北师大版八年级数学上寒假作业:2、用勾股定理解古代趣题

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八年级数学上册第一章勾股定理2用勾股定理解古代趣题练习(新版)北师大版

八年级数学上册第一章勾股定理2用勾股定理解古代趣题练习(新版)北师大版

2、用勾股定理解古代趣题一、古代趣题1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题:波平如镜一湖面,3尺高处出红莲。

亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边。

离开原处6尺远,花贴湖面像睡莲。

请君动脑想一想,湖水在此深若干尺?2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺。

问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远。

问折断后的竹子有多高?3、苍鹰与蛇的问题:树根下有一蛇洞,树高15米,树顶有一只苍鹰,它看见一条蛇迅速向洞口爬去,与洞口的距离还有三倍树高时,鹰向蛇直扑过去。

如果鹰、蛇的速度相等,鹰扑击蛇的路线是直线段,请说出,鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇?4、有一棵古树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从根处缠绕而上,缠绕5周到达树顶,请问这根藤条有多长?(注:古树可以看成圆柱体;树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺。

1丈=10尺)二、最短距离问题5、如图,有一个底面半径为6cm,高为24cm的圆柱,在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息,请问它需爬行的最短路程约是多少?(π取整数3)6、有一个长宽高分别为2cm,1cm,3cm的长方体,如图,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处,请你帮它设计爬行的最短路线,并说明理由。

7、一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?8、若△ABC的三边长为a、b、c,根据下列条件判断△ABC的形状。

(1)a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2) a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0 B CAD。

北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】

北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】

北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】work Information Technology Company.2020YEAR第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一:已知直角三角形的两边,求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.1.1、【基础题】(1)求斜边长为17 cm,一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.(2)已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是________.1.2、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm,底边长6 cm,求这个等腰三角形的面积.1.3、【综合Ⅰ】如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行()A.8米 B.10米C.12米D.14米1.4、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,求旗杆折断之前有多高?1.5、【综合Ⅱ】如图,某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形,一个长、宽、高分别是1.2 m、1 m、0.8 m的箱子能放进储藏室吗?题型二:用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm,且两直角边的长度比为3∶4,求两直角边的长.2.1【综合Ⅱ】如图,小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,下端刚好接触地面,求旗杆AC的高度.2.2、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣,这个问题的意思是:如左下图,有一个边长是10尺的正方形水池,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边中点的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?2.3【综合Ⅲ】如右上图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD的长.2.4【提高题】(2011年北京市竞赛题)两张大小相同的纸片,每张都分成7个大小相同的矩形,放置如图所示,重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上,若BC=28,则AB的长是______ .类型三: “方程 + 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12,则这个直角三角形斜边上的高为 ( ).(A )6 (B )8.5 (C )1320 (D )1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.4.1、【综合Ⅰ】如右上图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,请在图中找出若干图形,使它们的面积之和等于最大正方形1的面积,尝试给出两种方案.4.2、【综合Ⅰ】如左下图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm ,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2.4.3 、【综合题】如右上图2,以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB =3,则图中阴影部分的面积为( ).(A )9 (B )3 (C )49 (D )295、【综合Ⅲ】如图,在直线l 上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,则1S +2S +3S +4S =________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年,美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理,你能利用左下图验证勾股定理吗?说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图,在Rt △ABC 中,∠A = 90,D 为斜边BC 的中点,DE ⊥DF ,求证:222CF BE EF +=.8、【提高题】 如图,AD 是△ABC 的中线,证明:)+(=+22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?并求出四边形ABCD的面积.9.1、【综合Ⅰ】如左下图,6个三角形分别标号,哪些三角形是直角三角形,哪些不是,请说明理由.9.2、【综合Ⅰ】如右上图,在正方形ABCD中,4=DF,图中有几个直角三角AE,1==AB,2形,说明理由.10、【基础题】下列各组中,不能构成直角三角形三边长度的是()(A)9,12,15 (B)15,32,39 (C)16,30,34 (D)9,40,4110.1、【基础题】(1)如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗?(2)下表中第一列每组数都是勾股数,补全下表,这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。

北师大版八上数学专题一勾股定理(内含答案详解)

北师大版八上数学专题一勾股定理(内含答案详解)

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BS 八上数学专题一勾股定理一.选择题(共14小题)1.在Rt△ABC中,若斜边AB=3,则AC2+BC2等于()A.6B.9C.12D.182.在△ACB中,若AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积为()A.6B.8C.12D.243.直角三角形的两边长分别为6和8,那么它的第三边长度为()A.8B.10C.8或2D.10或24.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为()A.4B.8C.16D.645.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为()A.B.2C.D.26.如图Rt△ABC,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”;当AC=3,BC=4时,计算阴影部分的面积为()A.6B.6πC.10πD.127.△ABC的三边长为a,b,c,已知a:b=1:2,且斜边c=2,则△ABC的周长为()A.3B.5C.6D.68.如图,线段AD是直角三角形ABC斜边上的高,AB=6,AC=8,则AD=()A.4B.4.5C.4.8D.59.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,分别以AB、BC、DC为边向外作正方形,它们的面积分别为S1、S2、S3.若S2=48,S3=9,则S1的值为()A.18B.12C.9D.310.下列各组数据分别为三角形的三边长,不能组成直角三角形的是()A.9,12,15B.7,24,25C.6,8,10D.3,5,711.如图,三级台阶,每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm12.在一次课外社会实践中,王强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为()A.13 m B.12 m C.4 m D.10 m13.如图,圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,那么它爬行的最短路程为()A.14cm B.15cm C.24cm D.25cm14.一架长25dm的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7dm,如果梯子的顶端沿墙下滑4dm,那么梯足将滑()A.9 dm B.15 dm C.5 dm D.8 dm二.填空题(共6小题)15.探索勾股数的规律:观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…可发现,4=,12=,24=…请写出第5个数组:.16.如果一个三角形的三边长之比为9:12:15,且周长为72cm,则它的面积为cm2.17.如图,AC⊥BC,AC=6,BC=8,AB=10,则点C到线段AB的距离是.18.已知两线段的长分别是5cm、3cm,则第三条线段长是时,这三条线段构成直角三角形19.小东拿着一根长竹竿进一个宽为4米的城门,他先横着拿不进去,又竖起来拿,结果竿比城门高0。

北师版八年级上册勾股定理知识总结与练习题

北师版八年级上册勾股定理知识总结与练习题

北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题1.知识总结1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为 a,b,斜边为c,那么a 2亠b 2 =c 2 2 •勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法4. 勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC 中,• C =90,则 c = .a 2—b 2,b = c 2二a 2,a = . c 2二b 2 ② 知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③ 可运用勾股定理解决一些实际问题 5. 勾股定理的逆定理内容:如果三角形三边长 a ,b ,c 满足a 2 b^c 2,那么这个三角形是直角三角形 ,其中c 为 斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过 数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和 a 2 b 2与较长边的 平方c 2作比较:若它们相等时,以a,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;用拼图的方法验证勾股定理的思路是① 图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法 ,列出等式,推导出勾股定理方法4S.\ 'S正方形 EFGH-S 正方形ABCD, 4 1ab (b —a)22=c 2,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4 ]ab 亠c 2 =2ab 亠c 222 2 2 2 2 2大正万形面积为 S =(a b) =a 2ab b ,所以a b =c 方法三:1 1 1 2S 梯形 =2(a b) (a b),S 梯形=2S -ADE ■ S ABE =2 ab - c ,化简得证 3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 ,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 ,因而在应用EiAcba[cc1 \—D若a2 b2 ::: c2,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a2 b2 .c2,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a,b,c及a2 b^c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足a2 c^b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时:这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2• b2二c2中,a,b ,c为正整数时,称a, b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ;6,8,10 ;5,12,13 ;7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数:n2 -1,2n,n2 1 (n _2, n为正整数);2n 1,2n22n,2n2 2n 1 (n 为正整数)m2 -n2,2mn,m2 n2(m n, m , n 为正整数)7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解.8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中,是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决.常见图形:C10. 互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 ,这样的两个命题叫做互逆命题。

北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-(北师大版数学)

北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-(北师大版数学)

北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-(北师大版数学)北师版八年级数学第1章勾股定理一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=?,则c,b =,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数) 2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用8..勾股定理逆定理的应用9.勾股定理及其逆定理的应用AB C30°D CB A ADB C CB DA二、常见考题分析题型一:直接考查勾股定理例1.在ABC ?中,90C ∠=?.⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长分析:直接应用勾股定理222a b c += 题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ?中,90ACB ∠=?,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD =⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ?中,90C ∠=?,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长21EDCBA分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ?,90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m ABCD E分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m 题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ?是否为Rt ?① 1.5a =,2b =,2.5c = ②54a =,1b =,23c = 例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状?题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ?中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明: D CBA三、巩固训练:选择题1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数,且│x 2-4│+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为() A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有() A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b2∶c 2=2∶1∶1。

勾股定理古代数学题

勾股定理古代数学题

勾股定理是中国古代数学的重要成果之一。

以下是一个基于勾股定理的古代数学题目:
题目:一块田地呈长方形,其中一条边长为30步,另一条边长为40步。

现在要从该田地的一个角落修一条直线到对角的另一个角落,问这条直线需要多长?
解法:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

在这个问题中,两直角边的长度分别为30步和40步,所以斜边的长度c可以通过勾股定理得出:
c²= 30²+ 40²
c²= 900 + 1600
c²= 2500
c = √2500
c = 50
因此,修这条直线需要50步长。

这个题目利用了勾股定理解决实际问题,展示了中国古代数学家的智慧和应用能力。

勾股定理不仅在古代数学中有着广泛的应用,而且在现代数学和物理学中仍然被广泛使用。

北师大版2022年八年级数学上册第1章勾股定理假期预习练习

北师大版2022年八年级数学上册第1章勾股定理假期预习练习

八年级数学第1章勾股定理假期预习一.知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222+=a b c基础练习1.(2021•滨州)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.8【分析】直接根据勾股定理求解即可.【解答】解:∵在直角三角形中,勾为3,股为4,∴弦的平方为32+42=25,弦长为5.故选:A.基础练习2.(2021•模拟)如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为()A.4B.8C.16D.64【分析】根据正方形的面积等于边长的平方,由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方,又三角形PQR为直角三角形,根据勾股定理求出QR的平方,即为所求正方形的面积.【解答】解:∵正方形PQED的面积等于225,∴即PQ2=225,∵正方形PRGF的面积为289,∴PR2=289,又△PQR为直角三角形,根据勾股定理得:PR2=PQ2+QR2,∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64,则正方形QMNR的面积为64.故选:D . 2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法基础练习1.如图是著名的赵爽弦图,它是由四个全等的直角三角形拼成,每个直角三角形的两直角边的长分别为a 和b ,斜边长为c ,请你用它验证勾股定理.【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理.【解答】解:S 小正方形=(b ﹣a )2=b 2﹣2ab+a 2,另一方面S 小正方形=c 2﹣4×ab=c 2﹣2ab , 即b 2﹣2ab+a 2=c 2﹣2ab ,∴a 2+b 2=c 2.基础练习2.如图:在Rt △ABC 和Rt △BDE 中,∠C=90°,∠D=90°,AC=BD=a ,BC=DE=b ,AB=BE=c ,试利用图形证明勾股定理.cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA【分析】由图知,梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和,用字母表示出来,化简后,即证明勾股定理.【解答】证明:∵∠C=90°,∠D=90°,AC=BD=a,BC=DE=b,AB=BE=c,∵Rt△ACB≌Rt△BDE,∴∠ABC=∠BED,∠BAC=∠EBD,∵∠ABC+∠DBE=90°,∴∠ABE=90°,三个Rt△其面积分别为12ab,12ab和12c2.直角梯形的面积为12(a+b)(a+b).由图形可知:12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2,整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,∴a2+b2=c2.基础练习3.(2021•泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()A.9B.6C.4D.3【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【解答】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,∵每一个直角三角形的面积为:12ab=12×8=4,∴4×ab+(a﹣b)2=25,∴(a﹣b)2=25﹣16=9,∴a﹣b=3,故选:D.3.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABCb c a=+,22=-a c b=-,22c a bC∆中,90∠=︒,则22①知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系①可运用勾股定理解决一些实际问题基础练习1.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=32cm,把长方形纸片沿AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,AF=25cm,则AD的长为()A.16cm B.20cm C.24cm D.28cm【分析】首先根据平行线的性质以及折叠的性质证明∠EAC=∠DCA,根据等角对等边证明FC=AF,则DF即可求得,然后在直角△ADF中利用勾股定理求解.【解答】解:∵长方形ABCD中,AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠DCA,∴FC=AF=25cm,又∵长方形ABCD中,DC=AB=32cm,∴DF=DC﹣FC=32﹣25=7cm,在直角△ADF中,AD=24(cm).故选:C.基础练习2.(2021•湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为.【分析】设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论.【解答】解:设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10﹣x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2.故答案为:x2+32=(10﹣x)2.基础练习3.(2021•包头)如图,每个小正方形边长为1,则△ABC边AC上的高BD的长为.【分析】根据网格,利用勾股定理求出AC的长,AB的长,以及AB边上的高,利用三角形面积公式求出三角形ABC面积,而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求,利用面积法即可求出BD的长.【解答】解:根据勾股定理得:AC=5,由网格得:S△ABC=12×2×4=4,且S△ABC=12AC•BD=12×5BD,∴12×5BD=4,解得:BD=85.故答案为:8 5基础练习4.(2021•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm(杯壁厚度不计).【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求.【解答】解:如图:将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B2=A′D2+BD2=400,A′B=20(cm).故答案为20.基础练习5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题:“今有池方两丈,葭生其中央,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”这个数学问题的意思是说:“有一个水池是边长为2丈(1丈=10尺) 的正方形,在水池正中央长有一根芦苇,芦苇露出水面2尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少?”答:这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是 .【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x 尺,根据勾股定理可得x 2+(102)2=(x+1)2,再解答即可.【解答】解;设水深为x 尺,则芦苇长为(x+1)尺, 根据勾股定理得:x 2+(102)2=(x+1)2,解得:x=12, 芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺), 答:水池深12尺,芦苇长13尺. 故答案是:12尺;13尺. 5.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若222a b c +<,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若222a b c +>,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形;①定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边①勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形基础练习1.(2021•南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12【分析】利用勾股定理的逆定理:如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.【解答】解:A、∵32+42=52,∴三条线段能组成直角三角形,故A选项正确;B、∵22+32≠42,∴三条线段不能组成直角三角形,故B选项错误;C、∵42+62≠72,∴三条线段不能组成直角三角形,故C选项错误;D、∵52+112≠122,∴三条线段不能组成直角三角形,故D选项错误;故选:A.基础练习2.如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点,则橡皮筋被拉长了()A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm【分析】根据勾股定理,可求出AD、BD的长,则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离.【解答】解:Rt△ACD中,AC=AB=4cm,CD=3cm;根据勾股定理,得:AD2=AC2+CD2=25,CD=5cm;∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm;故橡皮筋被拉长了2cm.故选:A.基础练习3.下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是()A.1.5,2,3B.6,8,10C.5,12,13D.15,20,25【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断三角形是不是直角三角形,据此进行判断.【解答】解:A、(1.5)2+22≠32,不能构成直角三角形,故本选项符合题意;B、62+82=100=102,能构成直角三角形,故本选项不符合题意;C、52+122=169=132,能构成直角三角形,故本选项不符合题意;D、152+202=252,能构成直角三角形,故本选项符合题意;故选:A.基础练习4.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()A.b2﹣c2=a2B.a:b:c=3:4:5C.∠C=∠A﹣∠B D.∠A:∠B:∠C=9:12:15【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可.【解答】解:A.b2﹣c2=a2,则b2=a2+c2,△ABC是直角三角形;B.a:b:c=3:4:5,设a=3x,b=4x,c=5x,a2+b2=c2,△ABC是直角三角形;C.∠C=∠A﹣∠B,则∠B=∠A+∠C,∠B=90°,△ABC是直角三角形;D.∠A:∠B:∠C=9:12:15,设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x,则9x+12x+15x=180°,解得,x=5°,则∠A、∠B、∠C分别为45°,60°,75°,△ABC不是直角三角形;故选:D.基础练习5.已知△ABC的三边分别是6,8,10,则△ABC的面积是()A.24B.30C.40D.48【分析】因为△ABC的三边分别是6,8,10,根据勾股定理的逆定理可求出此三角形为直角三角形,根据三角形面积公式可求出面积.【解答】解:∵62+82=102,∴△ABC是直角三角形,∴△ABC的面积=×6×8=24.故选:A .基础练习6.已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ,满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形.【分析】对原式进行变形,发现三边的关系符合勾股定理的逆定理,从而可判定其形状. 【解答】解:∵a+b=10,ab=18,c=8, ∴(a+b )2﹣2ab=100﹣36=64,c 2=64, ∴a 2+b 2=c 2,∴此三角形是直角三角形. 故答案为:直角. 6.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数①记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ①用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数);2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)基础练习1.(2021•期末)观察以下几组勾股数,并寻找规律: ①3,4,5; ②5,12,13; ③7,24,25; ④9,40,41;…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数: .【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键.【解答】解:从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2, 故第5组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为一, 故设第二个数为x ,则第三个数为x+1, 根据勾股定理得:112+x 2=(x+1)2,解得x=60, 则得第5组数是:11、60、61. 故答案为:11、60、61.二、常见考题分析题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∆中,90C ∠=︒. ⑴已知6AC =,8BC =.求AB 的长 ⑵已知17AB =,15AC =,求BC 的长 分析:直接应用勾股定理222a b c += 题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,5AB =cm ,3BC =cm ,CD AB ⊥于D ,CD = ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4,斜边长为15,则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ,斜边长为13cm ,则这个三角形的面积为 分析:在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC ∆中,90C ∠=︒,12∠=∠, 1.5CD =, 2.5BD =,求AC 的长分析:此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ∆,90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积题型三:实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树,一棵高8cm ,另一棵高2cm ,两树相距8cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了 m分析:根据题意建立数学模型,如图8AB =m ,2CD =m ,8BC =m ,过点D 作DE AB ⊥,垂足为E ,则6AE =m ,8DE =m题型四:应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ,b ,c ,判定ABC ∆是否为Rt ∆① 1.5a =,2b =, 2.5c = ②54a =,1b =,23c =21EDCBABACABCD E例7.三边长为a ,b ,c 满足10a b +=,18ab =,8c =的三角形是什么形状? 题型五:勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ∆中,13AB =cm ,10BC =cm ,BC 边上的中线12AD =cm ,求证:AB AC =证明:三、巩固提高: 选择题1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab<c 2 B 、2ab ≥c 2 C 、2ab>c 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数,且│x 2-4│+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5;③如果一个三角形的三边是12、25、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

北师大八年级上勾股定理题型总结(K12教育文档)

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《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。

公式的变形:a2 = c2— b2, b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度。

②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方。

③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角。

④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。

注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。

常见勾股数有:(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 )(7,24,25 )(8,15,17 )(9,12,15 )4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.2。

北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理》专题练习(含答案)

北师大版八年级(上)数学《探索勾股定理》专题练习(含答案)

1.1探索勾股定理专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN长是()A.3cm B.4cmC.5cm D.6cm2. 如图,EF是正方形两对边中点的连线段,将∠A沿DK折叠,使它的顶点A落在EF上的G点,求∠DKG的度数.3.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.(1)如图①,当AM=BN时,将△ACM沿CM折叠,点A落在弧EF的中点P 处,再将△BCN沿CN折叠,点B也恰好落在点P处,此时,PM=AM,PN=BN,△PMN的形状是_______________.线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________;(2)如图②,当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时,线段MN、AM、BN 之间的数量关系是_______________.试证明你的猜想;(3)当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时,线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________.(不要求证明)①②③专题二勾股定理的证明4.在教材中,我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系,利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性.问题1:以直角三角形的三边为边向外作等边三角形,探究S′+ S″与S的关系(如图1).问题2:以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形,探究S′+S″与S的关系(如图2).问题3:以直角三角形的三边为直径向外作半圆,探究S′+ S″与S的关系(如图3).5. 如图,是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图①中两直角边长分别为a和b,斜边长为c;图②中两直角边长为c.请你动脑,将它们拼成能够证明勾股定理的图形.(1)请你画出一种图形,并验证勾股定理.(2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的图形(无需证明).答案:1.A 【解析】设CN=x cm,则DN=(8-x)cm.由折叠的性质知EN=D N=(8-x)cm,而EC=12BC=4 cm,在Rt△ECN中,由勾股定理可知EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=16+x2,整理得16x=48,所以x=3.故选A.2.解:∵DF=12CD=12DG,∴∠DGF=30°.∵∠EKG+∠KGE=90°,∠KGE+∠DGF=90°,∴∠EKG=∠DG F=30°.∵2∠DKG+∠GK E=180°,∴∠DKG=75°.3.解:(1)根据折叠的性质知:△CAM≌△CPM,△CNB≌△CNP.∴AM=PM,∠A=∠CPM,PN=NB,∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°,PM=PN=AM=BN. 故△PMN是等腰直角三角形,AM2+B N2=MN2(或AM=BN=2MN).(2)AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠,得△DCM,连DM、DC、DN,则△ACM≌△DCM,∴CD=CA,DM=AM,∠A=∠MDC,∠DCM=∠ACM.∵∠ACM+∠BCN+∠MCN=∠ACM+∠BCN+45°=90°,∴∠ACM+∠BCN=45°. 又∵∠MCN=∠DCM+∠DCN=45°,∠DCM=∠ACM.∴∠DCN=∠BCN.∴CD=CA=CB,易证△DCN≌△BCN,∴DN=BN,∠CDN=∠CBN.而∠MDC=∠A=45°,∠CDN=∠B=45°,∴∠MDN=90°,∴DM2+DN2=MN2,故AM2+BN2=MN2.(3)AM2+BN2=MN2;解法同(2)[将△ACM沿CE折叠,A落在G点,连接GM、GC、GN。

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习1、勾股定理定义:直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。

如果用a ;b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边;那么a 2+b 2=c 2.ABCa b c弦股勾勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 2.勾股定理定义的应用:(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ∆中;90C ∠=︒;则22c a b =+;22b c a =-;22a c b =-)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系;求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例. 在Rt △ABC 中;∠C=90°(1)若a=5;b=12;则c=________; (2)b=8;c=17;则S △ABC =________。

3.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多;常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后;只要没有重叠;没有空隙;面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法;列出等式;推导出勾股定理常见方法如下:方法一:4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ;2214()2ab b a c ⨯+-=;化简可证方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=4.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2;那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ;b ;c 、为勾股数;那么cba HG FEDCBAbacbac cabcabka ;kb ;kc 同样也是勾股数组。

)常见勾股数:3;4;5; 6;8;10; 9;12;15; 5;12;137 24 25 ;8 15 17注:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法;它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状;在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边;不妨设最长边长为:c ;(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系;若c 2=a 2+b 2;则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 若c 2>a 2+b 2;则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形; 若c 2<a 2+b 2;则△ABC 为锐角三角形。

北师大版八年级数学上册《1.1 第2课时 验证勾股定理》课时作业(含答案)

北师大版八年级数学上册《1.1  第2课时 验证勾股定理》课时作业(含答案)

1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗?它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52.(1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢?(2)请你观察下列图形,直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72?2.下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形?为什么?②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少?③图中(1)(2)的面积之和是多少?④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?为什么? 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗?参考答案1.(1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形,如右图:AC =4,BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH -4S Rt △ABC=(3+4)2-4×21×3×4=72-24=25 即AB 2=25,又AC =4,BC =3,AC 2+BC 2=42+32=25∴AB 2=AC 2+BC 2(2)如图(图见题干中图)S 正方形ABED =S 正方形KLCJ -4S Rt △ABC =(4+7)2-4×21×4×7=121-56=65=42+722.①图乙、图丙中(1)(2)(3)都是正方形.易得(1)是以a 为边长的正方形,(2)是以b 为边长的正方形,(3)的四条边长都是c ,且每个角都是直角,所以(3)是以c 为边长的正方形.②图中(1)的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.③图中(1)(2)面积之和为a 2+b 2.④图中(1)(2)面积之和等于(3)的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形,它们面积相等,(1)(2)的面积之和与(3)的面积都等于(a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得:任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理.。

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初中数学试卷
一、古代趣题
1、12世纪印度著名数学家婆什迦罗给出了一个歌谣式的问题:波平如镜一湖面,3尺高处出红莲。

亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边。

离开原处6尺远,花贴湖面像睡莲。

请君动脑想一想,湖水在此深若干尺?
2、《九章算术》中的“折竹抵地”问题上:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺。

问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远。

问折断后的竹子有多高?
3、苍鹰与蛇的问题:树根下有一蛇洞,树高15米,树顶有一只苍鹰,它看见一条蛇迅速向洞口爬去,与洞口的距离还有三倍树高时,鹰向蛇直扑过去。

如果鹰、蛇的速度相等,鹰扑击蛇的路线是直线段,请说出,鹰向何处扑击才能恰好抓住蛇?
4、有一棵古树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从根处缠绕而上,缠绕5周到达树顶,请问这根藤条有多长?(注:古树可以看成圆柱体;树粗3尺指的是圆柱底面周长为3尺。

1丈=10尺)
二、最短距离问题
5、如图,有一个底面半径为6cm,高为24cm的圆柱,在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息,请问它需爬行的最短路程约是多少?(π取整数3)
6、有一个长宽高分别为2cm,1cm,3cm的长方体,如图,有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处,请你帮它设计爬行的最短路线,并说明理由。

7、一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得AB =3,BC =4,AC =5,CD =12,AD =13, 假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面
积吗?
8、若△ABC 的三边长为a 、b 、c ,根据下列条件判断△ABC 的形状。

(1)a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c
(2) a 3-a 2b +ab 2-ac 2+bc 2-b 3=0 B C
A D。

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