中考数学阅读理解(四)综合实践活动
2020年中考“综合与实践”专题命题分析
一、内容分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授.它是教师问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动.“综合与实践”是实现积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识等目标的重要和有效的载体.教师要适当的开发出适合本地学生开展的结合实际情境的数学活动，创设层层深入的问题，给学生更多思考和操作的空间，鼓励学生大胆设计活动方案，提倡学生之间进行更多的合作交流，在活动中激发学生进行深度学习，提升数学思维，发展学生的数学学科核心素养，凸显问题性，注重综合性，落实实践性.2020年全国各地区中考“综合与实践”试题从不同的知识与能力角度，体现了《标准》中对此部分内容的学习要求与理念，充分地体现了对《标准》提出的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数学分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识十个关键词的重视，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的有效过程.二、命题思路分析依据《标准》，“综合与实践”领域的考查主要关注问题、过程和综合三个层面.教师要创设出有利于提升学生数学思维的恰当问题.情境的设置可以从数学内部知识间的联系与综合、跨学科领域的整合、数学与现实生活的融合等方面去设计，让学生在思考和分析问题的活动过程中，充分利用已有的知识经验和生活经验来解决问题，进而积累丰富的数学活动经验.综观2020年全国各地区中考试卷，“综合与实践”内容的考查呈现形式为选择题、填空题和解答题，分值和题量基本保持稳定，且略有上升趋势.选择题和填空题的分值在4~6分之间；解答题和综合性问题的分值在10~18分之间.试题分值占全卷总分值的20%左右.在研究的109份2020年中考数学试卷中，发现“综合与实践”的相关试题背景丰富，有现实生活中几何图形的研究，有跨学科问题情境的设置，有数学操作问题的探究，呈现出数学问题生活化、热点化、操作化的特点，特别注重数学活动经验的积累和数学思想的渗透.以下将从数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面的数学学科核心素养出发，选取一些具有代表性的试题进行具体分析.2020年中考“综合与实践”专题命题分析祁慧渊收稿日期：2020-10-24作者简介：祁慧渊（1974—），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究.摘要：综合与实践是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的目标和内容要求，梳理2020年全国部分地区中考试卷中有关“综合与实践”内容的试题，从数学六大核心素养的角度对此类试题进行分析，总结“综合与实践”在这六方面体现出来的命题特点，并提供相关模拟试题.关键词：中考试题；综合与实践；命题分析；学科核心素养··411.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系；从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中.数学抽象是综合与实践的起点.数感有助于学生理解现实生活中数的意义，对运算结果的估计等方面的感悟；符号意识有助于理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，知道使用符号进行运算和推理得到一般性结论，这些都是数学抽象的载体.例1（湖南·娄底卷）如图1，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（）.14292632038435a18bx …图1（A ）135（B ）153（C ）170（D ）189例2（黑龙江·齐齐哈尔卷）如图2，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A 1()0，2变换到点A 2()6，0，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 2变换到点A 3()6，0，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A 3变换到点A 4()10，42，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A 5()10+122，0，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2020个等腰直角三角形的面积是.【评析】例1和例2从数感和符号意识方面突出对学生数学抽象素养的考查，在探究中体会过程性.例1的设计简洁，通过方格中数的摆放位置来寻找数之间的关系，进而转换为字母间的规律，关注对学生使用符号意识的考查和数感中数量关系的感悟.例2是对等腰直角三角形性质应用的考查，要求学生思考图形中的顶点在翻转变换中的关系，进而发现规律，突出考查学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.此类问题的设计既让学生在解题过程中体会图形顶点坐标的运动变化规律，又激发学生在思考过程中建立符号意识，进而要求教师在数学问题的创设上具有从知识立意转向关注数学学科核心素养立意的意识.2.逻辑推理《标准》中提出，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论.2020年中考“综合与实践”试题更注重通过与生活中的情境结合、跨学科整合来解决具体的实际问题.例3（湖南·娄底卷）如图3，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L 1=L cos α，阻力臂L 2=l cos β，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，杠杆向下运动时的动力变化情况是（）.图3（A ）越来越小（B ）不变（C ）越来越大（D ）无法确定例4（湖南·株洲卷）据《汉书·律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也.”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán ）其外，旁有庣（tiāo ）焉”.意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆.”··42问题：如图4，现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为.（结果用最简根式表示.）【评析】例3借助物理学中撬钉子的情境，利用杠杆原理进行数学的推理分析，动力×动力臂=阻力×阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值大于0，考查了利用锐角三角函数cos α的增减性来说明动力的变化.例4以古代的一种量器为背景命制，将圆与正方形组合，考查图形的推理与计算.此类试题意在让学生体会在不同的问题情境中运用直观的逻辑推理，并综合不同领域的跨学科知识，提升学生分析问题和解决问题的能力.例5（河南卷）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器.图5（1）是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等，DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长.使用方法如图5（2）所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，试补充完整，并写出“证明”过程.已知：如图5（2），点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB ⊥AC ，垂足为点B ，.求证：.（2）（1）图5【评析】例5以数学知识中“利用尺规作图三等分一个任意角”的问题为情境，将数学中的难题转变为一种简易操作工具——三分角器来解决问题.要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过∠MEN 的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把∠MEN 三等分了.在说明了所有的操作过程后，让学生自己填写已知和求证并完成证明过程，既考查了学生推理过程的严谨性、规范性、完整性，又关注了归纳与演绎的综合.此题注重把数学的学习看作是数学活动的学习，在探究过程中提出问题，综合应用所学的知识来分析和解决问题，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀数学活动经验，有效考查了综合与实践的基本要素.3.数学建模《标准》中指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.建立数学模型就是要培养学生在现实活动中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，进而建立模型得出结论，还要验证结果和改进模型，最终解决实际问题.综合与实践活动不仅提升了学生从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力，也培养了学生的应用意识和创新意识.数学建模是综合与实践的实施途径之一.例6（山东·青岛卷）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元.图6（1）表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD =4m ，宽AB =3m ，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m.（1）按如图6（1）所示的直角坐标系，抛物线可以用y =kx 2+m （k ≠0）表示.求该抛物线的函数表达式.（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房.如图6（2），在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元/m 2.已知GM =2m ，求每个B 型图4··43活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本=每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本.）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B 型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？（2）（1）图6例7（江苏·南京卷）如图7（1），要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A ，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图7（2），作出点A 关于l 的对称点A ′，线段A ′B 与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，证明AC +CB <AC′+C′B.试完成这个证明．（2）如果在A ，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.试分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图7（3）所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图7（4）所示．l（1）BAC A′C′l l图7（2）（3）（4）l【评析】例6考查学生在实际生活情境中体会变量之间的关系，根据题意建立函数模型来解决问题，考查了学生的数学应用意识.在这个综合实践活动中，学生进行了两次建模：第一次建模是把矩形窗户边框与墙抽象成数学图形，并建立关系，理解数学图形中的点的意义，建构二次函数模型；第二次建模是在第（2）小题中，求每月销售活动板房所获的最大利润，比对二次函数模型，找到顶点坐标，根据函数的增减性和不等式的范围确定最值.例7为模拟真实情境的综合实践活动，通过最短距离问题模型，再次提出生活情境问题，根据不同的方案设计，经过计算确定管道铺设方案，再现了数学探究活动的过程性、实践性和综合性.解决此类问题还是要引导学生多进行真实任务情境下的综合实践活动.4.直观想象直观想象主要是指利用图形进行描述和分析问题，感知事物的形态与变化，理解和解决数学问题.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，借助空间形式认识事物的位置关系与形态变化及运动规律，构建数学问题的直观模型分析问题，把复杂的数学问题简单化、形象化，进而探索解决问题的思路.综合与实践重在实践和综合，教师要设置贴近学生的生活情境，充分发挥学生的直观想象、展现学生的思考过程，合作交流收获体会，激发学生创造潜能.例8（湖北·荆州卷）“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步.已知此步道外形近似于如图8所示的Rt△ABC ，其中∠C =90°，AB 与BC 间另有步道DE 相连，D 地在AB 正中位置，E 地与C 地相距1km.若tan∠ABC =34，∠DEB =45°，小张某天沿A →C →E →B →D →A 路线跑一圈，则他跑了.ADBEC图8例9（山西卷）阅读与思考：下面是小宇同学的··44数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图9所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？AB CD E30cm 50cm 40cm 图9BS Q N R MCA图10办法一：如图9，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出CD =30cm ，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则∠DCE 必为90°.办法二：如图10，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R.然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS =MN ，得到点S ，作直线SC ，则∠RCS =90°.我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是.（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS =90°.（3）①尺规作图：试在图11的木板上，过点C 作出AB 的垂线.（在木板上保留作图痕迹，不写作法.）图11②说明你的作法依据的数学定理或基本事实.（写出一个即可.）【评析】例8通过直观化表达健身运动路径，考查三角函数的概念，根据模型解释实际意义，需要学生运用几何直观促进理解.例9为真实情境的“综合与实践”活动，该活动利用不同方案解决在没有直角尺的情况下作直角的问题，先以阅读材料的方式给出两种具体的操作方法，然后让学生在理解此操作过程的同时写出数学依据，进而思考是否还有其他作出垂线的方法.例9让学生根据图形的特点，借助几何直观观察图形、分析问题、发现解题途径，有效开展综合实践活动，进一步培养学生解决问题的创新意识.5.数学运算《标准》中指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.数学运算在综合实践活动中的应用最常见、最广泛，有助于学生理解运算对象、掌握运算法则、形成程序化思维.例10（四川·自贡卷）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式||x -2的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为||x +1=||x -()-1，所以||x +1的几何意义就是数轴上x 所对应的点与-1所对应的点之间的距离.（1）发现问题：代数式||x +1+||x -2的最小值是多少？（2）探究问题：如图12，点A ，B ，P 分别表示数-1，2，x ，AB =3.图12因为||x +1+||x -2的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和，所以当点P 在线段AB 上时，PA +PB =3，当点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时，PA +PB >3.所以||x +1+||x -2的最小值是3.（3）解决问题：①||x -4+||x +2的最小值是；②如图13，利用上述思想方法解不等式||x +3+||x -1>4；图13③当a 为何值时，代数式||x +a +||x -3的最小值是2.【评析】例10以学生非常熟悉的两点之间的距离为情境，让学生去发现问题、分析问题、探究问题、解决问题，这是非常好的综合与实践的学习方式.这些问题要求学生在已经具备一定的数式运算能力的基··45础上，依据法则正确运算，体会运算的算理，转化为熟悉的运算方式，也考查了学生对数学运算法则使用的迁移能力，进一步体现了在学习过程中数学运算素养的重要性，为教学指明方向.6.数据分析数据分析是统计的核心.“综合与实践”在此方面的考查具体表现在数据的收集和整理，对数据信息的理解和处理，提取信息和解释结论.综观2020年中考试题，数据分析类综合试题呈现出情境生活化、热点化的特点，更加重视对统计量意义的理解和利用数据分析结果并进行方案的决策评估和预测.例11（山东·临沂卷）2020年是脱贫攻坚年.为实现全员脱贫目标，某村贫困户在当地政府支持帮助下，办起了养鸡场.经过一段时间精心饲养，总量为3000只的一批鸡可以出售.现从中随机抽取50只，得到它们质量的统计数据如表1和图14所示.质量/kg0.9≤x<1.11.1≤x<1.3 1.3≤x<1.5 1.5≤x<1.7 1.7≤x<1.9组中值1.01.21.41.61.8频数/只69a158表1/kg图14根据以上信息，解答下列问题.（1）表中a的值为，补全频数分布直方图；（2）这批鸡中质量不小于1.7kg的数量大约有多少？（3）这些贫困户的总收入达到54000元，就能实现全员脱贫目标.按15元/kg的价格售出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？【评析】数据分析素养主要体现在“统计与概率”中，其与实际生活联系紧密，能更好地体现综合与实践的考查意图.例11从学生熟悉的生活背景及社会关注的热点问题等方面进行数据分析和处理.对现实生活中的问题先做调查研究、收集数据，通过统计图或表格进行数据分析，做出判断.此类试题突出对抽样调查中分析数据的方法和解决问题能力方面的考查，更加注重对学生获取信息能力和分析决策能力的考查，真正体现出统计的作用.三、复习建议通过对2020年中考试卷中“综合与实践”部分试题的分析，发现这些试题充分体现了《标准》对此部分内容的引领作用.在教学过程中，教师要特别注意问题情境的设计、活动过程的探究和解决问题方法的综合，强化综合与实践活动中知识的整合、延伸与拓展，加强对学生思维能力、运算能力、探究能力和创新能力的培养.在复习教学中，教师要对以下几个方面予以关注：一是创设更贴近生活现实、数学现实和其他学科现实的情境，增强学生的应用意识；二是加强初中数学各部分内容之间的相互联系，体现数学学习的整体性与综合性；三是让学生在探究活动过程中感悟知识的生成和运用，提升解决问题的能力，增强创新意识的培养.针对以上情况，对2021年中考复习提出以下几点建议.1.夯实基础，提升能力在日常教学中，若学生的基础知识不过关，会体现在概念辨析不到位，基本运算算理不清楚，以及解题方法不适当等方面.因此，在教学中，教师一定要回归教材、落实基础，强化对基础知识和基本技能的训练，多研究典型题和易错题，多对比、多变式，引导学生自主建构知识体系，将基础知识的掌握落到实处.一是要让学生对所学的概念、公式、定理进行深度剖析与解读；二是让学生经历知识的生成与生长过程，对问题的解决方法进行归纳梳理；三是通过课堂··46内外综合与实践活动的开展，强化学生的“四基”及知识的融会贯通.2020年全国各地区中考“综合与实践”类试题中都创设了现实生活或跨学科的情境，解题时需要学生具备丰富的知识与问题间的链接能力，这就要求教师在教学中要注重揭示知识发生、发展的过程，使学生的思维得到高密度的训练，能力得到高层次的发展. 2.经历过程，提升思维如果把数学问题的解决看成是“目”，那么数学思维就是“纲”，纲举目张.在教学中，教师要重视引导学生理解知识的形成过程，在活动中让学生通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，经历自主学习、合作交流、探索研究的过程，创设一些能引发学生深度思考的过程性问题，并运用研究方法进行解题思路的迁移，开阔学生的思维视野，拓宽学生的观察角度，促使其自觉养成良好的数学思维品质.教师也可以通过编拟一些贴近生活实际的数学应用问题，让学生在学习中经历更多真实情境问题的探究过程，在活动中不断进行思维碰撞，体会问题解决方法的多样性，从而引导学生充分体会数学与人类社会的密切联系，加强对数学的理解，用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，进而形成学数学、用数学的意识和能力，切实提高学生的思维品质.3.加强阅读，提升素养“综合与实践”类试题中经常会呈现一些阅读材料，提供一些解决问题的知识或方法，需要学生在阅读的过程中获取信息和理解信息，还要应用所学到的思想或方法解答提出的新问题.因此，建议教师在日常教学中补充一些与教材内容相关的阅读材料，通过对教材的例、习题进行整合，挖掘一些综合与实践学习的素材，设计一些相关的综合与实践活动，并要求学生经历活动后尝试写出实践报告和活动反思，让学生经历数学问题设计与解决的探究过程，发现不同解决问题的途径，积累丰富的数学活动经验，进而提升学生的综合解题能力.通过让学生在综合与实践活动中将自主、合作、探究的学习方式融入数学学科核心素养的形成过程，把学生的学习兴趣作为发展数学学科核心素养的推动力，以激发教学创新.我们欣喜地看到，越来越多的教师在“综合与实践”领域的日常教学中进行更深层次的思考与创新，以提升学生的数学学科核心素养为培养目标，真正回归教育本源，实现对人的培养.四、模拟题欣赏1.定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b= ab+a+b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如，2⊕3=2×3+2+3=11.若y关于x的函数y=（kx+1）⊕（x-1）图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.参考答案：0或-1.2.图15（1）为一张宽为6cm的平行四边形纸带ABCD，AB=10cm，小明用这张纸带对底面周长为10cm直三棱柱纸盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分）.小明通过操作后发现此类包贴问题可将直三棱柱的侧面展开进行分析.（1）如图15（2），若纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则纸带AD的长度为；（2）如图15（3），若AD=100cm，纸带在侧面缠绕多圈，正好将这个直三棱柱纸盒的侧面全部包贴满.则这个直三棱柱纸盒的高度是.A DB C（1）CDCA（B）（2）A BD C（3）图15参考答案：（1）25cm；（2）60cm.3.某市景区内有一座历史名人塑像，“综合与实践”小组的学生开展了测量这一塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如表2所示.··47。
2012年中考数学试题分类解析--实践与综合应用
Ａ地 产品件数， 件
运费， 元 ３
理 解、猜想和 归纳能力． 通过题 目给定的数的组成，观察 猜想其
中蕴含 的规律 ，一般思路是 先写 出数 式的基本 结构 ，然后横 比 或 者纵 比，找 出各个部 分 的特征 ，改写成相应 的格武 其 中第
Ｎ ０ １ — ２ ２ ０ １ ３
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
２ ０ １ ３年
第 １ — ２期
摘 要 ：“ 实践 与 综 合 应 用 ” 是 指 数 学 与 外部 世 界 的联 系 、数 的生活经 验和 已有 的知识背 景出发 ，向他们提供充 实 的从 事数
《 全日 制义务教育数学课程标 准 （ 实验稿） 》（ 以下简称 《 标
学习数 学的最终 目的是帮 助我们更好 地解决生 活 中遇 到的 坤 ）设立 了 “ 实践 与综合 应用 ”的领 域． “ 实践 与综合应 用” 实际问题．随着课 改的不断深入 ，数学 中的实践应 用问题 ，是近 是 一类 以问题 为载体 ，学生主动参 与的学习活动 ，是 帮助学 生 它有别于传统的 、单一 的求解计 算问 积 累数学活动经验 的重要途径．它包含 ３方面的含 义 ：一是数学 年来中考的一个 热门考点 ． 各领域 内知识的综合 ． 如 ，代数综 合问题 ，或是几何综合 问题 ， 题 ，赋 予数 学问题 以实 际的意 义．如 ，节能减 排中的水 费 、电费 或是概率应用 的综合应用 问题等等．二是数学各领域 间知识 的综 问题 ，保护环境 、美化环境 为主题 的新农村建设问题等等． 使数
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关键 词 ：实践与综 合应 用；数学 生活化 ；数 形结合 ；试题 解析 ；命题 趋势
2024年安徽亳州中考数学试题及答案
2024年安徽亳州中考数学试题及答案注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1. ﹣5的绝对值是（ ）A. 5B. ﹣5C. 15- D. 152. 据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）A. 70.94410⨯B. 69.4410⨯C. 79.4410⨯D. 694.410⨯3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B.C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. 356a a a +=B. 632a a a ÷=C. ()22a a -=a=5. 若扇形AOB 的半径为6，120AOB ∠=︒，则 AB 的长为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 6π6. 已知反比例函数()0ky k x =≠与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A. 3-B. 1-C. 1D. 37. 如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（ ）C. 2-D. 8. 已知实数a ，b 满足10a b -+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A 102a -<< B. 112b <<C. 2241a b -<+< D. 1420a b -<+<9. 在凸五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE =，F 是CD 中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（ ）A. ABC AED∠=∠ B. BAF EAF ∠=∠C. BCF EDF ∠=∠ D. ABD AEC∠=∠10. 如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是_____．的.的12.，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大______227（填“>”或“<”）．13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是______．14. 如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边,AB BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B '，C '处，然后还原．（1）若点N 在边CD 上，且BEF ∠=，则C NM '∠=______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边,CD AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点D ¢处，然后还原．若点D ¢在线段B C ''上，且四边形EFGH 是正方形，4AE =，8EB =，MN 与GH 的交点为P ，则PH 的长为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解方程：223x x -=16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为()7,8，()2,8，()10,4，()5,4．（1）以点D 旋转中心，将ABC 旋转180︒得到111A B C △，画出111A B C △；（2）直接写出以B ，1C ，1B ，C为顶点的四边形的面积；为（3）在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分BAC ∠，写出点E 的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A B ，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B 39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A B ，这两种农作物的种植面积各多少公顷？18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-表示结果LL 一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（ ）2-（ ）2；（ⅱ）4n =______；（2）兴趣小组还猜测：像261014 ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②横线上填写所缺内容．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒≈）．20. 如图，O 是ABC 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD ∠的平分线交AB 于点E ，交O 于另一点F ，FA FE =．的（1）求证：CD AB ⊥；（2）设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．六、（本题满分12分）21. 综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别A B C D Ex 3.5 4.5x ≤< 4.5 5.5x ≤< 5.5 6.5x ≤< 6.57.5x ≤<7.58.5x ≤≤整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C 组；②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．七、（本题满分12分）22. 如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．（1）求证：OE OF =；（2）连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求ACBD 的值．八、（本题满分14分）23. 已知抛物线2y x bx =-+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1．（1）求b 的值；（2）点()11,A x y 在抛物线22y x x =-+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ≥，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =-，求h 的最大值．数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）【11题答案】x【答案】4【12题答案】【答案】>【13题答案】【答案】16【14题答案】【答案】 ①. 90α︒-##90α-+︒ ②. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【15题答案】【答案】13x =，21x =-【16题答案】【答案】（1）见详解 （2）40（3）()6,6E (答案不唯一)四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【17题答案】【答案】A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．【18题答案】【答案】（1）（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +--； （2）()224k m k m -+-五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）【19题答案】【答案】43【20题答案】【答案】（1）见详解 （2）六、（本题满分12分）【21题答案】【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析七、（本题满分12分）【22题答案】【答案】（1）见详解（2）（ⅰ）见详解，八、（本题满分14分）【23题答案】【答案】（1）4b（2）（ⅰ）3；（ⅱ）10 3。
2024年成都市中考数学真题试卷及答案
成都市2024中考数学卷A 卷(共100分)第1卷(选择题,共32分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分)1.-5的绝对值是( )A.5B.-5C.15D.-152.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成,它的主视图是( )A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( )A.()2233x x =B.336x y xy +=C.222()x y x y +=+D.()()2224x x x +-=- 4.在平面直角坐标系xOy 中,点(1,4)P -关于原点对称的点的坐标是( )A.()1,4--B.()1,4- C ()1,4 D.()1,4- 5.某镇组织开展“村BA ”、村超、村晚等群众文化赛事活动,其中参赛的六个村得分分别为:55,64,51,50,61,55,则这组数据的中位数是( )A.53B.55C.58D.646.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,则下列结论一定正确的是( )A.AB AD =B.AC BD ⊥C.AC BD =D.ACB ACD ∠=∠ 7.中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数,琎价各几何？其大意是:今有人合伙买琎石,每人出12钱,会多出4钱;每人出13钱,又差了3钱.问人数,琎价各是多少？设人数为x ,琎价为y ,则可列方程组为( ) A.14,2133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ B.14,2133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ C.14,2133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ D.14,2133y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 8.如图,在▱ABCD 中,按以下步骤作图:(①以点B 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交,BA BC 于点,M N ,②分别以M ,N 为圆心,以大于12MN 的长为半径作弧,两弧在ABC ∠内交于点O ;③作射线BO ,交AD 于点E ,交CD 延长线于点F .若3,2CD DE ==,下列结论错误的是( )A.ABE CBE ∠=∠B.5BC =C.DE DF =D.53BE EF =第II 卷(非选择题,共68分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)9.若m ,n 为实数,且()240m +=,则()2m n +的值为________.10.分式方程132x x=-的解是________. 11.如图,在扇形AOB 中,6,120,OA AOB ︒=∠=则AB 的长为______.12.盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是38,则x y 的值为___________. 13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知(3,0)A ,(0,2)B ,过点B 作y 轴的垂线l ,P 为直线l 上一动点,连接,PO PA ,则PO PA +的最小值为________.三、解答题(本大题共5个小题,共48分)14.(本小题满分12分,每题6分)(1)计算:()02sin602024 2.π︒--+(2)解不等式组231,11.23xx x+≥-⎧⎪-⎨-<⎪⎩15.(本小题满分8分)2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题,秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念,以园艺为媒介,向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景.在主会场有多条游园线路,某单位准备组织全体员工前往参观,每位员工从其中四条线路(国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线)中选择一条.现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查,并根据调查结果绘制成如下统计图表.根据图表信息,解答下列问题:(1)本次调查的员工共有_____人,表中的x值为______.(2)在扇形统计图中,求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数.(3)若该单位共有2200人,请你根据调查结果,估计选择“园艺小清新线”的员工人数.16.(本小题满分8分)中国古代运用“土圭之法”判别四季,夏至时日影最短,冬至时日影最长,春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索,如图,在示意图中,产生日影的杆子AB 垂直于地面,AB 长8尺.在夏至时,杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为;BC 在冬至时,杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为BD .已知73.4ACB ︒∠=,26.6ADB ︒∠=,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺;参考数据:sin 26.60.45︒≈,cos 26.60.89︒≈,tan 26.60.50︒≈,sin 73.40.96︒≈cos73.40.29︒≈,tan 73.4 3.35)︒≈17.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC ∆中,90C ︒∠=,D 为斜边AB 上一点,以BD 为直径作O ,交AC 于,E F 两点,连接,,BE BF DF .(1)BC DF BF CE ⋅=⋅(2)若,A CBF ∠=∠tan BFC AF ∠==,求CF 的长和O 的直径.18.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y x m =-+与直线2y x =相交于点(2,)A a ,与x 轴交于点,0()B b ,点C 在反比例函数0()k y k x=<图象上. (1)求,,a b m 的值(2)若,,,O A B C 为顶点的四边形为平行四边形,求点C 的坐标和k 的值(3)过A ,C 两点的直线与x 轴负半轴交于点D ,点E 与点D 关于y 轴对称.若有且只有一点C 使得ABD ∆与ABE ∆相似,求k 的值.B 卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)19.如图,ABC CDE ∆≅∆,若35,45D ACB ︒︒∠=∠=,则DCE ∠的度数为________.20.若m ,n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根,则()22m n +-的值为________.21.在综合实践活动中,数学兴趣小组对1n ~这n 个自然数中,任取两数之和大于n 的取法种数k 进行了探究.发现:当2n =时,只有{1,2}一种取法,即1k =;当3n =时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即2k =为;当4n =时,可得4k =;若6n =时,则k 的值为______.若24n =时,则k 的值为______.22,如图,在Rt ABC 中,90,C AD ︒∠=是ABC ∆的一条角平分线,E 为AD 中点,连接BE .若,2BE BC CD ==,则BD =______.23.在平面直角坐标系xoy 中,112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 是二次函数241y x x =-+-图象上三点.若1201,4x x <<>,则1y ________2y (填“>”或“<”);若对于11m x m <<+, 2312,23m x m m x m +<<++<<+,存在132y y y <<,则m 的取值范围是__________.二、解答题(本大题共3个小题,共30分)24.(本小题满分8分)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17500元从农户处购进A,B 两种水果共1500kg 进行销售,其中A 种水果收购单价10元/kg,B 种水果收购单价15元/kg.(1)求,A B 两种水果各购进多少千克.(2)已知A 水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A 种水果至少要获得20%的利润,不计其他费用,求A 种水果的最低销售单价.25.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:230L y ax ax a a =-->与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),其顶点为C ,D 是抛物线第四象限上一点.(1)求线段AB 的长(2)当1a =时,若ACD ∆的面积与ABD ∆的面积相等,求tan ABD ∠的值:(3)延长CD =交x =轴于点E =,当AD DE =时,将ADB ∆沿DE 方向平移得到A EB ''∆.将抛物线L 平移得到抛物线L ',使得点A ',B '都落在抛物线L '上.试判断抛物线L '与L 是否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.26.(本小题满分12分)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC 和ADE 中,3AB AD ==,4BC DE ==,90ABC ADE ︒∠=∠=.[初步感知](1)如图1,连接,BD CE ,在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,试探究BD CE的值. [深入探究](2)如图2,在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,当点D 恰好落在ABC ∆的中线BM 的延长线上时,延长ED 交AC 于点F ,求CF 的长.[拓展延伸](3)在纸片ADE 绕点A 旋转过程中,试探究,,C D E 三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE 的面积;若不能,请说明理由.数学参考答案A 卷(共100分)第I 卷(选择题,共32分)一、选择题第II 卷(非选择题,共68分)二、填空题9.1 10.3x = 11.4π 12.35 13.5. 三、解答题14.(1)5;(2)29.x -≤<15.(1)160,40;(2)99o ;(3)385.16.春分和秋分时日影长度约为9.2尺.17.(1)略(2)CF =;O 的直径为18.(1)4a =,6m =,6b =(2)点C 的坐标为(4,4)-或(4,4),16;k -=-(3)1k =-.B卷(共50分)一、填空题19.100︒20.721.9;14423.1;12m>-<<.二、解答题24.(1)A种水果购进1000千克,B种水果购进500千克(2)A种水果的最低销售单价为12.5元/kg25.(1)4:AB=(2)10 tan3ABD∠=(3)抛物线L'与L=交于定点(3,0).26.(1)BDCE的值为35(2)7039 CF=(3)直角三角形CDE的面积分别为48 4,16,12,13.。
类比思想——解中考数学中的综合实践题
教学设计教学背景：中考数学中的综合实践题考查形式多样，综合性较强，入手简单，但要得满分较难，一般都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想。
此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视。
教学目标：1、熟练应用全等三角形的性质与判定；正方形的性质；旋转的性质解题2、学会用类比思想解中考数学中的综合实践题教学方法：视频教学、例题讲解教学过程：一、展示例题通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．1）思路梳理：∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使 AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据______，易证△AFG≌______，得EF=BE+DF．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边 BC 上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．二、思路梳理三、类比引申：四、联想拓展：五、教学总结：本题综合考察了全等三角形、正方形、旋转的相关知识，综合性强，学生会感到难度较大。
解题时若是在熟练掌握基本知识的前提下，能抓住关键信息入手，并巧妙结合类比思想进一步突破会起到事半功倍的效果。
类比思想在初中数学中占有非常重要的地位，是解中考数学中的综合实践题时应用较为普遍的一种数学思想。
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。
2024年中考数学复习：综合与实践专项练习
综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。
中考数学题型解法：综合与实践专题
中考数学题型解法：综合与实践专题综合与实践近几年在中考题中出现频率越来越高，新课标修订稿中将“双基”变成“四基”，“四基”中就有“基本的活动经验”；由此可见对学生综合与实践能力的培养已经放到非常重要的位置，个人认为在今后的中考试题中会逐步的加大综合与实践的题型，在这样的大背景下本人编写了这课时二轮复习材料，希望能够对大家有一定的启发.第一部分讲解部分一．专题诠释“综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径，其具体目标是：⑴通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联；⑵初步获得发现问题和提出问题的经验；⑶结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展相应的能力．“综合与实践”试题一般由问题情景、操作发现、提出问题、问题解决和应用拓展等部分构成，可以从不同角度综合考查学生基本活动技能和活动经验，以及学生在活动中形成数学思想和数学方法的能力、探究能力、创新能力和运用能力．二．解题策略和解法精讲“综合与实践”试题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过类比和引申，合理进行思想方法的迁移．三．考点精讲考点1．探索应用型例1． (1)计算:如图①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，A的长(用含a的代数式表示).求O1⑵探索:若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和(用含n 、a 的代数式表示).⑶应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用⑵中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(3≈1.73)【分析】(1)三个两两外切的圆的圆心构成一个边长为圆的直径的正三角形，因此可由勾股定理求解；（2）按如图10②所示的方案一的方式排放，n 层圆圈的高度n h 就是n 个圆的直径，按如图10③所示的方案二的方式排放，n 层圆圈的高度可由（1）证得来；（3）方案一：即按图10②的方式排放钢管，放置根数为每层排放31根，可放31层，则共放31×31＝941根钢管，而方案二：即：按图10③的方式排放钢管，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得)10.10.1 3.1n -⨯+≤解得35.68n ≤ 得可放35层，则共放31×18+30×17=1068根钢管．由此可得方案二装运钢管最多．【解】(1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切，∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a ，又∵O 2A =O 3A ，∴O 1A ⊥O 2O 3，∴O 1A 2=2a ．⑵n h =n a ，=()a a n +-123， ⑶方案二：装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多. 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n ,)10.10.1 3.1n -⨯+≤，解得35.68n ≤， ∵n 为正整数∴n =35，钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068(根)．【评注】 图①是图②和图③的“单元”，(1)的计算问题是后继问题的原型； (2)中的方案一很容易找到一般的规律，方案二需要将问题(1)中找到的等边三角形的模型迁移过来，通过对/1h ，/2h ，/3h ，/4h 进行计算，得到一个猜想“圆圈的高度就是能形成的最大的等边三角形的高加上一个圆圈的直径”；然后再选择n大于4的情况验证我们结论的正确性，例如n=5，我们在右侧再添加一列对圆圈的高度不产生任何影响，(不妨问自己三个问题：①如何构造直角三角形?②直角三角形的斜边与n有着怎样的联系?③等边三角形的高与圆圈的高度有着怎样的联系?)；本题的探究过程真正体现“特殊→一般→特殊”的认知规律．问题(3)是在问题(2)基础上的进一步引申，既是对上述认识的运用，又是对问题的深入探索．考点2. 拓广应用型例2．问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着____个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y-⨯+ =，整理得：238x y+=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12xy=⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．O验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：验证3：结论3：【分析】要使正多边形形成平面镶嵌，需满足的条件是在一个顶点周围围绕着的正多边形的内角恰好能拼成一个周角。
中考数学试题分类解析(四)——实践与综合应用
一
、
试 题 亮 点 介 绍及 典 型 试题 分 析
与近 几年各地 的中考试 卷相 比，各Байду номын сангаас地中考数学试卷 中实践
合应用问题等 ；二是 数学各领域之 问知识 的综合 ，这种类 型问 与综 合应用这一模块 的考查总体上保 持平稳发展 的态势 ，但稳
２１ ０ １年 第 １ ２期 －
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Ｊ ｕ ａ ｆ Ｃ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉｓ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ ｏ ｒ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔｅ ｔ ｕ ａｉ ｎ ｃ ｏ
Ｎ ．— ２ １ Ｏ１２ ０ １
摘 要 ：“ 实践 与 综 合 应 用 ” 设 立 于数 学 ３大 领 域 基 础 之 上 ， 视 ，特别是与现实生活紧密相关 的问题备 受青 睐．“ 实践与综合
些简单 的现实问题 的能力 ，同时也能让学 生感受数学在生活
供 了时问与空间 ，使学生 的数 学发现与探 索活动得 以真正开 展 中的价值 ，应用数学改善生产生活是数学学习的出发点和归宿．
起来． 数学综合与实践活动课程 的实施与研究是进一步推进课 程
学 生学 习数 学的兴趣和 主动性 ，增强 了学 生的问题意识 和探 究
生产开始后 ，调研部 能 力 与 创 新 精 神 考 查 的 问题 渐 渐 多 起 来 ，越 来 越 受 到人 们 的 重 训后 上岗，也能独立进行 电动汽车的安装．
收稿 日期 ：２ １ — １２ ０ ０ １－ ３ 作者简介 ：叶茂恒 （９ ５ ） １７ 一 ，男 ，浙江温州人 ，中学高级教 师，温 州市教坛新 秀，主要从事数学课 堂教 学与初 中数学命题研 究．
门发现 ：１名熟练 工和 ２名新 工人 每月 可安装 ８辆 电动 汽 车 ； 数 量 ． ２ 名熟练工和 ３名新工人 每月可安装 １ 电动汽车． ４辆
2024年四川省德阳市中考数学试题+答案详解
2024年四川省德阳市中考数学试题+答案详解（试题部分）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回．2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）1. 下列四个数中，比-2小的数是（ ） A. 0B.-1C. 12−D. -32. 下列计算正确的是（ ） A. 236a a a ⋅= B. ()a b a b −−=−+ C. ()211a a a +=+D. 222()a b a b +=+3. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB CD ，,70DE BC ABC ⊥∠=︒，则EDC∠等于（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒4. 正比例函数()0y kx k =≠的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A. 12B.12− C. 1− D. 13−5. 分式方程153x x=+的解是（）A. 3B. 2C. 32D.346. 为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差7. 走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A. 吉如意B. 意吉如C. 吉意如D. 意如吉8. 已知，正六边形ABCDEF的面积为）A. 1B.C. 2D. 49. ,2,n，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A. B. C. D.10. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒，在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒．（AB CD 、在同一平面内，B D 、在同一水平面上），则建筑物CD 的高为（ ）米A. 20B. 15C. 12D. 10+11. 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形．()AB BC <，点P 是边AD 上一点，则满足PB PC ⊥的点P 的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 012. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm ）的正方形纸片ABCD ，他在边AB 和AD 上分别取点E 和点M ，使,1AE BE AM ==，又在线段MD 上任取一点N （点N 可与端点重合），再将EAN 沿NE 所在直线折叠得到1EA N △，随后连接1DA ．小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点N 在线段MD 上运动时，点1A 在以E 为圆心的圆弧上运动； ②当1DA 达到最大值时，1A 到直线AD 的距离达到最大；③1DA 的最小值为2；④1DA 达到最小值时，5MN =． 你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）13. __________．14. 若一个多项式加上234y xy +−，结果是2325xy y +−，则这个多项式为______．15. 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为______分．16. 如图，四边形ABCD 是矩形，ADG △是正三角形，点F 是GD 的中点，点P 是矩形ABCD 内一点，且PBC 是以BC 为底的等腰三角形，则PCD 的面积与FCD 的面积的比值是______．17. 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a 、b ，你认为a 可以是______（填上一个数字即可）．18. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是______（请填写序号）．三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19. （1212cos602−⎛⎫−︒ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：2351124xx x−+≤−⎧⎪⎨−<+⎪⎩①②20. 2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竟速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：市民最关注的比赛项目人数统计表（1）直接写出a、b的值和D所在扇形圆心角的度数；（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 21. 如图，一次函数22y x =−+与反比例函数(0)ky x x=<的图象交于点()1,A m −．（1）求m 的值和反比例函数ky x=的解析式； （2）将直线22y x =−+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)ky x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集． 22. 如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 为BC 的中点，连接AF 与BD 相交于点E ，连接CE 并延长交AB 于点G ．（1）证明：BEF BCO ∽； （2）证明：BEG AEG △≌△．23. 罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A 、B 两种组合方式，其中A 组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B 组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A 、B 两种组合的进价和售价如下表：（1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？（2）根据市场需求，超市准备的B 种组合数量是A 种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A 种组合？最大利润为多少？24. 如图，抛物线2y x x c =−+与x 轴交于点()1,0A −和点B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当02x <≤时，求2y x x c =−+的函数值的取值范围； （3）将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求5PA PM +的最小值． 25. 已知O 的半径为5，B C 、是O 上两定点，点A 是O 上一动点，且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．（1）证明：点D 为BC 上一定点；（2）过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ． ①判断DF 与O 的位置关系，并说明理由；②若ABC 为锐角三角形，求DF 的取值范围．2024年四川省德阳市中考数学试题+答案详解（答案详解）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回．2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．）1. 下列四个数中，比-2小的数是（ ） A. 0 B.-1C. 12−D. -3【答案】D 【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 正数>0>负数，11232−<−<−<−， ∴ 132102−<−<−<−< ∴32−<−，∴比2−小的是3−． 故选：D ．2. 下列计算正确的是（ ） A. 236a a a ⋅= B. ()a b a b −−=−+ C. ()211a a a +=+D. 222()a b a b +=+【答案】B 【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，原选项计算错误； B 、()a b a b −−=−+，原选项计算正确； C 、()21a a a a +=+，原选项计算错误；D 、()2222a b a ab b +=++，原选项计算错误； 故选B ．3. 如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB CD ，,70DE BC ABC ⊥∠=︒，则EDC∠等于（ ）A. 10︒B. 20︒C. 30︒D. 40︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出70BCD ABC ∠=∠=︒，再根据垂直与三角形的内角和即可求出EDC ∠．【详解】解：∵ABCD ，70ABC ∠=︒，∴70BCD ABC ∠=∠=︒， ∵DE BC ⊥， ∴90CED ∠=︒，∴907020EDC ∠=−=︒︒︒ 故选：B ．4. 正比例函数()0y kx k =≠的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）A.12B. 12−C. 1−D. 13−【答案】A 【解析】【分析】本题考查了正比例函数的性质：当0k >，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大；当0k <，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小．利用正比例函数的性质得到0k >，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴0k >，∴选项A 符合题意． 故选：A ． 5. 分式方程153x x =+的解是（ ） A. 3 B. 2C.32D.34【答案】D 【解析】【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键． 【详解】解：153x x =+， 去分母，得35x x +=， 解得34x =， 当34x =时，()30x x +≠， ∴34x =是原方程的解．故选D6. 为了推进“阳光体育”，学校积极开展球类运动，在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，七年级某班统计全班50名学生投中的次数，并记录如下：表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中次数的统计量中可以确定的是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】C【解析】【分析】本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，解题的关键是理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征．先求被遮住投篮成绩的人数，然后根据众数的定义求出众数，而中位数，平均数和方差与所有的数据有关，据此可得答案．【详解】解：∵一共有50名同学，−−−−=名，∴被遮住投篮成绩的人数为5011017616∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，∴这50名学生的投篮成绩的众数为3，出现17次，大于16，与被遮盖的数据无关，∵中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，∴把这50名学生的成绩从小到大排列，第25名和第26名的投篮成绩不能确定，与被遮盖的数据有关，而平均数和方差都与被遮住的数据有关，故选C．7. 走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（）A. 吉如意B. 意吉如C. 吉意如D. 意如吉【答案】A【解析】【分析】本题考查的是简单几何体的展开图，利用四棱锥的展开图的特点可得答案．【详解】解：由题意可得：展开图是四棱锥，∴A 、B 、C 处依次写上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；故选A8. 已知，正六边形ABCDEF 的面积为 ）A. 1B.C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可．【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为120︒，故正六边形是由6个正三角形构成的，过O 点作OM AB ⊥垂足是M ，设正六边形的边长为a ，即OA AB a ==在正三角形OAB 中，∵OM AB ⊥， ∴2a AM BM ==，在Rt AMO △中，OM ===一个正三角形的面积为：1122AB OM a ⋅⋅=⨯=正六边形的面积为：22642⨯=，∴22=， 解得：2a =，故选：C ．9. ,2,n ，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有123456728++++++=个数，则第八行左起第1=故选：C ．10. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD 的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB ，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒，在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒．（AB CD 、在同一平面内，B D 、在同一水平面上），则建筑物CD 的高为（ ）米A. 20B. 15C. 12D. 10+【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，如图，过A 作AE CD ⊥于E ，则四边形ABDE 为矩形，设CE x =，而30CAE ∠=︒，可得tan 30CE AE BD ===︒，10CD x =+，结合tan 60CD BD ︒=== 【详解】解：如图，过A 作AE CD ⊥于E ，依题意，AB BD CD BD ⊥⊥，∴四边形ABDE 为矩形，∴10==AB DE ，AE BD =，设CE x =，而30CAE ∠=︒，∴tan 30CE AE BD ===︒， ∵10CD x =+，∴tan 60CD BD ︒=== 解得：5x =，经检验5x =是原方程的解，且符合题意；∴()1015m CD x =+=，故选B11. 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形．()AB BC <，点P 是边AD 上一点，则满足PB PC ⊥的点P 的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解，熟练掌握勾股定理，利用判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键．设AB a =，BC b =，假设存在点P ，且AP x =，则PD b x =−，利用勾股定理得到22222BP AB AP a x =+=+，22222()PC PD CD b x a =+=−+，222BC BP PC =+，可得到方程220x bx a +=−，结合12AB a BC b −==，然后根据判别式的符号即可确定有几个解，由此得解．【详解】解：如图所示，四边形ABCD 是黄金矩形，AB BC <，AB BC =，设AB a =，BC b =，假设存在点P ，且AP x =，则PD b x =−，在Rt ABC △中，22222BP AB AP a x =+=+，在Rt PDC 中，22222()PC PD CD b x a =+=−+，PB PC ⊥，∴ 222BC BP PC =+，即22222()b a x b x a =++−+，整理得220x bx a +=−，22244b ac b a ∆=−=−，又AB a BC b ==a =，∴ 2222224445)b ac b a b b ∆=−=−=−=，50−<，20b >，∴ 22245)0b a b ∆=−=<，∴ 方程无解，即点P 不存在．故选：D ．12. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：dm ）的正方形纸片ABCD ，他在边AB 和AD 上分别取点E 和点M ，使,1AE BE AM ==，又在线段MD 上任取一点N （点N 可与端点重合），再将EAN 沿NE 所在直线折叠得到1EA N △，随后连接1DA ．小王同学通过多次实践得到以下结论：①当点N 在线段MD 上运动时，点1A 在以E 为圆心的圆弧上运动；②当1DA 达到最大值时，1A到直线AD 的距离达到最大；③1DA 的最小值为2；④1DA 达到最小值时，5MN =．你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】由折叠可得12A E AE BE ===，可得点1A 到点E 的距离恒为2，即可判断①；连接DE ，由勾股定理得到在Rt ADE △中，DE ==，由11DA A E DE +≥，即可判断③；1DA 达到最小值时，点1A 在线段DE 上，证得1ADN ADE ∽，得到1A D DN AD DE =，从而求得5DN =，通过MN AD DN AM =−−即可判断④．在1A DE △中，1A D 随着1DEA ∠的增大而增大，而当NEA∠最大时，1DEA ∠有最大值，1AG 有最大值，此时点N 与点D 重合．过点1A 作1AG AD ⊥于点G ，作1A P AB ⊥于点P ，可得四边形1AGA P 是矩形，因此1AG AP AE EP ==+，当1A D 取得最大值时，1A EP ∠有最小值，在1Rt A EP 中，11cos EP A E A EP =⋅∠有最大值，1AG AP AE EP ==+有最大值，即可判断②．【详解】解：∵正方形纸片ABCD 的边长为4dm ，AE BE = ∴122AE BE AB ===， 由折叠的性质可知，12A E AE ==，∴当点N 在线段MD 上运动时，点1A 在以E 为圆心的圆弧上运动．故①正确．连接DE ，∵在正方形ABCD 中，90A ∠=︒，4=AD ，2AE =，∴在Rt ADE △中，DE ===∵11DA A E DE +≥，∴112DA DE A E ≥−=，∴1DA 的最小值为2．故③正确；如图，1DA 达到最小值时，点1A 在线段DE 上，由折叠可得190NA E A ∠=∠=︒，∴190DA N ∠=︒，∴1DA N A ∠=∠，∵1A DN ADE ∠=∠，∴1A DN ADE ∽， ∴1A D DN AD DE=，∴24=∴5DN =，∴(4512MN AD DN AM =−−=−−=．故④错误．在1A DE △中，DE =，12A E AE ==，∴1A D 随着1DEA ∠的增大而增大，∵()112DEA NEA NED NEA NED NEA AED NEA NEA AED ∠=∠−∠=∠−∠=∠−∠−∠=∠−∠， ∴当NEA ∠最大时，1DEA ∠有最大值，1AG 有最大值，此时，点N 与点D 重合， 过点1A 作1AG AD ⊥于点G ，作1A P AB ⊥于点P ， ∵90A ∠=︒，∴四边形1AGA P 是矩形，∴1AG AP AE EP ==+， 当1A D 取得最大值时，1AEN A EN ∠=∠也是最大值，∵111801802A EP AEN A EN AEN ∠=︒−∠−∠=︒−∠，∴1A EP ∠有最小值，∴在1Rt A EP 中，11cos EP A E A EP =⋅∠有最大值，即1AG AP AE EP ==+有最大值， ∴点1A 到AD 的距离最大．故②正确．综上所述，正确的共有3个．故选：C【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综合运用相关知识是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）13. __________．【解析】【分析】根据二次根式的性质a =”进行计算即可得．33=−=， 故答案为：3．【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．14. 若一个多项式加上234y xy +−，结果是2325xy y +−，则这个多项式为______．【答案】21−y【解析】【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上234y xy +−，结果是2325xy y +−”，进行列出式子：()()2232534xy y y xy +−−+−，再去括号合并同类项即可．【详解】解：依题意这个多项式为 ()()2232534xy y y xy +−−+− 2232534xy y y xy =+−−−+21y =−．故答案为：21−y15. 某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为______分．【答案】85.8【解析】【分析】本题考查了加权平均数，解题关键是熟记加权平均数公式，准确进行计算．利用加权平均数公式【详解】解：她的综合成绩为8630%8030%9040%85.8⨯+⨯+⨯=（分）；故答案为：85.8．16. 如图，四边形ABCD 是矩形，ADG △是正三角形，点F 是GD 的中点，点P 是矩形ABCD 内一点，且PBC 是以BC 为底的等腰三角形，则PCD 的面积与FCD 的面积的比值是______．【答案】2【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，正确设出边长表示出两个面积是解题的关键．作辅助线如图，设BC a =，CD b =，根据性质和图形表示出面积即可得到答案．【详解】解：如图，找BC ，AD 中点为M ，N ，连接MN ，GN ，连接PD ，FC ， 过F 作FR CD ⊥交CD 的延长线于R 点，延长RF ，与GN 交于Q 点．设BC a =，CD b =，∵PBC 是以BC 为底的等腰三角形，∴P 在MN 上，∴P 到CD 的距离即为12a ， ∴111224PCD Sb a ab =⨯⨯=，在GQF 和DRF 中90GF DF GFQ DFR FQG FRD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴()AAS GQF DRF ≌， ∴111224QF RF a a ==⨯=， ∴11112248FCDSCD FR b a ab =⋅⋅=⨯⨯=， ∴14218PCD FCDab S Sab ==， 故答案为：2．17. 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a 、b ，你认为a 可以是______（填上一个数字即可）．【答案】1##8 【解析】【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8．【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．∴ 位于两个中心圆圈的数字a 、b ，只可能是1或者8．故答案为：1（或8）．18. 如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①0abc >；②520b c +<；③若抛物线经过点()()126,,5,y y −，则12y y >；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根，则4n <．其中正确结论是______（请填写序号）．【答案】①②④ 【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出32a b =，根据图象可得当1x =时，0y a b c =++<，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设()()126,,5,y y −两点横坐标与对称轴的距离为12d d ，，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．【详解】解：①∵抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,3n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∴312b a −=−， ∴1023b a =>，即0ab >， 由图可知，抛物线开口方向向下，即0a <， ∴0b <，当0x =时，0y c =>，∴0abc >，故①正确，符合题意； ②∵直线13x =-是抛物线的对称轴，∴312b a −=−， ∴1023b a =>， ∴32a b =由图象可得：当1x =时，0y a b c =++<，∴502b c +<，即520b c +<，故②正确，符合题意； ③∵直线13x =-是抛物线的对称轴， 设()()126,,5,y y −两点横坐标与对称轴的距离为12d d ，， 则1117633d ⎛⎫=−−−= ⎪⎝⎭，2116533d ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭， ∴21d d <，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴12y y <，故③错误，不符合题意； ④如图，∵关于x 的一元二次方程24ax bx c ++=无实数根， ∴4n <，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19. （1212cos602−⎛⎫−︒ ⎪⎝⎭；（2）解不等式组：2351124x x x−+≤−⎧⎪⎨−<+⎪⎩①② 【答案】（1）1，（2）46x ≤< 【解析】【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、锐角三角函数，再进行实数的加减混合运算即可．（2）分别求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的确定不等式组的解集即可．【详解】（1212cos602−⎛⎫+−︒ ⎪⎝⎭()2112222−−=−+−⨯2221=−+−34=−+1=．（2）解：2351124x x x−+≤−⎧⎪⎨−<+⎪⎩①② 由①235x −+≤−，得4x ≥， 由②1124x x−<+，得6x <， ∴不等式组的解集为46x ≤<．【点睛】本题考查实数的混合运算、立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、解一元一次不等式组，熟练掌握立方根、负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 20. 2024年中国龙舟公开赛（四川·德阳站），在德阳旌湖沱江桥水域举行，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．旌湖两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“德阳之窗”将迎接德阳市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行A ：100米直道竞速赛，B ：200米直道竟速赛，C ：500米直道竞速赛，D ：3000米绕标赛．为了了解德阳市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：市民最关注的比赛项目人数统计表（1）直接写出a 、b 的值和D 所在扇形圆心角的度数；（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，德阳交警旌阳支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率． 【答案】（1）18a =，60b =，144︒ （2）D ，4000 （3）13【解析】【分析】本题考查统计表和扇形统计图，用样本估计总体，树状图求概率等知识，正确识图是解题的关键．根据两个图标识图求解即可． 【小问1详解】解：根据两图中A 的数据可得总人数为：4228%=150÷（人）， 15012%18a =⨯=（人）， 150********b =−−−=（人）， D 所在扇形圆心角的度数为：60100%360144150⨯⨯︒=︒ 【小问2详解】D ：3000米绕标赛的关注人数最多，为60100%100004000150⨯⨯=（人） 答：估计当天观看比赛的市民中关注D ：3000米绕标赛比赛项目的人数最多，大约有4000人． 【小问3详解】解：根据题意，画出树状图如下图：根据树状图可得，共有12种等可能得结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：41123=． 21. 如图，一次函数22y x =−+与反比例函数(0)ky x x=<的图象交于点()1,A m −．（1）求m 的值和反比例函数ky x=的解析式； （2）将直线22y x =−+向下平移h 个单位长度(0)h >后得直线y ax b =+，若直线y ax b =+与反比例函数(0)ky x x =<的图象的交点为(),2B n ，求h 的值，并结合图象求不等式k ax b x<+的解集． 【答案】（1）4m =；反比例函数的解析式为4y x=−（2）4h =；不等式kax b x<+的解集为<2x − 【解析】【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题：（1）把()1,A m −代入22y x =−+求出4m =，得()1,4A −，从而可求出k 的值；（2）由平移得直线y ax b =+与直线22y x =−+平行，得2y x b =−+，把点(),2B n 代入4y x=−得2n =−，得()2,2B −，代入2y x b =−+，求出2b =−，得出()224h =−−=；由图象得当<2x −时，ky x=。
中考数学综合实践作业题
一、题目背景随着我国经济的快速发展，交通、能源、环境等问题日益突出。
为了解决这些问题，我国政府提出了建设智慧城市的战略。
智慧城市是指通过运用物联网、大数据、云计算等新一代信息技术，对城市进行智能化管理和服务的城市。
本题将以智慧城市为背景，考察学生对数学知识的综合运用能力。
二、题目内容1. 设智慧城市中，某区域的面积为S，该区域分为三个功能区：居住区、商业区和工业区。
已知居住区面积占总面积的40%，商业区面积占总面积的30%，工业区面积占总面积的30%。
求工业区的面积。
2. 某智慧城市计划在市中心建设一个圆形公园，公园的半径为r。
已知公园的周长为C，求公园的面积。
3. 某智慧城市计划在市中心建设一个交通枢纽，该枢纽的面积为A。
已知交通枢纽的周长为P，求交通枢纽的半径。
4. 某智慧城市计划在市中心建设一个广场，广场的面积为S。
已知广场的周长为C，求广场的边长。
5. 某智慧城市计划在市中心建设一个绿化带，绿化带的形状为长方形，长为L，宽为W。
已知绿化带的面积为S，求绿化带的长和宽。
6. 某智慧城市计划在市中心建设一个水上公园，公园的形状为圆形，半径为r。
已知公园的周长为C，求公园的面积。
7. 某智慧城市计划在市中心建设一个体育公园，公园的形状为矩形，长为L，宽为W。
已知公园的周长为P，求公园的面积。
8. 某智慧城市计划在市中心建设一个儿童乐园，乐园的形状为圆形，半径为r。
已知乐园的面积为S，求乐园的周长。
9. 某智慧城市计划在市中心建设一个绿地，绿地的形状为长方形，长为L，宽为W。
已知绿地的面积为S，求绿地的周长。
10. 某智慧城市计划在市中心建设一个商业区，商业区的形状为圆形，半径为r。
已知商业区的面积为S，求商业区的周长。
三、解题步骤1. 首先明确题目要求，分析题目中给出的条件和要求求解的量。
2. 根据题目要求，运用相应的数学知识，列出方程或公式。
3. 对方程或公式进行求解，得到最终答案。
四、答案1. 工业区的面积= S × 30% = 0.3S2. 公园的面积= πr^2 = C^2 / (4π)3. 交通枢纽的半径= A / π4. 广场的边长 = C / 45. 绿化带的长 = S / W，绿化带的宽 = S / L6. 水上公园的面积= πr^2 = C^2 / (4π)7. 体育公园的面积= L × W = P^2 / (8π)8. 儿童乐园的周长= 2πr = 4S / r9. 绿地的周长= 2(L + W) = 2√(2S)10. 商业区的周长= 2πr = 4S / π五、注意事项1. 在解题过程中，注意单位的一致性。
2023年河南省中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年河南省中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各数中最小的数是( )A. −1B. 0C. 1D. √ 32.北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )A. 4.59×107B. 45.9×108C. 4.59×108D. 0.459×1094.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80°，∠2=30°，则∠AOE的度数为( )A. 30°B. 50°C. 60°D. 80°5. 化简a−1a +1a的结果是( )A. 0B. 1C. aD. a−26.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为( )A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°7. 关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )A. 12B. 13C. 16D. 199.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )A. 6B. 3C. 4√ 3D. 2√ 3二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______ 套劳动工具． 12. 方程组{3x +y =5x +3y =7的解为______ ．13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测.如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有______ 棵.14. 如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 在PA 上，且CB =CA.若OA =5，PA =12，则CA 的长为______ ．15. 矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1.当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。
从2011年中考题看“数学实践活动”的考查
从2011年中考题看“数学实践活动”的考查陈 建江苏省泰州市九龙实验学校（225300）此文发表于《中学数学杂志》2012年第2期“数学实践活动”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径.《新课程标准》指出：数学本身就是一个过程，只有通过大量的数学活动，学生才能形成对数学的全面认识.因此，过程就是一个课程目标，作为新课程的一个具体目标，学生的“数学实践活动”过程始终是课程、教学及其评价所应当关注的对象.但是，在平时教学中，许多教师对“数学实践活动”过程的关注不够，重结果轻过程，形成结果的生动过程往往被单调机械的条文所取代，数学学习变得沉闷，对于教材中每章结束后安排的“数学实践活动”课，绝大部分教师都选择了放弃.主要是因为以往在中考试卷中缺乏对“数学实践活动”的考查，从而导致了教师们思想上的一种懈怠.但是在近几年的中考试卷中，我们越来越多的看到“数学实践活动”的身影，已经成为中考命题者青睐的对象.现从2011年部分中考题来谈谈“数学实践活动”的考查角度。
一、 设计多层次问题，从探究应用的角度考查设计多层次问题，综合多元知识，在问题的探索过程中暴露学生的思维活动过程，从而进行有关过程性目标的考查.问题1（2011江苏盐城）情境观察将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC ′= ▲ °．问题探究 如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. 图1 图2C'A'B A D C A B C D B CD A (A')C'图4 MN G F E CB AH 图3 A B C E F G PQ图5M NG F E C B A H P Q拓展延伸如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB = kAE ，AC = kAF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.解析：（1）情境观察：学生通过观察或全等易得与BC 相等的线段是AD ，∠CAC ′=90°，这一问题的设计主要是呈现给学生一个基本图形，为解决下面的问题服务.（2）问题探究：图形蕴含了两个如图2所示的基本图形，可由Rt △ABG ≌Rt △EAP ，得出AG=EP ，Rt △ACG ≌Rt △F AQ ，得出AG=FQ ，从而得证.（3）拓展延伸：如图5，过点E 作E P ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q .把“问题探究”中的两对全等三角形变为相似三角形，Rt △ABG ∽Rt △EAP ，Rt △ACG ∽Rt △F AQ ，运用相似三角形的性质，易证EP =FQ ，再证Rt △EPH ≌Rt △FQH ，得HE =HF .点评：本题主要考查学生对全等三角形、相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握.问题设计上层层深入，每一步都为下面的思维活动打下基础，是一个蕴含了让学生经历观察、探究、合情推理、拓展应用的数学活动过程.学生始终处于“思考—收获—再思考—再收获”这样一种情感体验之中，从而激发和培养学生的数学化思考，引领学生的思维往纵深发展，在一定程度上体现了对过程性目标的考查.二、暗示思路，从方法迁移的角度考查在试题中根据已建立的数学模型，逐步给出解决问题的思路与方法，要求学生在理解的基础上进行方法的迁移运用，以获得的数学经验和知识解决新问题.问题2（2011北京）小伟遇到这样一个问题，如图6，在梯形AB CD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O .若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD BC +的长度为三边长的三角形的面积小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可.他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD BC +的长度为三边长的三角形（如图7）.参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图8，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF .C 图6 图7 图8D B C（1）在图8中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于______. 解析：作法：过点A 作AP //BC 与过点C 作AD 的平行线交于点P ，△FCP 即为所求（如图9）.本题方法不唯一，但不管哪种作法，都要求学生能够迁移小伟的思想方法，运用平移的性质去尝试解决问题.（2）如图9，连接EP ，EF .由条件，得4141==∆∆ABC AFES S ， 则有41==∆∆APE AFE S S ，CFE PFE AFE S S S ∆∆∆==（同底等高），CPE APE S S ∆∆=（等底同高）， 故43=++=∆∆∆∆PEC CFE PFE PFC S S S S . 点评：通过利用平移这一基本图形变换将零散的线段整合起来，是解决此题的关键.本题在求解之前暗示了解决问题的思路，要求学生根据给出的思路尝试解决新的问题，在求解的过程中有效地考查了学生类比、转化和知识迁移的能力.三、动思结合，从动手操作的角度考查陶行知先生说：“单纯的劳动，不能算做，只能算蛮干；单纯的想，只是空想；只有将操作与思维结合起来才能达到思维之目的”.近几年来的中考试题中，出现了不少动手操作题.此类题目，要求学生通过观察、实验等活动过程自主地发现有关规律并加以运用，有效地考查了学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力.问题4（2011山东威海）如图10，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．（2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．解析：（1）题目已经给出了折叠后的图形，学生能否在脑海中呈现操作的过程，是解决问题的关键.由对称性知∠1 =∠KMN =∠KNM =70°，易得∠MKN =40°．（2）过M 点作ME ⊥DN ，垂足为E ，由（1）中探索的结论可知MK =NK ，易得NK ≥1，B 图9 P 图10 M由三角形面积公式可得△MNK 的面积不可能小于12. （3）此问巧妙地把动手操作和演绎推理结合起来，用“操作”启迪思维，使思维在“操作”中得到发展.可分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与D 重合，此时点K 也与D 重合，由勾股定理易求MD =ND =2.6，可得3.1==∆∆MND MNK S S ；情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕MN 与AC 重合，易求MK =NK =2.6，可得3.1==∆∆M N D M N K S S .点评：此题3个问题设计巧妙，都要求学生根据操作过程中MK =NK 始终相等这一不变的关系去解决，培养了学生思维的缜密性.《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，要把动手实践作为数学学习的一种重要方式.而折纸操作型试题通过纸片折叠这一学生熟悉的、感兴趣的问题背景，将图形的有关知识与方法有机地融合在学生的自主活动、思考及探究之中.这样的过程既有利于考查学生对所学知识的掌握与运用，又有利于考查学生的探究能力，更有利于引导学生从生活中发现与提炼数学问题.四、揭示本质，从阅读理解的角度考查阅读理解题实质上是一种探究型数学问题，它不仅考查学生的阅读能力和对所学知识的整体概括能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合实践能力，要求学生根据阅读提取和整合有效信息，从而建立数学模型解决问题.问题5（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad ），如图11，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A =腰底边=BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°= .（2）对于0°＜A ＜180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 . （3）如图12，已知sin A =35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值. 解析：(1)正对是一个新的定义，要求学生有一定的阅读理解能力.由定义可知顶角为60°时，三角形为等边三角形，得sad 60°=1．（2）∠A 没有给出具体大小，主要是在解题过程中让学生体会极限的思想方法.当∠A 接近0°时，sad A 接近0，当∠A 接近180°时，sad A 接近2．故sad A 的取值范围是0＜sad A ＜2． A B 图12 A B C 图11 D H（3）构造顶角为∠A 的等腰三角形是解题关键.如图12，在AB 上取点D ，使AD =AC ，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ，易得AD =AC =4k ，由sin A =35，可求DH =512k ，AH =516k ，故有CH =54k ，CD =5104k ．所以sad A =510． 点评：这是一道考查新知识能力型的阅读理解题，要求学生通过阅读理解正对的定义，并能运用定义解决问题.在学生阅读理解的过程中考查学生接收、加工和利用信息的能力，同时也考查了学生观察分析和逻辑推理的能力.因此，在平时的教学过程中，要重视阅读，加强数学语言的理解和应用.五、关注生活，从实际应用的角度考查数学来源于生活，又应用于生活.数学课程标准要求学生注重数学知识的实际应用，能够运用所学知识去解决生活中的实际问题.以实际问题为背景设计探究题，注重考查学生应用能力，意在引导学生学会用数学眼光认识世界，并能建立数学模型，用数学知识和数学方法处理生活中的问题，提高分析问题、解决问题的能力.问题7（2011四川宜宾）如图13，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解析：（1）如图13，连接AM ，BM ，MN ，测出飞机在A 处对山顶M 的俯角α，飞机在B 处对山顶的俯角β，AB 的距离为d .（2）解直角三角形，易得αtan MN AN =，βtan MN BN =，由AN -BN =d ，易求αββαt a n t a n t a n t a n -⋅⋅=d MN . 点评：飞机失事的新闻媒体报道较多，问题7则以飞机为背景，有效地抓住了生活中的问题，主要考查了仰角、俯角和解直角三角形等相关知识的应用，充分考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，符合课标中提出的关于运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题.解决这类问题的关键是要回归定义，找准找对解题所需的直角三角形.这两题都充分体现了数学源于实践又应用于实践的真谛.解决问题的方法都是通过建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，有效地考查了学生数学应用能力.从近几年中考试题来看，命题者注重考查学生的“数学实践活动”能力.所以我们在教学中，要充分挖掘教材中的素材，重视知识的发生发展过程，关注数学知识间的联系及运用，图13M以知识教学为载体,切实提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.积极开设实践活动课程，使学生在活动中加深对数学知识及思想方法的理解，不断积累数学实践活动的经验，提高学生的数学素养.但我们也应该充分意识到，中考是一种备受关注的考试，命题者在设置试题背景、活动方式、操作过程时，应该充分考虑和兼顾不同学生的思考方式、思维水平、已有的数学活动经验等方面的差异，尽可能地使每个学生都有机会来表达自己的数学才能.参考文献［1］《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》[M]北京师范大学出版社，2005［2］《数学综合与实践活动研究与开发》[M]主编：董林伟孙朝仁江苏科学技术出版社，2010。
中考数学 精讲篇 压轴题重难点突破十一 综合实践活动题
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开宿舍的时间/min 2 5 20 23 30
离宿舍的距离/km (2)填空：
0.2 00..5 0.7 00.7. 11
5
7
①食堂到图书馆的距离为 0 0..33km；
②小亮从食堂到图书馆的速度为 0.00.06km/min； ③小亮从图书馆返回宿舍的速度为60.0.11km/min；
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400…
若设 x 表示跑道宽度(单位：米)，y 表示该跑道周长(单位：米)，试写出 y 与 x 的函数关系式； (3)将周长为 446米的跑道作为 400米跑道 场地的最外沿，那么它与最内圈(跑道周长 400 米)形成的区域最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？
地铁线路
1 号线 2 号线 3 号线 4 号线 5 号线
线路长(千米)
30 40 56 n 25
站点数(个)
25 30 28 15 20
站点密度(站点密度＝站线点路数长
5 6
m
114 225
(1)求 m 与 n 的值；
(2)该小组发现：站点密度 y 和日承载最大客流量 x (万人)之间满足
y＝310x－16.同时通过查找资料得到 5 条线路全年的实际日均客流量如表．
(3)根据[bn]＝5n＋155 可知[bn]能被 5 整除， ∵270－2≤271≤270＋2，∴[bn]＝270，
将[bn]＝270 代入[bn]＝5an＋50 中得 an＝44. 故应购买 44 号的鞋．
1．(2021·福州模拟)某城市的地铁有 5 条线路，某中学数学兴趣小组开
展“地铁客流量与站点分布关系”的研究，得到了如表部分信息．
2024中考数学复习 重难题型分类 综合与实践 (含答案)
2024中考数学复习重难题型分类综合与实践类型一实践操作型试题1.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：___________________________；(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．第1题图2.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接EF，DF，H为DF的中点，连接GH.将△BEF绕点B旋转，线段DF，GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB＝2，BC＝3，则GHCE＝________；(3)当AB＝m，BC＝n时，GHCE＝________；第2题图剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M，N分别在AC，BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C 的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为________．第2题图④类型二探究迁移型试题3.以下是华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图①，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF .求证：CE ＝DF .证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCB ＝90°，BC ＝C D.∴∠BCE ＋∠DCE ＝90°.∵CE ⊥DF ，∴∠COD ＝90°.∴∠CDF ＋∠DCE ＝90°.∴∠CDF ＝∠BCE .∴△CBE ≌△DCF .∴CE ＝DF .第3题图①某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图②，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH .试猜想EG FH的值，并证明你的猜想；【知识迁移】如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝m ，BC ＝n ，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH ，则EG FH＝________；【拓展应用】如图④，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且CE ⊥BF .求CE BF 的值．图②图③图④第3题图4.综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P ＝90°，∠F＝60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图①，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为________；类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.①如图②，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图③，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH＝α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).(参考数据：sin15°＝6－24，cos15°＝6＋24，tan15°＝2－3)第4题图源自北师九上P25第4题类型三综合应用型试题5.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P 与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON.请说明这两个角相等的理由；第5题图(2)实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH；(3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α，β，再测得E，F间的距离m，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米．求PH(用α，β，m表示).图③图④第5题图源自北师九下P22活动课题6.问题提出(1)如图①，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为________；问题探究(2)如图②，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P 作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边形OECA的面积；问题解决(3)如图③，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝A C.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．第6题图源自人教七上P70第10题参考答案与解析1.解：(1)∠ABP 或∠PBM 或∠MBC 或∠BME ；(注：任意写出一个即可)【解法提示】由折叠性质可得，点E 是AB 的中点，AB ＝BM ，∠BEM ＝90°，∠ABP ＝∠PBM ，EF ∥BC ，在Rt △BEM 中，∵sin ∠BME ＝BE BM ＝12，∴∠BME ＝30°，∴∠MBC ＝∠BME ＝30°，∴∠ABM ＝60°，∴∠ABP ＝∠PBM ＝30°.(2)①15，15；【解法提示】由(1)可知，∠MBC ＝30°，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ (HL)，∴∠MBQ ＝∠CBQ ＝15°.②∠MBQ ＝∠CBQ ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°.由轴对称性质，得BM ＝AB ，∠BMP ＝∠A ＝90°.∴∠BMQ ＝∠C ＝90°，BM ＝BC .∵BQ 是公共边，∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ，∴∠MBQ ＝∠CBQ ；(3)AP 的长为4011cm 或2413cm.【解法提示】①当点Q 在线段CF 上时，如解图①，DQ ＝5，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4－1＝3，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝3＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋52＝(3＋x )2，解得x ＝4011；②当点Q 在线段DF 上时，如解图②，DQ ＝3，∵△BMQ ≌△BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4＋1＝5，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝5＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋32＝(5＋x )2，解得x ＝2413，综上所述，AP 的长为4011cm 或2413cm.第1题解图2.解：(1)猜想：GH ＝12CE ；证明：由题意可得BE ＝12BC ，BF ＝12AB ，∵AB ＝BC ，∴BE ＝BF .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF ＝CE ，∵G ，H 分别为AD ，DF 的中点，∴GH ＝12AF ，∴GH ＝12CE ；(2)13；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝23，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝13.(3)m 2n；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝m n ，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝m 2n .第2题解图(4)3135.【解法提示】由PM 平分∠APN 可得，∠APM ＝∠MPN ＝∠C ，∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠APM ＋∠A ＝90°，∴tan ∠APM ＝tan C ＝AB BC ＝23＝AM PM ，又∵AM ＋PM ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝13，∴CM ＝PM ＝3135.3.解：【问题探究】猜想：EG FH ＝1，证明如下：如解图①，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点M ，N ，∴∠HMF ＝∠ENG ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∴HM ＝EN ，HM ⊥EN ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△HMF 和△ENG 中，1＝∠3＝ENHMF ＝∠ENG，∴△HMF ≌△ENG (ASA)，∴FH ＝GE ，∴EG FH ＝1；第3题解图①【知识迁移】n m；【解法提示】如解图②，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点P ，Q ，∴∠HPF ＝∠EQG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴HP ＝AB ＝m ，EQ ＝BC ＝n ，HP ⊥EQ ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△EQG ∽△HPF ，∴EG FH ＝EQ HP＝n m .第3题解图②【拓展应用】如解图③，过点C 作CK ⊥AB 于点K ，设BF 与CE 交于点O ，∵CK ⊥AB ，∴∠CKE ＝90°，∴∠CEK ＋∠ECK ＝90°，∵CE ⊥BF ，∴∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＋∠EBO ＝90°，∴∠ECK ＝∠EBO ，∵∠CKE ＝∠BAF ，∴△CKE ∽△BAF ，∴CE BF ＝CK BA，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴CE BF ＝CK BC ＝sin 60°＝32.第3题解图③4.解：(1)1，1，S ＝4S 1；【解法提示】如解图①，当OF 与OB 重合时，OE 经过点C ，此时重叠部分的面积为S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝1.如解图②，当OF 与BC 垂直时，易得OE ⊥CD ，设垂足分别为点M ，N ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴易得四边形OMCN 是正方形，且BM ＝CM ＝12BC ＝1，∴S 四边形OMCN ＝1.如解图③，设OF ，OE 与AB ，BC 的交点分别为点M ，N ，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∠OBM ＝∠OCN ＝45°，S △BOC ＝14S 正方形ABCD .∵∠MON ＝90°，∴∠MOB ＝∠NOC ，∴△OMB ≌△ONC ，∴S △OMB ＝S △ONC ，∴S 四边形OMBN ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S ＝4S 1.第4题解图(2)①△OMN 是等边三角形．理由：如解图④，连接OB ，OC ，第4题解图④∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，在△OBM 与△OCN 中，＝OCOBC ＝∠OCB ＝CN，∴△OBM ≌△OCN (SAS)，∴OM ＝ON .∵∠MON ＝60°，∴△OMN 是等边三角形；②如解图⑤，连接OC ，过点O 分别作OQ ⊥BC 于点Q ，作OR ⊥CD 于点R ，易得四边形OQCR 为正方形，且OQ ＝1.第4题解图⑤∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OCM ＝∠OCN ＝45°.在△OCM 与△OCN 中，CM ＝CN∠OCM ＝∠OCN OC ＝OC，∴△OCM ≌△OCN (SAS).∴∠COM ＝∠CON .∵∠MON ＝60°，∴∠COM ＝∠CON ＝30°.∴∠OMB ＝∠COM ＋∠OCB ＝30°＋45°＝75°，∠OND ＝∠CON ＋∠OCN ＝30°＋45°＝75°.∵在Rt △OMQ 中，OQ ＝1，∠MOQ ＝90°－∠OMQ ＝90°－75°＝15°，∴MQ ＝OQ ·tan ∠QOM ＝1×tan 15°＝2－3.∴S △OMQ ＝12OQ ·MQ ＝2－32.同理可得S △ONR ＝2－32.∴S 四边形OMCN ＝S 正方形OQCR －S △OMQ －S △ONR ＝1－2－32－2－32＝3－1；(3)S 2的最小值为tan α2，S 2的最大值为1－tan (45°－α2).【解法提示】如解图⑥，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，连接OB ，OC ，当BM ＝CN 时，S 2取得最小值，在Rt △OMQ 中，MQ ＝OQ ·tanα2＝tan α2，∴MN ＝2MQ ＝2tan α2，∴S 2最小值＝S △OMN ＝12MN ·OQ ＝12×2tan α2×1＝tan α2.如解图⑦，当CM ＝CN 时，S 2取得最大值，过点O 作OQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接OC ，由(2)②可知，此时∠MOQ ＝45°－α2，∴MQ ＝tan∠MOQ ·OQ ＝tan (45°－α2)·1＝tan (45°－α2)，∴MC ＝CQ －MQ ＝1－tan (45°－α2)，∴S △MCO ＝12MC ·OQ ＝12[1－tan (45°－α2)]·1＝12[1－tan (45°－α2)]，∵S △MCO ＝S △NCO ，∴S 2的最大值为2S △MCO ＝1－tan (45°－α2).第4题解图5.解：(1)理由：∵∠POC ＋∠CON ＝∠CON ＋∠GON ＝90°，∴∠POC ＝∠GON ；(2)由题意可得，KH ＝OQ ＝5，OK ＝QH ＝1.5，在Rt △POQ 中，tan ∠POQ ＝PQ OQ，∴PQ ＝OQ ·tan ∠POQ ＝5×tan 60°＝53，∴PH ＝PQ ＋QH ＝53＋1.5≈10.2米．∴树高PH 约为10.2米．(3)由题意可知，DH ＝O 2F ＝1.5，EF ＝O 1O 2＝m ，在Rt △PO 1D 中，tan α＝PD DO 1，得DO 1＝PD tan α，在Rt △PO 2D 中，tan β＝PD DO 2，得DO 2＝PD tan β，∵DO 2＝O 1O 2＋DO 1，∴DO 1＝DQ 2－O 1O 2＝PD tan β－O 1O 2＝PD tan α，∴PD ＝O 1O 2·tan α·tan βtan α－tan β＝m ·tan α·tan βtan α－tan β，∴PH ＝PD ＋DH ＝(m ·tan α·tan βtan α－tan β＋1.5)米．6.解：(1)75°；【解法提示】∵AP 是等边△ABC 的中线，∴∠PAC ＝12∠BAC ＝30°，又∵AP ＝AC ，∴∠APC ＝12(180°－∠PAC )＝75°.(2)如解图①，连接BP .第6题解图①∵AP ∥BC ，AP ＝BC ＝AC ，∴四边形ACBP 是菱形，∴BP ＝AC ＝6.∵∠ACB ＝120°，∴∠PBE ＝60°.∵l ⊥BC ，∴BE ＝BP ·cos 60°＝3，PE ＝BP ·sin 60°＝33，∴S △ABC ＝12BC ·PE ＝93.∵∠C ＝120°，CA ＝CB ，∴∠ABC ＝30°，∴OE ＝BE ·tan 30°＝3，∴S △OBE ＝12BE ·OE ＝332，∴S 四边形OECA ＝S △ABC －S △OBE ＝1532；【一题多解】如解图②，连接OC ，第6题解图②∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝30°.∵AP ∥BC ，PE ⊥BC ，∴∠PAB ＝30°，∠EPA ＝90°，又∵AP ＝BC ＝AC ，AO ＝AO ，∴△PAO ≌△CAO ，∴∠OCA ＝∠OPA ＝90°，∴∠OCB ＝30°，∴OB ＝OC ，∴EC ＝3，OE ＝3，OC ＝23，∴S △EOC ＝12OE ·EC ＝332，S △AOC ＝12OC ·AC ＝63，∴S 四边形OECA ＝S △AOC ＋S △EOC ＝1532.(3)符合要求．证明：如解图③，过点P 作PQ ⊥AC 交AC 于点Q ，由作法可知，AP ＝AC ，第6题解图③∵CD ＝CA ，∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，∵直线l 垂直平分DC ，∴PQ ＝EC ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠PAQ ＝30°，∴∠BAP ＝∠BAC －∠PAQ ＝45°－30°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．【一题多解】解法一：符合要求．证明：由作法知AP ＝AC .∵CD ＝CA ，∠CAB ＝45°，∴∠ACD ＝90°.如解图④，以AC ，CD 为边，作正方形ACDF ，连接PF .∴AF ＝AC ＝AP ，∠CAF ＝90°.∵l 是CD 的垂直平分线，∴l 是AF 的垂直平分线．∴PF ＝PA ，∴△AFP 为等边三角形，∴∠FAP ＝60°，∴∠PAC ＝30°，∴∠BAP ＝15°.∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图④解法二：符合要求．证明：如解图⑤，过点A 作AN ⊥EP 交EP 的延长线于点N ，EN 交AD 于点M ，由作法知CD ＝CA ＝AP ，∵∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，又∵AN ⊥EP ，EP ⊥CD ，∴四边形ACEN 为矩形，∴AN ∥CE ，AN ＝CE ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠DAN ＝∠ADC ＝45°，∠NAP ＝60°，∴∠BAP ＝∠NAP －∠DAN ＝60°－45°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图⑤。
2020年中考“综合与实践”专题解题分析
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，“综合与实践”是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动.在设计“综合与实践”试题时，一般是从“问题”入手，搭建活动经验积累和思想方法感悟的平台，注重对学生综合运用所学知识解决问题能力的考查.近年来，中考“综合与实践”试题的呈现形式逐渐趋于稳定，并在稳定中不断地创新.一、试题分析从2020年全国各地区中考数学试题来看，“综合与实践”领域的试题一般由问题提出、问题分析、问题解决和应用拓展等部分构成.试题注重学科基础、数学阅读、应用价值和知识整合，从不同角度综合考查学生的“四基”“四能”.1.注重学科基础例1（黑龙江·齐齐哈尔卷）综合与实践.在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图1（1）.（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN 的垂直平分线；试判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE 的度数为.（2）继续折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，把纸片展平，如图1（2），则∠GBN 的度数为.拓展延伸：（3）如图1（3），折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A′处，并且折痕交BC 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，连接AA′交ST 于点O ，连接AT.求证：四边形SATA′是菱形.解决问题：（4）如图1（4），矩形纸片ABCD 中，AB =10，AD =26，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A′处，并且折痕交AB 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平.同学们小组讨论后，得出线段AT 的长度有4，5，7，9.试写出以上4个数值中你认为正确的数值.2020年中考“综合与实践”专题解题分析收稿日期：2020-10-25作者简介：王晔（1979—），女，中小学一级教师，主要从事初中数学教学研究.摘要：针对“综合与实践”领域的试题，根据2020年全国各地区中考数学试卷中的典型试题，总结出四个方面的特点，即注重学科基础、注重数学阅读、注重应用价值、注重知识整合，并逐一分析说明.通过对解题方法进行总结，得到的解题经验是发掘基本模型、类比解题方法、寻找核心本质.关键词：综合与实践；解法分析；基本模型王AE BNM DFC（1）AEBNM DFC（2）GHABOS DC（3）ATBDC（4）ST A′A′图1解析：（1）如图1（1），把两次对折、展开矩形纸片的问题情境抽象成轴对称模型，借轴对称的性质及垂直平分线的性质，得△ABN是等边三角形.进而由∠ENB=30°，得∠MNE=60°.（2）如图1（2），由折叠前后对应角相等，得∠ABG=∠HBG=45°.又由等边三角形ABN的内角为60°，进而得∠GBN=15°.（3）如图1（3），由折叠所得对应边相等，矩形的对边平行得内错角相等，得△ASO≌△A′TO（AAS）.根据对边平行且相等，得四边形SATA′是平行四边形.由折叠所得邻边相等，得四边形SATA′是菱形.（4）如图1（4），已知AB的长求AT，需借BT来求，由于AT=A′T，且Rt△A′TB的斜边长大于直角边，得AT>5，且点T可以与点B重合.所以5<AT≤10.所以正确的数值有7，9.【评析】此题以矩形顶点A折叠后的位置变化这一动态过程为线索，与教材的基础知识相关联，形成完整的探究链条，不仅能考查学生轴对称的性质、垂直平分线的性质、菱形的判定、斜边大于直角边等基础知识，而且对学生发现问题、分析问题、解决问题的能力也有考查.2020年全国各地区中考“综合与实践”领域的试题难度稳定，没有偏题、怪题.因此在备考过程中要充分关注基础，为实现从知识立意向能力立意过渡做准备.类似的试题还有贵州黔西南州卷第22题.2.注重数学阅读例2（山东·青岛卷）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1<a<n）个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如表1，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．表1所取的2个整数2个整数之和1，231，342，35（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？如表2，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．表2所取的2个整数2个整数之和1，231，341，452，352，463，47（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥4）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥5）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且n≥3）这n个整数中任取a（1<a<n）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、 (100)的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，n+3（n为整数，且n≥2）这()n+1个整数中任取a（1<a<n+1）个整数，这a个整数之和共有种不同的结果．答案：探究一：（3）7；（4）2n-3（n≥3，n为整数）.探究二：（1）4；（2）3n-8（n为整数，且n≥4）.探究三：4n-15.归纳总结：a()n-a+1（n为整数，且n≥3，1< a<n）.问题解决：476.拓展延伸：（1）7种或29种；（2）a()n+1-a2+1.【评析】此题以“抽奖优惠”为实际背景呈现，试题阅读量大、信息多，但题干中给出了问题的求解思路，需要学生仔细阅读，提取有用信息，简单迁移知识，从而解决问题.此题考查学生的阅读分析、获取信息、抽象模型、迁移运用等能力，同时考查在阅读求解中积累解决问题的经验.这类试题能够初步考查学生面对社会未知问题的处理能力，为学生终身发展服务，在2020年全国各地区中考数学试卷中多次出现，如北京卷第28题用新定义考查学生的阅读能力.今后备考中，教师引导学生阅读数学材料时要注意摸索阅读要领，提高学生的阅读能力.3.注重应用价值例3（宁夏卷）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表3所示.鞋号（正整数）脚长/毫米22160±223165±224170±225175±226180±227185±2……表3为了方便对问题的研究，活动小组将表3中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[]b n，如表4所示.序号n鞋号a n脚长b n脚长［b n］122160±2160223165±2165324170±2170425175±2175526180±2180627185±2185…………表4定义：对于任意正整数m，n，其中m>2．若[]b n= m，则m-2≤b n≤m+2．如：[]b4=175表示175-2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表4，猜想a n与序号n之间的关系式，[]b n与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[]b n；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？解析：（1）在表4中，由前两行得a n=n+21.由一、四行，得[]b n=160+5()n-1=5n+155.（2）n是联系a n和[]b n的纽带，由第（1）小题求得的两式消去字母n，得[]b n=5a n+50.已知鞋号a n，求脚长范围b n，从问题入手.由表4得[]b n-2≤b n≤[]b n+2，又由[]b n=5a n+50，则5a n+50-2≤b n≤5a n+50+ 2.将a n=42代入，此时258≤b n≤262．（3）已知脚长b n，求鞋号a n，由第（2）小题进行逆向思维.根据5a n+50-2≤b n≤5a n+50+2，得5a n+ 50-2≤271≤5a n+50+2，得a n=44．在后两问的解答中，可以不求n的值，这与生活中实际脚长与鞋号有关、与序号n无关完全吻合.因此，第（1）小题的解答为消去字母n奠定了基础，第（2）小题的求解从消去字母n开始.【评析】此题以脚长与鞋号之间的关系为线索，考查学生合理构建数学模型，综合利用所学知识解决生活问题的能力，充分体现了数学的应用价值.综合与实践是联系数学和外部世界的纽带，是数学服务于生活的重要表现，反映了社会的需要.在2020年全国中考数学试卷中，类似试题还有湖南湘西州卷第25题等.这就要求学生在平时的学习中多思考生活中遇到的问题是否能用数学知识解决，以及怎么解决.4.注重知识整合例4（山东·德州卷）如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A()0，-2，在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题.图2探究：（1）线段PA与PM的数量关系为，其理由为．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表5.M的坐标P的坐标……（-2，0）（0，0）（0，-1）（2，0）（2，-2）（4，0）……表5猜想：（3）试根据上述表格中点P的坐标，把这些点用平滑的曲线在图3中连接起来；观察画出的曲线l，猜想曲线l的形状是．图3验证：（4）设点P的坐标是P()x，y，根据图2中线段PA 与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图4，点B()-1，3，C()1，3，点D 为曲线l上任意一点，且∠BDC<30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．图4解析：（1）PA=PM.理由：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.（2）方法1：当点M的坐标为M()-2，0时，设点P 的坐标为P()-2，a，借助第（1）小题的结论，因为PA=PM，所以-a=()-2-02+()a+22.解得a=-2，得点P的坐标为P()-2，-2.当点M的坐标为M()4，0时，同理可得点P()4，-5.方法2：当点M的坐标为M()-2，0时，由于点A 的坐标为A()0，-2，根据条件恰使四边形OAPM为正方形，得点P的坐标为P()-2，-2.如图5，当点M的坐标为M()4，0时，设点P的坐标为P()4，-a.根据已知条件得△FAN≌△PMN.得OF=FA-2=MP-2=a-2.由线段垂直平分线的性质，得FM=FA=MP=a.又知OM=4，在△OFM中，由勾股定理，得a=5，从而得点P的坐标为P()4，-5.图5（3）如图6，根据图象，猜想曲线l的形状为抛物线.图6（4）方法1：设点P的坐标是P()x，y，因为PA=PM，所以-y=()x-02+()y+22.化简，得y=-14x2-1.方法2：设点P的坐标是P()x，y，参照图5，根据已知条件，始终有△FAN≌△MNP，且FP为线段AM 的垂直平分线，故MF=-y，FO=x-2，OM=x.在Rt△FOM中，由勾股定理，得y=-14x2-1.（5）因为点B()-1，3，C()1，3，所以△BOC 是等边三角形.所以∠BOC=60°.如图7，以点O为圆心、OB长为半径作圆，交抛物线于点E，连接BE，CE，当点D在点E下方时，∠BDC<30°.设点E()m，n，利用点E在抛物线上，且OE=OB=2，联立方程组解出n的值，即可求出yD的取值范围.图7此题将四边形、圆、函数图象的画法、近似解、二元一次方程组的解法等基础知识整合在一起.事实上，第（2）小题不需要推理，可以从尺规作图的结果中直接读出，再次明确观察、度量甚至猜想不失为解决问题的有效手段之一.第（2）小题中对特殊问题的解题思路有助于第（4）小题对一般问题的解答.对于第（5）小题，如果能考虑附加条件数值的特殊性，也就不难判断△BOC为等边三角形，自然会将60°与30°角相联系，找到解题的突破口.【评析】此题以尺规作图为背景，具有一定的综合性.由易到难、渐次递进地呈现问题，将函数、方程、几何图形知识整合在一起，考查学生数学活动经验的储备情况和分析问题、解决问题的能力，凸显以能力立意的意图.此题是应对中考试题数量有限而考点繁多，既体现检测功能又体现选拔功能且梯度设置合理的典型范例.类似试题还有河南卷第22题等.中考备考中，教师要引导学生尽量尝试一题多解，实现思维整合，以应对知识整合.二、解法分析对于“综合与实践”领域的试题，解题的关键要把握以下三点：一是发掘基本模型，在复杂的图形中辨识，在残缺的图形中补全，用已有的模型经验求解；二是类比解题方法，关注渐次递进问题的基本解题思路，进行数学思想方法的类比迁移求解；三是寻找核心本质，抓住问题产生过程中的不变本质及特殊条件下解题的思路，比较对照求解.1.发掘基本模型例5（山东·德州卷）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图8（1），△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.试回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是.（2）AD的取值范围是.方法运用：（3）如图8（2），AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC．（4）如图8（3），在矩形ABCD中，ABBC=12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且EFBE=12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG．ACBDE（1）AB D CEF（2）AEFBDG（3）图8解析：（1）“SAS”定理.（2）此题中，求线段的取值范围可以用构成三角形的三边条件进行求解.在△ABE 中，有AB -BE <AE <AB +BE .又因为BE =AC ，所以2<2AD <10.所以1<AD <5.（3）如图9，延长中线AD 至点H ，使AD =DH ，连接BH ，可得△ADC ≌△HDB （SAS ）.故AC =BH ，∠CAF =∠H.再根据AE =EF ，得∠AFE =∠CAF.由对顶角相等，得∠AFE =∠BFH.所以∠H =∠BFH.所以BF =BH.所以AC =BF.A DE G NF 图10A D E CBFH图9（4）如图10，延长CG 至点N ，使NG =CG ，连接NF 并延长交BC 于点M ，可得△NGF ≌△CGD （SAS ）.则∠N =∠NCD ，得MN ∥CD.所以△MNC 是直角三角形.因此，在△MNC 中，MG =NG =CG.另外，由AB BC =12，EF BE =12，得∠EBF =∠CBD.易得EF =FM ，∠EFG =∠MFG.故△GFE ≌△GFM.所以MG =EG.所以EG =CG ．【评析】通性、通法反映的是数学基本思想，这里的基本模型为倍长中线得到三角形全等.特别是有了题干中小红的做法和对问题探究的解答，产生“倍长中线”模型后，第二部分的标题“方法运用”“所以AD 是中线”“点G 是DF 的中点”都提示了充分利用这一模型求解.当然，这是建立在学生熟悉基本模型的前提之下，更是建立在平时学习中对图形的不断总结、深入思考的基础之上.2020年中考数学试题中出现的基本模型还有很多，如黑龙江七台河卷第26题“一线三等角”模型、广东深圳卷第22题“手拉手”模型等.对此，在复习中，教师引导学生注意积累常用数学模型、总结解题方法、形成解题经验.2.类比解题方法例6（青海卷）在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按如图11（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为点F ，一条直角边与AC 重合，另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF 与CG 的长度，得到BF =CG ．试给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC 方向移动到如图11（2）所示的位置时，一条直角边仍与AC 边重合，另一条直角边交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥BA ，垂足为点E ．此时试通过观察、测量DE ，DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ，DF 与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想.联系拓展：（3）当三角尺在图11（2）的基础上沿AC 方向继续移动到如图11（3）所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，试判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）（1）（2）（3）图11解析：（1）由已知可得∠F =∠G =90°，AB =AC ，且∠FAB =∠GAC ，则△ABF ≌△ACG.所以FB =CG ．（2）如图12，过点B 作BP ∥DF ，交CF 的延长线于点P ，过点F 作FN ∥DB 交BP 于点N ，这样既可还原图11（1）实现思路的类比迁移，又可得到四边形FNBD是平行四边形.从而证得△NFP ≌△DBE （AAS ）.故证得CG =DE +DF．图13图12（3）如图13，过点B 作BP ∥DF ，交CF 的延长线于点P ，过点F 作FN ∥DB 交BP 于点N ，证法与第（2）小题思路完全一致，类比即得，故不需要证明.【评析】此题中图形变化的过程其实质不变，解题思路必然关联，所以第（1）小题中得到的全等三角形很可能在后续问题中被使用.类比图11（1）补出初始图形后思路水到渠成，第（3）小题与第（2）小题的证明更是如此，问题的解决策略没有发生变化.这就要求学生在复习备考中深入思考，交换条件和结论、移动图形位置等变化，看结果如何，从而达到事半功倍之效.3.寻找核心本质例7（黑龙江·佳木斯卷）如图14，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，DC =EC ，连接DE ，AE ，BD ，点M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，连接PM ，PN ，MN.（1）BE 与MN 的数量关系是．（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到图14（2）和图14（3）的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图14（2）或图14（3）进行证明．A C E BN MDP（2）A C EB NM DP （1）AC EBN MDP（3）图14解析：（1）如图14（1），由已知可得AD =BE ，且AD ⊥BE ，故可得△PMN 为等腰直角三角形，且PM =.又由M ，N ，P 分别是AE ，BD ，AB 的中点，可知所求的BE 与MN 的关系即为2PM 与MN 的关系，即BE =2MN .（2）找BE 与MN 的关系即找PM 与MN 的关系，则仍需要证明△PMN 为等腰直角三角形，即需证明AD ，BE 相等且垂直.如图15，连接AD ，延长BE ，分别交AC ，AD 于点F ，H ，由DC =EC ，BC =AC ，根据“手拉手”模型，可证得△BCE ≌△ACD.所以AD =BE.在△AHF 和△BCF 中，又有∠AFH =∠BFC ，∠DAC =∠CBE ，所以∠AHF =∠BCF =90°，即AD ⊥BE ，从而使结论得证.同理，如图16，连接AD ，交EB 于点H ，以下证明思路与图14（2）相同，过程略.A CE BN MDP图15ACE BN MD P图16HHF 【评析】此题中，要得到BE 与MN 的关系，就要抓住本质来完成，即△PMN 为等腰直角三角形，每道小题的说理证明都是围绕这一本质展开的.因此，在解决问题时，要将前后小题进行比较对照，充分考虑在图形变换过程中哪些本质没变，导致哪些结论没变，对最终问题解决有什么影响，进而求解结论.三、解法欣赏若一道中考数学试题可以通过不同的角度、不同的思维途径、采用多种方法探寻解法，那么其一定值得称道.因为这种策略选择的多样性，提高了学生综合运用已学知识解答数学问题的技能，锻炼了思维的灵活性和创新性.而提升思维品质、培养思维灵活性的训练是培养“四能”不可或缺的手段之一.例8（山西·太原卷）综合与实践.问题情境：如图17（1），点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB =90°，将Rt△ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE′于点F ，连接DE ．猜想证明：（1）试判断四边形BE′FE 的形状，并说明理由；（2）如图17（2），若DA =DE ，试猜想线段CF 与FE′的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图17（1），若AB =15，CF =3，试直接写出DE 的长．E′E DCF B A（2）ABEC DFE′（1）图17解析：（1）由旋转的性质，可得∠AEB =∠CE ′B =90°，BE =BE ′，∠EBE ′=90°.故四边形BE ′FE 是正方形.（2）方法1：如图18，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，由等腰三角形的性质，可得AH =12AE ，DH ⊥AE .由“AAS ”，可得△ADH ≌△BAE .可得AH =BE =12AE .由旋转的性质，可得AE =CE ′，可得结论CF =FE′.E CDF E′H 图18BECDF E′AM H N图19方法2：如图19，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，连接DF ，延长EA 至点N ，使AN =CF ，连接DN ，易得△DCF ≌△DAN .所以DN =DF ，AN =EF.所以AN =EF =CF =FE′.方法3：如图20，连接CE ，因为AD =DE ，故∠DAE =∠DEA .同理，可得∠DEC =∠DCE .由四边形DAEC 的内角和为360°，得∠AEC =12×()360°-90°=135°.所以∠CEF =45°.故△ECF 为等腰直角三角形，从而可得结论.BECDF E′AM图20方法4：如图20，连接CE ，由四边形DAFC 的内角和为360°，得∠DAF +∠DCF =180°.又因为∠DEA +∠DEF =180°，且∠DAE =∠DEA ，所以∠DEF =∠DCF .所以∠FCE =∠FEC .故△ECF 为等腰直角三角形，从而可得结论.方法5：如图21，连接CE ，延长DC ，由旋转的性质可得∠EAB =∠BCE ′.故∠DAE =∠DEA =∠NCE ′.所以∠DEF =∠DCF .所以∠FCE =∠FEC .故△ECF 为等腰直角三角形，可得结论.B ECDF E′ANM图21B ECDF E′AM HN图22方法6：如图22，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，连接CE ，过点D 作DN ⊥CE 于点N ，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得∠HDN =12∠ADC =45°.而四边形DHEN 的内角和为360°，所以∠AEC =135°.故可得△ECF 为等腰直角三角形，可得结论.（3）利用勾股定理，可求得BE ′=9，再利用勾股定理，可求出DE 的长为317．【评析】此题是一道关于四边形的综合题，考查了正方形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键.第（2）小题中，对于图形观察和题干阅读的侧重点不同导致了解法的多样化，但这些方法都来自复习过程中常见的解题策略，只是需要猜想CF =FE ′，从问题入手进行思考.总之，2020年全国各地中考数学试卷中“综合与实践”领域的试题发挥着基础性、阅读性、应用性、整合性的特点，在考查经验、思想、能力和方法上做文章，贯彻落实了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的基本理念.研究“综合与实践”领域内容的试题有利于提高能力、提升素养、增长经验，这就要求教师在注重“四基”和“四能”教学的基础上，落实“综合与实践”领域的教学要求，落实《标准》的理念和评价要求，更多地传承数学文化，实现数学价值，厚植数学情怀，以中考试题中“综合与实践”的内容为载体，为数学教学改革带来充满生机和活力的新局面.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会．《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［3］全国中小学教师继续教育网组编.2011年版义务教育课程标准解读（初中数学）［M ］.北京：中国轻工业出版社，2012.。
九年级中考题-综合实践
九年级数学折叠中的数学问题数学推理试题（13分）综合与实践：动手操作：第一步，如图，将一长方形纸片ABCD沿AB、DC边中点H、K所在直线对折，再沿AD、BC边中点M、N所在直线对折后展开，两次折痕交点记作O.第二步：再沿过点A（B）的直线折叠，使点D（C）恰好落在点O上，折痕记作AE(BG)第三步：将纸块展开铺平，折痕AE与MN交于点F，图中虚线为折痕，连接AO、BO、EO、GO。
猜想与证明：（1）试猜想AD与AB的数量关系，并加以证明；（2）如图⑥：试判断四边形EFOG的形状，并说明理由；问题解决：（3）如果AD=3,点P是DC边上不与点D重合的一点，连接PO、PB，请直接写出POB周长的最小值。
D H C M N A K B D(C)HM(N)OA(B)KD(C)HM(N)OA(B)K①②③D(C)E(G)HM(N)O（D）A(B)K④D E H G C M F O N AK B D E H G CM F O NA K B⑤⑥参考答案：【解析】（1）由轴对称性质及矩形的性质可以得出DAO ∆是等边三角形，︒=∠=∠=∠30EAO DAE KAO ，从而得到OK=2AD,再在直角三角形中由勾股定理求出AK=23，进一步得出AB 与AD 的数量关系：ADAB 3=（2）利用(1)中结论、折叠轴对称性质、三角形中位线可证得FO=2EH,再由轴对称性质得出EG=2EH,从而得出EG=FO,证得四边形EFOG 是平行四边形，再通过利用中位线性质计算可得EG=EF,从而证得四边形EFOG 是菱形。
（3）由题可知AE 与KH 的延长线交于点S，点S 就是点O 关于DC 的对称点，连接SB 与DC 交于点P，可知，此时POB ∆周长最小，再利用轴对称性质、勾股定理求得线段OB、SB 的长度。
则OB+SB 的值就是POB ∆周长的最小值。
DE H G C RMFO N AK B DE H G (P)CRM F O NA KBS解：（1）ADAB 3=………………………………1分如图连接DO 交AE 于点R。
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中考数学阅读理解（四）综合实践活动实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75
i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？
解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，
由题意可得：90150 72x
=，
解得：120
x=，
经检验：120
x=是分式方程的解，
王诗嬑的的影子长为120cm；
（2）正确。
因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，
则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，
而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，
∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；
（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，CDE
∆为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG CE
⊥于点G，
由题意可得：100
BC=，100
CF=，
斜坡坡度1:0.75
i=，
∴140.753
DE FG CE CG ===， ∴设4FG m =，3CG m =，在CFG ∆中，222(4)(3)100m m +=， 解得：20m =，
60CG ∴=，80FG =，
160BG BC CG ∴=+=，
过点F 作FH AB ⊥于点H ，
同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG BE ⊥，AB BE ⊥，FH AB ⊥，
可知四边形HBGF 为矩形，
∴9072AH AH HF BG
==， 90901602007272AH BG ∴=
⨯=⨯=， 20080280AB AH BH AH FG ∴=+=+=+=，
故高圆柱的高度为280cm 。
【小结】
知识点：投影、成比例线段、立体几何初步知识、解分式方程等； 数学思想：转化的数学思想、建立数学模型的数学思想； 能力培养：解决实际问题的能力；
来源：原题来源于2020年四川省攀枝花市中考数学试卷。