最新北师大版八年级数学下册各章重点难点题汇总附解析

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

难点解析北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合训练试题(含解析)

八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、点()2,A m 向上平移2个单位后与点(),1B n -关于y 轴对称，则n m =（）．A ．1B ．12C ．18-D ．192、有四张形状相同的卡片，正面分别印着矩形、菱形、等边三角形、圆四个图案，卡片背面全一样，随机抽出一张，刚好抽到正面的图案是中心对称图形的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．13、如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''△．使点B '恰好落在BC 边上，∠BAC ＝120°，AB '＝CB '，则∠C 的度数为（）A ．18°B ．20°C ．24°D ．28°4、如图，三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使∠的度数是（）点C的对应点C'恰好落在边AB上，则CBA'A．80︒B．50︒C．40︒D．20︒5、下列四个图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．6、下列各APP标识的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q 是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A 经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（）A．12 B．14 C．16 D．188、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80°B．70°C．60°D．50°9、下列图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，则n m +的值为______．2、点(4,3)M -关于原点对称的点的坐标为________3、点A （﹣2，﹣1）绕点B （﹣1，0）旋转180°得到点C ．则点C 坐标为 ___．4、如图，将三角形ABC 沿射线BF 方向平移到三角形DEF 的位置，10BC =厘米，7EC =厘米，则平移距离为__厘米．5、如图，将Rt △ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到△CDO ，则点D 的坐标是_________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 的坐标为（0，﹣1）．（1）在如图的方格纸中把△ABC 以点O 为位似中心扩大，使放大前后的相似比为1：2，画出△A 1B 1C 1，并标出△A 1B 1C 1外接圆的圆心P ，直接写出P 点的坐标．（△ABC 与△A 1B 1C 1在位似中心O 点的两侧，A ，B ，C 的对应点分别是A 1，B 1，C 1）（2）作出△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ，并求出点B 经过的路径长．（结果保留根号和π）2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．3、图1、图2均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上．（1）在图1中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为D1、D2）（2）在图2中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（试画出2个符合要求的点，分别记为E1、E2）4、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时，①直接写出P BP '∠ 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．5、如图，直线CD 与EF 相交于点O ，将一直角三角尺AOB 的直角顶点与点O 重合．（1）如图1，若90EOD ∠=︒，试说明BOD EOA ∠=∠；（2）如图2，若60EOD ∠=︒，OB 平分EOD ∠．将三角尺AOB 以每秒5°的速度绕点O 顺时针旋转，设运动时间为t 秒．①042t ≤≤，当t 为何值时，直线OE 平分AOB ∠；②当1218t <<，三角尺AOB 旋转到三角POQ （A 、B 分别对应P 、Q ）的位置，若OM 平分COP ∠，求AOM EOP∠∠的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】利用平移及关于y 轴对称点的性质即可求解．【详解】解：把()2,A m 向上平移2个单位后得到点()2,2m + ，∵点()2,2m +与点(),1B n -关于y 轴对称，∴2n =- ，21m +=- ，∴3m =- ，∴()2139n m -=-=，故选：D ．【点睛】本题考查坐标与图形变化平移、轴对称的性质及负整数指数幂，解题关键是掌握平移、轴对称的性质及负整数指数幂．2、C【分析】先判断出矩形、菱形、等边三角形、圆的中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，再根据概率公式解答即可．【详解】解：在矩形、菱形、等边三角形、圆中，中心对称图形有矩形、菱形和圆，共3个；则P（中心对称图形）＝34；故选：C．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，列举法求概率，掌握中心对称图形的识别，列举法求概率是解题关键．3、B【分析】由AB'＝CB'，根据等边对等角可得∠C=∠CAB'，个三角形的外角的性质可得，∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，由旋转的性质可得AB=AB'，进而可得∠B=∠AB'B=2∠C，根据三角形的内角和定理可得∠B+∠C+∠CAB=180°，进而求得∠C=20°.【详解】解：∵AB'=CB'，∴∠C=∠CAB'，∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，∵旋转得AB=AB'，∴∠B=∠AB'B=2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB=180°，∴3∠C =180°-120°，∴∠C =20°.故选B【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是解答本题的关键．4、A【分析】根据旋转的性质，可得ABC A BC ''∠=∠ ，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠ABC =∠A'BC'∵40ABC ∠=︒．∴=404080ABC A BC CBA ''+∠︒+'=︒=∠∠︒．故选：A【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．5、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A 、C 、D 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．6、C【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、图形关于中心旋转180°能完全重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；D、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7、A【分析】连接CQ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB＝90，延长BC交x轴于点E，过C 点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．【详解】解：连接CQ，如图：由中心对称可知，AQ＝BQ，由轴对称可知：BQ＝CQ，∴AQ＝CQ＝BQ，∴∠QAC＝∠ACQ，∠QBC＝∠QCB，∵∠QAC+∠ACQ+∠QBC+∠QCB＝180°，∴∠ACQ+∠QCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图，∵A（2，0），C（8，6），∴AF＝CF＝6，∴△ACF是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB，∴∠AEC＝45°，∴E点坐标为（14，0），设直线BE的解析式为y＝kx+b，∵C，E点在直线上，可得：14086k b k b ，解得：114k b ， ∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点睛】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键． 8、A【分析】根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．【详解】证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，∴∠ADC =∠DAC ，∵点A ，D ，E 在同一条直线上，∴18050∠=︒-∠=︒，ADC EDC∴∠DAC=50°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°故选A．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．9、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、B【分析】由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．【详解】解：A 、C 、D 都是轴对称图形，只有B 选项是中心对称图形.故选：B.【点睛】本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．二、填空题1、-4【分析】根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：由点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，可得n ＝1，5m =-，∴=15=4n m +--故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征：横坐标和纵坐标都互为相反数．2、(43)-，【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：由M （4，−3）关于原点对称的点N 的坐标是（−4，3），故答案为：（−4，3）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．3、(0,1)【分析】过A 、C 两点向x 轴作垂线，得到CF 和AE 相等，BF 和BE 相等，即可得到结果．【详解】如图，过A 、C 两点向x 轴作垂线分别交于点E 、F ，点(2,1)A --绕点(1,0)B -旋转180︒得到点C ，1CF AE ∴==，1BF BE ==，(0,1)C ∴．故答案为：(0,1) ．【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．4、3【分析】根据平移的性质和线段的和差关系即可求得BE 即平移的距离【详解】解：由平移的性质可知，平移的距离1073(cm)BE BC EC =-=-=，5、（-2，3）【分析】根据旋转的性质及直角三角形的性质解答．【详解】解：由图易知DC ＝AB ＝2，CO ＝AO ＝3，∠OCD ＝∠OAB ＝90°，∵点A 在第二象限，∴点D 的坐标是（−2，3）,故答案为：（−2，3）．【点睛】注意旋转前后对应线段的长度不变，构造全等直角三角形求解即可．三、解答题1、（1）见解析，点P 的坐标为（3，1）；（2）见解析，B【分析】（1）根据位似变换的定义得出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；（2）将点A 、B 分别绕点C 逆时针旋转90°后得到其对应点，再首尾顺次连接，继而利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1和点P 即为所求；点P 的坐标为（3，1），（2）如图，△A2B2C即为所求，由题BC=点B=．【点睛】本题考查网格与作图—作位似图、旋转、图形与坐标变换、勾股定理、弧长公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2、（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），见解析；（2）P点坐标为（﹣0）或（，0）或（4，0）或（2，0）【分析】（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．【详解】解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，（2）如图，设P 点坐标为（t ，0），OA ==当OP ＝OA 时，P 点坐标为222,0P 或1P ；当AP ＝AO 时，P 点坐标为3P （4，0），当PO ＝PA 时，P 点坐标为4P （2，0），综上所述，P 点坐标为()-或()或（4，0）或（2，0）．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，中心对称的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键.3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行画图；（2）根据中心对称的图形的定义画图．【详解】（1）如图：（2）如图：【点睛】本题主要考查了利用轴对称、中心对称设计图案，解题的关键是掌握寻找中心对称的中心、轴对称的对称轴与画图的综合能力．4、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12AP ，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解；（2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ABP ACP SAS '≌（）．∴BP CP '= ．（2）①∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∵ABP ACP '≌ ．∴ABP ACP '∠=∠ ，∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝；②PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．∴BN BP '= ．∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．即∠NBP ＝60°．∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝．∴P BP NBP '∠∠＝．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PNB PP B '≌ （SAS ）．∴PN PP '= ．∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP ' 为等边三角形，∴P P AP '= ．∴PN AP = ，∴PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．5、（1）见解析；（2）①3t =或39t =；②12AOM EOP ∠=∠ 【分析】（1）根据垂直的性质即可求解；（2）①分当OE 平分AOB ∠时，和OF 平分AOB ∠时根据旋转的特点求出旋转的角度即可求解； ②根据1218t <<，可知OP 在EOB ∠内部，根据题意作图，分别表示出EOP ∠， AOM ∠，故可求解．【详解】解：（1）∵90AOB EOD ∠=∠=︒，∴90AOE EOB EOB BOD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AOE BOD ∠=∠．（2）①∵OB 平分EOD ∠，60EOD ∠=︒， ∴1302BOE EOD ∠=∠=︒．情况1：当OE 平分AOB ∠时，则旋转之后1452BOE AOB ∠=∠=︒， ∴OB 旋转的角度为453015︒-︒=︒，∴515t =，3t =．情况2：当OF 平分AOB ∠时，同理可得，OB 旋转的角度为45150195︒+︒=︒，∴5195t =，39t =．综上所述，3t =或39t =．②∵1218t <<，∴OP 在EOB ∠内部，如图所示，由题意知，5AOP t ∠=︒，∴()560EOP AOP AOE t ∠=∠-∠=-︒，∵OM 平分COP ∠， ∴()11556030222COM COP t t ⎛⎫∠=∠=+︒=+︒ ⎪⎝⎭， ∴5530603022AOM COM AOC t t ⎛⎫⎛⎫∠=∠-∠=+︒-︒=-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()530125602t AOM EOP t ⎛⎫-︒ ⎪∠⎝⎭==∠-︒．【点睛】此题主要考查角度的综合判断与求解，解题的关键是根熟知垂直的性质、角平分线的性质及角度的和差关系．。

难点详解北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转专项攻克试卷(含答案详解)

八年级数学下册第三章图形的平移与旋转专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列图形中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2、下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．圆B．平行四边形C．直角三角形D．等边三角形4、在平面直角坐标系中，点()4,1A -关于原点对称的点的坐标是（）A ．()41-,B ．()4,1C ．()4,1-D ．()4,1--5、点P (－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(－3，1)B ．(3，1)C ．(3，－1)D ．(－3，－1)6、如图，A B O '''是由ABO 平移得到的，点A 的坐标为(-1，2)，它的对应点A '的坐标为(3，4)，ABO 内任意点P (a ，b )平移后的对应点P '的坐标为（）A ．(a ，b )B ．(-a ，-b )C ．(a +2，b +4)D ．(a +4，b +2)7、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形9、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,6)，沿x 轴向右平移后得到A '，A 点的对应点A '在直线35y x =上，则点B 与其对应点B '之间的距离为（）A ．4B ．6C ．8D ．1010、下列各APP 标识的图案是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、点(4,3)M -关于原点对称的点的坐标为________2、如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为_____度．3、在平面直角坐标系中，与点(31)P ,关于原点对称的点的坐标是________．4、如图，在Rt ABC 中，90,30,2ACB B AC ∠=︒∠=︒=，将ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ''△，点A 的对应点为A '，点A '恰好在AB 边上，则点B ′与点B 之间的距离为_____________．5、正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示．A(0，3)，B(2，4)，C(3，2)，D(1，10）．将正方形ABCD绕D点旋转90°后，点B到达的位置坐标为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2；（3）直接写出下列点的坐标：A1，B2．2、如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．3、已知点P（3a﹣15，2﹣a）．（1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值；（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．4、在平面直角坐标系xOy中，点P为一定点，点P和图形W的“旋转中点”定义如下：点Q是图形W上任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转90°，得到点Q'，点M为线段PQ'的中点，则称点M为点P 关于图形W的“旋转中点”．（1）如图1，已知点()0,4A ，()2,0B -，()0,2C ，①在点()0,3H ，()1,1G ，()2,2N 中，点是点A 关于线段BC 的“旋转中点”； ②求点A 关于线段BC 的“旋转中点”的横坐标m 的取值范围；（2）已知()2,0E ，()0,2F ，()4,0G ，点(),0D t ，且⊙D 的半径为2．若OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，求出t 的取值范围．5、如图，30HAB ∠=︒，点B 与点C 关于射线AH 对称，连接AC ．D 点为射线AH 上任意一点，连接CD ．将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CE ，连接BE ．（1）求证：直线EB 是线段AC 的垂直平分线；（2）点D 是射线AH 上一动点，请你直接写出ADC ∠与ECA ∠之间的数量关系．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2、B【分析】根据中心对称图形的定义求解即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．3、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；B ．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C ．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；D ．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．4、A【分析】关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数，根据原理直接作答即可.【详解】解：点()4,1A -关于原点对称的点的坐标是：4,1,故选A【点睛】本题考查的是关于原点成中心对称的两个点的坐标规律，掌握“关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键.5、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（-3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．6、D【分析】根据点A的坐标和点A'的坐标确定平移规律，即可求出点P(a，b)平移后的对应点P'的坐标．【详解】解：∵△A′B′O′是由△ABO平移得到的，点A的坐标为(-1，2)，它的对应点A′的坐标为(3，4)，∴△ABO平移的规律是：先向右移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，∴△ABO内任意点P(a，b)平移后的对应点P′的坐标为(a+4，b+2)．故选：D．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．点向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；点向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．7、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．8、D【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的定义去判断即可．【详解】∵等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴A不符合题意；∵平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，∴B不符合题意；∵正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，∴C不符合题意；∵正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，∴D符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，轴对称图形即将一个图形沿着某条直线折叠,直线两旁的部分完全重合，中心对称图形即将一个图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，熟练掌握两种图形的定义是解题的关键．9、D【分析】先根据平移的特点可知所求的距离为BB '，且BB AA ''=，点A '纵坐标与点A 纵坐标相等，再将其代入直线35y x =求出点A '横坐标，从而可知AA '的长，即可得出答案．【详解】解：∵A （0，6）沿x 轴向右平移后得到A '，∴点A '的纵坐标为6，令6y =，代入直线35y x =得，10x =， ∴A '的坐标为（10，6），∴=10AA '，由平移的性质可得=10BB AA ''=，故选D ．【点睛】本题考查了平移的性质、一次函数图像上点的坐标特点，掌握理解平移的性质是解题关键．10、C【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、图形关于中心旋转180°能完全重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；D、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．二、填空题，1、(43)【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：由M（4，−3）关于原点对称的点N的坐标是（−4，3），故答案为：（−4，3）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．2、15【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．【详解】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，∴△CBD是等腰三角形，∴∠BDC＝∠BCD，∵∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝（180°﹣∠CBD）÷2＝15°．故答案为15．【点睛】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B 顺时针旋转求出即可．3、（-3，-1）【分析】由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案.【详解】P,关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）.解：在平面直角坐标系中，与点(31)故答案为：（-3，-1）.【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．4、【分析】由旋转的性质，可证ACA'∆都是等边三角形，由勾股定理求出BC的长即可．∆、BCB'【详解】解：如图，连接BB'，将ABC ∆绕点C 按逆时针方向旋转得到△A B C ''，BCB ACA ''∴∠=∠，CB CB '=，CA CA '=，30B ∠=︒60A ∴∠=︒，ACA '∴∆是等边三角形，60ACA ∴'∠=︒，60BCB '∴∠=︒，BCB '∴∆是等边三角形，BB BC '∴=，在Rt ABC 中，24AB AC ==，BC ∴BB '∴=，故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．5、 (4，0)或(﹣2，2)【分析】利用网格结构找出点B 绕点D 旋转90°后的位置，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标即可．【详解】解：如图，点B 绕点D 旋转90°到达点B ′或B ″，点B ′的坐标为（4，0），B ″（﹣2，2）．故答案为：（4，0）或（﹣2，2）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）（-3，-2），（3，-1）【分析】（1）先根据网格找到A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1，然后顺次连接A 1、B 1、C 1即可；（2）先根据网格找到A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2，然后顺次连接A 2、B 2、C 2即可；（3）根据（1）（2）说画图形求解即可．【详解】解：（1）如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，222A B C △即为所求；（3）由图可知，1A 的坐标为（-3，-2），2B 的坐标为（3，-1），故答案为：（-3，-2）；（3，-1）．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转变化，轴对称变化，画旋转图形和轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．3、（1）1a =或3a =；（2）(12,4)Q -或(6,2)Q -；（3）(6,1)P --或(3,2)P --．【分析】（1）根据“点P 到x 轴的距离是1”可得21a -=，由此即可求出a 的值；（2）先根据（1）的结论求出点P 的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得；（3）先根据“点P 位于第三象限”可求出a 的取值范围，再根据“点P 的横、纵坐标都是整数”可求出a 的值，由此即可得出答案．【详解】解：（1）点P 到x 轴的距离是1，且(315,2)P a a --，21a ∴-=，即21a -=或21a -=-，解得1a =或3a =；（2）当1a =时，点P 的坐标为(12,1)P -，则点Q 的坐标为(12,13)Q -+，即(12,4)Q -，当3a =时，点P 的坐标为(6,1)P --，则点Q 的坐标为(6,13)Q --+，即(6,2)Q -，综上，点Q 的坐标为(12,4)Q -或(6,2)Q -；（3）点(315,2)P a a --位于第三象限，315020a a -<⎧∴⎨-<⎩，解得25a <<，点P 的横、纵坐标都是整数，3a ∴=或4a =，当3a =时，3156,21a a -=--=-，则点P 的坐标为(6,1)P --，当4a =时，3153,22a a -=--=-，则点P 的坐标为(3,2)P --，综上，点P 的坐标为(6,1)P --或(3,2)P --．【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．4、（1）①点(0,3)H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”②01m ≤≤；（2）t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【分析】（1）①分别假设点H G N ，，为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，求出点Q （旋转之前的点），查看点Q 是否在线段BC 即可；②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”的坐标为(),m n ，按照题意，逆向思维找到点Q ，根据点Q 在线段BC 上，求解即可；（2）设旋转中点M 的坐标为(),m n ，则应满足()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，找到点Q '，线段Q F '的中点为M ，再将点Q '逆时针旋转90︒，得到点Q ，点Q 应该在使得点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界），求解即可．【详解】解：（1）①假设点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()0,3H 为线段AQ '的中点，即002432x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,0Q -，此时点Q 在线段BC 上，符合题意；假设点()1,1G 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()1,1G 为线段AQ '的中点，即012412x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2Q '-，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,2Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；假设点()2,2N 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()2,2N 为线段AQ '的中点，即022422x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即()4,0Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()0,4Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；综上所得，点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”M 的坐标为(),m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段AQ '的中点，即0242x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得224x m y n =⎧⎨=-⎩即()2,24Q m n '-，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()24,2Q n m -+，由题意可知点Q 在线段BC 上，即2240022n m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，解得01m ≤≤；（2）设OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，为(),M m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段GQ '的中点，即4202x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得242x m y n=-⎧⎨=⎩即()24,2Q m n -'，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,24Q n m --，由题意可知点Q 在⊙D 上，即()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，解得13m n ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩∴0≤2n +t≤2或-2≤2n +t≤0，∴222t t n --≤≤或222t t n +--≤≤，设EF 解析式为y kx b =+把坐标代入得，220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩， ∴EF 解析式为2y x =-+，由题意可得：点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界），∴200m n m n +⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞， ∴0＜n ＜2，又∵2222t t n +--≤≤-， ∴02222t t ⎧->⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩，解得20t -<＜，∵222t t n +--≤≤，∴2+0222t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩， -4-2t ＜＜，∴t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【点睛】此题考查了坐标系点坐标的旋转变换，涉及了不等式组的求解，新概念的理解，解题的关键是理解点P 和图形W “旋转中点”的概念，并掌握点绕原点顺时针或逆时针旋转90︒后的坐标公式．绕原点旋转90︒的坐标公式：点(),x y 绕原点顺时针转90︒后坐标为(),y x -，逆时针转旋转90︒坐标为(),y x -．5、（1）见解析；（2）90ADC ECA ∠=︒+∠或90ADC ECA ∠=︒-∠【分析】（1）由轴对称的性质和旋转变换的性质得出三角形全等的条件，由SAS 推论出()ECA DCB SAS ≅△△，转换证明出AB BC =，AE EC =，即可得证所求；（2）画图可得，有两种情况．【详解】（1）证明：连接AE ，DB ，CB∵点B 与点C 关于射线AH 对称，30HAB ∠=︒∴CD BD =，AC AB =∴30HAB HAC ∠∠==︒∴260CAB HAC ∠∠==︒∴ABC 为等边三角形，60ACB ∠=︒∵60DCE ∠=︒∴DCE ACD ACB ACD ∠∠∠∠-=-ECA DCB ∠=∠∴在ECA △和DCB 中，EC DC ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ECA DCB SAS ≅△△∴BD EA =∵DC BD EC ==，∴AE EC =又AB BC =∴EB 垂直平分AC（2）分两种情况来讨论：第一种情况，如图，当点D 在ABE △内部时：∵点B 与点C 关于射线AH 对称，∴90CFA ∠=︒∴90ADC CFA DCB DCB ∠=∠+∠=︒+∠∵ECA DCB ∠=∠∴90ADC ECA ∠=︒+∠第二种情况，如图，当点D 在ABC 外部时：∵点B 与点C 关于射线AH 对称，∴90CFA ∠=︒∴90ADC CFA DCB DCB ∠=∠-∠=︒-∠∵ECA DCB ∠=∠∴90ADC ECA ∠=︒-∠【点睛】本题考察了线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质和判定以及旋转变换的性质特点，利用旋转变换的性质推论出全等所需的条件，是本题的关键．。

难点详解北师大版八年级数学下册第六章平行四边形难点解析试题(含答案解析)

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OA＝OC B的坐标为（）A．1) B．(1) C．＋1，1) D．(11)2、若一个多边形的每一个内角均为120°，则下列说法错误的是（）A．这个多边形的内角和为720°B．这个多边形的边数为6C．这个多边形是正多边形D．这个多边形的外角和为360°3、将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°4、如图，已知正方形ABCD中，G、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、GP的中点，当P在BC 上从B向C移动而G不动时，下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长不能确定5、如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．108°B．36°C．72°D．144°6、正五边形的外角和是（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒7、一个n边形的所有内角之和是900°，则n的值是（）．A．5 B．7 C．9 D．108、正八边形的外角和为（）A．360︒B．720︒C．900︒D．1080︒9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝4，点D是斜边AB的中点，以CD为底边在其右侧作等腰三角形CDE ，使∠CDE ＝∠A ，DE 交BC 于点F ，则EF 的长为（）A ．3BCD ．3.510、如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 于E ，在线段AB 上，连接EF 、CF ．则下列结论：①∠BCD =2∠DCF ；②∠ECF =∠CEF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ，其中一定正确的是（）A ．②④B ．①②④C ．①②③④D ．②③④第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，若OM ＝1.5，ON ＝1，则平行四边形ABCD 的周长是________．2、若正n 边形的每个内角都等于120°，则这个正n 边形的边数为________．3、如图，1,2,3∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，则123∠+∠+∠=___________4、每个外角都为36°的多边形共有___条对角线．5、如图所示，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若 2.5EF =，则EBF △的面积为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图的网格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，三角形ABC 的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出三角形ABC 向上平移4个单位后的三角形A 1B 1C 1；（2）画出三角形A 1B 1C 1向左平移5个单位后的三角形A 2B 2C 2；（3）经过（1）次平移线段AC 划过的面积是．2、问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图（1），在正△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60°，则BM ＝CN ；②如图（2），在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90°，则BM ＝CN ．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图（3），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108°，则BM ＝CN ．任务要求：（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索；①在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，试问当∠BON 等于多少度时，结论BM ＝CN 成立（不要求证明）；②如图（4），在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，∠BON ＝108°时，试问结论BM ＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．3、如图，已知ABC ∆，以AB 为直径的半⊙O 交AC 于D ，交BC 于E ，BE CE =，65C =︒∠，求DOE∠的度数．4、如图，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求（1）ABCD的面积；（2）△AOD的周长．5、如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明BE=DF．-参考答案-一、单选题1、C【分析】作BD x⊥，求得OD、BD的长度，即可求解．【详解】解：作BD x ⊥，如下图：则90BDA ∠=︒在平行四边形OABC 中，AB OC OA ==AB OC ∥∴45DAB AOC ∠=∠=︒∴ADB △为等腰直角三角形则222AD BD AB +=，解得1AD BD ==∴1OD OA AD =+1,1)B故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．2、C【分析】先根据多边形的外角和求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和、正多边形的定义即可得．【详解】解：多边形的每一个内角均为120︒，∴这个多边形的每一个外角均为60︒，∴这个多边形的边数为360606︒÷︒=，则选项B 说法正确；∴这个多边形的内角和为()18062720︒⨯-=︒，则选项A 说法正确；多边形的外角和为360︒，∴选项D 说法正确；各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，∴选项C 说法错误；故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、正多边形的定义，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题关键．3、C【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：C【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4、C【分析】AG，因此线段EF的长不变．连接AG，根据三角形中位线定理可得EF= 12【详解】解：如图，连接AG，∵E、F分别是AP、GP的中点，∴EF为△APG的中位线，AG，为定值．∴EF= 12∴线段EF的长不改变．故选C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边AG不变，则对应的中位线的长度就不变．5、C【分析】过点B作l1的平行线BF，利用平行线的性质推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，两个式子相减即可．【详解】解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF，∵l 1∥l 2∥BF ，∴∠ABF =∠2，∠CBF +∠1=180°①，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴()=521805=108ABC ∠-⨯÷，∴∠ABF +∠CBF =∠CBF +∠2=108°②，∴①-②得∠1-∠2=72°，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁．6、B【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【详解】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．7、B【分析】n-⨯=，由此进行求解即可．根据n边形内角和公式即可得到()2180900【详解】解：∵一个n边形的所有内角之和是900°，n-⨯=，∴()2180900n=，∴7故选B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键在于能够熟练掌握多边形内角和公式．8、A【分析】根据多边形的外角和都是360︒即可得解．【详解】解：∵多边形的外角和都是360︒，∴正八边形的外角和为360︒，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和是360︒是解题的关键．9、D【分析】根据勾股定理求出BC ，根据直角三角形的性质得到CD =AD ，证明AC ∥DF ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，AB =4，则BC在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是斜边AB 的中点，∴CD =12AB =AD ，∴∠DCA =∠A ，∵∠CDE =∠A ，∴∠CDE =∠DCA ，∴AC ∥DF ，∴∠EFC =∠ACB =90°，∵AC ∥DF ，点D 是斜边AB 的中点，∴DF =12AC =12，CF =12BC 设EF =x ，则ED =x +12=CE ，在Rt △EFC 中，EC 2=EF 2+CF 2，即（x +12）2=x 2+2，解得：x =3.5，即EF =3.5，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．10、B【分析】根据易得DF=CD，由平行四边形的性质AD∥BC即可对①作出判断；延长EF，交CD延长线于M，可证明△AEF≌△DMF，可得EF=FM，由直角三角形斜边上中线的性质即可对②作出判断；由△AEF≌△DMF 可得这两个三角形的面积相等，再由MC＞BE易得S△BEC＜2S△EFC，从而③是错误的；设∠FEC=x，由已知及三角形内角和可分别计算出∠DFE及∠AEF，从而可判断④正确与否．【详解】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F 为AD 中点，∴AF =FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DF AFE DFM ⎧⎪⎨⎪=∠=∠=∠⎩∠ ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE =MF ，∠AEF =∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC =90°，∴∠AEC =∠ECD =90°，∵FM =EF ，∴FC =FE ，∴∠ECF =∠CEF ，故②正确；③∵EF =FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，122ECM EFC S CM CE S =⨯=，12BEC S BE CE =⨯ ∴S △BEC ＜2S △EFC ，故S △BEC =2S △CEF ，故③错误；④设∠FEC =x ，则∠FCE =x ，∴∠DCF =∠DFC =90°﹣x ，∴∠EFC =180°﹣2x ，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的面积等知识，构造辅助线证明三角形全等是本题的关键和难点．二、填空题1、10【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，再由条件M、N分别为AB、BC的中点可得MO 是△ABD的中位线，NO是△BCD的中位线，再根据三角形中位线定理可得AD、DC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴MO＝12AD，NO＝12CD，∵OM＝1.5，ON＝1，∴AD＝3，CD＝2，∴平行四边形ABCD的周长是：3＋3＋2＋2＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及中位线定理，关键是掌握平行四边形对边相等，对角线互相平分．2、6【分析】多边形的内角和可以表示成(2)180n -⋅︒，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120n ︒，列方程可求解．【详解】解：设所求正n 边形边数为n ，则120(2)180n n ︒=-⋅︒，解得6n =，故答案是：6．【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．3、360°．【分析】利用三角形的外角和定理解答．【详解】解：∵1,2,3∠∠∠是三角形ABC 的不同三个外角，三角形的外角和为360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故答案为：360°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角和定理，三角形的外角的性质，属于中考常考题型．4、35【分析】设这个多边形为n 边形，然后根据多边形外角和为360度以及多边形对角线公式()32n n -进行求解即可．【详解】解：设这个多边形为n 边形，由题意得：36036n ÷=，∴10n =，∴这个多边形的对角线条数()10103352⨯-==条，故答案为：35．【点睛】本题主要考查了多边形外角和，多边形对角线条数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．5、3【分析】根据三角形中位线定理求出CM ，根据直角三角形的性质求出AB 根据勾股定理得出BC ，求出24ABC S ∆=，由中线的性质得1122BCM ABC S S ∆∆==，再根据中位线的性质可得结论．【详解】解：∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴CM =2EF =5，∵∠ACB =90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB =2CM =10，∵∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=∴8BC =∴11682422ABC S AC BC ∆==⨯⨯= ∵CM 是斜边AB 上的中线，∴1122BCM ABC S S ∆∆==∵EF 是CBM ∆的中位线，∴1112344EBF CBM S S ∆∆==⨯=故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）先找出A 、B 、C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可；（2）先找出1A 、1B 、1C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可；（3）从图中可知线段AC 划过的图形为平行四边形11A ACC ，根据平行四边形面积计算公式即可得．【详解】解（1）先找出A 、B 、C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可，如图所示，111A B C ∆即为所求；（2）先找出1A 、1B 、1C 三个点平移后的位置，然后依次连接即可，如图所示，222A B C ∆即为所求；（3）线段AC 划过的图形为平行四边形11A ACC ，4416S =⨯=，故答案为：16．【点睛】题目主要考查图形的平移方法及平行四边形的面积，熟练掌握图形的平移方法是解题关键．2、（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②当108BON ∠=︒时，BM CN =还成立，证明见详解．【分析】（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CAN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：13∠=∠，然后依据全等三角形的判定定理可得：BCM CDN ≌，再由全等三角形的性质即可证明；（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；②连接BD 、CE ，根据全等三角形的判定定理和性质可得：BCD CDE ≌， BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，利用各角之间的关系及等量代换可得：BDM CEN ∠=∠， DBM ECN ∠=∠，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．【详解】解：（1）如选命题①，证明：如图所示：∵ 60BON ∠=︒，∴ 1260∠+∠=︒，∵ 3260∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1360BC CA BCM CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CAN ≌，∴ BM CN =；如选命题②，证明：如图所示：∵ 90BON ∠=︒，∴ 1290∠+∠=︒，∵ 3290∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，1390BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，∴ BM CN =；如选命题③，证明：如图所示：∵ 108BON ∠=︒，∴ 12108∠+∠=︒，∵ 23108∠+∠=︒，∴ 13∠=∠，在 BCM ∆与ΔΔΔΔ中，13108BC CD BCM CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ BCM CDN ≌，∴ BM CN =；（2）①根据（1）中规律可得：当2180()-∠︒=n BON n 时，结论BM CN =成立；②答：当108BON ∠=︒时，BM CN =成立．证明：如图所示，连接BD 、CE ，在BCD 和CDE 中，108BC CD BCD CDE CD DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCD CDE ≌，∴ BD CE =，BDC CED ∠=∠，DBC ECD ∠=∠，∵ 108CDE DEN ∠=∠=︒，∴ BDM CEN ∠=∠，∵ 108OBC OCB ∠+∠=︒，108OCB OCD ∠+∠=︒．∴ MBC NCD ∠=∠，又∵ 36DBC ECD ∠=∠=︒，∴ DBM ECN ∠=∠，在BDM 和CEN 中，BDM CEN BD CE DBM ECN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ BDM CEN ≌，∴ BM CN =．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．3、50︒【分析】先证明OE 为ABC 的中位线，则,OE AC ∥证明65,OEB C 再求解50,BOE 证明50,DAB BOE 再利用三角形的内角和定理及平角的定义，从而可得答案.【详解】解： BE CE =，,OB OA =OE ∴为ABC 的中位线，,∥OE ACC65,65,OEB C=OE OB,B OEB65,BOE18026550,∥OE AC,DAB BOE50,OD OA=,ODA OAD50,AOD18025080,DOE180805050.【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形中位线的定义与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键.4、（1）48（2）11【分析】（1）利用勾股定理先求出高AC，故可求解面积；（2）根据平行四边形的性质求出AO，再利用勾股定理求出OB的长，故可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8∴BC =AD =8∵AC ⊥BC∴∠ACB =90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2=AB 2-BC 2∴6AC∴8648ABCD S BC AC =⋅=⨯=（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC =6 ∴13,2OA OC AC OB OD ==== ∵∠ACB =90°，BC =8∴OB =∴OD OB ==∴8311AOD C AD AO OD =++=+=【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用．5、见详解【分析】由题意易得AB =CD ，AB ∥CD ，AE =CF ，则有∠BAE =∠DCF ，进而问题可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠DCF ，∵E ，F 是对角线AC 的三等分点，∴AE =CF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ），∴BE =DF ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．。

北师大版八年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

(完整版)北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二、等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；三、等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法四、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

第一章三角形的证明第1节等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。

定理2 全等三角形的对应角相等。

推论1 全等三角形的面积相等。

推论2 全等三角形的周长相等。

2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（三线合一）推论 2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。

【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b＜a ＜2C④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A ＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A∠-︒2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。

定理2 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。

2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

新北师大版八年级数学下册第2章《一元一次不等式与一元一次不等式组》复习题含答案解析 (1)

一、选择题（共10题）1. 若实数 a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是 ( )A ． ac >bcB ． a +b >c +bC ． a +c >b +cD ． ab >cb2. 关于 x 的不等式组 {x −3<6(x −2)−1,x −2a ≤0. 有三个整数解，则 a 的取值范围 ( )A ． a >2B ． 52≤a <3C ． 2≤a <3D ． 52<a ≤33. 在下列不等式2+x 3>2x−15的变形过程中，错误的步骤是 ( )① 去分母，得 5(2+x )>3(2x −1)； ② 去括号，得 10+5x >6x −3； ③ 移项、合并同类项，得 −x >−13； ④ 系数化为 1，得 x >13． A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④4. 若关于 x 的不等式组 {x2+x+13>0,3x +5a +4>4(x +1)+3a恰有三个整数解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 1≤a <32 B ． 1<a ≤32 C ． 1<a <32D ． a ≤1 或 a >325. 若整数 a 既使关于 x 的分式方程x−1x−3−a−2x (3−x )=1 的解为非负数，又使不等式组 {x2+a+34>0,−3x +8>5x有解，且至多有 5 个整数解，则满足条件的 a 的和为 ( )A ． −5B ． −3C ． 3D ． 26. 若关于 x 的不等式组 {x+13<x2−1,x <4m,无解，则 m 的取值范围为 ( )A ． m ≤2B ． m <2C ． m ≤2D ． m >27. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P ，Q ，R ，S ，如图所示，则他们的体重关系是 ( )A ． P >R >S >QB ． Q >S >P >RC ． S >P >Q >RD ． S >P >R >Q8. 把不等式组 {2−x ≤5,x+32<2的解集在数轴上表示出来，正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．9. 若关于 x 的不等式组 {2−x2>2x−43,−3x >−2x −a的解集是 x <2，则 a 的取值范围是 ( )A ． a ≥2B ． a <−2C ． a >2D ． a ≤210. 若关于 x 的不等式组 {x −m <03−2x ≤1 所有整数解的和是 10，则 m 的取值范围是 ( )A ． 4<m ≤5B ． 4<m <5C ． 4≤m <5D ． 4≤m ≤5二、填空题（共7题）11. 不等式组 {12x +1>0,1−x >0 的解集为．12. 若不等式组 {x −a >1,bx +3≥0 的解集是 −1<x ≤1，则 a = ，b = ．13. 已知 {x +y +z =15,−3x −y +z =−25, x ，y ，z 为非负数，且 N =5x +4y +z ，则 N 的取值范围是．14. 为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45 分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开 2 个窗口，则需 30 分钟．还发现，若能在 15 分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少 80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在 10 分钟内卖完午餐，至少要同时开个窗口．15. 如果关于 x 的不等式 3x −k +1≤0 有且只有 4 个正整数解，则 k 的取值范围是．16. 不等式 x −3<0 的解集是．17. 已知关于 x 的不等式组 {x −a ≥0,3−2x ≥−1 的整数解共有 5 个，则 a 的取值范围是．三、解答题（共8题）18. 解不等式组 {2x +5≤−1, ⋯⋯①2x +1<3. ⋯⋯②请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式 ①，得；（Ⅰ）解不等式 ②，得；（Ⅰ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：（Ⅰ）原不等式组的解集为．19. 解不等式组：{2x +3>x −2,6x −2(x −1)<6,3(2x +1)−5<2(x −3).20. 甲，乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案．在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90% 收费；在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95% 收费．设小红在同一商场累计购物 x 元，其中 x >100．(1) 根据题意，填写下表：（单位：元）累计购物金额130290⋯x在甲商场实际花费127⋯ 在乙商场实际花费126⋯(2) 当 x 取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？(3) 当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？21. 快递公司准备购买机器人来代替人工分拣已知购买一台甲型机器人比购买一台乙型机器人多 2 万元；购买 2 台甲型机器人和 3 台乙型机器人共需 24 万元． (1) 求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；(2) 已知甲型、乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件、 1000 件，该公司计划最多用41 万元购买 8 台这两种型号的机器人．该公司该如何购买，才能使得每小时的分拣量最大？22. 馨浓商品批发商场共用 22000 元同时购进A ，B 两种型号背包各 400 个，购进A 型号背包 30个比购进B 型背包 15 个多用 300 元．(1) 求A ，B 两种型号背包的进货单价各为多少元？(2) 若商场把A ，B 两种型号背包均按每个 50 元定价进行零售，同时为扩大销售，拿出一部分背包按零售价的 7 折进行批发销售．商场在这批背包全部售完后，若总获利不低于 10500 元，则商场用于批发的背包数量最多为多少个？23. 已知抛物线 G:y =x 2−2tx +3 ( t 为常数）的顶点为 P ．(1) 求点 P 的坐标；(用含 t 的式子表示)(2) 在同一平面直角坐标系中，存在函数图象 H ，点 A (m,n 1) 在图象 H 上，点 B (m,n 2) 在抛物线 G 上，对于任意的实数 m ，都有点 A ，B 关于点 (m,m ) 对称． ①当 t =1 时，求图象 H 对应函数的解析式；②当 1≤m ≤t +1 时，都有 n 1>n 2 成立，结合图象，求 t 的取值范围．24. 已知 ∣x −2∣+(3x +y +m )2=0，当 m 为何值时，y ≥0？25. 如图，数轴上两点 A ，B 对应的数分别是 −1，1，点 P 是线段 AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点 Q ，满足 ∣PQ∣∣=2，那么我们把这样的点 Q 表示的数称为连动数，特别地，当点 Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．(1) −3，0，2.5 是连动数的是；(2) 关于 x 的方程 2x −m =x +1 的解满足是连动数，求 m 的取值范围；(3) 当不等式组 {x+12>−1,1+2(x −a )≤3的解集中恰好有 4 个解是连动整数时，求 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】不等式的性质2. 【答案】D【解析】 {x −3<6(x −2)−1, ⋯⋯①x −2a ≤0. ⋯⋯②解不等式①得 x >2，解不等式②得 x <2a ，因为不等式组有三个整数解，所以整数解一定为 3，4，5，所以 5<2a ≤6，解得 52<a ≤3．【知识点】含参一元一次不等式组3. 【答案】D【知识点】常规一元一次不等式的解法4. 【答案】B【解析】解不等式 x2+x+13>0，得 x >−25，解不等式 3x +5a +4>4(x +1)+3a ，得 x <2a ，∵ 不等式组恰有三个整数解， ∴ 这三个整数解为 0，1，2， ∴2<2a ≤3，解得 1<a ≤32．【知识点】含参一元一次不等式组5. 【答案】A【解析】不等式组整理得：{x >−a−32,x <1,由且至多有 5 个整数解，得到 −5≤−a−32<1，解得：−5<a≤7，即a=−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，7，分式方程去分母得：x(x−1)+(a−2)=x(x−3)，解得：x=2−a2，由分式方程的解为非负数，得到a=−3，−2，−1，0，1之和为−5．【知识点】含参一元一次不等式组6. 【答案】A【解析】解不等式x+13<x2−1，得x>8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2．【知识点】含参一元一次不等式组7. 【答案】D【解析】由三个图分别可以得到{S>P,P>R,P+R>Q+S,而Q+S>Q+P，代入第三个式子得到P+R>Q+P，所以R>Q．所以他们的大小关系为S>P>R>Q．【知识点】不等式的性质8. 【答案】C【解析】{2−x≤5, ⋯⋯①x+32<2, ⋯⋯②解不等式①得：x≥−3，解不等式②得：x<1，故不等式组的解集为：−3≤x<1，在数轴上表示为：【知识点】常规一元一次不等式组的解法9. 【答案】A【知识点】含参一元一次不等式组10. 【答案】A【解析】解不等式 x −m <0 得：x <m ，解不等式 3−2x ≤1，得：x ≥1，因为不等式组所有整数解的和为 10，所以不等式组的整数解有 1，2，3，4 这 4 个，则 4<m ≤5．【知识点】含参一元一次不等式组二、填空题（共7题） 11. 【答案】 −2<x <1【知识点】常规一元一次不等式组的解法12. 【答案】 −2 ； −3【解析】 {x −a >1, ⋯⋯①bx +3≥0. ⋯⋯②∵ 解不等式①得：x >1+a ，解不等式②得：x ≤−3b，∴ 不等式组的解集为：1+a <x ≤−3b ， ∵ 不等式组 {x −a >1,bx +3≥0 的解集是 −1<x ≤1，∴ 1+a =−1，−3b =1，解得：a =−2，b =−3，故答案为：−2，−3．【知识点】含参一元一次不等式组13. 【答案】 55≤N ≤65【解析】 ∵{x +y +z =15,−3x −y +z =−25,∴ 解关于 y ，z 的方程可得：{y =20−2x,z =x −5,∵x ，y ，z 为非负数， ∴{y =20−2x ≥0,z =x −5≥0,x ≥0,解得 5≤x ≤10 ,∴N =5x +4y +z =5x +4(20−2x )+(x −5)=−2x +75， ∵−2<0，∴N 随 x 增大而减小，∴ 故当 x =5 时，N 有最大值 65；当 x =10 时，N 有最小值 55， ∴55≤N ≤65．【知识点】常规一元一次不等式组的解法、三元一次方程（组）的解法14. 【答案】 9【解析】设每个窗口每分钟能卖 x 人的午餐，每分钟外出就餐有 y 人，学生总数为 z 人，并设同时开 n 个窗口，依题意有{45x =z −45y, ⋯⋯①2×30x =z −30y, ⋯⋯②10nx ≥z −10(1−80%)y. ⋯⋯③由①，②得y =x,z =90x.代入③得10nx ≥90x −2x.所以 n ≥8.8．因此，至少要同时开 9 个窗口．【知识点】一元一次不等式的应用15. 【答案】 13≤k <16【知识点】含参一元一次不等式16. 【答案】 x <3【知识点】常规一元一次不等式的解法、不等式的性质17. 【答案】 −3<a ≤−2【知识点】含参一元一次不等式组三、解答题（共8题）18. 【答案】 x ≤−3；x <1；略；x ≤−3【知识点】常规一元一次不等式组的解法19. 【答案】 −5<x <−1．【知识点】常规一元一次不等式组的解法20. 【答案】(1) 271；0.9x +10；278；0.95x +2.5(2) 根据题意，得0.9x +10=0.95x +2.5,解得x =150.∴ 当 x =150 时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同．(3) 令0.9x +10<0.95x +0.25,解得x >150;∴ 当小红累计购物超过 150 元时，在甲商场实际花费少；当小红累计购物超过 100 元但不足 150 元时，在乙商场实际花费少．【知识点】一元一次不等式组的应用、方案决策21. 【答案】(1) 设甲型机器人每台的价格是 x 万元，乙型机器人每台的价格是 y 万元．依题意，得：{x −y =2,2x +3y =24.解得：{x =6,y =4.答：甲型机器人每台的价格是 6 万元，乙型机器人每台的价格是 4 万元．(2) 设购买 m 台甲型机器人，则购买 (8−m ) 台乙型机器人．依题意，得：6m +4(8−m )≤41.解得：m ≤412.∵m 为整数，∴m ≤4． ∵1200>1000，∴ 每小时的分拣量随购买甲型机器人增大而增大．∴ 当公司购买 4 台甲型机器人、 4 台乙型机器人时，每小时的分拣量最大．【知识点】二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用22. 【答案】(1) 设A 种型号背包进货价 x 元， 22000÷400=55（元），所以B 种背包的进货价为（55−x ）元，根据题意得：30x −15×(55−x )=300,解得x =25,55−25=30(元),答：A 种背包进货价 25 元，B种背包进货价 30 元．(2) 设商场用于批发的背包数量为 a 个．由题意得50×(800−a )+50×0.7a −22000≥10500,解得：a ≤500,答：商场用于批发的背包数量最多为 500 个．【知识点】一元一次不等式的应用、和差倍分23. 【答案】(1)y =x 2−2tx +3=x 2−2tx +t 2−t 2+3=(x −t )2−t 2+3.∴ 顶点 P 的坐标为 (t,−t 2+3)．(2) ①当 t =1 时，得 G 的解析式为：y =x 2−2x +3，点 B (m,n 2) 在 G 上， ∴n 2=m 2−2m +3，∵ 点 A (m,n 1) 与点 B 关于点 (m,m ) 对称，则点 A ，B 到点 (m,m ) 的距离相等，此三点横坐标相同，有 n 2−m =m −n 1． ∴(m 2−2m +3)−m =m −n 1，整理，得 n 1=−m 2+4m −3，由于 m 为任意实数，令 m 为自变量 x ，n 1 为 y . 即可得 H 的解析式为：y =−x 2+4x −3；②关于抛物线 G 的性质：点 B (m,n 2) 在 G 上， ∴n 2=m 2−2tm +3，由 G:y =x 2−2tx +3，知抛物线 G 开口向上，对称轴为 x =t ，顶点 P (t,−t 2+3)，且图象恒过点 (0,3) . ∴ 当 t ≤x ≤t +1 时，图象 G 的 y 随着 x 的增大而增大.当 x =t +1 时，y 取最大值 −t 2+4；当 x =t 时，y 取最小值 −t 2+3；最大值比最小值大 1 .关于图象 H 的性质：∵ 点 A (m,n 1) 与点 B 关于点 (m,m ) 对称，有 n 2−m =m −n 1，(m 2−2tm +3)−m =m −n 1，整理，得 n 1=−m 2+2tm +2m −3．∴ 图象 H 的解析式为：y H =−x 2+2tx +2x −3 . 配方，得 y H =−[x −(t +1)]2+(t 2+2t −2)∴ 图象 H 为一抛物线，开口向下，对称轴为 x =t +1，顶点 P (t +1,t 2+2t −2)，且图象恒过点 (0,−3) .∴ 当 t ≤x ≤t +1 时，图象 H 的 y 随着 x 的增大而增大.当 x =t +1 时，y 取最大值 t 2+2t −2；当 x =t 时，y 取最小值 y =t 2+2t −3，即过 Q (t,t 2+2t −3)；最大值比最小值大 1．情况 1：当 P ，Q 两点重合，即两个函数恰好都经过 (t,t )，(t +1,t +1) 时，把 (t,t ) 代入 y =x 2−2tx +3 得 t =t 2−2t ⋅t +3，解得，t =−1+√132或 t =−1−√132．分别对应图 3，图 4 两种情形，由图可知，当 m =t ，或 m =t +1 时，A 与 B 重合，即有 n 1=n 2，不合题意，舍去；情况 2：当点 P 在点 Q 下方，即 t >−1+√132时，大致图象如图 1，当 t <−1−√132时，大致图象如图 2，都有点 A 在点 B 的上方，即 n 1>n 2 成立，符合题意；情况 3：当点 P 在点 Q 上方，即 −1−√132<t <−1+√132时，大致图象如图 5，图 6，当 t ≤m ≤t +1 时，存在 A 在 B 的下方，即存在 n 1<n 2，不符合题意，舍去；综上所述，所求 t 的取值范围为：t >−1+√132或 t <−1−√132．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、二次函数与不等式、y=ax^2+bx+c 的图象24. 【答案】由非负数性质，得 {x −2=0,3x +y +m =0.11 ∴{x =2,y =−6−m.∵y ≥0，∴−6−m ≥0．∴m ≤−6．【知识点】常规一元一次不等式的解法25. 【答案】(1) −3，2.5(2) −4≤m ≤−2 或 0≤m ≤2(3) {x+12>−1, ⋯⋯①1+2(x −a )≤3, ⋯⋯② 由 ① 得，x >−3；由 ② 得，x ≤a +1，∵ 不等式组 {x+12>−1,1+2(x −a )≤3的解集中恰好有 4 个解是连动整数时， ∴ 四个连动整数解为 −2，−1，1，2， ∴2≤a +1<3，∴1≤a <2∴a 的取值范围是 1≤a <2．【解析】(2) 解关于 x 的方程 2x −m =x +1 得，x =m +1．∵ 关于 x 的方程 2x −m =x +1 的解满足是连动数，∴{−1−m −1≤2,1−m −1≥2或 {m +1−1≤2,m +1+1≥2, 解得 −4≤m ≤−2 或 0≤m ≤2．【知识点】常规一元一次不等式组的解法、含参一元一次方程的解法、数轴的概念、含参一元一次不等式组、不等式组的整数解。

因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)

因式分解60道压轴题型专训（6大题型）【题型目录】题型一已知因式分解的结果求参数题型二运用公式法分解因式题型三因式分解在有理数简算中的应用题型四十字相乘法题型五分组分解法题型六因式分解的应用【压轴题型一已知因式分解的结果求参数】1．已知多项式481x b +可以分解为()()()22492332a b a b b a ++−，则x 的值是（）A ．416aB ．416a −C ．24aD ．24a −【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x 的值．【详解】解：根据题意可得：()()()224492332=81ab a b b a x b++−+，∵()()()22492332a b a b b a ++− ()()()22=492323a b a b a b −++− ()()2222=4949a b ab −+−()44=1681a b −−44=1681a b −+，∴4=16x a −，故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．2．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=−+，那么常数c 的值是（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=−+∴22223x x c x x ++=+−故3c =− 故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 3．若22266−+++x y xy kx 能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【答案】7±【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c ）（2x+by+d ），则2c+d=k ，根据cd=6，求出所有符合条件的c 、d 的值，然后再代入ad+bc=0求出a 、b 的值，与2a+b=1联立求出a 、b 的值，a 、b 是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k 进行计算即可．【详解】解：设22266−+++x y xy kx 能分解成：(x ＋ay ＋c)（2x ＋by ＋d)，即2x2+aby2＋（2a ＋b ）xy ＋（2c ＋d)x ＋（ad ＋bc)y ＋cd ， ∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6时，ad ＋bc=6a ＋b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或c=6，d=1时，ad ＋bc=a ＋6b=0,与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ②c=2，d=3时，ad ＋bc=3a ＋2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=3，d=2时，ad ＋bc=2a ＋3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩, ③c=-2，d=-3时，ad ＋bc=-3a -2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=-3，d=-2，ad ＋bc=-2a -3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ④c=-1，d=-6时，ad ＋bc=-6a -b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或c=-6，d=-1时，ad ＋bc=-a -6b=0，与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c ＋d=2×2＋3=7，k=2c ＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k 的值是7，-7．故答案为：7±．【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a 、b 进行验证，注意不要漏解．4．已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++−，则p = ，q = ．【答案】 2−； 7．【分析】把()()2223xpx q x x +++−展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵()()2223xpx q x x +++−432322222333x px qx x px qx x px q =+++++−−−()()()432223233x p x q p x q p x q=++++−+−−4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+−=⎩，解得：27p q =−⎧⎨=⎩．故答案为：2−，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 5．【例题讲解】因式分解：31x −．31x −为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x −可以分解成()()21x x ax b −++，展开等式右边得：()32(1)x a x b a x b +−+−−，()()33211x x a x b a x b ∴−=+−+−−恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即1001a b a b −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，()()32111x x x x ∴−=−++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若()()21234x mx x x −−=+−，则m =________；(2)若3233x x x k +−+有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式．【答案】(1)1(2)5k =−，225x x +−【分析】（1）将()()34x x +−展开，再根据题干的方法即可求解；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2xax b ++，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）∵()()21234x mx x x −−=+−，∴221212x mx x x −−=−−，∴1m =，故答案为：1；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2x ax b ++，则()()()()322323311x x x k x x ax b x a x a b x b+−+=+++=+++++13a ∴+=，3a b +=−，b k =，2a ∴=，=5b −，5k ∴=−，即另一个式子为：225x x +−．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．6．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++则()22433x x m x n x n −+=+++343n m n +=−⎧∴⎨=⎩解得7n =−，21m =−∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值： (2)已知二次三项式22x x p −−有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式为1x +，a 的值为5 (2)另一个因式为()2x −，p 的值为6【分析】（1）设另一个因式为()x n +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论；（2）设另一个因式为()x q +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +，得()()265x x a x x n ++=++，则()22655x x a x n x n++=+++，565n n a +=⎧∴⎨=⎩，解得：15n a =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为1x +，a 的值为5；（2）解：设另一个因式为()x q +，得()()2223x x p x q x −−=++，则()2222233x x p x q x q−−=+++，2313q q p +=−⎧∴⎨=−⎩，解得：26q p =−⎧⎨=⎩， ∴另一个因式为()2x −，p 的值为6．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 7．1637年笛卡尔（R ．Descartes ，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：3235x x x ++−．解：观察可知，当1x =时，原式0=． ∴原式可分解为()1x −与另一个整式的积．设另一个整式为2x bx c ++．则()()322351x x x x x bx c ++−=−++， ∵()()()()23211x x bx c x b x c b x c −++=+−+−−，∴()()3232351x x x x b x c b x c ++−=+−+−−∵等式两边x 同次幂的系数相等，则有：1135b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得25b c =⎧⎨=⎩．∴()()32235125x x x x x x ++−=−++．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)根据以上材料的方法，分解因式3223x x +−的过程中，观察可知，当x =______时，原式0=，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为2x bx c ++．则b =______，c =______． (2)已知多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，求另一个因式以及a 的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．解：设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++．……(3)已知二次三项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为______，k 的值为______．【答案】(1)1；(1)x −；3；3(2)解题过程见详解，321(1)(1)x x x x +=+−+(3)(25)x −；20【分析】（1）根据材料提示，当1x =时，3223x x +−的值为0，由此即可求解；（2）多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，根据材料提示，即可求解；（3）多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为mx n +，根据材料提示，即可求解．【详解】（1）解：当1x =时，3223x x +−的值为0，∴原式可分解为(1)x −与另一个整式的积，设另一个整式为2x bx c ++，∴32223(1)()x x x x bx c +−=−++，∵232(1)()()()x x bx c x b c x c b x c −++=+−+−−， ∴323223(1)()x x x b x c b x c +−=+−+−−，∴1203b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得，33b c =⎧⎨=⎩，∴32223(1)(33)x x x x x +−=−++，故答案为：1；(1)x −；3；3．（2）解：多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++，∵()()2321(1)()x x bx c x b x c b x c +++=+++++，∴3321(1)()x ax x b x c b x c ++=+++++， ∴101b c b a c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解方程得，011a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式31x ax ++（a 为常数）为31x +，∴31x +因式分解为321(1)(1)x x x x +=+−+．（3）解：多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，设另一个因式为mx n +，∴223(4)()x x k x mx n +−=++， ∵2(4)()(4)4x mx n mx n m x n ++=+++， ∴2223(4)4x x k mx n m x n +−=+++，∴2434m n m n k =⎧⎪+=⎨⎪=−⎩，解方程组得，2520m n k =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式223x x k +−（k 为常数）为22320x x +−，∴22320x x +−因数分解为22320(4)(25)x x x x +−=+−，故答案为：(25)x −，20．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 8．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是x ＋2，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式px ＋n ，得25x x m ++＝（x ＋2）（px ＋n ），对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p ＝1，于是25x x m ++＝（x ＋2）（x ＋n ）．则25x x m ++＝2x ＋（n ＋2）x ＋2n ，∴n ＋2＝5，m ＝2n ，解得n ＝3，m ＝6，∴另一个因式为x ＋3，m 的值为6 依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x ﹣7x ＋12可分解为（x ﹣3）（x ＋a ），则a ＝；（2）若二次三项式22x ＋bx ﹣6可分解为（2x ＋3）（x ﹣2），则b ＝；（3）已知代数式23x ＋2x ＋kx ﹣3有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为2x ＋x ＋3，k 的值为5．【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；（2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（2ax bx c ++），对比两边三次项系数可得a ＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】解：（1）∵2(3)()33x x a x x ax a −+=−+−＝2(3)3x a x a +−−＝2712x x −+．∴a ﹣3＝﹣7，﹣3a ＝12，解得：a ＝﹣4.（2）∵2(23)(2)2346x x x x x +−=+−−＝226x x −−．＝226x bx +−．∴b ＝﹣1．（3）设另一个因式为（2ax bx c ++），得32223(21)()x x kx x ax bx c ++−=−++．对比左右两边三次项系数可得：a ＝1．于是32223(21)()x x kx x x bx c ++−=−++．则3232232232222(21)(2)x x kx x x bx bx cx c x b x c b x c ++−=−+−+−=+−+−−．∴﹣c ＝﹣3，2b ﹣1＝1，2c ﹣b ＝k ．解得：c ＝3，b ＝1，k ＝5．故另一个因式为23x x ++，k 的值为5．【点睛】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．9．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++， 25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x −+可分解为(1)()x x a −+，则=a ________；（2）若二次三项式226x bx +−可分解为(23)(2)x x +−，则b =________；（3）已知二次三项式229x x k +−有一个因式是21x −，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）4−；（2）1−；（3）另一个因式为5x +，k 的值为5．【分析】（1）将(1)()x x a −+展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（2）（2x+3）（x ﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），可知2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，继而求出n 和k 的值及另一个因式．【详解】解：（1）∵(1)()x x a −+＝x2+（a ﹣1）x ﹣a ＝254x x −+，∴a ﹣1＝﹣5，解得：a ＝﹣4；故答案是：﹣4（2）∵（2x+3）（x ﹣2）＝2x2﹣x ﹣6＝2x2+bx ﹣6， ∴b ＝﹣1．故答案是：﹣1．（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），则2x2+9x ﹣k ＝2x2+（2n ﹣1）x ﹣n ， ∴2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，解得n ＝5，k ＝5，∴另一个因式为x+5，k 的值为5．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．10．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因数及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n −+=++，化简、整理，得()22433x x m x n x n −+=+++，于是有343n m n +=−⎧⎨=⎩解得217m n =−⎧⎨=−⎩， ∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：仿照上述方法解答下面的问题：已知二次三项式223x x k +−有一个因式是()4x +，求另一个因式及k 的值．【答案】另一个因式为()25x −，k 的值为20．【分析】根据所求的式子223x x k +−的二次项系数是2，因式是（x+4）的一次项系数是1，可知另一个因式的一次项系数一定是2，设另一个因式为()2x a +，仿照例题计算即可．【详解】解：设另一个因式为()2x a +， ∴()()22342x x k x x a +−=++， ∴()2223284x x k x a x a+−=+++， ∴834a a k +=⎧⎨=−⎩ ，解得：5a =−，20k =，故另一个因式为()25x −，k 的值为20．【点睛】考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解题意是解题的关键．【压轴题型二运用公式法分解因式】1．若20192020,20192021,20192022a x b x c x =+=+=+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值是（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由a ，b ，c 的代数式，求出a b −，a c −，b c −的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，1a b ∴−=−，2a c −=−，1b c −=−，则222a b c ab ac bc ++−−− 2221(222222)2a b c ab ac bc =++−−−2222221[(2)(2)(2)]2a ab b a ac c b bc c =−++−++−+2221[()()()]2a b a c b c =−+−+−，当1a b −=−，2a c −=−，1b c −=−时，原式1(141)32=⨯++=．故选：D ． 2．已知x y z 、、满足12x z −=，236xz y +=−，则2x y z ++的值为（）A ．4B ．1C ．0D ．-8【答案】C 【分析】根据题目条件可用x 来表示z ，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得()226x y −=−，再根据平方数的非负性可分别求出x ，z 的值，最后运算即可．【详解】解：12x z −=，∴12z x =−，又236xz y +=−，∴()21236x x y −+=−，∴2212+36=-y x x −，()226x y −=−， ()22600x y −≥−≤，，600x y ∴−==，，606x y z ∴===−，，，代入2x y z ++得，2x y z ++=0．故选：C ．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．3．已知a ，b 为自然数，且a b >，若4364()()a a b a ab b b+++−+=，则=a ，b = ．【答案】 8 2【分析】化简原式可得：2264()a b b +=，设a kb =，则2264()kb b b +=，再根据22226416244()k b ∴+==⨯=⨯可求a ，b ．【详解】4364()()a a b a ab b b +++−+=， 4364a a b a ab b b ∴+++−+=， 24464ab ab a b ∴++=，2264()a b b ∴+=．设a kb =，则2264()kb b b +=， a ，b 为自然数，0a ∴≠，0b ≠，22226416244()k b ∴+==⨯=⨯16k ∴=，22b +=或4k = ，24+=b ，160,k b ∴==(不合题意，舍去)或4k =，2b =，428a ∴=⨯=．故答案为：8，2．【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．4．如果22344421x y xy y x −−++−因式分解的结果为．【答案】()()32121x y x y +−−+【分析】把21y −当成一个整体，再因式分解即可．【详解】原式22342441x xy x y y =−+−+− ()()22322121x x y y =−−−−()()32121x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()32121x y x y =+−−+ 故答案为：()()32121x y x y +−−+．【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．5．阅读材料，解决问题【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b −+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式223x x +−．原式()()()()()22223211314121231x x x x x x x x x =+−=++−−=+−=+++−=+−．【材料2】因式分解：()()221x y x y ++++解：把x y +看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将A x y =+重新代入，得：原式()21x y =++上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：268x x −+；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：()()244x y x y −−−+；(3)当a ，b ，c 分别为ABC 的三边时，且满足222464170a b c a b c ++−−−+=时，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()24x x −−；(2)()22x y −−；(3)ABC 是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；（2）利用完全平方进行因式分解；（3）先因式分解，判断字母a 、b 、c 三边的关系，再判定三角形的形状．【详解】（1）解：268x x −+26998x x =−+−+()231x =−−()()3131x x =-+-- ()()24x x =−−；（2）解：设A x y =−，()()244x y x y −−−+244A A =−+()22A =−∴()()244x y x y −−−+()22x y =−−；（3）解：ABC 是等腰三角形．理由如下：222464170a b c a b c ++−−−+=，∴2224469440a a b b c c −++−++−+=，∴()()()2222320a b c −+−+−=，∴20a −=，30b −=，20c −=，得，2a =，3b =，2c =．∴a b =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++−=+−=+−=++−+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn −−+．【答案】(1)()()22222222x y xy x y xy +++−； (2)()()4a n a m n −−+．【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上224x y 后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．【详解】（1）原式442222444x y x y x y =++−()2222224x y x y =+−()()22222222x y xy x y xy =+++−；（2）原式22224444a am m m n mn =−+−−+()()22224444a am m m n mn =−+−+−()()2222a m m n =−−−()()2222a m m n a m m n =−+−−−+ ()()4a n a m n =−−+.【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．7．定义一种新运算“a b ⊗”：当a b ≥时，2a b a b ⊗=+；当a b <时，2a b a b ⊗=−．例如：3(4)3(8)(5)⊗−=+−=−，(6)1262430−⊗=−−=−(1)填空：(3)(2)−⊗−=______．(2)若(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，则x 的取值范围为______．(3)利用以上新运算化简：2(23)m m ⊗−(4)已知(57)(2)1x x ⊗−−>，求x 的取值范围．【答案】(1)1 (2)92x ≥(3)246m m +−(4)x 的取值范围为：8x >或819x <<.【分析】（1）由32−<−，利用2a b a b ⊗=−进行计算即可；（2）结合新定义与(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，可得345x x −≥+，再解不等式即可；（3）由()2223120m m m −+=−+>，可得223m m >−，再利用新定义运算即可；（4）分两种情况讨论：当572x x −≥−时，即1x ≥；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，当572x x −<−时，即1x <；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，再解不等式即可.【详解】（1）解：由题意可得：()(3)(2)322341−⊗−=−−⨯−=−+=；（2）解：∵(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，∴345x x −≥+，∴29x ≥，解得：92x ≥；（3）解：∵()2223120m m m −+=−+>，∴223m m >−，∴()222(23)22346m m m m m m ⊗−=+−=+−；（4）解：当572x x −≥−时，∴77x ≥，即1x ≥；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，∴8x >，综上，此时8x >；当572x x −<−时，∴77x <，即1x <；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，∴98x >，解得：89x >，综上：此时819x <<；综上：x 的取值范围为：8x >或819x <<.【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键.8．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a 2＋6a ＋8．原式＝ a 2＋6a ＋9－1＝（a ＋3）2－1＝（a ＋3－1）（a ＋3＋1）＝（a ＋2）（a ＋4）．例2若M ＝a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2，利用配方法求M 的最小值；a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2b ＋1＋1＝（a －b ）2＋（b －1）2＋1；∵（a －b ）2≥0，（b －1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，M 有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2＋10a ＋________；(2)用配方法因式分解：a 2－12a ＋35．(3)若M ＝a 2－3a +1，则M 的最小值为________；(4)已知a 2＋2b 2＋c 2－2ab ＋4b －6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c 的值为________；【答案】(1)25；(2)(5)(7)a a −−； (3)54−； (4)1−．【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；（2）原式常数项35分为361−，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；（3）M 配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可．【详解】（1）解：221025(5)a a a ++=+；故答案为：25；（2）解：21235a a −+212361a a =−+−2(6)1a =−−(61)(61)a a =−+−−(5)(7)a a =−−；（3）解：295(3)44M a a =−+−235()24a =−−，当302a −=，即32a =时，M 取最小值，最小值为54−；故答案为：54−；（4）解：2222246130a b c ab b c ++−+−+=，2222(2)(44)(69)0a ab b b b c c ∴−+++++−+=，即222()(2)(3)0a b b c −+++−=，2()0a b −…，2(2)0b +…，2(3)0c −…，0a b ∴−=，20b +=，30c −=，解得：2a b ==−，3c =，则2231a b c ++=−−+=−．故答案为：1−．【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解−分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．9．阅读材料：若2222440m mn n n −+−+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n −+−+=，∴()()2222440m mn n n n −++−+=，∴22()(2)0m n n −+−=，∴2()0m n −=，2(2)0n −=，∴2n =，2m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +−++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +−−+=，求ABC 的周长．【答案】（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +−++=得 222)((2816)0x xy y y y −+++=+，22()(4)0x y y −++=，∴0x y −=，40y +=，∴4x y ==−，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +−−+=得：222428160a a b b −++−+=，222(1)(4)0a b −+−=，∴a -1=0，b -4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c=4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 10．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(3)1][(3)1](4)(2)a a a a +++−=++②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a −−=−+−=−−∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：223x x +−．（2）若228M x x =−，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +−；（2）8−；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+−+−2214x x =++−22(1)2x =+−[][](1)2(1)2x x =+++−(3)(1)x x =+−；（2）22282(4)x x x x −=−22(444)x x =−+−22(2)4x ⎡⎤=−−⎣⎦22(2)8x =−−2(2)0x −≥∴当2x =时，M 有最小值8−；（3）22222245x y z xy y z ++−−−+ 2222(2(21)()44)x xy y y y z z =−++−++−+222()(1)(2)x y y z =−+−+−222()(1)(20)x y y z −+−+−=01020x y y z −=⎧⎪∴−=⎨⎪−=⎩，解得112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．【压轴题型三因式分解在有理数简算中的应用】1．计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⨯−⨯−⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）． A ．512 B ．12 C ．712D ．1130 【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．2．已知()()22113(21)a b ab ++=−，则1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（） A ．0B ．1C ．-2D ．-1【答案】D 【分析】先对()()22113(21)a b ab ++=−进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭进行因式分解即可．【详解】∵()()22113(21)a b ab ++=−，∴2222163a b a b ab +++=−，22222440a b ab a b ab +−+−+=，()()2220a b ab −+−=，∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a ⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．3．若2023a =，2022b =，则计算221122a b −的结果为．【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可．【详解】221122a b − 22112023202222=⨯−⨯()222023212022=−⨯1=(20232022)(20232022)2⨯+− 140452=⨯2022.5=．故答案为：2022.5．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数a ，再除以质数b ，结果又得到了567，则a b += ．【答案】24【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab ，然后即可得到ab 的值，再将ab 的积分解为两个质数的积，即可得到a 、b 的值，然后作和即可．【详解】解：由题意可得，567567÷7÷567=ab ，解得ab=143，∵143=11×13，∴a=11，b=13或a=13，b=11，∴a+b=24，故答案为：24．【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值． 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式222(21)2)(a a a a ++++进行因式分解的解题思路：将“22a a +”看成一个整体，令22a a x +=，则原式22(2)121(1)x x x x x =++=++=+．再将“x ”还原为“22a a +”即可．解题过程如下：解：设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式()()2244816a a a a −−++进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1232023)(232024)(1232024)(232023)−−−−⨯+++−−−−−⨯+++．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为4(1)a +；②4(2)a −(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则原式(2024)(2024)ax a x =−−−，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）22(1)a =+⎡⎤⎣⎦4(1)a =+．∴最后的结果为4(1)a +．②设24a a x −=，原式(8)16x x =++2816x x =++．2()4x =+()2244a a =−+4()2a =−；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则123202320242024,2320232024a x −−−−−=−+++=−， 120242025a x +=+=，原式(2024)(2024)ax a x =−−−22024()2024ax ax a x =−++−2202420252024=⨯−22024(20241)2024=⨯+−22202420242024=+−2024=．6．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=；（2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯，∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．7．阅读下列材料，解决问题：我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：16752825167518−⨯=，167518516711−⨯=，1671151666−⨯=，16665136−⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续136517−⨯=−，17−是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．(1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．(2)一个五位节俭数213ab ，其中千位上的数字为b ，万位上的数字为a ，且1b a =−，请利用上面方法求出这个数．【答案】(1)7259是“节俭数”； 2098752是“节俭数”(2)54213【分析】（1）模仿例题解决问题即可；（2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可；【详解】（1）72595680−⨯=，680568−⨯=，68174÷=，所以7259能被17整除，是“节俭数”；20987525209865−⨯=，209865520961−⨯=，2096152091−⨯=，20915204−⨯=，2041712÷=，所以2098752能被17整除，是“节俭数”；（2）解：∴213506ab ab ⨯=−，300ab −能被17整除∴1b a =−，∴()1001013011040a a a +−−=−能被17整除∴19a ≤≤∴当1a =时，1104070−=，不能被17整除，当2a =时，22040180−=，不能被17整除，当3a =时，33040290−=，不能被17整除，当4a =时，44040400−=，不能被17整除，当5a =时，55040510−=，能被17整除，当6a =时，66040620−=，不能被17整除，当7a =时，77040730−=，不能被17整除，当8a =时，88040840−=，不能被17整除，当9a =时，99040950−=，不能被17整除，∴5a =，4b =∴这个数为54213．【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键．8．观察下列等式，并回答有关问题：22123415(141)⨯⨯⨯+==⨯+222345111(251)⨯⨯⨯+==⨯+223456119(361.......)⨯⨯⨯+==⨯+(1)填空：56781⨯⨯⨯+=（________）2(2)若n 为正整数，猜想(1)(2)(3)1n n n n ++++因式分解的结果并说明理由；(3)利用（2）的结果比较991001011021⨯⨯⨯+与210100的大小．【答案】(1)41(2)22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++，理由见解析(3)991001011021⨯⨯⨯+210100<【分析】（1）根据式子的规律即可得出答案；（2）根据规律猜想出结果，用因式分解的方法证明即可；（3）应用（2）的结果化简即可得出答案．【详解】（1）根据规律得：256781(581)⨯⨯⨯+=⨯+，故答案为：581⨯+；（2）222(1)(2)(3)1[(3)1](31)n n n n n n n n ++++=++=++，理由：(1)(2)(3)1n n n n ++++[(3)][(1)(2)]1n n n n =++++22(3)(32)1n n n n =++++222(3)2(3)1n n n n =++++22(31)n n =++；（3）991001011021⨯⨯⨯+22(993991)=+⨯+2(98012971)=++221009910100<=．【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类，体现了整体思想，把23n n +看作整体是解题的关键．9．（1）因式分解：①2249a b −②221218x x −+（2）利用因式分解进行简便计算：221.2351 1.2349⨯−⨯【答案】（1）①()()2323a b a b +−；②()223x −；（2）246【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值．【详解】解：（1）①()()22223934a a b b b a −=+−； ②()()2222121826923x x x x x −+=−+=−；（2）221.2351 1.2349⨯−⨯()2251.14923=⨯−()()1.2351495149=⨯+⨯− 1.231002=⨯⨯246=．【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．10．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b = 11a =−，3b = 462a =−，=5b −（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的2()a b −与222a ab b −+有什么关系？（3）利用你发现的结论，求：222021404220202020−⨯+的值．【答案】（1）见解析；（2）()2222a b a ab b −=−+；（3）1 【分析】（1）把每组,a b 的值分别代入2()a b −与222a ab b −+进行计算，再填表即可；（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；（3）利用结论()2222a b a ab b −=−+可得2021,2020,a b == 再代入进行简便运算即可.【详解】解：（1）填表如下： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b =1 1 1a =−，3b = 16 162a =−，=5b − 9 9（2）观察上表的计算结果归纳可得：()2222a b a ab b −=−+（3）222021404220202020−⨯+ =2220212202120202020−⨯⨯+=()220212020−=1【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.【压轴题型四十字相乘法】1．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x −，乙与丙相乘的积为26x x +−，则甲与丙相减的结果是( ) A ．5− B ．5 C ．1 D ．1−【答案】D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∵甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x −=+−，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +−=−+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为3x −，乙为3x +，丙为2x -，则甲与丙相减的差为：()(3)21x x −−−=−；故选：D2．如果多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，那么:a b 的值是（） A ． 2− B ． 3−C ．3D ．6【答案】A 【分析】由于()()2221+−=+−x x x x ，而多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，则432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，4322370x x ax x b −+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值. 【详解】解：∵()()2221+−=+−x x x x ，∴432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除，设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =−时，43223732244144420x x ax x b a b a b −+++=++−+=++= ①当1x =时，43223723760x x ax x b a b a b −+++=−+++=++= ②−①②，得3360a +=，∴12a =−， ∴66b a =−−=． ∴:12:62a b =−=−，故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =−和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．3．已知()()20192016100x x −−+=，则40352x −的值为．【答案】7±【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将()()20192016100x x −−+=变形后再因式分解为()()20165201620x x −−−+=，求出x 的值，再代入求值即可．【详解】解：()()20192016100x x −−+=，()()2019201610x x −−=−， ()()2019201610x x −−=， ()()20163201610x x −−−=，()()2201632016100x x −−−−=，()()20165201620x x −−−+=， ()()202120140x x −−=，解得：2021x =或2014x =，当2021x =时，原式4035220217=−⨯=−，当2014x =时，原式4035220147=−⨯=，故答案为：7±4．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a b >）．（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为()2a b +大正方形，则需要取乙纸片张，丙纸片张．（2）若取甲纸片1张，乙纸片3张，丙纸片2张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为，宽为．【答案】 4 1()2a b +/()2b a + ()a b +/()b a + 【分析】（1）根据正方形的面积得出()222244a b a ab b +=++，即可求解；（2）根据题意长方形的面积为()()22322a ab b a b a b ++=++，结合题意，即可求解．【详解】解：（1）∵()222244a b a ab b +=++∴需要取乙纸片4张，丙纸片1张故答案为：4，1．（2）依题意，()()22322a ab b a b a b ++=++，∴这个长方形的长为()2a b +，宽为()a b +，故答案为：()2a b +，()a b +．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 5．根据以下素材，完成下列任务：素材1在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶243x x ++，2414x x −−让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？。

新北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》单元复习题含答案解析 (13)

（共25题）一、选择题（共10题）1.将多项式ax2−4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是( )A．a(x−2)2B．a(x+2)2C．a(x−4)2D．a(x+2)(x−2)2.已知∣a∣=5，b2=16，且ab<0，那么a−b的值为( )A．1B．9C．1或−1D．±93.在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环．下面选项一定不是该循环的是A．4，2，1B．2，1，4C．1，4，2D．2，4，14.若xy>0，则∣x∣x +∣y∣∣y+1的值为( )A．−2B．3或−2C．3D．−1或35.若a，b互为相反数，c，d互为倒数，∣m∣=2，则代数式m2−3cd+a+bm的值为( ) A．−1B．1C．−7D．1或−76.按如图所示的运算程序，能使输出结果的值为11的是( )A．x=3，y=1B．x=2，y=2C．x=2，y=3D．x=0，y=1.5 7.已知x−2y=−3，则3(x−2y)2−5(x−2y)+6=( )．A．−6B．48C．−36D．188.对于正整数n，我们定义一种“运算”：①当n为奇数时，结果为n+1；②当n为偶数时，结果12n，并且运算重复进行．例如，取n=9，则若n=12，则第2019次运算的结果是( )A．2018B．2017C．2D．19.下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A．(x−1)(x=2)=(x+2)(x−1)B．m2−1=(m+1)(m−1)C．x2+1=x(x+1x)D．a(a−b)(b+1)=(a2−ab)(b+1)10.下列多项式中，分解因式不正确的是( )A．a2+2ab=a(a+2b)B．a2−b2=(a+b)(a−b)C．a2+b2=(a+b)2D．4a2+4ab+b2=(2a+b)2二、填空题（共7题）11.计算(1−1112)(1−1122)(1−1132)⋯(1−1212)=．12.如果代数式3a+b的值为−4，那么代数式2(a+b)−4(2a+b)的值为．13.若多项式100x2+M能用平方差公式分解因式，则M代表的整式为．（写出一个即可）14.分解因式：x3+(2a+1)x2+(a2+2a−1)x+(a2−1)=．15.已知：xb+c−a =yc+a−b=za+b−c，则(b−c)x+(c−a)y+(a−b)z的值为．16.分解因式：x4+x2−2ax−a2+1=．17.分解因式：3y2−12=．三、解答题（共8题）18.已知关于x的代数式ax+b(a≠0)，设代数式的值为y．(1) 如表中列出了当 x 分别取 −1，0，1，2 时对应的 y 值，则 a 的值为，b 的值为．x⋯−1012⋯y⋯852−1⋯(2) 当 x 分别取 x 1，x 2 时，代数式的值分别记为 y 1，y 2．①若 x 1=m ，x 2=n 且 m −n =−1，y 1 比 y 2 大 5，求 a 的值； ②若 x 1=k ，x 2=k −1，比较 y 1 与 y 2 的大小．19. 假设图中由四个相邻点围成的正方形面积是一个单位面积，如何计算图 ① 点阵中多边形的面积？你可以把多边形分成若干小正方形和三角形，分别计算面积后相加，这是一个不错的办法．或者你可能想到通过剪拼的方法来计算，这个想法也很好．奥地利数学家皮克（Georg Pick ，1859∼1943）发现了一个计算点阵中多边形面积的公式：S =a +12b −1，其中 a 表示多边形内部的点数，b 表示多边形边界上的点数，S 表示多边形的面积．如图 ①，a =3，b =10，所以多边形面积 S =3+12×10−1=7（单位面积）．这个结果与你算出的结果相同吗？请你在图 ② 的点阵中画一个多边形，并利用皮克公式计算它的面积．20. 为方便市民出行，甲、乙两家公司推出专车服务，运价收费如下：设行驶路程 x km 时，用含 x 的代数式表示乙公司的运价．(1) 当 3<x ≤6 时，则费用表示为元；当 x >6 时，则费用表示为元． (2) 当行驶路程 10 km 时，对于乘客来说，哪个专车更合算，为什么？ (3) 当行驶路程 x km 时，对于乘客来说，哪个专车更合算，为什么？21. 因式分解：2x −8x 3．22.一个三位自然数abc（百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c）．若满足a+c=b，则称这个三位数为“和悦数”，并规定F(abc)=ac．如231，因为它的百位上的数字2与个位上的数字1之和等于十位上的数字3．所以231是“和悦数”，所以F(231)=2×1=2．(1) 请任意写出两个“和悦数”，并猜想任意一个“和悦数”是否是11的倍数，请说明理由；(2) 已知有两个十位上的数字相同的“和悦数”m，n(m>n)，若F(m)−F(n)=5，求m−n的值．23.如图，是一个计算装置示意图，A，B是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经计算后得自然数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：（1）若A，B分别输入1，则输出结果为1；（2）若A输入任何固定的自然数不变，B输入的自然数增大1，则输出结果比原来增大2；（3）若B输入任何固定的自然数不变，A输入的自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．求：(1) 若A输入1，B输入4，此时的输出结果．(2) 若B输入1，A输入5，此时的输出结果．24.若一个正整数x能表示成a2−b2（a，b是正整数，且a>b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5=32−22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M=x2+2xy=x2+2xy+y2−y2=(x+y)2−y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，(x+y)与y是M的一个平方差分解．(1) 判断：9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）．(2) 已知N=x2−y2+4x−6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x>y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．(3) 对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”．若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解．25. 请回答问题：(1) 在实数范围内分解下列因式，将结果直接写在横线上：x 2−10x +25= ． 19x 2+23x +1= ．x 2−2√2x +2= ．(2) 观察上述三个多项式的系数，有 (−10)2=4×1×25，(23)2=4×19×1，(2√2)2=4×1×2，于是猜测：若多项式 ax 2+bx +c (a >0) 是完全平方式，那么系数 a ，b ，c 之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示这一猜想．(3) 若多项式 x 2−2ax +c 和 x 2+2cx +a 都是完全平方式，利用（2）中的规律求 ac 的值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】A【解析】ax 2−4ax +4a=a (x 2−4x +4)=a (x −2)2.【知识点】完全平方式、提公因式法2. 【答案】D【解析】 ∵∣a∣=5，b 2=16， ∴a =±5，b =±4， ∵ab <0，∴a =5，b =−4 或 a =−5，b =4，则 a −b =9 或 −9，故选：D ．【知识点】绝对值的性质、简单的代数式求值3. 【答案】D【解析】如图的程序按照 4，2，1，4，2，1，⋯⋯ 循环．【知识点】简单的代数式求值4. 【答案】D【解析】 ∵xy >0，∴x >0，y >0 或 x <0，y <0．①当 x >0，y >0 时，原式=1+1+1=3； ②当 x <0，y <0 时，原式=−1+−1+1=−1．【知识点】简单的代数式求值5. 【答案】B【解析】 ∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，∣m ∣=2， ∴a +b =0，cd =1，m =±2， ∴m 2−3cd +a+b m=4−3+0=1．【知识点】简单的代数式求值6. 【答案】A【解析】A 、把 x =3，y =1 代入运算程序中得：输出结果为 9+2=11，符合题意； B 、把 x =2，y =2 代入运算程序中得：4−4=0，不符合题意； C 、把 x =2，y =3，代入运算程序中得：4−6=−2，不符合题意； D 、把 x =0，y =1.5 代入运算程序得：0−3=−3，不符合题意．【知识点】简单的代数式求值7. 【答案】B【解析】考察整体代入，x−2y=−3，则3(x−2y)2−5(x−2y)+6=3×(−3)2−5×(−3)+ 6=27+15+6=48．【知识点】简单的代数式求值8. 【答案】D【解析】当n=12时，第一次运算结果为：6，第二次运算结果为：3，第三次运算结果为：4，第四次运算结果为：2，第五次运算结果为：1，第六次运算结果为：2，发现：当运算次数大于三次时，第奇数次运算结果为1，第偶数次结果为2．所以第2019次运算结果为：1．【知识点】简单的代数式求值9. 【答案】B【解析】A．是乘法交换律，故A错误；B．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；C．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D．整式的乘法，故D错误．【知识点】因式分解的定义10. 【答案】C【解析】A．原式=a(a+2b)，不符合题意；B，原式=(a+b)(a−b)，不符合题意；C．原式不能分解，符合题意；D．原式=(2a+b)2，不符合题意．【知识点】完全平方式二、填空题（共7题）11. 【答案】2021【解析】原式=(1+111)(1−111)(1+112)(1−112)⋯(1+121)(1−121)=1011×1112×⋯×2021×1211×1312×⋯×2221=1021×2211=20.【知识点】平方差12. 【答案】8【解析】2(a+b)−4(2a+b)=2a+2b−8a−4b=−6a−2b=−(6a+2b)=−2(3a+b),∵3a+b=−4，整体代入后，得2(a+b)−4(2a+b)=−2×(−4)=8．【知识点】整式的加减运算、简单的代数式求值13. 【答案】−1（答案不唯一）【解析】答案不唯一，当M=−1时，100x2+M=100x2−1=(10x)2−12=(10x+1)(10x−1)．【知识点】平方差14. 【答案】(x+1)(x+a+1)(x+a−1)【知识点】分组分解法15. 【答案】0【解析】设xb+c−a =yc+a−b=za+b−c=m，则x=(b+c−a)m，y=(c+a−b)m，z=(a+b−c)m，(b−c)x+(c−a)y+(a−b)z=(b−c)(b+c−a)m+(c−a)(c+a−b)m+(a−b)(a+b−c)m=(b2−c2+c2−a2+a2−b2)m+(ac−ab−bc+ab−ac+bc)m=0【知识点】简单的代数式求值16. 【答案】(x2+x+a+1)(x2−x−a+1)【知识点】分组分解法17. 【答案】3(y+2)(y−2)【解析】3y2−12=3(y2−4)=3(y+2)(y−2).【知识点】平方差三、解答题（共8题） 18. 【答案】(1) −3；5(2) ① ∵x 1=m ，x 2=n ，∴y 1=ax 1+b =am +b ，y 2=ax 2+b =an +b ， ∵y 1 比 y 2 大 5，∴y 1−y 2=am −an =a (m −n )=5， ∴a =5m−n，∵m −n =−1， ∴a =−5；② ∵x 1=k ，x 2=k −1，∴y 1=−3k +5，y 2=−3(k −1)+5， ∴y 1−y 2=−3<0， ∴y 1<y 2．【解析】(1) 当 x =−1 时，y =8；当 x =0 时，y =5， ∴{−a +b =8,b =5.解得：{a =−3,b =5.【知识点】简单的代数式求值、二元一次方程组的应用19. 【答案】略【知识点】简单的代数式求值20. 【答案】(1) (1.6x +2.2)；(2.2x −1.4)(2) 当行驶路程 10 km 时，甲公司的运价为：6+2.1(10−3)=20.7（元）；乙公司的运价为：2.2×10−1.4=20.6（元）； ∵20.7>20.6，∴ 当行驶路程 10 km 时，对于乘客来说，乙公司的专车更合算． (3) ①当 x ≤3 时，对于乘客来说，显然甲公司的专车更合算．②当 3<x ≤6 时，甲公司的运价为：6+2.1(x −3)=2.1x −0.3（元），乙公司的运价为 (1.6x +2.2) 元．如果 2.1x −0.3=1.6x +2.2，那么 x =5．即当 3<x <5 时，对于乘客来说，甲公司的专车更合算；当 x =5 时，对于乘客来说，甲、乙两家公司的专车一样合算；当5<x≤6时，对于乘客来说，乙公司的专车更合算；②当x>6时，甲公司的运价为：6+2.1(x−3)=2.1x−0.3（元），乙公司的运价为(2.2x−1.4)元．如果2.1x−0.3=2.2x−1.4，那么x=11．即当6<x<11时，对于乘客来说，乙公司的专车更合算；当x=11时，对于乘客来说，甲、乙两家公司的专车一样合算；；当x>11时，对于乘客来说，甲公司的专车更合算．综上所述，当x<5或x>1时，对于乘客来说，甲公司的专车更合算；当x=5或x=11时，对于乘客来说，甲、乙两家公司的专车一样合算；当5<x<11时，对于乘客来说，乙公司的专车更合算．【解析】(1) 当3<x≤6时，乙公司的运价为：7+1.6(x−3)=1.6x+2.2（元）；当x>6时，乙公司的运价为：7+1.6×3+2.2(x−6)=2.2x−1.4（元）．【知识点】简单列代数式、一元一次方程的应用、简单的代数式求值21. 【答案】2x(1+2x)(1−2x)．【知识点】提公因式法、平方差22. 【答案】(1) 设三位自然数为abc（1≤a≤9，0<b≤9，0<c≤9的整数），∵三位数abc是“和悦数”，∴b=a+c，取a=2，c=5，则b=7，∴三位数为275，取a=5，c=3，则b=8，∴三位数为583，任意一个“和悦数”是11的倍数，设三位自然数为abc，∵三位数abc是“和悦数”，∴b=a+c，∴三位数为100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10a+c)，∵a，c是整数，∴10a+c是整数，∴11(10a+c)能被11整除，即：任意一个“和悦数”是11的倍数．(2) 设两个十位上的数字相同的“和悦数”为m=abc，n=ebd，（a≥e，当a=e时，c>d），则b=a+c=e+d，∴c−d=e−a，c=b−a．d=b−e．∴F(m)=a⋅c=a(b−c)，F(n)=e⋅d=e(b−e)，∵F(m)−F(n)=5，∴a ⋅(b −a )−e (b −e )=ab −a 2−eb −e 2=(ab −eb )−(a 2−e 2)=b (a −e )−(a +e )(a −e )=(a −e )(b −a −e )=5,∵a ，b ，e 是整数，∴a −e =1 或 a −e =5，∴m −n =(100a +10b +c )−(100e +10b +d )=(110a +11c )−(110e +11d )=110(a −e )+11(c −d )=110(a −e )−11(a −e )=99(a −e )=99 或 495.【知识点】提公因式法、整式的加减运算、平方差23. 【答案】(1) 根据题意得当 A 输入 1，B 输入 4 时，输出结果为 1+(4−1)×2=7．(2) 当 B 输入 1，A 输入 5 时，输出结果为 1×2×2×2×2=16．【知识点】简单的代数式求值、简单列代数式24. 【答案】(1) 是(2) ∵N =x 2−y 2+4x −6y +k ，∴N =(x 2+4x )−(y 2+6y )+k=(x 2+4x +4−4)−(y 2+6y +9−9)+k=(x +2)2−(y +32)−4+9+k =(x +2)2−(y +3)2+5+k,∵x >y +1，∴x +2>y +3，∴ 当 5+k =0 即 k =−5 时，N 是明礼崇德数，∴k =−5．(3) 满足条件的七喜数有 178，279 两个，∵m =a 2−b 2=(a +b )(a −b ) 时 x 是明礼崇德数，①当 m =178 时，m =1×178=2×89，i ）当 m =1×178 时，{a +b =178,a −b =1,∴a =1792，b =1772，∵a ，b 均不为整数，∴ 不符合题意舍去，ii ）当 m =2×89 时，{a +b =89,a −b =2,解之得 a =912，b =872，∵a ，b 均不为整数，∴ 不符合题意舍去，②当 m =279 时，m =1×279=3×93=9×31，i ）当 m =1×279 时，{a +b =279,a −b =1,解之得 a =140，b =139，ii ）当 m =3×93 时，{a +b =93,a −b =3,解之得 a =48，b =45，iii ）当 m =9×31 时，{a +b =31,a −b =9,解之得 a =20，b =11，综上所述，m 既是“七喜数”又是明礼崇德数的所有平方差分解为 140 和 139，48 和 45，20 和 11．【解析】(1) ∵9=52−42=25−16，∴9 是明礼崇德数．【知识点】完全平方式、平方差、解二元一次方程组25. 【答案】(1) (x −5)2；(13x +1)2；(x −√2)2(2) b 2=4ac(3) 由题意得：{(2a )2=4c,(2c )2=4a,∴{a 2=c,c 2=a.∴a 2c 2=ac ，ac =1 或 0．【解析】(2) 由例子总结规律b2=4ac．【知识点】完全平方式、用代数式表示规律。

(完整版)北师大版八年级数学下册知识点重点总结精选重点难点

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cbc a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b) ①当a>0时,解为a b x>;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为ab x <; 5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。

北师大版八年级数学下册等腰三角形知识点整理及重点题型梳理

八年级数学等腰三角形知识点整理及重点题型梳理一、等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。

常见题：已知两边长和第三边，求周长。

例题：两条边长分别为3和4，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

二、等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：已知AB=AC ，∠B=∠C 等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）。

注意：只有等腰三角形才有三线合一。

[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且BD=DC=AD ，求：△ABC 各角的度数．D CAB3. 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4. [例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC （等角对等边）．练习：已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）．又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ， ∴AB=AD （等角对等边）．[例3]如图（1），标杆AB 的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B 距离相等21EDABDCAB的D 、E 两点拉两条绳子，使得D 、B 、E 在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD 和CE 要多长？(1)EDCA B (2)分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形()⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形正三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．二、例题例：如图，五边形ABCDE 中AB=AE ，BC=DE ，∠ABC=∠AED ，点F 是CD 的中点．•求证：AF ⊥CD.分析：要证明AF ⊥CD ，而点F 是CD 的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC 、AD ，证明AC=AD ，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．证明：连接AC 、AD 在△ABC 和△AED 中()()()AB AE ABC AED BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知已知 ∴△ABC ≌△AED （SAD ）∴AC=AD （全等三角形的对应边相等）又∵△ACD 中AF 是CD 边的中线（已知）EDCABF ∴AF ⊥CD （等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）三、练习（一）、选择题1．等腰三角形的对称轴是（）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和7cm ，则该三角形的周长是（） A ．17cm B ．22cm C ．18cm 或15cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（） A ．30° B ．50° C ．60° D ．40° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80°5．如图1，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°E DCABHFG如图1答案:1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 如图2 （二）、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________．12．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________．答案:6．60 7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+12n ）° 9．70° 10．略 11．1 12．AB=AC 13．2cm 14．30海里（三）、解答题15．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗？由此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．DCAB16．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB17．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF答案:15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD ，∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ．∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=12AB ． ABDC AB分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m ，∠A=30°，立柱BD 、DE 要多长？分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=12AD ，BC=12AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=14AB ． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．分析：观察图形可以发现，在Rt △ADC 中，AC=2a ，而∠DAC 是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD ．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．D C AEBDCA二、练习（一）、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形DA B F21EDCAB4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B（二）、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______．答案：6．60° 7．60°8．三；三边的垂直平分线 9．1cm （三）、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度？ 11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ， •求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDABHF13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA答案：10．60°或120°11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD ．又∵BC=AC ，CE=CD ， ∴△BCE ≌△ACD ； ②证明△BCF ≌△ACH ； ③△CFH 是等边三角形．13．连接CE ，先证明△BCE ≌△ACE 得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE 得到∠BDE=∠BCE=30° Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目：求等腰三角形个角度数：（1）在等腰三角形中，有一个角的度数为36°. （2）在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进行归纳总结。

2021-2022学年最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明难点解析试卷(含答案解析)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明难点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6，...的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2021的横坐标为（）A．-1008 B．-1010 C．1012 D．-10122、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3、下列命题成立的有（）个．①等腰三角形两腰上的中线相等；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形全等；③三角形纸片中，AB =8cm ，BC =6cm ，AC =5cm ．沿过点B 的直线折叠这个三角形使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．则△AED 的周长为7cm ；④AD 是△ABC 的角平分线，则S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ． A ．1B ．2C ．3D ．44、一个三角形三个内角的度数分别是x ，y ，z ．若2||()0x y x y z -++-=，则这个三角形是（） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．不存在5、如图，在△AAA 中，AB AC =，120A ∠=︒，6BC =cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm6、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥，垂足为E ，且12cm AB =，则DEB ∆的周长是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（） A ．50°B ．80°C ．50°或80°D ．100°或80°8、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°9、如图，AD 是△AAA 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF ．下列结论：①AF DF =；②::ABDACDS SAB AC =；③BAF ACF ∠=∠；④BF AC ⊥．其中命题一定成立的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等腰直角三角形，则满足条件的格点C 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△AAA 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使ACD △为等腰三角形．下列作法正确的有________个．2、如图，△ABC 中，∠A ＝68°，点D 是BC 上一点，BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，则∠EDF ＝_____度．3、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，D 为线段CE 的中点，BE ＝AC ．∠BAC ＝75°，则∠B 的度数为_______．4、如图，在ACB △和△AAA 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，CA CB =，CD CE =，点A 在边DE 上，若23DE =，8AD =，则2AC =______．5、将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝14cm，则AF＝_____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）．1、如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD AB小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．=，∵BC BD∴点B在线段CD的垂直平分线上．（_______________）（填推理的依据）∵AC=______________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．⊥．∴CD AB2、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P是从A点出发的动点，沿若A-B-C-A在三边上运动一周，速度为每秒2cm．设P点的运动时间为t秒．（1）当t＝6.5秒时，求出CP的长．（2）是否存在t的值，使得时间为t秒时△ABP的面积，与时间为（t+2）秒时△ACP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）当t＝时，△ACP为等腰三角形（直接给出答案）．3、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据教材中的分析．（1）结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程．（2）定理应用：如图②，在△AAA中，AA=AA，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．连接MB，若AB=8cm，△AAA的周长是14cm．①求BC的长；②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的△AAA的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求△AAA的周长最小值；若不存在，说明理由．4、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝°；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝°．（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．5、“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P 旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝13∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝13∠AOB．-参考答案-一、单选题1、C【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可．【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，A3（0，0），A7（-2，0），A11（-4，0）…，∵2021÷4=505余1，∴点A2021在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是（2021+3）÷2=1012，∴A2021的坐标为（1012，0）．故选：C【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数时的变化规律是解题的关键．2、B【分析】根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．【详解】如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线∵AD=CD=BD∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB∵∠A+∠ACB+∠B=180°∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180即2∠A+2∠B=180°∴∠A+∠B=90°∴∠ACB=90°∴△ABC是直角三角形故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．3、C【分析】利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①等腰三角形两腰上的中线相等，故原命题正确；②有两边及其中一边上的高线分别相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误；③三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形使点C落在AB边上的点E 处，折痕为BD ．如图：由折叠知：BC =BE =6，CD =DE ，则△AED 的周长为AD +DE +AE =AD +CD +AB -BE = AC +AB -BC =7cm ，故原命题正确；④AD 是△ABC 的角平分线，则S △ABD ：S △ACD ＝AB ：AC ，故原命题正确，成立的有3个，故选：C ．【点睛】要题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、全等三角形的判定、折叠的性质及角平分线的性质，难度不大．4、C【分析】根据绝对值及平方的非负性可得x y =，x y z +=，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x =︒，290x =︒，即可确定三角形的形状．【详解】解：()20x y x y z -++-=，∴0x y -=且0x y z +-=，∴x y =，x y z +=，∴2z x =，∵180x y z ++=︒，∴2180x x x ++=︒，解得：45x =︒，290x =︒，∴三角形为等腰直角三角形，故选：C ．【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键．5、C【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA 与△CNA 是等腰三角形，再证明△MAN 为等边三角形即可．【详解】解：连接AM ，AN ，∵AB 的垂直平分线交BC 于M ，交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，∴BM ＝AM ，CN ＝AN ，∴∠MAB ＝∠B ，∠CAN ＝∠C ，∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°，∴∠BAM ＋∠CAN ＝60°，∠AMN ＝∠ANM ＝60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM ＝AN ＝MN ，∴BM ＝MN ＝NC ，∵BC ＝6cm ，∴MN ＝2cm ．故答案为2cm ．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．6、D【分析】根据角平分线的性质可得DC DE =，再证Rt ACD Rt AED ∆≅∆，可得AE AC =，最后根据三角形的中周长公式计算即可．【详解】解：AD 平分BAC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥，DC DE ∴=，在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中，DC DE AD AD=⎧⎨=⎩， Rt ACD Rt AED(HL)∴∆≅∆，AE AC ∴=，AC BC =，BC AE ∴=，DEB ∴∆的周长()12cm DE BD BE CD BD BE BC BE AE BE AB =++=++=+=+==．故选：D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定等知识点，掌握角平分线的性质成为解答本题的关键．7、C【分析】已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．【详解】解：等腰三角形的一个角是80°，当80º为底角时，它的一个底角是80º，当80º为顶角时，它的一个底角是180801005022︒-︒︒==︒，则它的一个底角是50º或80º．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．8、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．9、C【分析】根据垂直平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可判断①②；根据∠BAF =∠BAD +∠DAF ，∠ACF =∠DAC +∠ADF ，即可判断③；根据∠BAF 不一定为90°，则∠ACF 不一定为90°，即可判断④．【详解】解：∵EF 是线段AD 的垂直平分线，∴AF =DF ，故①正确；∴∠ADF =∠DAF ，过点D 分别作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G ，∵AD 平分∠BAC ，∴DH =DG ，∠BAD =∠CAD ∵1=2ABD S AB DH ⋅△，1=2ACD S AC DG ⋅△， ∴12=12ABD ACDAB DH S AB S AC AC DG ⋅=⋅△△，故②正确；∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，∴∠BAF=∠ACF，故③正确；∵∠BAF不一定为90°，∴∠ACF不一定为90°，∴AF与BC不一定垂直，故④错误，故选C．【点睛】本题主要考擦了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．10、A【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的格点C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的格点C 点有3个．故共有3个点，故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．二、填空题1、3【分析】根据图中的圆心、半径已经角平分线、垂直平分线的作法，依次判断即可得．【详解】解：第一个图以C 为圆心，AC 长为半径，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第二个图为作BAC ∠的角平分线，无法得到ACD △为等腰三角形，不符合题意；第三个图以B 为圆心，AB 长为半径，∴ABD △为等腰三角形，∵30C ∠=︒，∴60B ∠=︒，∴ABD △为等边三角形，∴60BAD ∠=︒，∴906030DAC ∠=︒-︒=︒，∴C DAC ∠=∠，∴CD DA =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；第四个图为作线段AC 的垂直平分线，可得DA DC =，∴ACD △为等腰三角形，符合题意；综上可得：有三个图使得ACD △为等腰三角形，故答案为：3．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及角平分线、垂直平分线的作法，熟练掌握各个图形的作法是解题关键．2、68【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB ＝ED ，FD ＝FC ，则∠EDB ＝∠B ，∠FDC ＝∠C ，从而可以得到∠EDB +∠FDC ＝∠B +∠C ，再由∠EDF ＝180°﹣（∠EDB +∠FDC ），∠A ＝180°﹣（∠B +∠C ），即可得到∠EDF ＝∠A ＝68°．【详解】解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，∴∠EDB ＝∠B ，∠FDC ＝∠C ，∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∴∠EDF＝∠A＝68°．故答案为：68．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．3、35°【分析】∠=∠，根据三连接AE，根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可得EAB EBA∠=∠，EAD CAD角形的内角和定理，外角性质建立二元次一次方程组，解方程组求解即可【详解】解：如图，连接AEAB的垂直平分线EF交BC于点E，EA EB∴=∴∠=∠EAB EBABE ＝AC ．EA EC ∴=又D 为线段CE 的中点EAD CAD ∴∠=∠,AD EC ⊥设EAB EBA ∠=∠α=，EAD CAD ∠=∠=β则2AED α∠=∠BAC ＝75°，∴275αβ+=︒①AD EC ⊥2=90αβ∴+︒②联立①②2752=90αβαβ+=︒⎧⎨+︒⎩，解得3520αβ=︒⎧⎨=︒⎩ 即∠B 的度数为35︒故答案为：35︒【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三线合一，三角形外角性质，三角形内角和定理，解二元一次方程组，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4、2892【分析】连接BE ，根据题意可以证明AEB △是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明2222AE AD AC =+，即可求AC 的值．【详解】解：如图所示，连接BE ，∵在ACB △和ECD 中，∠ACB=∠DCE=90°，CA CB =，CE CD =，90ECA ACD ACE ECB ∴∠+∠=∠+∠=︒，45CEA CDE ∠=∠=︒，45CAB CBA ∠=∠=︒，DCA ECB ∴∠=∠，又∵CE CD =，CA CB =()DCA ECB SAS ∴≅△△，AD BE ∴=，CEB CDA ∠=∠，90BEA CEB CDA CEA CDA ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，AEB ∴是直角三角形，222AE BE AB ∴+=，在Rt ACB 中，AC BC =，22222AC BC AC AB +==，2222AC AE BE ∴=+，∵8AD =，23DE =，∴23815AE DE AD =-=-=222815289=22AC +∴=故答案为：2892．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找到2222AE AD AC=+．5、【分析】求出∠AFC＝∠E＝45°，由直角三角形的性质求出AC＝7cm，由勾股定理可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ACB＝∠D＝90°，∴CF∥DE，∵∠E＝45°，∴∠AFC＝∠E＝45°，∴AC＝CF，∵AB＝14cm，∠B＝30°，∴AC＝12AB＝7cm，∴AF=cm）．故答案为：【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD；（1）根据作图的作法作出图形即可求解；（2）完连接AC，AD，BC，BD，根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可求解．【详解】解：（1）作图如图所示：（2）证明：连接AC，AD，BC，BD．=，∵BC BD∴点B在线段CD的垂直平分线上．（到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）∵AC=AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．⊥．∴CD AB故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD．【点睛】本题考查作图，垂直平分线的判定，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．2、（1）5cm；（2）t＝5.5；（3）3或5.4或6或6.5．（1）先根据速度×时间求出点P的路程，由勾股定理求出BC的长，进而求出CP的长；（2）由等面积法求得AD的长，要是t秒时ABP的面积与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等可以判断出点P在BC上，分别表示出ABP、ACP的面积，列出关于t的方程，解除方程即可；（3）分别讨论点P在AB、BC、上存在的所有情况即可得出结论．【详解】解：（1）∵P点速度为每秒2cm．∴运动时间为t＝6.5秒时，点P的路程为：2×6.5＝13cm．∵Rt ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，∴10BC=cm，∴AB+BC＝8+10＝18cm，∴CP＝18－13＝5cm．（2）当t＝5.5秒时，使得时间为t秒时ABP的面积，与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等，理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，∴1122ABCS AB AC BC AD==，即6×8＝10AD，解得AD＝4.8cm，使得时间为t秒时ABP的面积，与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等，∴点P 在BC 上∴4≤t ≤7， ∴()112 4.822ABPS BP AD t AB ==-⨯， ()1122 4.822ACP S CP AD AB BC t ==+-+⨯⎡⎤⎣⎦ 即()()112 4.822 4.822t AB AB BC t -⨯=+-+⨯⎡⎤⎣⎦， ()()1128 4.81822 4.822t t -⨯=-+⨯⎡⎤⎣⎦，解得：t ＝5.5秒（3）①当点P 在AB 上时，如图，要使ACP 为等腰三角形，∴AC ＝AP 1，即2t ＝6，解得：t ＝3，②当点P 在BC 上时，当AC ＝AP 时，如图AC＝AP2＝6，AD＝4.8，∴DP2＝DC 3.6=，∴AB+BP2＝AB+BC－P2C＝18－3.6－3.6＝10.8cm，∴2t＝10.8，解得:t＝5.4，当AC＝CP时，此时AC＝CP3＝6cm，∴BP3＝10－6＝4cm，∴AB+BP3＝8+4＝12cm，∴2t＝12，解得：t＝6，当PC＝PA时，过点P4作P4G⊥AC于点G，∴AB//P4G，AG＝CG，∴点P 4为BC 的中点，此时AB+BP 4＝8+5＝13cm ，即2t ＝13，解得：t ＝6.5，综上所述：点t ＝3或5.4或6或6.5时，ACP 为等腰三角形，故答案为：3或5.4或6或6.5．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线段的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定解题的关键．3、（1）见解析；（2）①6cm；②存在，图见解析，14cm【分析】（1）根据MN AB ⊥，可得90ACP BCP ∠=∠=︒，从而证得△ACP ≌△BCP ，即可求证；（2）①根据线段垂直平分线的性质定理，可得MB =MA ，再由△MBC 的周长是14cm ，可得AC +BC =14cm ，即可求解；②根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB =PA ，从而得到PB +CP =PA +PC ≥AC ，进而得到当点P 与点M 重合时，PB CP +的值最小，即可求解．【详解】（1）证明：∵MN AB ⊥，∴90ACP BCP ∠=∠=︒，在△ACP 与△BCP 中，AC BC ACP BCP PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACP ≌△BCP ，∴PA=PB；（2）①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∵AC=AB=8cm，∴BC=6cm．②如图，+的值最小，当点P与点M重合时，PB CP∵MN垂直平分AB．∴PB=PA，∴PB+CP=PA+PC≥AC，+的值最小，为AC的长∴当点P与点M重合时，PB CP∴△PBC的周长最小值是8+6=14cm．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键．x，见解析4、（1）15，40；（2）y＝12【分析】（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解．【详解】解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝m+n，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝2m，∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，∴∠EDC的度数是15°；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．故答案是：15；40；x，（2）y与x之间的关系式为y＝12证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠AED ＝∠C +∠EDC ＝∠B +y ，∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠EDC ，∴∠B +x ＝∠B +y +y ，∴2y ＝x ，∴y ＝12x ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．5、见解析【分析】由OA OC PC ==，得出,POC AOC 为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得2CAO APB ∠=∠，再次利用外角的性质及等量代换得3AOB APB ∠=∠，即可证明．【详解】解：OA OC PC ==，,POC AOC ∴为等腰三角形， ,APB COP ACO CAO ∴∠=∠∠=∠，由外角的性质得：2ACO APB COP APB ∠=∠+∠=∠，2CAO APB ∠=∠，再由外角的性质得：AOB APB CAO ∠=∠+∠，3AOB APB ∴∠=∠，13APB AOB ∴∠=∠．【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．。

新北师大版八年级数学下册各章测试题附答案(全册)

第一章《三角形的证明》水平测试一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分）1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配. A. ① B. ②C.③D. ①和②2．下列说法中，正确的是（）.A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D ．面积相等的两个三角形全等3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE=3cm ，那么AC长为（）.A ．4cmB ．5cmC ．8cmD ．34cm4．如图3，在等边ABC 中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE ，AD 与BE 相交于点P ，则12的度数是（）. A ．045B ．055C ．060D ．0755．如图4，在ABC 中，AB=AC ，36A ，BD 和CE 分别是ABC 和ACB 的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A ．9个B ．8个C ．7个D ．6个6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处7．如图6，A 、C 、E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM ＝CN ；③AC ＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ≌EDC ，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定ABC ≌EDC 的条件是().A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ）是等腰三角形.证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC又∵BDE 与BDC 关于BD 对称，∴23. ∴BDF 是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.①12；②13；③34；④BDC BDEA ．①③B ．②③C ．②①D ．③④10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A. （1）B. （2）C. （3）D. （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分）1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.2．如图11，在Rt ABC 中，090,BAC ABAC ，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为_______.3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度.4．如图13，在等腰ABC 中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE 的周长为50，则底边BC 的长为_________. 5．在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50，则图8底角B 的大小为________.6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号)7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点 B与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.8．如图15，在ABC 中，AB=AC ，120A ，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么DE+DF= _______cm.9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°,∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC于点E ，若4BE，则AC_______ .10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身器材，由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）1．（7分）如图18，在ABC 中，090ACB，CD 是AB 边上的高，30A . 求证：AB= 4BD.2．（7分）如图19，在ABC 中，090C ，AC=BC ，AD 平分CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE 的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正．确．的命题：命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4．（8分）如图21，在ABC 中，90A ，AB=AC ，ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点 E.求证：12CEBD .5．（8分）如图22，在ABC 中，90C .（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.6．（8分）如图23，90AOB ，OM 平分AOB ，将直角三角板的顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问PC 与PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题12分）如图24，在ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交BC 的延长线于点M ，若40A .（1）求NMB 的度数；（2）如果将（1）中A 的度数改为070，其余条件不变，再求NMB 的度数；（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A 改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？图21图24图23答案：一、精心选一选，慧眼识金1．C ；2．B ；3．D ．点拨：BC=BE=3cm ，AB=BD=5cm ；4．C ．点拨：利用ABD ≌BCE ；5．B ；6．D ．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件；7．B ．点拨：①②正确；8．A ；9．C ；10．C ．点拨：在直线MN 上截取线段h ，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.二、细心填一填，一锤定音1．答案不惟一.如ACBDBC ；2．7厘米. 点拨：利用ABD ≌CAE ；3．030；4．23．点拨：由27BE CE ACAB，可得502723BC；5．070或020.点拨；当ABC 为锐角三角形时，70B；当ABC 为钝角三角形时，20B ；6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；7．154cm . 点拨：设CDx ，则易证得10BDAD x .在Rt ACD 中，222(10)5x x ，解得154x.8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，1122DE DFBD CDBC .9．2. 点拨：在Rt AEC 中，030AEC，由AE=BE= 4，则得AC=2；10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功1．∵90ACB ，30A ，∴AB=2BC ，60B .又∵CD ⊥AB ，∴030DCB ，∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD.2．根据题意能求出BDE 的周长. ∵090C ，90DEA，又∵AD 平分CAB ，∴DE=DC.在Rt ADC 和Rt ADE 中，DE=DC ，AD=AD ，∴Rt ADC ≌Rt ADE （HL ）.∴AC=AE ，又∵AC=BC ，∴AE=BC.∴BDE 的周长DE DB EB BC EB AE EB AB .∵AB=6cm ，∴BDE 的周长=6cm.3．（1）①，③；②，④.（2）已知：D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD. 求证：OB ＝OC ，BE ＝CD.证明：∵AB=AC ，∠ABE ＝∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）.∴BE=CD.又∵ABC ACB ，∴BCD ACB ACD ABC ABE CBE∴BOC 是等腰三角形，∴OB ＝OC.4．延长CE 、BA 相交于点 F.∵090,90EBF F ACF F ，∴EBF ACF .在Rt ABD 和Rt ACF 中，∵DBA ACF ，AB=AC ，∴Rt ABD ≌Rt ACF （ASA ）. ∴BD CF .在Rt BCE 和Rt BFE 中，∵BE=BE ，EBC EBF ，∴RtBCE ≌Rt BFE （ASA ）.∴CEEF. ∴1122CECFBD .5．（1）图略. 点拨：作线段AB 的垂直平分线.（2）连结BP.∵点P 到AB 、BC 的距离相等，∴BP 是ABC 的平分线，∴ABPPBC .又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴PA=PB ，∴A ABP .∴190303AABPPBC.6．过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点 F.∵OM 平分AOB ，点P 在OM 上，∴PE=PF.又∵090AOB ，∴90EPF .∴EPF CPD ，∴E P CF P D.∴Rt PCE ≌Rt PDF （ASA ），∴PC=PD. 四、拓广探索（1）∵AB=AC ，∴BACB .∴11180180407022BA.∴90907020NMB B. （2）解法同（1）.同理可得，035NMB.（3）规律：NMB 的度数等于顶角A 度数的一半.证明：设A.∵AB=AC ，∴BC ，∴11802B .∵090BNM ，∴11909018022NMB B.即NMB 的度数等于顶角A 度数的一半. （4）将（1）中的A 改为钝角，这个规律不需要修改.仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半.全品中考网全品第二章一元一次不等式（组）检测试题一、选择题（每小题3分,共36分）1．x 与y 的差的5倍与2的和是一个非负数,可表示为（）（A ）025y x （B ）025y x（C ）025y x （D ）0225y x 2．下列说法中正确的是（）（A ）3x 是32x 的一个解. （B ）3x 是32x 的解集. （C ）3x是32x 的唯一解. （D ）3x不是32x 的解.3. 不等式222xx 的非负整数解的个数是（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．已知正比例函数x m y 12的图象上两点2221,,,y x B x x A ,当21x x 时,有21y y ,那么m 的取值范围是（）（A ）21m（B ）21m（C ）2m （D ）m 5．不等式组2.351,062xx的解集是（）（A ）32x （B ）38x （C ）38x （D ）8x或3x 6．若,0ba 且0b，则b a b a ,,,的大小关系是（）（A ）b a b a （B ）ba ab （C ）baba（D ）a b ba7．已知关于x 的一次函数72m mx y在51x上的函数值总是正的,则m 的取值范围是（）（A ）7m （B ）1m （C ）71m （D ）以上答案都不对8．如果方程组.33,13yxk y x 的解为x 、y ，且42k，则y x的取值范围是（）（A ）10yx （B ）210yx （C ）11yx（D ）13yx9．若方程x xm x m 53113的解是负数，则的取值范围是（）（A ）45m（B ）45m（C ）45m（D ）45m10．两个代数式1x 与3x的值的符号相同，则x 的取值范围是（）（A ）3x （B ）1x （C ）21x （D ）1x 或3x 11．若不等式33a xa 的解集是1x ，则a 的取值范围是（）（A ）3a （B ）3a（C ）3a（D ）3a 12．若4224m m ,那么m 的取值范围是（）（A ）不小于 2 （B ）不大于 2 （C ）大于 2 （D ）等于 2 二、填空题（每题3分,共24分）13. 当x _____时,代数式43x 的值是非正数. 14. 若不等式.32,12bxa x 的解集为11x ,那么ab 的值等于_____. 15.若x 同时满足不等式032x 与02x,则x 的取值范围是_____.m16.已知x 关于的不等式组.0,125ax x 无解,则a 的取值范围是_____.17. 如果关于x 的不等式51a x a 和42x 的解集相同,则a 的值为_____.18. 小马用100元钱去购买笔记本和笔共30件,已知每本笔记本2元,每枝钢笔5元,那么小马最多能买_____枝钢笔.19.一个两位数,十位上的数字比个位数上的数字小2,若这个两位数处在40至60之间,那么这个两位数是_____.20. 已知四个连续自然数的和不大于34,这样的自然数组有_____组.三、解答题（每题8分,共40分）21．解不等式3225332xxx x ,并把它的解集在数轴上表示出来.22.求不等式组)2(.3212)1(,133211x xx x 的偶数解.23．已知关于y x,的方程组)2(.2)1(,32m yxm y x 的解y x,均为负数,求m 的取值范围.24. 关于y 的不等式组253,7.236y yt y t y 的整数解是3,2,1,0,1，求参数t 的取值范围.25. 甲乙两人先后去同一家商场买了一种每块0.50元的小手帕.商场规定凡购买不少于10块小手帕可优惠20%，结果甲比乙多花了4元钱，又知甲所花的钱不超过8元，在充分享受优惠的条件下，甲乙两人各买了多少块小手帕？参考答案一、选择题（每小题3分,共36分）1．解：x 与y 的差的5倍是y x 5,再与2的和是25y x ,是一个非负数为:025y x .故选（B ）2．解:32x ,根据不等式基本性质2,两边都除以2,得23x.由此,可知3x 只是32x 的一个解.故选（A ）3. 解：去括号，得.242x x 解得.2x 所以原不等式的非负数整数解为,2,1,0x共3个.故选（C ）4．解:因为点2221,,,y x B x x A 在函数x m y 12的图象上,所以1112x m y ,2212x m y . 所以212112x x m y y . 因为当21x x 时,有21y y ,即当21x x ,021y y ,所以.012m 所以.21m故选（A ）5．解: 由(1)得3x . 由(2)得8x.所以不等式组的解集是38x 故选（C ）6．解:由,0b a且0b，得0a且b a.又根据不等式的性质2,得0,0ba.b ab a,.所以a b b a 故选（D ）7．解:根据题意,令1x,则07my,得7m;令5x ,则077m y ,得1m .综上,得7m.故选（A ）8．解：两个不等式相减后整理，得221kyx .由42k，得220k .所以10yx故选（A ）9．解:方程x x m x m 53113的解为541mx，要使解为负数，必须054m ，即45m.故选（A ）10．解: 因为代数式1x 与3x 的值的符号相同，可得.03,01xx 或.03,01xx 由第一个不等式组得,3x;由第二个不等式组得, 1x .故选（D ）11．解:因为不等式33a x a 的解集是1x，所以03a .所以3a.故选（C ）12．解:由4224m m ,得042m ,所以2m .故选（A ）二、填空题（每题3分,共24分）13.解:根据题意,得043x .解得.34x14.解:由.32,12bxa x 得.23,21b xa x 所以.2123axb 又因为11x ,所以.123,121ba解得.2,1ba 所以.221ab 15.解:由032x ,得23x,由02x ,得2x .所以223x.16.解:原不等式组可化为.,3a x x 若不等式组有解,则3xa.3a.故当3a时, 不等式组无解. 所以a 的取值范围是3a . 17.解:由42x 得2x .因为不等式51a x a 和42x 的解集相同,所以不等式51a xa 的解集为.15a ax 215a a .解得7a.18.解:设小马最多能买x 枝钢笔.根据题意,得1003025x x。

难点解析北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析试题(含解析)

北师大版八年级数学下册第六章平行四边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC中，AD是角平分线，点E、F分别是线段AC、CD的中点，若△ABD、△EFC的面积分别为21、7，则ABAC的值为（）A．14B．34C．23D．132、如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）A．甲大B．乙大C．一样大D．无法确定3、如图，在平行四边形ABCD中，AE BC于点E，把BAE以点B为中心顺时针旋转一定角度后，得到BFG ，已知点F 在BC 上，连接DF ．若70ADC ∠=︒，15CDF ∠=︒，则DFG ∠的大小为（）A ．140°B ．155°C ．145°D ．135°4、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（） A ．135°B ．360°C ．1080°D ．1440°5、如图，正五边形ABCDE 点D 、E 分别在直线m 、n 上．若m ∥n ，∠1＝20°，则∠2为（）A ．52°B ．60°C ．58°D ．56°6、四边形ABCD 中，如果270A C D ∠+∠+∠=︒，则B 的度数是（） A ．110°B ．100°C ．90°D ．30°7、多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（） A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条8、如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（）A．40°B．22°C．30°D．52°9、正五边形的外角和是（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒10、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是 _____．2、如图，已知AB ∥CD ，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于F ，140E ∠=︒，求BFD ∠的度数_____．3、如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，34B ∠=︒，在边AB ，BC 上分别找一点E ，F 使DEF 周长最小，此时EDF ∠=______．4、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，BC =3，将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′B C′，其中点A ，C 的对应点分别为点,A C ''连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．则DE 的最小值为_________5、如图，在平行四边形ABCD 中，45ABC ∠=︒，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE BD ∥，30EFC ∠=︒，AB =EF =______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，在ABC 中，AD DB =，BE EC =，AF FC =．求证：AE DF 、互相平分．2、△ABC 和△GEF 都是等边三角形．问题背景：如图1，点E 与点C 重合且B 、C 、G 三点共线．此时△BFC 可以看作是△AGC 经过平移、轴对称或旋转得到．请直接写出得到△BFC 的过程．迁移应用：如图2，点E 为AC 边上一点（不与点A ，C 重合），点F 为△ABC 中线CD 上一点，延长GF交BC 于点H ，求证：CE CH +=．联系拓展：如图3，AB ＝12，点D ，E 分别为AB 、AC 的中点，M 为线段BD 上靠近点B 的三等分点，点F 在射线DC 上运动（E 、F 、G 三点按顺时针排列）．当12MG AG +最小时，则△MDG 的面积为_______．3、在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．（1）如图1，求证：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HG ，HG 交AF 于点Q ． ①点H 在运动的过程中，求证：90HFG ∠=︒；②若44AB C ==，当AQG 为等腰三角形时，EH 的长为______． 4、已知：如图：五边形ABCDE 的内角都相等，DF ⊥AB ．（1）则∠CDF ＝（2）若ED ＝CD ，AE ＝BC ，求证：AF ＝BF ．5、如图，在Rt△OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝AB ＝6，将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA 1B 1．（1）线段OA 1的长是，∠AOB 1的度数是；（2）连接AA 1，求证：四边形OAA 1B 1是平行四边形．-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】过点A 作△ABC 的高，设为x ，过点E 作△EFC 的高为12x ，可求出42BD x =，28CF x=，再由点E 、F 分别是线段AC 、CD 的中点，可得出2CE CD CE CF =，进而求出56CD x=，再利用角平分线的性质可得出AB AC 的值为BDCD即可求解．【详解】解：过点A 作△ABC 的高，设为x ，过点E 作△EFC 的高为12x ，∴1212ABDSx BD == ，11722EFCS x CF == ∴42BD x =，28CF x= ，∵点E 、F 分别是线段AC 、CD 的中点， ∴12CE EF CF CA AD CD === ， ∴2CA CE = ， ∵CE CD CA CF = ， ∴2CE CD CE CF =， ∴56CD x=, 过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， ∵AD 为BAC ∠平分线， ∴DM =DN ， ∵1122ABD ACDSAB DM S AC DN =⋅=⋅，， ∴S ABD AB DM DB S ACD AC DN CD ⋅==⋅，即：AB DBAC CD=∴4242356564AB BD x AC CD x==== ，故选：B ．【点睛】本题考查角平分线性质定理及三角形中位线的性质，解题关键是求出AB BDAC CD=． 2、C 【分析】如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N H 则O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥再证明,ANO CHO ≌ ,,DNO BHO AOB COD ≌≌ 可得,ANHB CHND S S 四边形四边形从而可得答案.【详解】解：如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N HO 为▱ABCD 的对称中心，O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥,,NAO HCO ANO CHO,ANO CHO ≌同理：,,DNO BHO AOB COD ≌≌,ANHBCHND S S 四边形四边形所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，随机事件发生的可能性的大小，几何概率的意义，理解几何概率的意义是解本题的关键. 3、C 【分析】根据题意求出∠ADF ，根据平行四边形的性质求出∠ABC 、∠BAE ，根据旋转变换的性质、结合图形计算即可．【详解】解：∵∠ADC=70°，∠CDF=15°，∴∠ADF=55°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=70°，AD∥BC，∴∠BFD=125°，∵AE⊥BC，∴∠BAE=20°，由旋转变换的性质可知，∠BFG=∠BAE=20°，∴∠DFG=∠DFB+∠BFG=145°，故选：C．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、旋转变换的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．4、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为45︒,求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案. 【详解】解：正多边形的一个外角等于45°，∴这个正多边形的边数为：3608, 45∴这个多边形的内角和为：821801080,故选C本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.5、D【分析】延长AB 交直线n 于点F ，由正五边形ABCDE ，可得出五边形每个内角的度数，再由三角形外角的性质可得128EGB ∠=︒，根据平行线的性质可得52GFH ∠=︒，最后再利用一次三角形外角的性质即可得．【详解】解：如图所示，延长AB 交直线n 于点F ，∵正五边形ABCDE ，∴108A ABC C D AED ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∵120∠=︒，∴1128EGB A ∠=∠+∠=︒，∵m n ∥，∴18052GFH EGB ∠=︒-∠=︒，∴256GBH GFH ∠=∠-∠=︒，故选：D ．题目主要考查正多边形的内角，平行线的性质，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这几个性质是解题关键．6、C【分析】根据四边形内角和是360°进行求解即可．【详解】解：四边形的内角和是360°，+++=360A B C D ∴∠∠∠∠︒∵270A C D ∠+∠+∠=︒=360-270=90B ∴∠︒︒︒．故选：C ．【点睛】本题考查四边形的内角和，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7、A【分析】多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条．多边形的每一个内角都等于150°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是30度，而任何多边形的外角是360°，则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有（n-3）条，即可求得对角线的条数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于150°，∴每个外角是30°，∴多边形边数是360°÷30°=12，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12-3=9条．故选A ．本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．8、B【分析】利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∵1=70∠︒，2=132∠︒，∴3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．9、B【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【详解】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．10、A利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．【详解】解：四边形ABCD为平行四边形。