一凑微分法

§2. 不定积分的计算
一、“凑”微分法
例如：求 e2xdx e2x d (2x)
2
形式上“凑”成能由不定 积分公式求出的积分!
令2x t 1 etdt 1 et C 1 e2x C.
dx 1 dt 2
2
2
2
简单替换
例1.
x
1
a
dx
(a const)
d (x a) 令x a t dt ln | t | C ln | x a | C. x a dx dt t
选则 u,v 的原则是 vdu 要比 udv 简单易求,
从而达到化繁为简的目的.
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§2. 不定积分的计算
例11. 求 x sin xdx
解： (1) 令 u x, dv sin xdx d( cos x),
则原式 xd(cosx) x cos (cosx)dx
的不定积分常可用分部积分法可得.
注3. 使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若 干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成 为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注 意如下情形：
cos sin
x x
dx
1 sin
d x
sin
x
1
cos sin
x x
dx
0 1?
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§2. 不定积分的计算
例15. 求 eax cosbxdx 及 eax sin bxdx.
解： eax cosbxdx 1 eax cosbx b eax sin bxdx,
a
a
eax sin bxdx 1eax sin bx b eax cos bxdx,
a
a
联立, 解之得：
33
9
9
( x2 2x 2 )e3x C. 3 9 27
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§2. 不定积分的计算
例14. 求 x2 a2 dx
a2 a2
解：
x2 a2 dx x x2 a2 x x dx x2 a2
x x2 a2
x2 a2 dx
a2 dx x2 a2
sec tdt ln(tan t 1 a
a2 a2 tan2 t ) C1
ln(x x2 a2 ) C, (C C1 ln a).
例10. 求
dx x 2 a2
解： 1. 令x a sect, dx a sect tan tdt.
2. 令x acht, dx ashtdt
xdx
sin
xd
(sin
x)
1 2
sin
2
x
C.
2.
sin
x
cos
xdx
cos
xd
(cos
x)
1 2
cos
2
x
C.
3.
sin
x
cos
xdx
1 2
sin
2xdx
1 4
cos
2x
C.
注：积分方法以“化繁为简”为目的.
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§2. 不定积分的计算
三、分部积分法
对于可微函数u(x)与v(x), 有
x n(ln x)n1 1dx x
x(ln x)n n (ln x)n1dx x(ln x)n nIn1,
其中，I1 ln xdx x ln x x C.
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§2. 不定积分的计算 初等函数的导数仍是初等函数, 但求不定积分却不那么 简单, 有些不定积分不能用初等函数来表示, 如
函数t 1(x)存在且连续, 且
f ((t))(t)dt F(t) C,
则
f (x)dx F(1(x)) C.
证明： d (F ( 1(x)) F(t) ( 1)
dx
f ((t))(t) 1 f (x). (t)
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§2. 不定积分的计算
例7. 求 x 1 dx
tan xdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln | cos x | C.
例3.
sec
xdx
dx cos x
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cos xdx cos2 x
d sin x 1 sin2 x
1 2
( 1
1 sin
x
1
1 sin
x
)d
sin
x
1 2
ln 1 sin 1 sin
x x
C
1 2
ln
(1 sin x)2 cos2 x
C
ln | sec x tan x | C.
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§2. 不定积分的计算
例4.
cscxdx
dx sin x
2
sin
dx x cos
x
22
dx
d (tan x )
tan
2 x cos2
x
2 tan x
ln | csc x cotx | C.
22
2
dx cos x
由于T (x)dx易求,
因之求
P(x) Q(x)
dx关键在于求
F ( x) Q(x)
dx.
对于有理真分式 F (x) , 由代数实系数多项式的因式分解,可设 Q(x)
Q(x) (x a) L (x b) (x2 px q) L (x2 rx s) ,
其中，a,L ,b分别是Q(x)的,L , 重实根，x2 px q,L , x2 rx s都没有实根，有共轭复根，即Q(x)有,L , 重共轭 复根；,L , , L , 是自然数.
dx (t)dt
( 将变量x替换为函数(t) )
求出这个不定积分，再将结果中的t换成－1(x)即得
所求的不定积分.
注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的 函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.
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§2. 不定积分的计算
例如：1.
sin
x
cos
eax cos bxdx b sin bx a cos bx eax C, a2 b2
eax
sin bxdx
a sin bx a2
b cos b2
bxeax
C,
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§2. 不定积分的计算
注2. 类似的, 下列函数
xk sin bx, xk cos bx, xkeax , xk lnm x, xk arctan x, p(x) sin mx, p(x) cos mx, p(x) ln x, p(sin x)eax 等等.
d(x )
2
sin(x )
2
ln
|
sec x tan x | C. (tan x 1 cos
x
csc
x
cotx)
例5. x2 4 3x3 dx
2 sin x
1
(4
3x3
)
1 2
d
(4
3x3
)
1
t
1
2 dt
2
(4
3
3x3 ) 2
.
9
9
9
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§2. 不定积分的计算
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§2. 不定积分的计算
“凑”微分法:
求
设法凑成
f (x)dx
g((x))(x)dx
令t (x) g(t)dt 积分公式 F (t) C
带回 x
F((x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
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§2. 不定积分的计算
例2.
解：
原式
x arctan
x
x 1 x2 dx
例13.
x arctan x 1 ln(1 x2 ) C. 2
x2e3xdx
x2d (e3x ) x2 e3x 2xe3xdx
33
3
x2 e3x 2 xd ( e3x ) x2 e3x 2x e3x 2 e3xdx
33
x x2 a2 x2 a2 dx a2 ln | x x2 a2 | C1
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln | x x2 a2 | C.
2
2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C.
2
2
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解：令 x a sin t, dx a costdt,
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2tdt
a2 (1 cos 2t)dt a2 (t 1 sin 2t) C.
2
22
a2 (arcsin x x 1 a2 x2 ) C
2
a aa
1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
§2. 不定积分的计算
将不定积分视为一个数进行运算是错误的, 不定积分是 原函数的集合. 此时,
c os x sin x
dx
d sin x sin x
ln
|
sin
x
|
C.
使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式, 例如：
In (ln x)n dx,
In
(ln x)n dx x(ln x)n
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理真分式. Q(x)
有理假分式 P(x)
多项式
T (x)
F ( x)
有理真分式
Q(x) 除法
Q(x)
（多项式）
例如：
x4 3 x2 2x 3 4x 6 .
x2 2x 1
x2 2x 1
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§2. 不定积分的计算
xcosx sin x C.
(2) 令 u sin x, dv xdx d ( x2 ), 则 2
x sin
xdx
sin
xd (
x2 2
)
x2 2
sin
x
x2 2
d (sin
x).
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比 x sin xdx 更繁.
§2. 不定积分的计算
例12. 求 arctan xdx
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§2. 不定积分的计算
根据代数分项分式定理, 有
F ( x) Q(x)
A1 (x a)
A2 (x a)2
A (x a)
B1 (x b)
B2 (x b)2
B (x b)
C1x D1 x2 px
q
C2 x (x2 px
D2 q)2
L
(
x
C 2
ex2 dx, sin x dx, sin x2dx, x 是非初等函数, 即
初等函数的原函数不一定是初等函数.
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§2. 不定积分的计算
四、有理函数积分法
1. 代数的预备知识
设P(x)与Q(x)都是多项式, 则有理函数的一般形式是
P(x) . Q(x)
若P(x)的次数 Q(x)的次数，称 P(x) 为有理假分式； Q(x)
(uv) uv uv,
or
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
uvdx uv vudx,
or
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
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§2. 不定积分的计算 注1. 不能直接求
uvdx 改写 转化
udv
求 vudx,
求 vdu
x px
D q)
L
E1x F1 x2 rx
s
(
E2 x x2 rx
F2 s)2
L
(
E x F x2 rx s)
.
()
其中，Ai , Bj ,Ck , Dk , Em, Fm都是常数.求解常数的方法：
原式
asht asht
dt
t
C
ln
|
x
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x2 a2 | C.
§2. 不定积分的计算
注：
dx ln | x x2 a2 | C. x2 a2
a2 x2 dx 1 x a2 x2 a2 arcsin x C.
2
2
a
“凑”微分法与换元积分法比较
“凑”微分法——将函数替换为变量：
2
2
a
( t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2 x a
a2 x2 ).
a
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§2. 不定积分的计算
例9. 求
1 dx
x2 a2
解：令 x a tan t, dx a sec2 tdt, 则
原式
a sec2 t dt a sec t
3 3x 1
解：令 3x 1 t3, t 3 3x 1, x 1 (t2 1), dx t2dt, 则 3
原式
1 3
(t
3
1)
1 t
2dt
1
(t 4 2t)dt
t
3
1
(x
2)(3x
2
1) 3
C.
5
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§2. 不定积分的计算
例8. 求 a2 x2 dx
求
设(t) x
f ((t))(t)dt
f (x)dx
( 将函数(t)替换为变量x )
求出这个不定积分,再将结果中的x换成 (t )即得
所求的不定积分.
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§2. 不定积分的计算 换元积分法——将变量替换为函数：
设 x (t)
求 f (x)dx
f ((t))(t)dt,
二、换元积分法
例6. 求
1 x2
e
1 x
dx
1.
原式
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C.
x
2.
令 1 t, x
dx
1 t2
dt
原式
t
2et
(
1 t2
)dt
1
etdt e x C.
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§2. 不定积分的计算
Theorem : 设f (x)连续,x (t)及(t)皆连续,x (t)的反