新版正弦交流电的表示方法

一、周期、频率、角频率
描述正弦量变化快慢的参数：
i
周期(T): 变化一个循环所需要 的时间，单位(s)。 0
频率( f ): 单位时间内的周期数 单位(Hz)。
2 t T/2 Ｔ t
T
角频率(ω ): 每秒钟变化的弧度数，单位(rad/s)。
三者间的关系示为：
f =1/ T ω =2 /T=2 f
ui L
瞬时值 设：iIm sin t
–
则 u L di
U 最 u m U 大 值L Im I、 I m L 有L c 效II值m X t L X o L dU tm s s 感XL抗(i t L ) n 9 )电 大律0 ( 电流值形感有满式的效足。电值欧压、姆与最定
当 L一定时,线圈的感抗与频率f 成正比。频率越高，感 抗越大，在直流电路中感抗为零，可视为短路。
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
描述正弦量数值大小的参数：
i
振幅 Im
瞬时值:正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小写字母表示 0
i、u、e
Ｔt
振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
i1 i2
为简化计算采用一种新的
表示方法：相量表示法
0
t （用复数表示正弦量）
一、复数
1、复数及其表示
设A为复数则： A = a + jb （代数式）
其中：a 称为复数A的实部， b 称为复数A的虚部。
j 1 为虚数单位
+j
模
在复平面上可以用一向量 b 表示复数A，如右图：
a Acos b Asin
和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是
已知的，计算时可不必考虑。
如： i i1i2
角频率 不变
Ims1 int(1)Ims2 int(2)
Imsint()
故计算过程中一个正弦量可用幅值和初相角两个
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特征量来确定。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。
比复设较数有得正I ：弦m e i电j ψ 流I e m j s t i iI tI m n m c s iI t to n I m m e ) j ψ j s e I j m ts ( t i n )
jA
A +1
相量 （用复数表示正弦量）
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，
但在线性电路中各部分电压和电流都是与电源同频 率的正弦量，计算过程中可以不考虑频率。
相量
（用复数表示正弦量）
一个复数由模和幅角两个特征量确定。
一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。
在分析计算线性电路时，电路中各部分电压
2
U•
U jIXL
+
U I
–
E
L
•
I
相量图
E•
2.2.3 电容电路
设在电容元件的交流电路中，
i
电压、电流参考方向如图示。
1.电压、电流关系
uC
瞬时值 设：uUmsiω nt
则 i C du U 最m i大 值C Im ω 、C U 1有ω m 效c 值Im ω X o tC d t I m s s X容C抗ω i (t 1n C) 9 ) ( 电最姆0 电流大定容有值律的效满形电值足式压、欧。与
2.1.2 正弦交流电的相量表示法
正弦量的函数式表示：i1 I m s1itn 1 ) (
求和：
i2 I m s2itn 2 ) (
i i1 i2 Im s1in t1 ( ) Im s2in t2 ()
Im sin t ) (
计算过程 复杂
正弦量的波形图表示：求和： i i1i2
ui
2.2.1 电阻电路 2.2.2 电感电路 2.2.3 电容电路
2.2.1 电阻电路
+
设在电阻元件的交流电路中， 电压、电流参考方向如图示。
1.电压、电流关系
ui R
–
瞬时值 设：iIm sin t Im I m 0 0 电阻的电压
则u R R m i sI i t U n m si tn与电流瞬时值
称I 超前u 角。
0
u
i
t
如果：
i u0
称i 滞后u 角
相位差等于i和u的初相 (如图示）。
之差，与时间t无关。
注意 ①同频率的正弦量才能比较相位；②相位 差和初相都规定不得超过180º。
ui
如果: 称i与 u同ψ i 相 位ψ ,简u 0u
i
称同相。
0
如果: 称i与 u正ψ i 交 。ψ u 90 u0 i
i26s0i3 n1 t (6 4 0)0 A
（2） 用相量进行计算
I2
60 2
600
II1I272 .7 0300 620 600
6.5 4 j1.8 1
65 .5 10 .37 0 A
（3） 把相量再表示为正弦量
I 65.5 10.370
i 6.5 52si3 n1 t (1 4 .3 00)7 A
2.
电压电流的相位关系
iIm sin t Im I m 0 0 U m U m 90 0
u L I m ct o U m s si t n 9 )0 (
u 超前i
e u 2 e滞后i
ui
u
i
+ u –
e
i
e
L
2
3. 电压电流的相量关系 0
t
U Im mU Im m 90000U Im m 900jXL
所以电压超前电流 9 0 ，二者相位关系为正交。
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形式为：
I1 = 100 －60°A I2 = 10 30° A
求： i1、i2
解： 2 f2 10 0 60 2r8 a s0 d
i1100 2sin 6(2t86 00) A i2102sin 6(2t83 00) A
U 10 60 0 V
但 u 10 2sin( t600) 10 600
例： i1 7.7 0 si3 n1 t (3 4 0)0 A求： i i1i2
i26s0i3 n1 t (6 4 0)0 A用相量表示
解:（1）i1 7.7 0 si3 n1 t (3 4 0)0 A
I1
70.7 2
300
其特点是：当一正弦量的 u
i
值达到最大时，另一正弦
量的值刚好是零。
0
如果: iu18 o 0
称i与u反相。
ui
注意当两个同频率的正弦量计 u
i
时起点改变时，它们的初相位 0 角改变，但相位差不变。
同相
t
正交
t
反相
t
例： 已知的交流电，求它的周期和角频率。
解： T 1 1 0.02s
f 50
2 f 2 3 . 1 4 5 0 3 1 4 r a d / s
相量的图称为相量图。
例： i 202sin t(300)A
u102sin t (600)V
画出相量图。
解： I 20 30 0 A U 10 60 0 V
j
U 60 0
I
30 0
1
0
相量图
注意
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上
正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。
u102sin t (600)V
例：已知 u 3 1 1 sin3 1 4 tV ,试求电压有效值。
解： UUm311220V 22
例：已知工频电压有效值U=220V，初相u 60 ；工频电流有效值I=22A，初相 i 30，求 其瞬时值表达式以及它们的相位关系。
解： 工频电的角频率：314
电压瞬时值表达式为：u2 2 02sin (3 1 4 t 6 0) 电流瞬时值表达式为：i222sin(314t30) 相位差为：60( 30)90
0
A a2b2
tan b
a
A
A a +1
幅角
复数的几种形式： A = a + jb （代数式）
AAej （指数式）
A A c o js A s in （三角式）
A A
（极坐标式）
2、复数运算（熟记公式）
加减运算：设 A 1a1jb1A 2a2jb2
则 A 1 A 2 a 1 a 2 j b 1 b 2
u
+ uR – u+–L
R L
u L U L m siω tn 9( )0 u C U C m siω tn 9( )0
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im sitn i( )
+
0
i
t
正半周： 振幅 角频率 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周：
电流实际方向与参考方向相反
jXC
I
0
2
•
U jIXC U C
I
t
U• 相量图
2.3 电阻、电感、 电容元件串联电路
2.3.1 电压三角形 2.3.2 阻抗三角形 2.3.3 功率三角形 2.3.4 功率因数的提高
2.3.1 电压三角形
i
I
电压电流参考方向如图所示。 1. 瞬时值
+
设： iIm sin t
则：u RU R m siω n t
注意：
1. 只有对同频率的正弦周期量，才能应用对应 的相量来进行代数运算。
2. 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系 （正弦交流电是时间的函数）。
4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。
i0 I0 u0 U 0
基尔霍夫 定律的相
量形式
2.2 单一参数的 交流电路
有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的 直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交
流电流的有效值。用大写字母表示： I、U、E
有效值与幅值的关系推导如下：
以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入
周期电流 i 和直流电流 I 。
iR
I
同一时间
R
T内消耗
的能量
T
T
pdt = i 2Rdt
当 C一定时,电容的容抗与频率f 成反比。频率越高， 感抗越小，在直流电路中容抗为无限大，可视为开路。
2. 电压电流的相位关系
uUmsiω nt
U m U m 0 0
iIm siω nt(90 ) Im Im 90 0
i uC
i 超前u
ui
2
u
3. 电压电流的相量关系 i
UImm
Um
Im
00 900
i Im s itn Ime jψ
即：一个正弦量与一个复数可以一一对应。所以可 以借助复数计算完成正弦量的计算。
i I m sitn Im I m （最大值相量）
I I （有效值相量）
i 102sin t(405)A
I 10 45 0 A
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示
同理： U0.70U7 m E0.70E7 m
I
Im 2
0.707Im
熟记：
UUm 2
0.70U 7m
EEm 2
0.70E 7m
三、相位、初相、相位差 i
正弦量： i Im sitn i( )
相位：
0
t
(ti)称为正弦量的相位角
或相位。它表明了正弦量的进程。
i
初相： t=0 时的相位角 i 称为初相角或初相位。
（用 1800的角度表示） 若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则 正弦量初相位不同。
相位差：同频率正弦量的相位 角之差或是初相角之
差，称为相位差，用 表示。
设正弦量： i Im sitn i( ) u U m sitn u ) (
i和u的相位差为：(ti)(tu)
ui i u
i u
如果： i u0
第2章
正弦交流电路
2.1 正弦交流电的表示方法 2.2 单一参数的交流电路 2.3 电阻、电感、电容元件的串联电路 2.4 阻抗的串联与并联 2.5 电路中的谐振 2.6 三相交流电路
2.1 正弦交流电 的表示方法
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法 2.1.2 正弦交流电的相量表示法
引言
随时间按正弦规律变化的交流电压、电流称为 正弦电压、电流。
设 A1 A1 1 A2 A2 2
乘法运算：则 A1 A2 A1 A2 1 2
除法运算：则
A1 A1 A2 A2
1 2
3、旋转因子
e j 1 （模为1，辐角为 的复数）
一个复数乘以 e j 等于把其逆时针旋转 角。
e j
2
j
jA相当于把A逆时针旋 转90度
j称为旋转因子
+j
最大值、有效值 UmRm I 或
Um
U
U
R
m
Im I
Um
0 0 、有效值、最
大值都满足欧 姆定律。
2. 电压电流的相位关系
u 、i 同相
3. 电压电流的相量关系
ui
u i
+
U I
–
R
U m Im
R
•
I• 0 U
相量图
t
2.2.2 电感电路
设在电感元件的交流电路中，
电压、电流参考方向如图示。
+
1.电压、电流关系
0
0
消耗能量相同
= R T i 2dt 0
PT
= I 2RT
即： I2RTRTi2dt则有： I
1
T
i2dt
0
T0
可见,周期电流有效值等于它的瞬时值的平方在 一个周期内的积分取平均值后再开平方，因此有效 值又称为方均根值。
设
iImsiω nt
代入
I
1
T
i2dt
T0
整理得： Im 2I 或 I0.70Im 7