n )
2.1.2 正弦交流电的相量表示法
正弦量的函数式表示：i1 I m s1itn 1 ) (
求和：
i2 I m s2itn 2 ) (
i i1 i2 Im s1in t1 ( ) Im s2in t2 ()
Im sin t ) (
计算过程 复杂
正弦量的波形图表示：求和： i i1i2
ui
ui L
瞬时值 设：iIm sin t
–
则 u L di
U 最 u m U 大 值L Im I、 I m L 有L c 效II值m X t L X o L dU tm s s 感XL抗(i t L ) n 9 )电 大律0 ( 电流值形感有满式的效足。电值欧压、姆与最定
当 L一定时,线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高，感 抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。
0
0
消耗能量相同
= R T i 2dt 0
PT
= I 2RT
即： I2RTRTi2dt则有： I
1
T
i2dt
0
T0
可见,周期电流有效值等于它的瞬时值的平方在 一个周期内的积分取平均值后再开平方，因此有效 值又称为方均根值。
设
iImsiω nt
代入
I
1
T
i2dt
T0
整理得： Im 2I 或 I0.70Im 7
i Im s itn Ime jψ
即：一个正弦量与一个复数可以一一对应。所以可 以借助复数计算完成正弦量的计算。
i I m sitn Im I m （最大值相量）
I I （有效值相量）
i 102sin t(405)A
I 10 45 0 A
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示
2.2.1 电阻电路 2.2.2 电感电路 2.2.3 电容电路
2.2.1 电阻电路
+
设在电阻元件的交流电路中， 电压、电流参考方向如图示。
1.电压、电流关系
ui R
–
瞬时值 设：iIm sin t Im I m 0 0 电阻的电压
则u R R m i sI i t U n m si tn与电流瞬时值
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im sitn i( )
+
0
i
t
正半周： 振幅 角频率 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周：
电流实际方向与参考方向相反
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
描述正弦量数值大小的参数：
i
振幅 Im
瞬时值:正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小写字母表示 0
i、u、e
Ｔt
振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
（用 1800的角度表示） 若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则 正弦量初相位不同。
相位差：同频率正弦量的相位 角之差或是初相角之
差，称为相位差，用 表示。
设正弦量： i Im sitn i( ) u U m sitn u ) (
i和u的相位差为：(ti)(tu)
ui i u
i u
如果： i u0
其特点是：当一正弦量的 u
i
值达到最大时，另一正弦
量的值刚好是零。
0
如果: iu18 o 0
称i与u反相。
ui
注意当两个同频率的正弦量计 u
i
时起点改变时，它们的初相位 0 角改变，但相位差不变。
同相
t
正交
t
反相
t
例： 已知的交流电，求它的周期和角频率。
解： T 1 1 0.02s
f 50
2 f 2 3 . 1 4 5 0 3 1 4 r a d / s
同理： U0.70U7 m E0.70E7 m
I
Im 2
0.707Im
熟记：
UUm 2
0.70U 7m
EEm 2
0.70E 7m
三、相位、初相、相位差 i
正弦量： i Im sitn i( )
相位：
0
t
(ti)称为正弦量的相位角
或相位。它表明了正弦量的进程。
i
初相： t=0 时的相位角 i 称为初相角或初相位。
u
+ uR – u+–L
R L
u L U L m siω tn 9( )0 u C U C m siω tn 9( )0
例：已知 u 3 1 1 sin3 1 4 tV ,试求电压有效值。
解： UUm311220V 22
例：已知工频电压有效值U=220V，初相u 60 ；工频电流有效值I=22A，初相 i 30，求 其瞬时值表达式以及它们的相位关系。
解： 工频电的角频率：314
电压瞬时值表达式为：u2 2 02sin (3 1 4 t 6 0) 电流瞬时值表达式为：i222sin(314t30) 相位差为：60( 30)90
有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的 直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交
流电流的有效值。用大写字母表示： I、U、E
有效值与幅值的关系推导如下：
以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入
周期电流 i 和直流电流 I 。
iR
I
同一时间
R
T内消耗
的能量
T
T
pdt = i 2Rdt
所以电压超前电流 9 0 ，二者相位关系为正交。
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形式为：
I1 = 100 －60°A I2 = 10 30° A
求： i1、i2
解： 2 f2 10 0 60 2r8 a s0 d
i1100 2sin 6(2t86 00) A i2102sin 6(2t83 00) A
设 A1 A1 1 A2 A2 2
乘法运算：则 A1 A2 A1 A2 1 2
除法运算：则
A1 A1 A2 A2
1 2
3、旋转因子
e j 1 （模为1，辐角为 的复数）
一个复数乘以 e j 等于把其逆时针旋转 角。
e j
2
j
jA相当于把A逆时针旋 转90度
j称为旋转因子
+j
0
A a2b2
tan b
a
A
A a +1
幅角
复数的几种形式： A = a + jb （代数式）
AAej （指数式）
A A c o js A s in （三角式）
A A
（极坐标式）
2、复数运算（熟记公式）
加减运算：设 A 1a1jb1A 2a2jb2
则 A 1 A 2 a 1 a 2 j b 1 b 2
jXC
I
0
2
•
U jIXC U C
I
t
U• 相量图
2.3 电阻、电感、 电容元件串联电路
2.3.1 电压三角形 2.3.2 阻抗三角形 2.3.3 功率三角形 2.3.4 功率因数的提高
2.3.1 电压三角形
i
I
电压电流参考方向如图所示。 1. 瞬时值
+
设： iIm sin t
则：u RU R m siω n t
称I 超前u 角。
0
u
i
t
如果：
i u0
称i 滞后u 角
相位差等于i和u的初相 (如图示）。