苏教版初三圆专题复习
苏教版初三数学中考-圆-复习
(第2题) 苏教版初三数学“圆”中考复习一、选择题1． 当两圆无公共点时，这两圆的位置关系一定是 ··········· （ ）A ．外离B ．内含C ．同心圆D ．外离或内含 答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．根据两圆的位置关系，当两圆外离或内含时，两圆没有公共点，因此本题选D ．2． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B ＝50°，则∠A 等于······················· ()A ．80°B ．60°C ．50°D ．40° 答案：D ．解析：本题为容易题，考查了直径所对圆周角的特征．直径所对的圆周角是直角，故∠A 与∠B 互余，因此本题选D ．3． 如图，圆周角∠ACB 的度数为48°，则圆心角∠AOB 的度数为······················· （ ） A ．48° B ．24° C ．96°D ．90°答案：C ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选C ．4． 如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值 ················ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B ．解析：本题为容易题，考查了垂径定理及其推论．当OM ⊥AB 时OM 最短，由垂径定理得AM ＝BM ＝4，根据勾股定理解得OM ＝3，因此本题选B ．5． 两圆半径分别为2 cm 和6 cm ，若两圆相切，则圆心距为 ······· ( )A ．4 cmB ．8 cmC ．10 cm 或2 cmD ．8 cm 或4 cmA(第3题)O CBA BMO(第4题)解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．两圆相切分为外切与内切，当两圆外切时，圆心距d ＝R ＋r ，当两圆内切时，圆心距d ＝R －r ，因此本题选D ．6． 如图，P 为正△ABC 外接圆上一点，则∠APB 为 ··· ( )A ．150°B ．135°C ．115°D ．120°答案：D ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由圆内接四边形的性质得∠P ＋∠C ＝180°，因此本题选D ．7． 一个扇形的圆心角是120°，它的面积为3π cm 2，那么这个扇形的半径是 ( )AB ．3 cmC ．6 cmD ．9 cm答案：B ．解析：本题为容易题，考查了计算扇形的面积．扇形面积公式为S ＝2360n r ，因此本题选B ．8． 已知两圆的圆心距是3，两圆半径分别是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是 ······················ ( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切答案：B ．解析：本题为容易题，考查了圆与圆的位置关系．方程的两个根为1和2，由d ＝R ＋r 得两圆外切，因此本题选B ．9． 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BOD ＝120°，则∠BCD的度数为 ··················· ( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°答案：A ．解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．由题意得∠A ＝60°，又根据圆内接四边形的性质得∠A ＋∠C ＝180°，因此本题选A ．10.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°BDC OA(第9题)AB C P(第6题)解析：本题为容易题，考查了圆周角与圆心角的关系．该弦与两半径围成一个正三角形，因此圆心角为60°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得30°，再根据圆内接四边形性质得优弧所对的圆周角为150°，因此本题选B．11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝5 cm，若以C为圆心，4 cm为直径的⊙C 与AB的关系是··························· ( ) A．相离B．相交C．相切D．不能确定答案：A．解析：本题为中档题，考查了直线与圆的位置关系．通过计算可得BC＝C到AB>2，因此本题选A．12.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，AB为直径，DO平分∠ADC，则∠DAO的度数是···············( )A．90°B．80°C．70°D．60°答案：D．解析：本题为中档题，考查了圆的有关概念和平行的性质．由条件可得△AOD为正三角形，因此本题选D．13.过⊙O内一点M的最长弦长为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为( )A．3 cm B．6 cm CD．9 cm答案：A．解析：本题为中档题，考查了垂径定理及其推论．最长弦为直径，故半径为5 cm，最短弦为垂直于直径的弦，由垂径定理构造直角三角形后由勾股定理得OM＝3，因此本题选A．14.若圆锥的母线长为4 cm，底面半径为3 cm，则圆锥的侧面展开图的面积是( )A．6π cm2B．12π cm2C．18π cm2D．24π cm2答案：B．解析：本题为中档题，考查了计算圆锥的侧面积．圆锥的底面周长为6π，即为扇形的弧长，由扇形面积公式S＝12lR，因此本题选B．15.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为··········· ( )ABA BOD C(第12题)A BDC(第15题)C．235D．435答案：A．解析：本题为中档题，考查了切线与过切线的半径之间的关系和直径所对圆周角的性质．由切线的概念得△ABC为Rt△，可得BC＝5，又由直径所对圆周角是90°，用面积法可解出AD，因此本题选A．16.两圆相交，圆心距为5 cm，两圆半径分别为3 cm和4 cm，则公共弦长为( )A．2.4 cm B．4.8 cm C．1.8 cm D．3.6 cm答案：B．解析：本题为稍难题，考查了圆与圆的位置关系和解直角三角形．由条件可得，圆心和一个交点围成一个直角三角形，且斜边上的高为2.4 cm，因此本题选B．17. 已知Rt△ABC的两条直角边长为6和8，则它的内切圆与外接圆的圆心距为( )A．32B．332C．3 D．5答案：D．解析：本题为稍难题，考查了切线长定理和三角形的内心、外心．外心是三条边垂直平分线的交点，在斜边中点。
苏教版九年级初三上圆概念及基础习题复习
圆复习概念复习1、圆的概念：圆可以看作是的集合；2、点与圆的位置关系：点在圆内⇒距离半径⇒点在圆内；点在圆上⇒距离半径⇒点在圆上；点在圆外⇒距离半径⇒点在圆外.3、直线与圆的位置关系直线与圆相离⇒距离半径⇒有个交点；直线与圆相切⇒距离半径⇒有个交点；直线与圆相交⇒距离半径⇒有个交点.4、垂径定理：.5、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的AB弧，弦心距.6、圆周角定理： .8、切线的判定定理： 且 的直线是切线.9、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，这点和圆心的连线是两切线夹角的 .10、扇形：弧长公式： ；扇形面积公式： ；n ： ； R ： ；l ： ； S ： .11、圆柱：表面积公式： ； 体积公式： ； r ： ； h: .ClOC 1D 1BA12、圆锥：表面积公式：；体积公式：；R: ；r: ;h: .基础练习1、如图7-7，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧⌒AB的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.2、四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB∥CD,且CD为⊙O的直径，若⊙O的半径等于r，∠C=60°，求AB的长和∠BOC的度数.3、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.4、已知：在⊙O中，O点到AB的距离等于AB的一半，求：∠AOB的度数.5、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件肯定是半圆环形.6、如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE 的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．7、对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个8、下列命题正确的是()．A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦9、秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为().A.米B.米C.米D.米10、已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于2，则两圆位置关系是()．A．外离B．外切C．相切D．内含11、如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为()．A．12B．10C．4D．1512、如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为()．A．(2，-1)B．(2，2)C．(2，1)D．(3，1)13、如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于()．A．55°B．90°C．110°D．120°14、如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.15、点M到⊙O上的最小距离为2cm，最大距离为10 cm，那么⊙O的半径为________________．初二圆复习11 / 11ONLOVE_PCY 16、如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧AB 上一点，连接BD ，并延长至E ，连接AD ，若AB ＝AC ，∠ADE ＝65°，则∠BOC ＝________________．17、如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆于点，交于点使．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论。
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版一、圆的定义、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
劣弧：小于半圆周的弧。
优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质、圆的对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
同弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙o的半径为r，oP=d。
7、过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A、B。
0、圆的切线判定。
d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
1、圆的切线的性质。
经过切点的直径一定垂直于切线。
经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
苏教版-初三-圆专题复习
特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，22221122AB CO O O CO ==-；2CO 是半径之差； 公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.十五 三角形外接圆 切圆三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。
三角形外接圆圆心叫外心锐角三角形外心在三角形部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）BAO1O2C O2O1B ADCBAOECBADOBA O与三角形三边都相切的圆叫做三角形的切圆，圆心叫做三角形的心，三角形叫做圆的外切三角形。
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版一、圆的定义、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
劣弧：小于半圆周的弧。
优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质、圆的对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
同弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙o的半径为r，oP=d。
7、过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A、B。
0、圆的切线判定。
d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
1、圆的切线的性质。
经过切点的直径一定垂直于切线。
经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
苏科版初三《圆》章节知识点复习专题
精心整理一、圆的概念集合形式的概念：1. 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1.点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；A3.点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1.直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2.直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3.直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD=④弧BC=弧BD⑤弧⊥③CE DEAC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD角∴2AOB ACB ∠=∠ 2.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或B D等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C∠都是所对的圆周角∠、D∴C D∠=∠九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端∴MN 是⊙O 的切线十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅DB（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =⋅1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：12Rt O O C∆中，BA221AB CO =（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。
苏科版初三《圆》章节知识点复习专题
一、圆的概念集合形式的概念：1. 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3.圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1.点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3.点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1.直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2.直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3.直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
九年级上册数学《圆》考试复习学习要点资料苏教版
九年级上册数学《圆》复习资料苏教版一、圆的定义、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
劣弧：小于半圆周的弧。
优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质、圆的对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
同弧所对的圆周角相等。
直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙o的半径为r，oP=d。
7、过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、平面直角坐标系中，A、B。
0、圆的切线判定。
d=r时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
1、圆的切线的性质。
经过切点的直径一定垂直于切线。
经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
苏教版数学中考复习之专题十-圆
中考复习之专题十圆授课准备一. 授课目的（1）掌握圆的有关见解和计算①知道圆由圆心与半径确定，认识圆的对称性．②经过图形直观鉴别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性研究弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④研究并认识圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特色．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥认识三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的见解．⑦掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的地址关系①能依照点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的地址关系．②知道“不在同素来线上的三个点确定一个圆”并会作图．（3）直线与圆的地址关系①能依照圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的地址关系．②认识切线的见解．③能运用切线的性质进行简单计算和说理．④掌握切线的鉴别方法．⑤认识三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的见解．⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．（4）圆与圆的地址关系①认识圆与圆的五种地址关系及相应的数量关系．②能依照两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判断两圆的地址关系．③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵便运用．③认识圆锥的高、母线等见解．④结合生活中的实例（模型）认识圆柱、圆锥的侧面张开图．⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实责问题加以应用．⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．二 . 授课难点与要点：与圆的性质有关的计算、开放题以及与圆和多边形结合的研究题是本单元的要点也是难点．三 . 知识要点：知识点 1：知识点之间的关系弧、弦与圆心角圆周角、同弧上圆周角的关系圆的基本性质圆的对称性垂径定理及其推论圆点与圆的地址关系与圆有关的直线与圆的切线圆的切线地址关系地址关系切线长圆与圆的地址关系两圆公切线弧长和扇形的面积与圆有关的计算圆锥的侧面积和全面积知识点 2：圆的有关性质和计算①弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，若是两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．②垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并且均分弦所对的两条弧．垂径定理的推论：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且均分弦所对的两条弧．弦的垂直均分线经过圆心，并且均分弦所对的两条弧．均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，并且均分弦所对的另一条弧．③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．④圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．知识点 3：点与圆的地址关系①设点与圆心的距离为则点在圆外d r ；d ，圆的半径为点在圆上r，d r ；点在圆内 d r．②过不在同素来线上的三点有且只有一个圆．③三角形的外心是三角形三边垂直均分线的交点．三角形的外心到三角形的三个极点的距离相等．知识点 4：直线与圆的地址关系①设圆心到直线l 的距离为 d ，圆的半径为r 则直线与圆相离 d r ；直线与圆相切一个三角形有且只有一个外接圆．，d r ；直线与圆订交 d r ．②切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径．③切线的鉴别：若是一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．④三角形的内心是三角形三条内角均分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线均分这两条切线的夹角．知识点 5：圆与圆的地址关系①圆与圆的地址关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含．设两圆心的距离为 d ，两圆的半径为r1、 r2，则两圆外离 d r1r2两圆外切 d r1r2两圆订交r1r2 d r1r2两圆内切 d r1r2两圆内含 d r1r2②两个圆组成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆订交，连心线垂直均分公共弦．③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．知识点 6：与圆有关的计算①弧长公式： l n r扇形面积公式：S扇形n r 21lr1803602（其中 n 为圆心角的度数，r 为半径）②圆柱的侧面张开图是矩形．圆柱体也可以看作是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积③圆锥的侧面张开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看作是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝1×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积2例题精讲例 1. △ ABC 中，AC＝ 6，BC＝ 8，∠ C＝ 90°，以点 C 为圆心， CA 为半径的圆与AB 交于点 D ，求 AD 的长．【解析】圆中有关弦的计算问题平时利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH⊥ AB，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．【解】作 CH ⊥AB，垂足为H∵∠ C＝ 90°， AC＝ 6， BC＝ 8∴ AB＝10∵∠ C＝ 90°，CH⊥AB ∴ AC2AH AB又∵ AC＝ 6，∵CH ⊥ AB AB＝ 10∴AD ＝ 2AH∴AH ＝ 3.6∴AD＝7.2答： AD 的长为 7.2.【说明】解决与弦有关的问题，经常需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，它是解决此类问题的要点．定理的应用必定与所对应的基本图形相结合，同学们在复习时要特别侧重基本图形的掌握．例 2. （ 1）如图，△ ABC 内接于⊙ O， AB 为直径，∠ CAE＝∠ B，试说明 AE 与⊙ O 相切于点 A．（2）在（ 1）中，若 AB 为非直径的弦，∠ CAE＝∠ B， AE 还与⊙ O 相切于点 A 吗？请说明原由．【解析】第（ 1）小题中，由于AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第（2）小题中，径的弦，但可以转变成第（1）小题的状况．【解】（ 1）∵ AB 是⊙ O 的直径∴∠ C＝90°∴∠ BAC＋∠ B＝ 90°又∵∠ CAE＝∠ B∴∠ BAC＋∠ CAE ＝ 90°即∠ BAE ＝ 90°∴AE 与⊙ O 相切于点 A.（2）连接 AO 并延长交⊙ O 于 D ，连接 CD .∵AD 是⊙ O 的直径∴∠ ACD＝90°∴∠ D＋∠ CAD ＝90°又∵∠ D＝∠ B∴∠ B＋∠ CAD＝90°又∵∠ CAE ＝∠ B∴∠ CAE＋∠ CAD＝90°即∠ EAD ＝ 90°∴ AE依旧与⊙ O相切于点A.【说明】本题主要观察切线的鉴别方法．浸透了“由特别到一般”的数学思想方法，这关于学生的研究能力的培养特别重要．AB为非直例3.如图，已知⊙O 的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD 、 BD、OC、 OD ，且OD＝5．（1）若sin ∠ BAD 3 ，求CD的长．5（2）若∠ ADO ：∠ EDO ＝4： 1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．【解析】图形中有“直径对直角” ，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求就转变成求DE 的长．第（ 2）小题求扇形OAC 的面积其要点是求∠AOD 的度数，从而转变成求∠小．CD AOD的长的大【解】（ 1）∵ AB 是⊙ O 的直径， OD ＝ 5∴∠ ADB ＝90°， AB＝ 10BD 3又∵在 Rt△ ABD 中，sin∠BADAB 5∴BD 6∵∠ ADB ＝90°， AB⊥ CD∴BD 2＝ BE·AB∵AB ＝10BD6∴BE ＝18524在 Rt△ EBD 中，由勾股定理得DE548∴ CD 2DE5答： CD 的长为48．5（2）∵ AB 是⊙ O 的直径， AB⊥ CD⌒⌒⌒⌒∴ CB BD， AC AD∴∠ BAD ＝∠ CDB ，∠ AOC＝∠ AOD∵AO＝ DO∴∠ BAD ＝∠ ADO∴∠ CDB ＝∠ ADO设∠ ADO＝ 4k，则∠ CDB ＝ 4k∵∠ ADO＋∠ EDO ＋∠ EDB＝ 90°∴ 4k4k k90得 k＝ 10°∴∠ AOD＝ 180°－（∠ OAD ＋∠ ADO）＝ 100°∴∠ AOC＝∠ AOD ＝ 100°则S扇形 OAC1005212536018答：扇形 OAC 的面积为12518【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，观察了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE 长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比率问题中的设 k 法，同时也浸透了“转变”的思想方法．例 4. 半径为 2.5 的⊙ O 中，直径AB 的不相同侧有定点 C 和动点 P．已知 BC ： CA＝ 4 ： 3，点 P 在半圆 AB上运动（不与A、 B 两点重合），过点 C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.（1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时，求CQ 的长；（2）当点 P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；（3）当点 P 运动到什么地址时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．【解析】当点 P 与点 C 关于 AB 对称时， CP 被直径垂直均分，由垂径定理求出CP 的长，再由Rt△ACB∽ Rt△ PCQ，可求得 CQ 的长．当点 P 在半圆 AB 上运动时，诚然 P、Q 点的地址在变，但△ PCQ 向来与△ ACB 相似，点 P 运动到半圆 AB 的中点时，∠ PCB＝ 45°，作 BE⊥ PC 于点 E， CP＝ PE＋ EC. 由于 CP 与 CQ 的比值不变，所以 CP 获取最大值时 CQ 也最大．【解】（ 1）当点 P 与点 C 关于 AB 对称时， CP⊥ AB，设垂足为 D ．∵AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝90°∴AB ＝5， AC： CA＝ 4：3∴BC ＝4， AC＝ 3S Rt△ACB＝1AC·BC＝1AB·CD22∴CD12,PC 24.55∵在 Rt△ ACB 和 Rt△ PCQ 中，∠ ACB＝∠ PCQ＝90°，∠ CAB＝∠ CPQ ∴Rt△ ACB∽ Rt△PCQ∴AC BCPC CQ∴ CQ BC PC 4PC32AC35（2）当点 P 运动到弧AB 的中点时，过点 B 作 BE⊥ PC 于点 E（如图）．∵P 是弧 AB 的中点，又∠ CPB＝∠ CAB4∴∠ CPB＝ tan∠CAB＝∴BE332 PE4BE, tan CPB2从而 PC PE72 EC2由（ 1）得，CQ 4PC14 2. 33（3）点 P 在弧 AB 上运动时，恒有CQ BC PC 4PC故 PC 最大时， CQ 取到最大值．AC3当 PC 过圆心 O，即 PC 取最大值 5 时， CQ 最大值为203【说明】本题从点 P 在半圆 AB 上运动时的两个特别地址的计算问题引申到求CQ 的最大值，一方面浸透了“由特别到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”的见解解决问题时，追求变化中的不变性（题中的 Rt△ ACB∽ Rt△ PCQ）经常是解题的要点．例 5. 如图， PA， PB 是⊙ O 的切线， A， B 为切点，∠ OAB ＝30°．（1）求∠ APB 的度数；（2）当 OA＝ 3 时，求 AP 的长．【议论】本题用到的知识点很多，主要知识点有：①圆的切线的性质；②等腰三角形的性质；③四边形内角和定理；④垂径定理；⑤锐角三角函数等．【解】（ 1） ?∵在△ABO 中， OA ＝ OB，∠ OAB ＝ 30°，∴∠ AOB ＝ 180°－ 2×30°＝120°，∵ PA、PB 是⊙ O 的切线， ?∴OA ⊥ PA，OB⊥ PB，即∠ OAP ＝∠ OBP＝ 90°∴∠ AOB+ ∠ APB=180°∴∠ APB=60°（2）如图，作OD ⊥AB 交 AB 于点 D ，?∵在△OAB 中， OA ＝ OB，∴ AD ＝1AB ，2∵在 Rt△AOD 中， OA ＝3，∠ OAD ＝ 30°，∴AD ＝ OA·cos30°＝3 3，AP＝AB＝33 2例 6. 如图，这是一个由圆柱体资料加工而成的零件，?它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而获取的，其底面直径AB ＝ 12cm，高 BC ＝ 8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）【解】 这个零件的底面积＝×（12） 2＝ 36 cm 2 ? ?2这个零件的外侧面积＝ 12×8＝ 96 cm 2 圆锥母线长 OC ＝ 82(12)2 ＝ 10cm2这个零件的内侧面积＝1 cm 2， ?×12 ×10＝602∴这个零件的表面积为： 36 ＋96 ＋60＝ 192 cm 2例 7. 如图， O 是圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦 AD ，?沿母线 AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD＝ 24cm ， AB ＝ 25cm ，若 AmD 的长为底面周长的2，以下列图：3（ 1）求⊙ O 的半径；（ 2）求这个圆柱形木块的表面积． （结果可保留根号）【解】（ 1）连接 OA 、 OD ，作 OE ⊥ AD 于 E ，易知∠ AOD ＝ 120°，AE ＝12cm ，可得 AO ＝ r ＝ AE＝ 8 3 cmsin 60（2）圆柱形木块的表面积＝2S 圆＋ S 圆柱侧 ＝（ 384 ＋400 3） cm 2例8. 在图 1 和图 2 中，已知OA ＝ OB ， AB ＝ 24，⊙ O 的直径为（1）如图 1， AB 与⊙ O 相切于点 C ，试求 OA 的值；（2）如图 2，若 AB 与⊙ O 订交于 D 、 E 两点，且D 、E 均为10. AB的三均分点，试求tanA的值．（ 1）【解】 连接 OC ，∵ AB 与⊙ O 相切于 C 点， ∴∠ OCA ＝ 90°，∵ OA ＝ OB ，∴ AC ＝ BC ＝ 12在 Rt?△ACO 中， OA ＝AC 2 OC 2 122 52 ＝13（ 2）作 OF ⊥AB 于点 F ，连接 OD ，∴ DF ＝ EF ； AF ＝ AD ＋ DF ＝ 8＋ 4＝ 12，在 Rt?△ODF 中， OF ＝ OD 2 DF 252 42 ＝3，在 Rt △AOF 中， tanA ＝OF3 1AF124例 9. 如图，在 △ABC 中，∠ C ＝ 90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB? 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1）求证： BA ·BM ＝ BC ·BN ；（ 2）若是 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC ＝ 3 时，求 AB 的值．（1）【证明】 连接 MN 则∠ BMN ＝90°＝∠ ACB ， ? ∴△ ACB ∽△ NMB ，∴BCAB，∴ AB ·BM ＝BC ·BNBM BN（2）【解】 连接 OM ，则∠ OMC ＝ 90°，∵N 为 OC?中点， ?∴ MN ＝ ON ＝ OM ，∴∠ MON ＝ 60°，∵OM ＝OB ，∴∠ B ＝ 1∠ MON ＝ 30°．2∵∠ ACB ＝ 90°，∴ AB ＝ 2AC ＝ 2×3＝6例 10. 已知：如图，△ABC 内接于⊙ O ，点 D 在 OC 的延长线上， sinB ＝1，∠ CAD ＝ 30°．2（1）求证： AD 是⊙ O 的切线；（ 2）若 OD ⊥ AB ，BC ＝ 5，求 AD 的长．（1）【证明】 如图，连接 OA ，由于 sinB ＝1，2所以∠ B＝ 30°，故∠ O＝ 60°，又 OA ＝ OC，?所以△ACO 是等边三角形，故∠ OAC ＝ 60°，由于∠ CAD ＝ 30°，所以∠ OAD ＝ 90°，所以 AD? 是⊙ O 的切线（2）【解】由于 OD⊥ AB ，所以 OC 垂直均分 AB ，则 AC ＝BC ＝ 5，所以 OA ＝ 5， ?在△OAD 中，∠ OAD ＝90°，由正切定义，有tan∠ AOD ＝AD，所以 AD ＝ 53 OA课后练习一、填空题1.已知扇形的圆心角为 120 °，半径为 2cm，则扇形的弧长是 _______cm ，扇形的面积是 ________cm2．2. 如图，两个同心圆中，大圆的半径OA ＝ 4cm，∠ AOB ＝∠ BOC＝ 60°，则图中阴影部分的面积是______cm2．3.圆锥的底面半径为 6cm，高为 8cm，那么这个圆锥的侧面积是 _______cm2．4.如图，⊙ O 的半径为 4cm，直线l⊥ OA ，?垂足为 O，?则直线l沿射线 OA? 方向平移 _____cm 时与⊙ O 相切．5. 两圆有多种地址关系，图中不存在的地址关系是______．6. 如图，从一块直径为a＋ b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆，则剩下的纸板面积是_____．7. 如图， AB 为半圆 O 的直径， CB 是半圆 O 的切线， B 是切点， AC? 交半圆 O 于点 D，已知 CD＝ 1， AD＝3，那么 cos∠ CAB ＝ ________．8. 如图， BC为半⊙ O 的直径，点 D 是半圆上一点，过点 D 作⊙ O?的切线AD，BA ⊥DA于 A，BA交半圆于 E，已知BC＝ 10， AD ＝4，那么直线CE与以点O 为圆心，5为半径的圆的地址关系是______．2二、选择题1.在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于 120 °，则 r 与 R 之间的关系是（）A. R ＝ 2rB. R ＝ rC. R＝ 3rD. R ＝ 4r2.圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则它的侧面积是（）A. 60 cm2B. 45cm2C. 30cm2D. 15cm23.已知圆锥侧面张开图的圆心角为90°， ?则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：14.将直径为 64cm 的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费资料，不计接缝处的资料耗费），那么每个圆锥容器的高为（）A. 8 15 cmB. 817 cmC. 16 3 cmD. 16cm5.如图，圆心角都是 90°的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起， ?OA ＝ 3， OC＝1，分别连接 AC 、 BC，则圆中阴影部分的面积为（）1A. B. C.2 D.426.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为 55cm?的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为 45°，若使容器中的水面与圆桶相接触，?则容器中水的深度最少应为（）A. 10cmB. 20cmC. 30cmD. 35cm7. 生活各处皆学问，如图，眼镜镜片所在的两圆的地址关系是（A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切）8.⊙O 的半径为4，圆心 O 到直线 L 的距离为3，则直线 L 与⊙ O 的地址关系是（）A. 订交B. 相切C. 相离D. 无法确定9.如图，已知⊙ O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为35°，过点 C 的切线 PC 与 AB 的延长线交于点P，那么∠ P 等于（）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°10. 已知圆 A 和圆 B 相切，两圆的圆心距为8cm，圆 A 的半径为3cm， ?则圆B 的半径是（）A. 5cm11. 如图B. 11cmPB 为⊙ O 的切线，C. 3cmD. 5cm 或 11cmB 为切点，连接PO 交⊙ O 于点 A ， PA＝ ?2， PO＝5，则PB 的长度为（）A. 4B.10C. 26D. 4312. 如图，AB与⊙ O 切于点B， AO ＝6cm， AB ＝ 4cm，则⊙O 的半径为（）A. 4 5 cmB. 2 5 cmC. 213 cmD.13 m三、解答题1.如图，已知正三角形 ABC 的边长为 2a．（1）求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（2）依照计算结果，要求圆环的面积，?只要测量哪一条弦的大小即可算出圆环的面积；（3）将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形” ，?你能得出怎样的结论？（4）已知正 n 边形的边长为 2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环面积．2. 如图，已知 O 为原点，点 A 的坐标为（ 4，3），⊙ A 的半径为 2. 过 A 作直线 l 平行于 x 轴，点 P 在直线 l 上运动．（ 1）当点 P 在⊙ A 上时，请你直接写出它的坐标；（ 2）设点 P 的横坐标为 12，试判断直线 OP 与⊙ A 的地址关系，并说明原由．3. 如图 1，已知 Rt △ ABC 中，CAB 30o ，BC5 ．过点 A 作 AE ⊥ AB ，且 AE 15 ，连接 BE 交 AC于点 P ．（ 1）求 PA 的长；（ 2）以点 A 为圆心， AP 为半径作⊙ A ，试判断 BE 与⊙ A 可否相切，并说明原由；（3）如图 2，过点 C 作 CD ⊥ AE ，垂足为 D ．以点 A 为圆心， r 为半径作⊙ A ；以点 C 为圆心， R 为半径作⊙ C ．若 r 和R的大小是可变化的， 并且在变化过程中保持⊙．．D点在⊙ A 的内部， BA 和⊙C 相切，且使点在⊙ A 的外面，求 r 和 R 的变化范围．4. 已知： AB 为⊙ O 的直径， P 为 AB 弧的中点．（ 1）若⊙ O ′与⊙ O 外切于点 P （见图甲）， AP 、 BP 的延长线分别交⊙ O ′于点 C 、 D ，连接 CD ，则△ PCD 是三角形；（2）若⊙ O ′与⊙ O 订交于点 P 、 Q （见图乙），连接 AQ 、 BQ 并延长分别交⊙ O ′于点 E 、 F ，请选择下列两个问题中的一个 作答：．． 问题一：判断△ PEF 的形状，并证明你的结论； 问题二：判断线段 AE 与 BF 的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：.5.从生的包装上获取以下料：两300 格，每格 11.4cm ×11cm，如甲。
苏教版-初三-圆专题复习
无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:同理，六边形的有关计算在Rt OAB∆中进行，::1:3:2AB OB OA=.十五三角形外接圆内切圆三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。
三角形外接圆圆心叫外心锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
1、r=(a+b-c)/2（注：r 是Rt △内切圆的半径，a, b 是Rt △的2个直角边，c 是斜边） 2、r=ab/ (a+b+c)十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π= （2）圆锥侧面展开图 （1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+（2）圆锥的体积：213V r h π=圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，Sl BAO母线长底面圆周长C 1D 1DCBAB1RrCBAO高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．四、典型例题讲解或例文分析点与圆的位置关系1.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？2.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？垂径定理1.如图，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧AB的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.2. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2 ,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O23.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?圆心角、圆周角1.如图，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB.2.如图，AB是⊙O的直径，D是 AB的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2=CD•DE; (2)若AC=6,BC=3,求BE的长。
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无锡特人教育1对1 数学学科导学案（第 1 次课）教师: 柏鹤学生: 年级: 日期: 星期: 时段:∴ 2PA PC PB =⋅（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C ∆中，22221122AB CO O O CO ==-；2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.十五 三角形外接圆 内切圆三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。
三角形的外接圆圆心是 三边的垂直平分线的交点。
三角形外接圆圆心叫外心锐角三角形外心在三角形内部。
直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心） 外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形） 也可能在三角形上（如直角三角形）过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）BAO1O2C O2O1B ADCBAOECBADOBA O与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
1、r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）2、r=ab/ (a+b+c)十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rlπ=；（2）扇形面积公式：213602n RS lRπ==n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2S S S=+侧表底=222rh rππ+（2）圆柱的体积：2V r hπ=（2）圆锥侧面展开图（1）S S S=+侧表底=2Rr rππ+（2）圆锥的体积：213V r hπ=圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．S lBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO四、典型例题讲解或例文分析点与圆的位置关系1.已知四边形ABCD是菱形，设点E、F、G、H是各边的中点，试判断点E、F、G、H是否在同一个圆上，为什么？又自AC、BD的交点O向菱形各边作垂线，垂足分别为M、N、P、Q点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？2.已知⊙O的直径为16厘米，点E是⊙O内任意一点，（1）作出过点E的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？垂径定理1.如图，在⊙O中，弦AB=2a，点C是弧AB的中点，CD⊥AB,CD=b,则⊙O的半径R=______.2. ⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD∥O1O2,分别交两圆于点C、D.求证:CD= 2O1O23.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB为多少?圆心角、圆周角1.如图，设点P是⊙O的直径AB上的一点，在AB的同侧由点P到圆上作两条线段PQ、PR，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ∽△RPB.2.如图，AB是⊙O的直径，D是AB的中点，CD交AB于点E，（！）求证：AD2=CD•DE; (2)若AC=6,BC=3,求BE的长。
3.如图，△ABC的高AD、BE交于点M，延长AD，交△ABC外接圆于点G,求证：D为GM的中点。
圆的内接四边形1．圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P ，求证：(1)PB •AC ＝PC •BD ； (2)点P 到AD 的距离与点P 到BC 的距离之比等于AD:BC.2.四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点E.求证：OE 平分∠BEC.直线和圆的位置关系1.如图，AB 是⊙O 的直径，BP 切⊙O 于点B ，⊙O 的弦AC 平行于OP 。
(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)如果切线PC 和BA 的延长线相交于点D ，且DA 等于⊙O 的半径，求证：OPACDP PB .2.如图，AT 切⊙O 于点T ，CB 为⊙O 直径，∠BCT=30O ,CT=3，求BC 、AC 、S △ABT .3.AB是⊙O的直径，CD⊥AB,AD、DB是方程x2-5x+4=0的两个根，求CD的长。
圆和圆的位置关系1.如图，互相外切的两圆⊙O1和⊙O2都与∠MPN的两边PM、PN相切，若∠MPN=60°，则小圆半径r1和大圆半径r2的比值为______．2.如图，⊙O1与⊙O2外切于T点，过点了的直线分别交两圆于点A、B，∠AO1T＝80°，C是⊙O2上任一点，则∠TCB=_____．3.如图，⊙O和⊙O1相交于A、B两点，一直线CEDF依次交⊙O于点C、D，交⊙O1于点E、F，则∠EAD+∠CBF＝_____度．五、课内巩固性练习1.（2011福建福州）如图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠=,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ） A ．3R r =B ．3R r =C ．2R r =D ．22R r =2.（2011山东东营）如图，直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。
若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 53.（2011四川广安）如图l 圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC = 6cm ，点P 是母线BC上一点且PC =23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ）A ．（64π+）cm B ．5cm C ．35cm D ．7cm4.（11湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径 OA ＝10 m ，高度CD 为_ ____m ．5.（2011四川宜宾）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．6.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是7.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．8.（11南昌）如图，AB为⊙O的直径，CD AB⊥于点E，交⊙O于点D，OF AC⊥于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当30D∠=，1BC=时，求圆中阴影部分的面积．9.（2011广东肇庆）已知：如图，∆ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF ＝215，求tan∠ABF的值．•A BCDE OFPCBAOFDE初审签字: 时间:。