直角三角形的性质培优提高讲解与练习

直角三角形的性质

【知识点1】 直角三角形的性质

(1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC •=2

(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即2

2

2

c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB •CD=AC •BC 【知识点2】直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……）

例1．（2010•黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5

例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF

G E F D

C

B

A

例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥BD

例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则

DM+CN 的值为( ) A. 1 B.

C.

D.

【练一练】 一、填空题

1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .

2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；

3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；

4.等边三角形的高为2，则它的面积是 。

5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。

二、选择题

E

D

C

B

A

1.如图，等边三角形DEF 的顶点分别在等边三角形ABC 的各边上，且DE⊥BC 于点E ．若AB=1，则BD 的长为( ) A.

B. C.

D.

第1题 第2题 第3题

2. 如图，在Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D ．若AD=1，则△ABC 的面积为( )

A.

B.

C.

D.

3. 如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线上一点，且BD=DE ．若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为( ) A. 4 B.

C.

D.

4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠ABC=120°，D 为外角平分线上的一点，且DC⊥BC．若BD=2，则△ABD 的面积为( ) A. 1 B. 3 C.

D.

第4题 第7题

5. 在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=6，P 为BC 上一点，且PA=4，则PB·PC 的值为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

6.在△ABC 中，已知AB=25，AC=17，BC 边上的高AD=15，则△ABC 的周长为( )

A. 70

B. 8或20

C. 54或70

D. 12或28

7.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，CE 是高．若AB=10cm ，DE=5

2 cm ，则△BCD 的面积为

( )cm 2

．

A. B. C. D.

8. 如图，BD，BE分别是Rt△ABC的斜边AC上的中线与高线．若AB=4，BC=3，则AD：DE：EC=( )

A. 5：3：4

B. 25：9：16

C. 25：7：18

D. 3：2：1

第8题第9题第10题

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长

为( ) A. 10 B. C. D.

10.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长

为( ) A. B. C. D. 8

11.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为( )

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

第11题第12题第13题

12. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于( )

A. B. C. D.

13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，，，则边AC的长为( )

A. B. C. 2 D.

14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，则EF的长是( )