2014-2015学年 微积分教案
微积分五讲教学设计
微积分五讲教学设计一、教学目标本教学设计旨在向学生介绍微积分的基本概念和应用，通过五堂课程的学习，学生将掌握微积分的基本原理，包括函数的极限、导数、积分和微分方程。
二、教学内容第一讲：函数的极限本讲将介绍函数的极限概念和极限的计算方法，通过实例，让学生了解极限的概念和基本性质，并大致了解一些典型的函数性质。
第二讲：导数本讲将介绍导数概念以及导数的计算方法，通过实例和练习，让学生掌握导数的定义和基本性质，并能使用常用的导数公式计算导数。
第三讲：积分本讲将介绍积分概念及计算方法，在讲解定积分和不定积分的基础上，通过练习，让学生初步掌握积分的定义和基本计算方法。
第四讲：微积分应用本讲将介绍微积分在实际问题中的应用，如求极值、求曲率、求平均值等，通过实例，让学生理解和应用微积分的基本概念和方法。
第五讲：微分方程本讲将介绍微分方程的概念和解法，通过实例，让学生掌握常见的微分方程解法和应用方法。
三、教学方法本教学设计将采用课堂讲授和练习相结合的教学方法，通过理论讲解和实践操作相结合，让学生在掌握基本概念的同时，培养分析问题和解决问题的能力。
四、教学评价本教学设计将采用多种评价方式，包括课堂表现、作业成绩、考试成绩和综合能力评估，以确保学生对微积分的学习和掌握程度。
五、教学资源本教学设计所需资源包括教学资料、练习题目和案例分析等，可以通过课堂讲授和网络资源获取。
六、教学进度安排讲次教学内容教学形式教学时间1 函数的极限讲授+实例1课时2 导数讲授+实例1课时3 积分讲授+实例1课时4 微积分应用讲授+实例1课时5 微分方程讲授+实例1课时七、教学效果评估在教学结束后，将进行教学效果评估，包括教学质量评价、学生评价和教师自评等，以便于不断改进教学方法和提高教学质量。
《微积分教案》
《微积分教案》教案章节：一、导数与微分【学习目标】1. 理解导数的概念及其物理意义；2. 掌握基本函数的导数公式；3. 学会求函数在某一点的导数；4. 理解微分的概念及其应用。
【教学内容】1. 导数的定义：引入导数的概念，解释导数的物理意义，举例说明导数表示物体运动速度的变化；2. 基本函数的导数公式：讲解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数公式；3. 求函数在某一点的导数：介绍求导数的方法，如导数的定义法、导数的四则运算法则、复合函数的链式法则等；4. 微分的概念及其应用：解释微分的概念，讲解微分与导数的关系，举例说明微分在实际问题中的应用。
【教学方法】1. 采用讲授法，讲解导数与微分的概念，分析基本函数的导数公式；2. 运用案例分析法，引导学生通过实际问题理解导数与微分的应用；3. 利用数形结合法，借助图形演示导数的变化趋势；4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，巩固知识点。
【教学评估】1. 课堂练习：布置有关导数与微分的练习题，检查学生对知识的掌握程度；2. 课后作业：布置相关的课后作业，要求学生巩固所学知识；3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生对知识的理解和应用能力。
教案章节：二、积分与微分方程【学习目标】1. 理解积分的概念及其物理意义；2. 掌握基本函数的积分公式；3. 学会求函数的反函数；4. 理解微分方程的概念及其应用。
【教学内容】1. 积分的定义：引入积分的概念，解释积分的物理意义，举例说明积分表示物体运动路程的变化；2. 基本函数的积分公式：讲解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分公式；3. 求函数的反函数：介绍求反函数的方法，如代数法、对数法等；4. 微分方程的概念及其应用：解释微分方程的概念，讲解微分方程的分类，举例说明微分方程在实际问题中的应用。
【教学方法】1. 采用讲授法，讲解积分与微分方程的概念，分析基本函数的积分公式；2. 运用案例分析法，引导学生通过实际问题理解积分与微分方程的应用；3. 利用数形结合法，借助图形演示积分的变化趋势；4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，巩固知识点。
《微积分》授课计划
《微积分》授课计划一、课程简介微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。
本课程旨在帮助学生掌握微积分的基本概念、方法和技巧，提高数学素养和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 掌握微积分的基本概念，如函数、极限、导数、微分、积分等；2. 学会运用微积分方法解决实际问题，如求函数的最值、求解积分问题等；3. 提高数学素养和逻辑思维能力，培养数学兴趣和数学精神。
三、教学内容与安排第一周：导数与微分内容：导数与微分的概念、几何意义、基本性质和运算方法；安排：讲授导数与微分的基本概念，通过例题和练习加深学生对概念的理解；组织小组讨论，鼓励学生运用所学知识解决实际问题。
第二周：不定积分内容：不定积分的概念、性质和基本方法；安排：讲授不定积分的计算方法，通过例题和练习加深学生对方法的理解；组织学生参加数学竞赛，提高学生的数学应用能力。
第三周：定积分及其应用内容：定积分的概念、性质和计算方法；定积分的应用，如求面积、求平均值等；安排：讲授定积分的计算方法和应用，通过例题和练习加深学生对方法的理解；组织学生参加数学建模比赛，提高学生的团队协作能力和创新意识。
第四周：专题讲座内容：微积分在其他领域的应用，如物理、经济等；安排：邀请相关领域的专家进行专题讲座，拓宽学生的知识面，增强学生对微积分的认识和应用。
四、教学方法与手段1. 讲授法：通过系统地讲解微积分的基本概念和方法，帮助学生建立完整的知识体系；2. 案例教学法：结合实际案例，引导学生运用微积分知识解决实际问题，提高学生的学习兴趣和实际应用能力；3. 小组讨论法：鼓励学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力；4. 竞赛和比赛法：组织学生参加数学竞赛和数学建模比赛，提高学生的数学应用能力和创新意识。
五、考核方式1. 平时成绩：包括出勤率、作业完成情况、课堂表现等；2. 期中考试：检验学生对微积分基本知识的掌握情况；3. 数学竞赛和建模比赛成绩：鼓励学生积极参与数学竞赛和建模比赛，展示学生的数学应用能力和创新能力。
《微积分初步》教案
《微积分初步》教案标题：微积分初步教案一、教学目标：1.掌握极限的概念和性质，能够运用极限计算函数的极限。
2.了解函数的连续性和可导性，并能够应用这些概念进行简单的函数分析。
3.掌握函数的导数的计算方法，理解导数的几何意义。
4.掌握函数的积分的概念和基本计算方法，理解积分的几何意义。
二、教学内容：1.极限的概念和性质（1）函数极限的概念（2）极限的性质（3）极限存在性的判定方法（4）函数极限的计算方法2.连续性和可导性（1）连续函数的概念（2）间断点和无穷间断点（3）可导函数的概念（4）可导函数的判定方法3.导数的计算和几何意义（1）导数的定义和计算方法（2）导数的几何意义（3）常见函数的导数计算方法4.积分的概念和基本计算方法（1）不定积分的概念和性质（2）定积分的概念和性质（3）不定积分和定积分的计算方法（4）积分的几何意义三、教学过程：1.极限的概念和性质（1）引入：通过一个数列极限的例子引导学生了解极限的概念。
（2）讲解函数极限的定义和性质，如唯一性、有界性等。
（3）讲解极限存在性的判定方法，如夹逼准则、单调有界准则等。
（4）通过例题演示函数极限的计算方法。
2.连续性和可导性（1）引入：通过举例说明连续函数和不连续函数的特点。
（2）讲解连续函数的概念和连续函数的性质，如零点定理、介值定理等。
（3）讲解可导函数的概念和可导函数的判定方法，如极限定义和导数定义。
（4）通过例题演示连续函数和可导函数的判断。
3.导数的计算和几何意义（1）引入：通过速度和加速度的例子引导学生理解导数的几何意义。
（2）讲解导数的定义，利用定义推导常用函数的导数计算方法。
（3）通过几何意义解释导数的含义，如切线斜率、函数增减性等。
（4）通过例题演示常见函数的导数计算方法及几何意义。
4.积分的概念和基本计算方法（1）引入：通过求曲线下的面积问题引导学生理解积分的概念。
（2）讲解不定积分和定积分的定义和性质。
（3）讲解不定积分和定积分的计算方法，如换元法、分部积分法等。
微积分初步教案
微积分初步教案教学目标：通过本课的学习，学生将能够理解微积分的基本概念和原理，掌握微分和积分的计算方法，并能够应用微积分解决一些实际问题。
教学重点：微积分的基本概念、微分和积分的计算方法。
教学难点：微积分的应用问题。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿2. 白板、彩色粉笔3. 教材：《微积分导论》教学过程：一、导入（5分钟）教师可以通过提问和展示相关图片，引起学生对微积分的兴趣，如：“你们是否听说过微积分？”“微积分和数学中的其他分支有什么不同？”等。
二、概念解释（15分钟）1. 定义微积分：微积分是研究变化率和积分的数学分支。
2. 引入导数和微分：导数是用来描述函数变化率的概念，通常表示为f'(x)，微分是导数的微小变化量，通常表示为df。
3. 引入积分：积分是导数的逆运算，可以表示曲线下的面积或函数的累积变化量。
三、微分计算（25分钟）1. 导数的计算方法：通过极限的方法或差商的方法来计算导数，掌握常见函数的导数计算规则。
- 基本函数的导数计算- 常数乘以函数的导数- 函数加减法的导数- 乘法法则和除法法则- 复合函数的导数计算2. 微分的计算方法：利用导数计算微分，掌握微分的基本性质。
- 微分的线性性质- 微分的乘法性质- 微分的除法性质四、积分计算（30分钟）1. 不定积分：掌握基本函数的不定积分计算方法。
- 幂函数的不定积分- 三角函数的不定积分- 指数函数和对数函数的不定积分- 一些特殊函数的不定积分2. 定积分：掌握定积分计算的方法和性质。
- 利用定积分计算曲线下的面积- 定积分的线性性质- 定积分的换元法和分部积分法五、应用问题（20分钟）1. 利用微积分解决实际问题：- 长度、面积和体积的计算- 静态和动态问题的模型建立与求解- 最值和优化问题的求解2. 简单案例分析和解决方法讲解。
六、课堂练习与总结（20分钟）1. 请学生完成一些微积分的计算题目，巩固所学知识。
微积分全套教案
微积分全套教案标题：微积分全套教案教案目标：1. 帮助学生理解微积分的基本概念和原理。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
教案内容：1. 单元一：导数与微分a. 概念引入：引导学生了解导数的概念和意义，以及微分的基本概念。
b. 导数的计算方法：介绍导数的计算方法，包括基本函数的导数、求导法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解导数在实际中的应用，如速度、加速度等概念。
2. 单元二：微分方程a. 概念引入：介绍微分方程的基本概念和分类。
b. 常微分方程的解法：讲解一阶和二阶常微分方程的解法，包括分离变量法、变量代换法等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生学会将实际问题转化为微分方程，并解决问题。
3. 单元三：积分与定积分a. 概念引入：引导学生了解积分的概念和意义，以及定积分的基本概念。
b. 积分的计算方法：介绍积分的计算方法，包括不定积分、定积分的计算法则等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生理解积分在实际中的应用，如面积、曲线长度等概念。
4. 单元四：微积分应用a. 最值与最优化问题：教授最值与最优化问题的求解方法，包括极值点判别法、拉格朗日乘数法等。
b. 曲线的图像与分析：引导学生学会通过微积分方法分析曲线的图像特征，如拐点、渐近线等。
c. 应用实例：通过实际问题的例子，让学生将微积分应用于实际问题的求解，如经济学、物理学等领域。
教学方法与策略：1. 提倡启发式教学：通过引导学生思考和发现，培养他们的自主学习和解决问题的能力。
2. 实践性教学：注重将微积分的概念与实际问题相结合，让学生能够将所学知识应用于实际情境中。
3. 多元化评价：采用多种评价方式，如课堂小测、作业、项目等，全面评估学生的学习情况和能力发展。
教案评估：1. 学生的学习成绩：通过考试、测验等方式评估学生对微积分知识的掌握情况。
2. 学生的解决问题能力：观察学生在应用实例中的表现，评估他们解决实际问题的能力。
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微积分教案第四章不定积分教学⽬的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第⼀，第⼆）与分部积分法。
3、会求有理函数、三⾓函数有理式和简单⽆理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三⾓函数有理式的积分。
§4. 1 不定积分的概念与性质⼀、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任⼀x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx ,那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.⼜如当x ∈(1, +∞)时,因为xx 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问:cos x 和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任⼀x ∈I 都有F '(x )=f (x ).简单地说就是: 连续函数⼀定有原函数.两点说明:第⼀, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有⽆限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数.第⼆, f (x )的任意两个原函数之间只差⼀个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作dx x f )(.其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的⼀个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即+=C x F dx x f )()(.因⽽不定积分dx x f )(?可以表⽰f (x )的任意⼀个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以C x xdx +=?sin cos .因为x 是x21的原函数, 所以C x dx x+=?21.例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x+=?ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-?-=, C x dx x+-=?)ln( 1(x <0). 合并上⾯两式, 得到C x dx x+=?||ln 1(x ≠0). 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任⼀点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的⽅程.解设所求的曲线⽅程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任⼀点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的⼀个原函数.因为 ?+=C x xdx 22,故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线⽅程为y =x 2+C .因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1.于是所求曲线⽅程为y =x 2+1.积分曲线: 函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: ?=)(])([x f dx x f dxd , 或 ?=dx x f dx x f d )(])([;⼜由于F (x )是F '(x )的原函数, 所以+='C x F dx x F )()(,或记作 ?+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表⽰）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号?表⽰）是互逆的. 当记号?与d 连在⼀起时,或者抵消, 或者抵消后差⼀个常数.⼆、基本积分表(1)C kx kdx +=?(k 是常数), (2)C x dx x ++=+?111µµµ, (3)C x dx x+=?||ln 1, (4)C e dx e x x +=?, (5)C aa dx a x x +=?ln , (6)C x xdx +=?sin cos ,(7)C x xdx +-=?cos sin , (8)C x xdx dx x +==??tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==??cot csc sin 122,(10)C x dx x+=+?arctan 112, (11)C x dx x +=-?arcsin 112, (12)C x xdx x +=?sec tan sec ,(13)C x dx x +-=?csc cot csc ,(14)C x dx x +=?ch sh ,(15)C x dx x +=?sh ch .例4-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131. 例5 ??=dx x dx x x 52C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ??-=dx x x x dx43C x ++-=+-134134C x +-=-313C x+-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.这是因为, ])([])([])()(['+'='+dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因⼦可以提到积分号外⾯来, 即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7. ?-=-dx x x dx x x )5()5(21252 -=dx x dx x 21255??-=dx x dx x 21255 C x x +?-=232732572. 例8 dx x x x dx xx x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=- C x x x x dx xdx x dx dx x +++-=-+-=1||ln 3321113322.例9 -=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x x xx x ++=+==??2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++ C x x dx x dx x++=++=??||ln arctan 1112. 例12 dx x x x dx x x dx x x ++-+=++-=+222242411)1)(1(1111 ++-=++-=dx xdx dx x dx x x 2211)111( C x x x ++-=arctan 313. 例13 -=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan= tan x - x + C .例14 -=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2 C x x +-=)sin (21. 例15 C x dx x dx xx +-==??cot 4sin 142cos 2sin 1222.§4. 2 换元积分法⼀、第⼀类换元法设f (u )有原函数F (u ), u =?(x ), 且?(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F [?(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [?(x ) ] d ?(x )= F '[?(x ) ]?'(x )d x ,所以 F '[?(x )]?'(x )dx = F '[?(x )] d ?(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [?(x ) ],因此 ??'='')()]([)()]([x d x F dx x x F='=)()(u dF du u F C x F x dF +==?)]([)]([.即 )(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f =???=='=[F (u ) +C ] u = ?(x ) = F [?(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =?(x )可导, 则有换元公式+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([?? .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从⽽微分等式?'(x )dx =du 可以应⽤到被积表达式中.在求积分?dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [?(x )]?'(x )的形式, 那么dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f =='=.例1. ??'?=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2?=)2(2cos x xdC u udu +==?sin cos =sin 2x +C .例2. dx x x dx x ??'++=+)23(23121231?++=)23(23121x d x C u dx u +==?||ln 21121C x ++=|23|ln 21. 例3. =='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2.例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x -='-=- C u du u x d x +-=-=---=??2321223121)1(121 C x +--=232)1(31.C u du u+-=-=?||ln 1 =-ln|cos x |+C .即 C x x d x +-=?|c o s |ln tan .类似地可得C x xdx +=?|sin |ln cot .熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. dx ax a dx x a ??+=+2222)(1111C ax a a x d ax a +=+=?arctan 1)(1112. 即 dx x a ?+221C a xa +=a r c t a n 1. 例7. C ax a a x d a x a dx a x +==??sh ch ch . 例8. 当a >0时,-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d a x +=-=?a r c s i n )(112. 即 dx x a ?-221C a x +=a r c s i n . 例9. ??+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]11[21??+--=dx a x dx a x a ])(1)(1[21??++---=a x d ax a x d a x a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C ax a x a ++-=||ln 21. 即 dx a x ?-221C a x ax a ++-=||ln 21. 例10. ++=+=+xx d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21( C x ++=|ln 21|ln 21.xC e x +=332. 含三⾓函数的积分:例12. =xdx x xdx sin sin sin 23?--=x d x cos )cos 1(2+-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例13. ??=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252-=x d x x sin )sin 1(sin 222+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31. 例14. dx x xdx ??+=22cos 1cos 2)2cos (21??+=xdx dx ??+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2sin 4 121. 例15. dx x xdx 224)(cos cos ??=?+=dx x 2)]2cos 1(21[ ?++=dx x x )2cos 2cos 21(412 ?++=dx x x )4cos 212cos 223(41 C x x x +++=)4sin 812sin 23(41 C x x x +++=4sin 3212sin 4183. 例16. ??+=dx x x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5sin 101sin 21. 例17. ??=dx x xdx sin 1csc ?=dx x x 2cos 2sin 21C x xxd x x x d +===??|2tan |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C . 即 ?x d xc s c =ln |csc x -cot x |+C . 例18. ??+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ =ln |sec x + tan x | + C .即 ?x d xs e c =ln |sec x + tan x | + C .⼆、第⼆类换元法定理2 设x =?(t )是单调的、可导的函数, 并且?'(t )≠0. ⼜设f [?(t )]?'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-??)]([)()()]([)(1.其中t =?-1(x )是x =?(t )的反函数.这是因为)()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dtdx t t f dx dt t F x F =='='='-. 例19. 求dx x a ?-22(a >0).解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==?)2sin 4121(cos 222. 因为ax t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -?==, 所以 dx x a ?-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.解: 设x =a sin t , 22 ππ<<-t , 那么=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==?)2sin 4121(cos 222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2. 提⽰:22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt .提⽰: a x t arcsin =, ax a a x t t t 222cos sin 22sin -?==.例20. 求?+22a x dx (a >0). 解法⼀: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是+22a x dx ??==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22sec +=, a x t =tan , 所以 ?+22a x dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .解法⼀: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么 ==+tdt dt t a t a a x dx sec sec sec 222=ln|sec t +tan t |+C C aa x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=, 其中C 1=C -ln a .提⽰:22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt ,提⽰:aa x t 22sec +=, a x t =tan .解法⼆: 设x =a sh t , 那么。
微积分基础教案
微积分基础教案一、教学目标1、让学生理解微积分的基本概念，包括导数和积分。
2、帮助学生掌握导数的计算方法和几何意义。
3、引导学生理解积分的概念和计算方法，以及其与导数的关系。
4、培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
二、教学重难点1、重点导数的定义和计算法则。
常见函数的导数公式。
积分的定义和基本积分公式。
利用微积分解决几何和物理问题。
2、难点导数概念的理解。
积分的概念和计算方法。
应用微积分解决复杂的实际问题。
三、教学方法1、讲授法：系统地讲解微积分的基本概念和定理。
2、示例法：通过大量的实例帮助学生理解和应用知识。
3、讨论法：组织学生讨论问题，促进学生的思考和交流。
四、教学过程1、引入从生活中的变化率问题入手，比如汽车的速度变化、物体的冷却过程等，引出导数的概念。
展示一些曲线的图形，如抛物线、正弦曲线等，引导学生思考如何描述曲线的斜率，从而引入导数。
2、导数的概念定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率。
公式：通过极限的概念给出导数的定义式$f'（x) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＄。
几何意义：导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。
3、导数的计算基本函数的导数：讲解常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等）的导数公式。
导数的四则运算：介绍导数的加法、减法、乘法和除法法则。
复合函数的导数：通过实例讲解复合函数的求导方法，如$f(g(x)）＇＝ f'（g(x)）g'（x)＄。
4、导数的应用函数的单调性：利用导数判断函数的单调性，当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
函数的极值与最值：通过导数找到函数的极值点，进而求出函数的最值。
曲线的切线方程：已知函数在某一点的导数，求出该点的切线方程。
5、积分的概念从求曲线下的面积问题引入积分的概念。
定义：积分是导数的逆运算，用于计算函数在某个区间上的累积量。
《微积分教案》word版
《微积分教案》word版教案章节：一、微积分简介1.1 微积分的起源和发展1.2 微积分的基本概念1.3 微积分在实际应用中的重要性二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.2 极限的基本法则2.3 无穷小和无穷大2.4 函数的连续性三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.2 基本导数公式3.3 高阶导数3.4 微分四、微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 导数在实际问题中的应用五、不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 基本积分公式5.3 换元积分法5.4 分部积分法5.5 定积分的定义与性质5.6 定积分的计算5.7 定积分的应用六、定积分的应用6.1 面积和体积的计算6.2 质心、转动惯量和其他几何属性6.3 物理应用：功和能量6.4 经济学应用：最优化问题七、微分方程7.1 微分方程的定义与分类7.2 线性微分方程的基本概念7.3 一阶线性微分方程的解法7.4 高阶线性微分方程的解法7.5 常系数线性微分方程的解法八、常微分方程的应用8.1 人口增长模型8.2 药物动力学模型8.3 机械系统动力学模型8.4 电磁场方程九、多元函数微分法9.1 多元函数的导数与微分9.2 偏导数与全微分9.3 多元函数的极值问题9.4 泰勒公式与多元函数的逼近十、重积分10.1 二重积分的定义与性质10.2 二重积分的计算10.3 三重积分的定义与性质10.4 三重积分的计算10.5 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 曲线积分的定义与性质11.2 曲线积分的计算11.3 曲面积分的定义与性质11.4 曲面积分的计算11.5 曲线积分和曲面积分的应用十二、向量分析12.1 空间解析几何基础12.2 向量微分运算12.3 向量场的积分12.4 散度与旋度12.5 向量分析的应用十三、微积分与线性代数的联系13.1 微积分在线性代数中的应用13.2 线性代数在微积分中的应用13.3 微分方程与线性代数的关系13.4 矩阵微积分13.5 微积分与线性代数的综合应用十四、微积分在经济管理中的应用14.1 微积分在优化问题中的应用14.2 微积分在概率论与数理统计中的应用14.3 微积分在金融数学中的应用14.4 微积分在运营Research 中的应用14.5 微积分在其他经济管理领域中的应用十五、微积分在现代科技中的应用15.1 微积分在物理学中的应用15.2 微积分在工程学中的应用15.3 微积分在生物学与医学中的应用15.4 微积分在计算机科学中的应用15.5 微积分在其他现代科技领域中的应用重点和难点解析一、微积分简介：重点是微积分的起源和发展，难点是对微积分基本概念的理解。
微积分第Ⅰ册教学设计 (2)
微积分第Ⅰ册教学设计本篇文档旨在探讨微积分第Ⅰ册的教学设计，主要包括教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面。
教学目标1.了解微积分概念与原理；2.掌握微积分的符号表示方法与运算规则；3.能够解决微积分基础问题，如极限、导数、微分等；4.了解微积分在现实生活中的应用。
教学内容第一章极限与连续1.1 数列的极限1.2 函数的极限1.3 极限运算法则1.4 连续与间断第二章导数与微分2.1 导数的定义与求法2.2 导数的应用2.3 高阶导数与隐函数求导2.4 微分的基本概念第三章函数的极值与最值3.1 定义3.2 求解方法3.3 极值定理第四章不定积分与定积分4.1 原函数与不定积分4.2 定积分的定义与性质4.3 积分基本定理4.4 反常积分第五章微积分在生活中的应用5.1 费马原理5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 生活中的应用实例教学方法1.理论讲授与举例分析相结合：讲解微积分的理论知识时，配以生动、形象的实例，予以举例分析，使学生更深刻地理解微积分的概念和原理。
2.互动探讨：鼓励学生提出自己的观点和想法，增强学生的参与性，充分发挥个人思维能力。
3.实验演示：通过搭建实验场景，对学生进行人机互动式的教学，巩固知识点，增进学生对微积分知识的理解。
4.探究式教学：引导学生自主探究微积分概念和原理，通过大量练习，巩固掌握知识，提高解决实际问题的能力。
教学评价1.平时成绩评价：包括出勤率、作业成绩、课堂表现等。
2.期末考试评价：通过期末考试，了解学生对教材知识的掌握情况，综合评价学生学习成绩。
3.测验评价：针对不同教学内容，进行小型测试，寻找存在的问题并及时补救。
总结微积分作为现代科学中的基础学科之一，对于学生的科学素养和创新思维的培养具有重要意义。
通过本篇教学设计，加强学生对微积分知识的学习和理解，实现知识与实际应用的有机结合。
同时，通过多方位的教学方法和评价，促进学生全面、深入地理解微积分学科，为学生进一步深入学习和掌握更高层次的微积分知识打下坚实的基础。
微积分正教案教师
微积分正教案教师一、教学目标：1. 让学生掌握微积分的概念、性质和基本运算方法。
2. 培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和创新能力。
二、教学内容：1. 微积分的概念与性质2. 微分之一元函数的求导3. 微分基本公式与高阶导数4. 积分概念与基本性质5. 积分方法与技巧三、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究微积分的本质和应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示微积分的图形和变化过程。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。
4. 结合实例，让学生感受微积分在实际问题中的应用价值。
四、教学准备：1. PPT课件2. 微积分教材或参考书3. 相关实际问题案例4. 计算器、黑板、粉笔等教学工具五、教学过程：1. 导入新课：通过引入实际问题，激发学生对微积分的兴趣，引导学生思考微积分在解决问题中的作用。
2. 知识讲解：讲解微积分的概念、性质和基本运算方法，注意引导学生理解微积分的本质。
3. 例题解析：分析并解决典型例题，让学生掌握微积分的应用技巧。
4. 课堂练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识，培养学生的动手能力。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，强调微积分在实际问题中的应用，鼓励学生发现和提出新问题。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
7. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况和课后反馈，对学生的学习情况进行评价，为下一步教学提供参考。
六、教学目标：1. 让学生掌握微积分的进一步概念和性质，例如极限、连续性等。
2. 培养学生运用微积分解决复杂实际问题的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的逻辑思维和创新能力。
七、教学内容：1. 极限概念与性质2. 极限的计算方法3. 连续性概念与性质4. 连续函数的运算5. 应用微积分解决实际问题八、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究微积分的本质和应用。
微积分教案
微积分教案一、教学目标1.了解微积分的基本概念和思想；2.掌握微积分的基本运算法则；3.熟练掌握微积分的应用方法；4.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 微积分的基本概念和思想微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和极限概念。
在微积分中，我们将函数的变化率称为导数，将函数的积分称为原函数。
微积分的基本思想是将一个复杂的问题分解成无限小的简单问题，通过对这些简单问题的求解来得到原问题的解。
2. 微积分的基本运算法则微积分的基本运算法则包括导数的四则运算法则、积分的基本公式和换元积分法等。
其中，导数的四则运算法则是指对于两个函数的和、差、积和商，它们的导数分别等于这些函数的导数之和、差、积和商的导数。
积分的基本公式包括反常积分、定积分和不定积分等，其中最常用的是牛顿-莱布尼茨公式。
换元积分法是指通过代换变量的方法来简化积分式子，使其更容易求解。
3. 微积分的应用方法微积分的应用方法包括求极值、求曲线的长度、求曲线下面的面积和求体积等。
其中，求极值是指通过求导数来确定函数的最大值和最小值；求曲线的长度是指通过积分来计算曲线的弧长；求曲线下面的面积是指通过积分来计算曲线与坐标轴之间的面积；求体积是指通过积分来计算旋转体的体积。
三、教学方法1.讲授法：通过讲解微积分的基本概念和思想，让学生了解微积分的基本原理和应用方法；2.演示法：通过实例演示微积分的应用方法，让学生更好地理解微积分的应用；3.练习法：通过大量的练习题，让学生掌握微积分的基本运算法则和应用方法；4.讨论法：通过讨论微积分的实际应用问题，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四、教学步骤1. 微积分的基本概念和思想1.1 介绍微积分的基本概念和思想； 1.2 讲解导数和积分的概念； 1.3 通过实例演示微积分的应用方法。
2. 微积分的基本运算法则2.1 讲解导数的四则运算法则； 2.2 讲解积分的基本公式； 2.3 通过实例演示换元积分法。
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案教案标题：微积分基本定理教案教学目标：1. 理解微积分基本定理的概念和意义；2. 掌握微积分基本定理的两个部分：第一部分——积分与原函数的关系，第二部分——定积分的计算；3. 能够运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
教学准备：1. 教材：微积分教材；2. 教具：黑板、粉笔、投影仪；3. 学生辅助教学资料：练习题、习题答案。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用导数的概念引出积分的概念，复习导数的定义和求导法则。
2. 提问学生：如果已知一个函数的导数，能否还原出原函数？为什么？二、讲解微积分基本定理的第一部分（10分钟）1. 定义积分和原函数的关系：如果函数F(x)在[a, b]上连续，且F'(x) = f(x)，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
2. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第一部分求函数的不定积分。
三、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，引导学生理解微积分基本定理的应用。
四、讲解微积分基本定理的第二部分（10分钟）1. 定义定积分的概念：如果函数f(x)在[a, b]上连续，则∫[a, b] f(x) dx表示函数f(x)在[a, b]上的面积或曲线长度。
2. 引出微积分基本定理的第二部分：如果函数f(x)在[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)。
3. 通过例题演示如何利用微积分基本定理第二部分计算定积分。
五、练习与讨论（15分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流，讨论解题思路和答案。
3. 对部分练习题进行讲解和解答，巩固学生对微积分基本定理的掌握。
六、拓展应用（10分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决与函数积分和定积分相关的问题。
《微积分》教案范文
《微积分》教案范文教案名称：微积分教学目标：1.了解微积分学科的定义和发展历史；2.理解导数和积分的概念及应用；3.能够计算一元函数的导数和积分；4.掌握微积分的基本运算规则。
教学内容：一、微积分的定义和发展历史（300字）1.微积分学科的定义；2.微积分的发展历史及其在科学和工程领域的应用。
二、导数的概念及计算方法（400字）1.导数的定义和几何意义；2.利用极限的概念计算导数；3.计算一元函数常用的导数；4.导数的应用。
三、积分的概念及计算方法（400字）1.积分的定义和几何意义；2.不定积分和定积分的区别；3.利用不定积分计算原函数；4.利用定积分计算区域面积；5.积分的应用。
四、微积分的基本运算规则（300字）1.导函数的线性性质；2.导函数与原函数的关系；3.导函数和积分函数的相互关系。
教学方法：1.引导式教学：通过提问或引发学生思考的方式，激发学生的学习兴趣，并增强他们的参与度；2.探究性学习：提供一系列问题和练习，引导学生自主思考，通过解决问题来掌握微积分的概念和计算方法；3.实践应用：通过实际问题和案例分析，让学生将所学的微积分知识应用到实际生活和工程问题中。
教学资源：1.教科书《微积分导论》；2. PowerPoint演示文稿；评估方式：1.参与度评估：根据课堂参与情况进行评估，包括提问回答、小组讨论等；2.作业评估：布置一些练习题，以检验学生对微积分概念和计算方法的掌握程度；3.考试评估：通过期末考试来全面评估学生对微积分的理解和应用能力。
教学进度安排：1.第一周：介绍微积分的定义和发展历史，引发学生对微积分的兴趣；2.第二周：讲解导数的概念及计算方法，进行一些实例计算；3.第三周：介绍积分的概念及计算方法，进行一些实例计算；4.第四周：讲解微积分的基本运算规则，进行一些实例计算；5.第五周：进行复习和总结，布置期末考试前的复习作业。
教学反思：在教授微积分时，可以将抽象的概念与实际问题相结合，让学生更加深入地理解微积分的应用。
《微积分》教学设计
《微积分》教学设计微积分教学设计1. 引言本教学设计旨在帮助学生理解和掌握微积分的基本概念和应用。
通过灵活的教学策略和多样化的教学资源，希望能激发学生的研究兴趣，并提高他们的数学能力。
2. 教学目标- 理解微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
- 掌握微积分的基本运算规则和方法。
- 能够应用微积分解决实际问题。
3. 教学内容和方法3.1 概念讲解通过简洁清晰的语言，对微积分的基本概念进行讲解。
教师可以使用例子和图表来帮助学生理解概念。
在讲解过程中，可以组织学生积极参与，提问和回答问题，以促进研究的互动和思考。
3.2 计算练为了帮助学生巩固所学的概念和方法，教师可以设计一些计算练。
练题可以从基础运算到较难的应用题目，以逐步提高学生的计算能力和问题解决能力。
3.3 实际应用将微积分的应用与实际生活和其他学科联系起来，能够激发学生对微积分的兴趣并增强他们的研究动力。
教师可以选取一些具体的实际问题，如物理学、经济学或生物学中的问题，并引导学生运用微积分的知识来解决这些问题。
4. 教学资源4.1 教材选用一本内容详细、结构清晰的微积分教材作为教学的依据。
教材应包含丰富的例题和练题，以帮助学生巩固所学内容。
4.2 多媒体资源利用多媒体资源，如投影仪、计算机等，展示图表、动画和实际应用的案例。
这样的资源能够生动地呈现概念和计算过程，提升学生的研究效果和理解能力。
4.3 在线研究平台将相关的研究资源上传到在线研究平台上，给学生提供额外的研究材料和练题。
学生可以在课后进行自主研究和巩固。
5. 评估方法通过小测验、作业和期末考试来评估学生的研究效果。
评估可以涵盖知识掌握程度、计算能力和问题解决能力。
此外，教师还可以通过观察学生课堂参与情况和学生问题解决过程来评估他们的研究进展。
6. 结束语通过本教学设计，希望能够培养学生对微积分的兴趣和信心，提高他们的数学能力和问题解决能力。
愿每一位学生都能在微积分学习中取得进步，并享受数学带来的乐趣和挑战。
微积分 教案
微积分教案教案标题：微积分-导数的概念和计算方法教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法，包括基本函数的导数规则和常见函数的导数；3. 能够应用导数计算函数的极值、变化率和曲线的切线。
教学准备：1. 教学课件和投影设备；2. 笔记本电脑或计算器；3. 黑板和粉笔。
教学过程：引入（5分钟）：1. 通过一个实际问题引入导数的概念，例如一个物体的运动轨迹，让学生思考在不同时间点的速度有何变化。
2. 引导学生思考速度的变化率，从而引出导数的概念。
概念讲解（15分钟）：1. 解释导数的定义，即函数在某一点处的变化率或斜率。
2. 引导学生理解导数的几何意义，即函数图像在某一点处的切线斜率。
3. 通过图示和实例演示导数的计算方法，包括用极限和差商的定义计算导数。
导数计算方法（20分钟）：1. 介绍基本函数的导数规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的导数。
2. 演示如何应用这些规则计算各种函数的导数，例如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
应用实例（15分钟）：1. 引导学生通过导数计算函数的极值，包拟定函数和定义域，找出极值点并求出极值。
2. 演示如何通过导数计算函数的变化率，包括平均变化率和瞬时变化率。
3. 通过一个实际问题，例如物体的运动轨迹，让学生应用导数计算切线方程。
练习与巩固（15分钟）：1. 分发练习题，让学生独立完成计算函数导数和应用导数的问题。
2. 引导学生讨论解题思路和方法，并解答他们的疑问。
总结与反思（5分钟）：1. 总结导数的概念和计算方法。
2. 引导学生思考导数在实际问题中的应用和意义。
3. 鼓励学生反思本节课的收获和困难，并提出问题。
教学延伸：1. 给学生推荐相关的练习题和参考资料，以加深对导数的理解和应用。
2. 鼓励学生自主学习和探索更多导数的应用领域，例如最值问题、曲线的凹凸性和函数的图像分析等。
教学评估：1. 课堂练习和讨论中观察学生对导数概念和计算方法的掌握情况。
(2014年--2015年)教案：第一章 函数与极限
《高等数学》教案第1、2讲课程的性质与任务《高等数学》是高等院校学生必修的一门重要基础理论课，是培养造就高层次专门人才所需数学素质的基本课程。
它在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用，它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。
在让学生掌握基本理论与基本运算技能的基础上，要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。
在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
1)},,,{321a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。
全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。
空集φ： A ⊂φ。
2、 集合的运算并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：}|{\B x A x x B A ∉∈=且补集（余集）CA ：I ＼A集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律：A B B A ⋃=⋃ A B B A ⋂=⋂结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂分配律： )()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂ 对偶律： (cccB A B A =⋃) cccB A B A ⋃=⋂)( 笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]()[b a b a ,,。
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《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
2.6函数的微分
学时
2学时
教学目标及
要求
1.了解微分的概念，掌握可导与可微的关系、导数与微分的关系、一阶微分形式的不变性
2.熟练掌握求微分的方法
3.了解微分在近似计算中的应用
教学内容要点
微分的定义
函数可微的条件
微分的几何意义
单调有界准则
两个重要极限
连续复利公式、贴现公式
无穷小比较的概念、等价无穷小的概念
常用等价无穷小关系
等价无穷小的替代定理
教学重点难点
两个重要极限特征及推广（变形）
利用两个重要极限求相关极限
等价无穷小变量替换法在求极限中的应用
教学方法
分类举例、重点练习
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
2.利用极限 存在的充要条件判别在该点处极限是否存在的方法
教学方法
借助几何直观加深对极限概念的理解，即数形结合方法
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
P25：1—4
P42：1(4)，3，5
内容
1.6无穷小与无穷大、1.7极限运算法则
学时
2学时
教学目标及
要求
2.被积函数Hale Waihona Puke 两类不同类型函数相乘时的分部积分法
3.被积函数是抽象函数时的分部积分法
教学方法
分门别类、讲练结合、介绍思想方法
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
4.4有理函数的积分
学时
2学时
教学目标及
《
教案
2014——2015学年
教师姓名：
所在系(部)：
讲授课程：微积分
授课班级：
使用教材：《微积分》刘贵基著
总学时数：128学时
山东财经大学
内容
1.1集合、1.2函数、1.3常用的经济函数
学时
2学时
教学目标及
要求
1.了解区间表示法、邻域的概念及表示方法
2.理解函数的概念，掌握函数的常用表示法；掌握函数的有界性,了解函数几何特性
基本初等函数的微分公式
微分的四则运算法则
微分形式不变性
函数线性化的概念
教学重点难点
1.可导与可微的关系
2.一阶微分形式不变性求微分的方法
教学方法
由具体问题引进微分概念，并进一步推广到一般结论
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
第二章 导数与微分 习题课
4.掌握直接积分法
教学内容要点
原函数的概念
不定积分的概念
不定积分的性质：不定积分与微分的关系，线性性质
基本积分表
直接积分法
教学重点难点
1.原函数和不定积分的概念、四个性质
2.直接积分法的常用技巧
教学方法
提出问题、引出概念、启发算法
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
3.基本初等函数分类及基本性质
4.复合函数的分解
5.建立简单应用问题（经济类）的函数关系
教学方法
对复习中学的内容采用“提纲式”或“问答式”讲授
尽量多举出中学接触少的题型
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
P26：3，7
内容
1.4数列的极限、1.5函数的极限
教学内容要点
渐近线的定义
水平渐近线
铅直渐近线
斜渐近线
函数图形的描绘
教学重点难点
1.描绘函数图形的技巧与方法
教学方法
讲解与练习相结合
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
3.6导数的应用
学时
2学时
教学目标及
要求
1.了解边际的概念及含义，会进行简单的边际分析
教学重点难点
分段函数连续性的讨论
利用函数连续性（复合函数、初等函数）求极限
教学方法
分类举例、重点练习、图形结合
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
P74：2，4、 6
内容
第一章函数、极限与连续 习题课
学时
2学时
教学目标及
要求
教学内容要点
教学重点难点
教学方法
在某一点处的导数概念，导函数
左、右导数（单侧导数）
定理1：函数在某一点处可导的充分必要条件
函数在闭区间上可导定义
用定义计算导数
导数的几何意义、经济意义
函数的可导性与连续性的关系
教学重点难点
1.导数定义表达式的不同形式
2.用定义求导数、导数的定义求极限
3分段函数在分点处的导数
4.求切线方程
教学方法
由实例引入导数的概念，数形结合，讲授练习
数列极限和函数极限的 论证方法
数列有界的概念
收敛数列的性质定理：有界性、唯一性、局部保号性、推论1和推论2
自变量趋向无穷大时的函数极限的概念、几何意义、定理1 的充要条件
自变量趋向有限值时的函数极限的概念、几何意义
函数的左右极限概念、定理2 充要条件
函数极限的性质，保号性的推论1
教学重点难点
1.数列极限和函数极限的概念结合图形来解释，会用极限定义证明极限
无穷大的概念
无穷小与穷大的关系
极限四则运算法则、推论1和推论2
复合函数的极限运算法则
教学重点难点
初等函数带值法
一些 、 、 待定型的初等求法
分析极限类型的方法，例 ，求 、
教学方法
重点讲授、讲练结合、分类举例
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
P45：6
P51：1—5
3.了解反函数概念、函数与其反函数的几何关系,掌握基本初等函数概念性质及图形
4.理解复合函数的概念、了解构成复合函数的条件、掌握将一个复合函数分解成基本初等函数的方法
5.理解初等函数的概念及其应用
6.了解数学建模概念及意义、流程图
7.熟悉几种常用的经济函数，会建立简单应用问题的函数关系
教学内容要点
实数与区间、邻域、空心邻域
1.函数单调性判别法，不等式的证明及方程有唯一实根的证明
2.曲线凹凸性判别法、拐点的判别法与求法
3.极值的概念、极值的判别法、极值的求法
教学方法
理论与几何直观相结合
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
3.5函数图形的描绘
学时
1学时
教学目标及
要求
1..会求渐近线，会描绘一些简单函数的图形
1.熟练掌握函数单调性的判别法，会用单调性证明一些简单的命题
2.掌握曲线凹凸性判别法，会求曲线的拐点
3.理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法
教学内容要点
函数的单调性
曲线的凹凸性：
凹弧、凸弧概念
拐点的定义
函数的极值：
极大值、极小值定义
极值的必要条件
极值的第一充分条件、极值的第二充分条件
教学重点难点
参考文献
习题作业
内容
2.1导数概念
学时
2学时
教学目标及
要求
1.理解导数的概念，了解导数的几何意义和经济意义
2.掌握导数定义的表达式，会用定义求函数的导数
3.理解函数可导性与连续性的关系
4.掌握函数在某一点处可导的充分必要条件
5.知道函数不可导的几种情形
教学内容要点
导数概念的引入:变速直线运动的瞬时速度，平面曲线的切线，产品总成本的变化率
学时
4学时
教学目标及
要求
1.理解数列极限和函数极限的概念、几何意义
2.会用 论证方法证明极限，即会用数列/函数极限定义来证明
3.了解极限的性质
4.掌握极限 、 存在的充分必要条件，
教学内容要点
极限概念的引入、数列的定义
(自然语言描述)数列极限定义2，例1判别数列是否收敛
( )描述数列极限定义3
几何意义解释
参考文献
《微积分学习指导》刘贵基
《高等数学》同济大学数学系，第七版，下册
习题作业
内容
4.3 分部积分
学时
2学时
教学目标及
要求
熟练掌握计算分部积分法、灵活应用分部积分法
教学内容要点
分部积分法：分部积分公式
分部积分法的应用：结合常见类型的被积函数
教学重点难点
1.被积函数为对数函数、反三角函数时的分部积分法
3.熟练进行导数的运算
教学内容要点
导数的四则运算法则
反函数的导数
复合函数的求导法则
初等函数的求导法则
隐函数的导数
对数求导法
高阶导数：二阶导数的定义
高阶导数的计算
教学重点难点
1.四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则、对数求导法则
2.高阶导数求导方法（ 阶导数的求法）
教学方法
讲透概念，加大课堂练习，
习题作业
P59：1—8
P62：1—5
内容
1.10函数的连续
学时
2学时
教学目标及