一凑微分法

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常微分方程凑微分法

常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。

在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。

一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。

该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。

具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。

2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。

3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。

这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。

二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。

下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。

1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。

凑微分法和分部积分法学习笔记

（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分，在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu

第五章 2-1 第一类换元法

凑微分的重点在“凑” 字上，其基本思想就是将被积表达式 g ( x)dx变形，使之凑成 f ( ( x)) ' ( x)dx的形式，便于使用基本积分公式求解 .
步骤: (1)凑微分；(2)换元求出积分； (3)代回原变量。
例求 sin 2 xdx .

sin u du
1 解 sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2
(4). 有些问题需要反复使用凑微分法求解不定积分. 例.

dx x ln x ln ln x
d (ln x ) d (ln ln x ) ln | ln ln x | C. ln x ln ln x ln ln x
(5) 常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
令u 2x
1 1 sin udu cos u C 2 2 1 cos 2 x C ; 2
1 dx. 例求 2x 3
1 udu 1 1 令2 x 3 u 1 1 d (2 x 3) du 解: 原式 2 2x 3 2 u 1 1 l n u C ln 2 x 3 C . 2 2 ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du

换元法

2 sin xd (sin x ) sin x C ;
2
解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 dx . 例2 求 3 2x
解
1 1 1 dx d ( 3 2 x ), 3 2x 2 3 2x
x 例4 求 dx . 3 (1 x ) x x 11 1 dx [ dx ]d (1 x ) 解 3 3 2 3 (1 x ) (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x ) dx 1 dx dx 类似地 ( ) 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 d (1 x ) d (1 x ) 1 x ( ) ln | 1 x | C . 2 2 1 x 1 x
x ln | tan | C ln | csc x cot x | C . 2 （使用了三角函数恒等变形）
解（二） csc xdx
1 sin x dx 2 dx sin x sin x
1 d (cos x ) u cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 1 u 2 1 u 1 u
2 2
32 sin t cos tdt 32 sin t (1 cos t ) cos tdt
3 2
32 (cos2 t cos 4 t )d cos t 1 1 5 3 32( cos t cos t ) C 3 5 4 1 2 3 2 5 4 x 4 x C. 3 5
1 dx . 例10 求 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) cot x 1 C . sin x sin x sin x

自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)

1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分

5.3 凑微分法和分部积分法

例7. 求
解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故
m 1 d u 1 1 u m 1 C 原式 = u
a a m 1
注: 当
时
例8. 求
想到公式
1 a
解:
2
dx 1 ( x )2

du 1 u2
x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C a a 1 u2
小练习: 求下列不定积分
dx (1) ; 2 1 25 x
(2) e x sin( e x )dx;
1 ln x (4) dx. x
(3) x
23
1 x dx;
3
1 Key : arcsin 5 x C ; cos e x C ; 5 4 3 1 2 3 3 (1 x ) C ; (1 ln x ) 2 C . 4 3
2. (3) 3. (1)(9) 4. (2)
P136. 5. (1) (4) (6) (9)
( x 2) 3 C 3 ln x 2 ln x 1 C ln x 1
例18 dx d ( x 1) arctan( x 1) C x2 2x 2 1 ( x 1) 2 1
2x 1
1
1 ( 2 x 2) 4 dx 例19 2 dx 2 2 x 2x 2 x 2x 2
u
指: 指数函数三: 三角函数
1 1 x
2
, vx
x 1 x
2
原式 = xarccos x
dx
2
1 2
xarccos x

《凑微分法》课件

复合函数与幂函数混合积分
例如，计算积分 $int (x^{2}e^{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}e^{x}$ 视为
$frac{d}{dx}(e^{x}x^{2})$ 的微分，从而得到 $e^{x}x^{2}$ 的积分结果。
04
凑微分法的注意事项与技巧
凑微分法的注意事项
观察目标函数形式
凑微分法的数学原理
凑微分法的定义
凑微分法是一种通过观察或变形，将复杂的积分表达式转化为容易计算的积分表达式的技巧。其核心思想是将被积函数进行适当的变形，使其符合某个已知的积分公式的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用
凑微分法在数学、物理和工程领域中都有广泛的应用。通过凑微分法，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算，从而快速得到结果。例如，在求解某些物理问题的过程中，我们经常需要用到凑微分法来计算某个物理量的变化率或累积值。
三角函数凑微分
例如，计算积分 $int sin{x}dx$ 时，可以将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得到 $-cos{x}$ 的积分结果。
复杂问题的凑微分法实例
多项式与三角函数混合积分
例如，计算积分 $int (x^{2} + sin{x})dx$ 时，可以将 $x^{2}$ 视为 $frac{d}{dx}(x^{3})$ 的微分，将 $sin{x}$ 视为 $frac{d}{dx}(cos{x})$ 的微分，从而得到 $frac{3}{2}x^{2} - cos{x}$ 的积分结果。
微分与积分的互逆关系
微分与积分互为逆运算
微分和积分在数学上是互逆的过程。微分是将函数进行局部线性化，而积分则是求函数与x轴所夹的面积。由于这两个过程具有相反的特性，因此它们可以相互转化。

第一换元积分法(凑微分法)

π π 作三角变换，令 x a sin t t , 那么 2 2
求 a 2 x 2 dx.
x

2 a x 1 a 2 x 2 dx arcsin x a 2 x 2 C . 2 a 2
a2 - x 2
x π π 解令 x a tan t t ，则dx a sec 2 tdt． 2 2 dx a sec 2 t 1 1 d t cos t d t sin t C ．所以 3 3 3 3 2 a a 2 x 2 2 a sec t a
积分
F t C
t 1 x 回代
1 F x C.
这种方法叫第二换元法．
使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数x t , 对于 x t , 要求其单调可导， t 0, 且其反函数 t 1 x 存在．下面通过一些例子来说明．
例 2
解注意到被积式中含有 e 项,而余下的部分恰有微分关系： 2 xdx d( x 2 ) ．于是类似于例 1,可作如下变换和计算：
求 2 xe dx ．
x2
x2

2 xe dx e d( x )
x
2
x
2
2
令u x 2
回代 x 2 e du e C e C.
2 2
解
设u cos x, 得 du sin xdx ,
求 cos 2 x sin xdx .
例 4
解
dx 求． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分的凑微分法

不定积分的凑微分法
凑微分法是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，,是换元积分法中的一种方法。

有时需要积分的式子与固定的积分公式不同，但有些相似，这时，我们就可以考虑是否把dx变换成du的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数变换成u 的函数，使积分式符合积分公式形式。

这样，就很方便的进行积分，再变换成x的形式。

凑微分法的基本思想为：
举个例子：求∫cos3XdX。

观察这个式子，发现它与积分公式∫cosXdX相似；
而积分公式∫cosXdX=sinX+C（C为常数）；
因此，此时可以利用凑微分法将∫cos3XdX转化为∫cosXdX的形式；
转化时，设：u=3X，则du=3dX；
∫cos3XdX=∫(cos3X)/3d(3X)=(1/3)∫cosudu；
因为∫cosudu=sinu+C，所以∫cos3XdX=1/3sinu+C；
将3X代回式中，可得：∫cos3XdX=1/3sin3X+C。

扩展资料：
凑微分法的计算步骤：
1、观察待求函数积分，找到与其相似的对应积分公式；
2、引入中间变量，作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式；
3、把原来的被积表达式变成较简易的不定积分。

；
4、新的被积表达式与对应积分公式形式一致，依照公式直接得出结果；
5、将中间变量替换成原变量，代入结果中，得到最终目标函数。

5.3凑微分法和分部积分法

因此 A 1 , B 1 , C 2 ,
x 1 1 1 2 2 2 x x 1 ( x 1) x( x 1)
dx dx dx 原式 2 x x 1 ( x 1)2 d( x 1) d( x 1) ln x 2 x 1 ( x 1)2
1 d( x 2 1) ln x arctan x 2 2 x 1
1 ln x ln( x 2 1) arctan x C . 2
2. 当真分式分母中含有因子( x a) 时,则分解后
k
有下列k 个部分分式之和：
A1 A2 2 x a ( x a) Ak . k ( x a)
解 (1) (sin x) cos xdx (sin x) d sin x
t dt ( 令 t sin x )

ln sin x C , 1 ln t C , 1 1 1 (sin x ) t C , 1 . C , 1 1 1
1 1 1 d(a x) d (a x) 2a a x ax
1 ax 1 ln C ln a x ln a x C 2a a x 2a
1. 当真分式分母中含有因子( x 2 px q)k , p 2 4q 0 时,则分解后有下列k 个部分分式之和：
f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C [ f ( u)du]u ( x ) .
使用此公式的关键在于
(5 1)
第一换元积分公式（凑微分法）
说明
将
f ( x)dx 凑成 F '[ ( x)] '( x)dx.

4.2 凑微分法

解: 对照基本积分公式，上式和
1 写成 − 3 d ( − 3 x + 1)
u
相似
就可以使用公式于是
∫e
u
dx = e
+ C
∫e
−3 x +1
1 −3 x+1 dx = − ∫ e d (−3x + 1) 3
1 − 3 x +1 = − e +C 3
1 （ 3） ∫ 1 + 4 x 2 dx
解: 对照基本积分公式，上式和
= − ln cos x + C
( 2 ) ∫ sin xdx
3
解: :
sin 3 xdx = ∫ sin 2 x ⋅ sin xdx ∫
= −∫ (1 − cos x)d cos x
2
= − ∫ d cos x + ∫ cos2 xd cos x
1 3 = − cos x + cos x + C 3
∫
∫
1 x−4 = ln +C 3 x −1
(2)∫
解: :
1 dx 2 x + 4x + 5
1 1 ∫ x2 + 4x +5dx= ∫1+ (x + 2)2 dx d ( x + 2) =∫ 1 + ( x + 2) 2
= arctan( x + 2) + C
1 （ 3）∫ 1 + e
x
dx
解: :
因为 d (1 + x ) = 2 xdx
1 2 所以 xdx = d (1 + x ) 2
则
∫1+

不定积分凑微分法

不定积分凑微分法不定积分凑微分法积分运算是数学中极为重要的一个分支，其中不定积分是一种最基本的积分形式。

不定积分的求解方法多种多样，其中凑微分法是一种被广泛使用的积分求解方法。

本文将详细介绍不定积分凑微分法的概念、应用以及注意事项。

一、概念凑微分法是一种通过构造某个式子来让被积函数的微分形式可以和该式子匹配，从而方便地求出不定积分的方法。

常用的凑微分法有以下几种：1、利用一元函数的导数公式来凑微分；2、利用恒等变换凑微分；3、利用三角函数公式凑微分；4、利用指数函数或对数函数的导数公式凑微分。

二、应用凑微分法在不定积分中的应用极为广泛，下面以几个初等函数为例进行介绍。

1、多项式函数对于多项式函数f（x）=ax^n，其中n为正整数，a为常数，我们可以利用恒等变换凑微分，得到如下的公式：∫f（x）dx=∫x^n d（ax）/n+a+x+C、该公式成立的前提是要求n不等于-1，C为任意常数。

2、三角函数对于三角函数f（x）=sinx、cosx、tanx等，我们可以利用三角函数的公式凑微分。

例如sinx的公式为：∫sinxdx=-cosx+C、cosx的公式为：∫cosxdx=sinx+C、tanx的公式为：∫tanxdx=-ln|cosx|+C、其中C为任意常数。

3、指数函数和对数函数对于指数函数f（x）=e^x、a^x等以及对数函数f （x）=lnx等，我们可以利用指数函数和对数函数的导数公式凑微分。

例如：∫e^xdx=e^x+C、∫a^xdx=1/lna*a^x+C、∫1/xdx=ln|x|+C、其中C为任意常数。

三、注意事项在进行凑微分法的时候，需要注意以下几点事项：1、构造式子时需要准确，不能出错，否则很难得出正确的结果；2、对于被积函数的不同形式，采用不同的凑微分方式，需要灵活掌握；3、如果凑微分法不可行，需要考虑其他的积分求解方法。

四、结语凑微分法是不定积分中的一种常用方法，它可以有效地减轻积分难度，简化计算过程。

凑微分法怎么理解 [浅谈凑微分法的理解及应用]

凑微分法怎么理解[浅谈凑微分法的理解及应用]【摘要】凑微分法是微积分学中重要的积分法，初学者难以熟练掌握.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 【关键词】基本积分公式；凑微分；不定积分计算不定积分的方法很多，凑微分法是比较重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟练应用这种方法是学习后继微积分知识的基础.本文主要讨论其一般规律，并通过举例来说明如何凑微分. 一、凑微分法的理论依据例1求∫2cos2xdx. 分析因为cos2x是复合函数，这个不定积分不能用直接积分法求出结果，但可以考虑套用公式∫cosxdx=sinx+C来计算. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C. 验证积分结果的正确性：sin2x+C′=2cos2x，积分结果的导数等于被积函数，说明这种积分思路及过程是正确的. 解设u=2x，则du=2dx. ∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 解题特点引入新变量u=2x，把原被积表达式化成基本初等函数的微分形式cosudu，再用基本积分公式求出积分结果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C. 这种求不定积分的方法具有一般性，其理论依据如下：设y=F（u）及u=φ（x）都是可导函数，且F′（u）=f（u），则由y=F（u）和u=φ（x）构成的复合函数是y=F[φ（x）]. 对函数y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C；对复合函数y=F[φ（x）]，dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，则∫f（u）du=F（u）+C. 由此可见，不论u是自变量还是中间变量，总有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到结论：如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可导函数，那么∫f（u）du=F （u）+C. 即只要所给积分的被积表达式能凑成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C写出积分结果. 此结论表明：在基本积分公式中，自变量换成任何可导函数u=φ（x）时，公式仍成立.这条性质叫做积分形式不变性.这个结论扩大了基本积分公式的使用范围. 例1中使用的方法，实质上是把微分形式不变性反过来用于不定积分而得到的求积分的方法，这种方法通常叫做第一类换元积分法，也叫凑微分法. 二、凑微分法的定义一般地，若不定积分的被积表达式能写成f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，令φ（x）=u，当积分∫f （u）du=F（u）+C时，则有下面的结论：∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f （u）duu=φ（x）=∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C. 通常把这种积分方法称为第一类换元积分法，又叫凑微分法. 三、凑微分法的理解在凑微分法的过程中，变量u在这里处于中间变量的地位，u是x的可导函数u=φ（x），因此这种方法的关键也可以说是正确选择中间变量u.在具体解题的过程中，要注意凑出来的新的积分∫f（u）du要能用直接法求出积分结果，否则就失去了换元的意义.四、应用举例 1.凑微分法求解步骤设∫f（u）du=F（u）+C，运用凑微分法做积分运算时首先将原积分形变为∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步骤进行：∫f[φ（x）]φ′（x）dx凑微分1∫f[φ（x）]dφ（x）变量代换1φ（x）=u ∫f（u）du计算积分1F（u）+C变量代换1u=φ（x）F[φ（x）]+C. 2.常用的凑微分形式（1）dx=11ad （ax）=11ad（ax+b）；（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；。

凑微分法详细讲解

凑微分法详细讲解
嘿，朋友们！今天咱来唠唠凑微分法。

这凑微分法啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门呢！
你想想看，有些数学式子就像一团乱麻，让你摸不着头脑。

可凑微分法呢，就像是一个耐心的梳理者，能把这团乱麻慢慢地理顺。

比如说，遇到那种看起来很复杂的式子，咱通过巧妙地变形、凑一凑，就能让它变得清晰明了。

这凑微分法就好像是变魔术一样！本来让人头疼的式子，经过这么一凑，嘿，就变得乖乖听话啦。

举个例子哈，就像你有一堆七零八落的积木，你得想办法把它们拼成一个完整的形状。

凑微分法就是帮你找到那些合适的积木块，然后把它们拼凑在一起。

咱在学习凑微分法的时候，可别着急，得慢慢来。

就跟学走路似的，一步一步来，走稳了才不会摔跟头。

一开始可能会觉得有点难，哎呀，这怎么凑啊？但别灰心，多试试，多练练，慢慢就找到感觉啦。

你看那一道道难题，不就是一个个小怪兽嘛！咱拿着凑微分法这把宝剑，勇敢地去挑战它们。

有时候可能一下子没凑对，没关系，调整调整再上。

就像打游戏，失败了再来一局呗。

而且啊，凑微分法还特别实用。

在好多数学问题里都能派上大用场。

你说，这是不是个宝贝？它能让咱解题的效率大大提高，就像给咱加了一双翅膀，能在数学的天空中飞得更高更远。

所以啊，朋友们，可别小瞧了这凑微分法。

好好学，好好用，让它成为咱数学学习路上的得力助手。

相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学的世界变得更加精彩啦！这凑微分法，真的值得咱好好去钻研，去掌握，去运用！咱可不能错过这么好的方法呀，对不对？。

高等数学第二节凑微分法

解
1
a2 x2dx
1 a2[1 (
x)2]dx
a[11(x)2]d(ax)
a
a
例5 求 a2 1x2dx(a0为常 ).数
解
a2 1 x2dx
a2[1
1 (
x)2]dx
1
x
a[1(x)2]d(a)
a
a
1 a
1
1 ( x)2
d(x) a
1arctxanC.
a
a
a
以上两个例子可作式为使公用:
a21x2dxarca xsiC n . a2 1x2dxa 1arca xta C.n
例13 求a2 1x2dx(a0).
解
a2
1
x2
dx
1
(ax)(ax)dx
21a(a (axx ))a ((axx ))dx21a(a 1xa 1x)d x
பைடு நூலகம்
2 1 a a 1 x d ( a x ) 2 1 a a 1 x d ( a x )
1ln |ax|1ln |ax| C1ln|ax|C.
1(x1si2nx)C 22
1x1sin 2xC. 24
例16 求co3sxdx.
解 co3sxdxco2x scoxd sxco2sxdsin x
(1si2n x)dsixn
d sixn si2x n d sixn
sin x1si3nxC. 3
例17 求 si3n xco 2xd sx.
解 si3n xco 2xs dx1 2(si5nxsin x)dx
令 u14x1 4
u3du
1 u4 16
C 1(14x)4C. 16

定积分的换元法和分部积分法

2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分部积分公式的用法类似。
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
)dx
f ( x)为偶函数；
0
0,
f ( x)为奇函数。
证毕。
例10
计算
3 3
x5 sin2 x dx.
1 x2 x4
解
3 3
x5 sin2 x dx 1 x2 x4
0
奇函数
例11
计算
π
2
π 2
sin2
x cos xdx
解
π
2
π 2
sin2 x cos xdx
π
2
2
0
sin2
x cos xdx
π
2
2
e
1
x
ln
|
1
x
|
e1 0
1
例17