直角三角形的性质培优提高讲解与练习

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华东师大初中数学九年级上册直角三角形(提高)知识讲解

直角三角形（提高）：【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题.3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质定理定理1：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则证明：取AB中点D，连接CD则CD=BD=AD=，∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°，∴△BCD为等边三角形∴要点三、直角三角形的判定定理定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用1、（2016秋•利川市校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【思路点拨】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得∠C=∠BDF=∠BAD=∠ADE．【答案与解析】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余．举一反三：【变式】（2015春•张掖校级月考）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，求这两个锐角的度数．【答案】解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为（3x+10）°，由题意得，x+（3x+10）=90，解得x=20，3x+10=3×20+10=70，所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°．类型二、含30°角的直角三角形2、已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．【思路点拨】由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=12AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=12AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案与解析】证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=12AB=BM，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴CB=12AB=BM，∴CM=CB，∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形的性质：30°所对的边等于斜边的一半；也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质．3、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D．（1）如果∠A=60°，求证：BD=3AD；（2）如果BD=3AD，求证：∠A=60°．【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACD=∠B=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD即可；（2）取AB的中点O，连接CO，设AD=x，则BD=3x，AB=4x，根据直角三角形斜边上中线求出AO=CO，AD=DO，证△COA是等边三角形即可求出答案．【答案与解析】证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，∠A=60°，∴∠ACD=∠B=30°，∵∠C=90°，CD⊥AB，∴AB=2AC，AC=2AD，∴AB=4AD，∴BD=3AD．（2）取AB的中点O，连接CO，∵BD=3AD，∴设AD=x，则BD=3x，AB=4x，∵∠C=90°，O是AB的中点，∴OC=OA=2x，∴OD＝x＝12 CO，∵CD⊥AB，∴∠OCD=30°，∴∠COD=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴∠A=60°．【总结升华】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD= 12DC．【答案】解：如图，连接DB ．∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=DB ，∴∠A=∠ABD ，∵BA=BC ，∠B=120°，∴∠A=∠C=12（180°-120°）=30°， ∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°-30°=90°，∴BD=12DC ， ∴AD=1DC ．【答案】类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、某中学师生在劳动基地活动时，看到木工师傅在材料边角处画直角时用了一种“三弧法”．方法是：①线段AB，分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧相交于C．②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D．③连接DB．则∠ABD就是直角．（1）请你就∠ABD是直角作出合理解释．（2）现有一长方形木块的残留部分如图，其中AB，CD整齐且平行，BC，AD 是参差不齐的毛边．请你在毛边附近用尺规画一条与AB，CD都垂直的边（不写作法，保留作图痕迹）【思路点拨】（1）根据方法作出图形，根据画法可以判定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的每三个角都是60°，可得∠1=∠2=∠3=60°，再根据等边对等角的性质可得∠4=∠5，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠4+∠5，然后求出∠5的度数，再列式求出∠2+∠5=90°，即∠ABD是直角；（2）在AB边毛边附近选取一点E，然后利用“三弧法”作出∠AEF=90°即可得解．【答案与解析】（2）如图2，根据“三弧法”画法，EF即为与AB，CD都垂直的边．【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题意，弄明白“三弧法”的画法，并从中找出相等的边是解题的关键．5、有一个直角三角形纸片BCE，设点A是斜边BE上的一点，连接AC，现沿AC将纸片剪开，并将纸片ADE顺时针旋转摆放成图2、图3、或图4的样子．（1）如图2，当点A是中点，且DE∥BC时，求∠BAE的度数；（2）如图3，当点A是中点，但DE不平行于BC时，设M是DE的中点，连接AM交BC于点N，求证：∠ANB+∠BAE=180°；（3）如图4，当AB＜AE时，设M是DE上的一点，连接AM交BC于点N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么点M在DE上的位置满足什么条件？（温馨提示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）【思路点拨】（1）根据性质推出AB=AE=AC，根据等腰三角形的性质推出∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出即可；（2）求出等腰三角形ADE，推出∠MAE=∠DAE=∠B即可；（3）求出∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°即可．【答案与解析】解：（1）在图1中，∵∠ECB=90°，A是BE的中点，∴AB=AE=AC，∴∠B=∠ACB，∠E=∠ACE，∴∠B+∠E=90°，在图2中，∵DE∥BC，∴∠AHB=∠E，∴∠B+∠AHB=90°，∴∠BAE=180°﹣90°=90°；（2）∵在第二问中A是中点，在直角三角形中连斜边中点得到的是两个等腰三角形，所以∠B=∠AC B=∠DAE（因为∠DAE是原来的外角），又∵同时AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，底边上的中线就也是顶角的角平分线，∴∠MAE=∠DA M=∠B，∴∠ANB+∠BAE=∠ANB+∠BA M+∠MAE=∠ANB+∠BA M+∠B=180°即∠ANB+∠BAE=180°．（3）与（2）类似：同理∠B=∠MAE，同时∠E是原来直角三角形里的另一个锐角，就是∠B 的余角，所以∠E+∠MAE=∠E+∠B=90°结论：M是A在DE上的垂足．【总结升华】本题主要考查对三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能正确运用选择进行推理是解此题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，△ABC中，M为BC中点，DM⊥ME，MD交AB于D，ME交AC 于E．求证：BD+CE＞DE．【答案】证明：如图，延长DM到F，使MF=DM，连接EF、CF，∵BM=CM，∠BMD=∠CMF，∴△BDM≌△CFM（SAS），∴BD=CF，∵DM⊥ME，DM=FM，ME是公共边，∴△DEM≌△FEM（SAS），∴DE=FE，在△ECF中，EC+FC＞EF，∴BD+EC＞DE．类型四、直角三角形的判定6、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．【思路点拨】连接OA．先证得△OAN≌△OBM，然后根据全等三角形的对应边相等推知OM=ON；然后由等腰直角三角形ABC的性质、等腰三角形OMN的性质推知∠NOM=90°，即△OMN是等腰直角三角形．【答案与解析】解：△OMN是等腰直角三角形．理由：连接OA．∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，∴AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；∠B=∠C=45°；在△OAN和OBM中，，∴△OAN≌△OBM（SAS），∴ON=OM（全等三角形的对应边相等）；∴∠AON=∠BOM（全等三角形的对应角相等）；又∵∠BOM+∠AOM=90°，∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．【总结升华】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC．举一反三：【变式】一个三角形内角度数比是3：2：5，这个三角形是三角形．【答案】直角.因为三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法求出最大角的度数为：180°×=90°；所以这个三角形是直角三角形．【变式2】如图，△ABC中，∠A＝12∠B＝13∠ACB，CD是高，S表示三角形的面积．求证：S△ACD=3S△BCD．【答案】∵三角形三内角的和是180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=30°，∴AB=AD+BD=4BD，得AD=3BD．。

解直角三角形提高与拓展综合复习

可表示如下:
CD=1AB=BD=AD
2
D
4、勾股定理
为AB的中点丿
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即
ZACB=90J
-CD2
AC2
AD ?BD
AD ?AB
CD! AB」
LBC2
BD ?AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB?CD=A（?BC
考点二、直角三角形的判定
（3~5分）
(2
（3）倒数关系：
（4）弦切关系：
5、锐角三角函数的当角度在0 ~90°之1
tan A?ta n(90—A)=1
丄asin AtanA=—
cos A
增减性
间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或
减小）
(2)
余弦值随着角度的增大
（或减小）
而减小（或
增大）
(3)
正切值随着角度的增大
（或减小）
AC=a,BD=3，试求四边形ABCD勺面积（用含，a,b的代数式表示）.
例4.（2010重庆）已知：如图，在RtAABC中,
上一点，且BD 2AD,ADC60•求△ABC周长.（结果保留根号）
考点三、锐角三角函数的概念（3~8分）
1、如图，在△ABC中，/C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记为
③锐角A的对边与邻边的比叫做/A的正切，记为tanA,即tan A
④锐角A的邻边与对边的比叫做/A的余切，记为cotA，即cotA
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的锐角三角函数
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题

八年级下册第一章《直角三角形》培优习题一、知识要点填空：1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角_________（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角______的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。

等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

二、练习题1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等于__________.2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）A. B.C. D.3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）A.AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能的是（）A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．75、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（） A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为___________________.7、四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE=__________．8、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF.9、在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E ．求证：CE ＝21BD10、一根长2a 的木棍（AB ），斜靠在与地面（OM ）垂直的墙（ON ）上，设木棍的中点为P ．若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P 到点0的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB 的面积最大为______________.11、如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE 分别是斜边AB 边上的高与中线，CF 是∠ACB 的平分线，则∠1与∠2的大小关系是（）A ．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定12、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC ，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个13、如图，在直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，MN ⊥AB ，∠ACB 的平分线CN 交MN 于N ，求证：CM=MN ．14、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1D 1C 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中作内接正方形A 2B 2D 2C 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A nB n D nC n的边长是_______________.15、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．16、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于G，若GF=2AC，则∠BAG=17、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③ C．①③④D．②③④18、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），∠AON=60°，填空：（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．GF CB A。

直角三角形的性质_例题精讲与同步训练(含解答)-

例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC 可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt △ADE 中，有∠A=30°，则DE 可求.解：在Rt △ABC 中∵∠ACB=90 ∠A=30°∴AB BC 21=∵AB=8 ∴BC=4∵D 为AB 中点，CD 为中线∴421==AB CD ∵DE ⊥AC ，∴∠AED=90° 在Rt △ADE 中，AD DE 21=， AB AD 21= ∴241==AB DE 例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41=.分析：CE 在Rt △DEC 中，可知是CD 的一半，又D 为中点，故CD 为BC 上的一半，因此可证.证明：∵DE ⊥AC 于E ，∴∠DEC=90°(垂直定义)∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60° ∵在Rt △EDC 中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°∴CD EC 21= ∵D 为BC 中点，∴BC DC 21=∴AC DC 21= ∴AC CE 41=. 例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC.求证：AB=BO.分析：证AB=BD 只需证明∠BAO=∠BOA由已知中等腰直角三角形的性质，可知BC DF 21=。

由此，建立起AE 与AC 之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.证明：作DF ⊥BC 于F ，AE ⊥BC 于E∵△BDC 中，∠BDC=90°，BD=CD∴BC DF 21= ∵BC=AC ∴AC DF 21=∵DF=AE ∴AC AE 21=∴∠ACB=30°∵∠CAB=∠ABC ，∴∠CAB=∠ABC=75°∴∠OBA=30° ∴∠AOB=75°∴∠BAO=∠BOA ∴AB=BO练一练1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。

初中数学八年级竞赛培优训练直角三角形含解析

直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ，在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。

八数培优提高第2讲与直角三角形

增加AC=BD（HL）; 增加BC=AD（HL）; 增加∠ABC=∠BAD （AAS）; 增加∠CAB=∠DBA（AAS） ;
2、已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD
证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠1=∠2=90°
A
B 图（1）
C
证明：如图（2）作Rt△A′B′C′, 使∠A′=90°， A′B′=AB,A′C′=AC,
A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）. A ∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A==∠A′=90° (全等三角形的对应角相等).
定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
A
A'
证明：在Rt△ABC中，∠C=90° ∴BC2=AB2－AC2(勾股定理)． B C B' C '
同理，B′ C′ 2=A′B′2－A′C′2 ， ∵AB=A′B′，AC=A′C′． ∴BC=B′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS)．
性质1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成
一个怎样的三角形？
300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

初二-第02讲-直角三角形(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-直角三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握直角三角形的性质与判定方法；②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

4、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

5、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

考点一：直角三角形全等的判定例1、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点【解析】选D．例2、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后△CAP与△PQB全等．【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，分两种情况：①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．例3、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等【解析】选：D．2、如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（）A．∠BAC=∠BAD B．AC=AD或BC=BDC．AC=AD且BC=BD D．以上都不正确【解析】从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边．跟据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对直角边相等，即AC=AD或BC=BD，故选B．3、如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°【解析】∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故选D．4、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A．5 B．6C．7 D．8【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD===8．故选D．5、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA．（只需写出符合条件一种情况）【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C=∠D=90°∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．6、如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=60°或90°时，△AOP为直角三角形．【解析】若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，∴∠A=90°，综上所述，∠A=60°或90°．故答案为：60°或90°．7、如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD=AC，则∠B等于30°．【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD，又CD=AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：30°．8、底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是a2．【解析】如图，过点A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD，∵底角∠B=30°，∴AD=AB=a，由勾股定理得，BD==a，∴BC=2BD=a，∴三角形的面积=×a×a=a2．故答案为a2．9、如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【解析】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．10、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°．过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，求△ACD的周长．【解析】如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=15°，∴∠B=∠ACB=15°，∴∠DAC=2∠B=30°．又∵CD⊥BA，∴CD=AC=1，∴根据勾股定理得到AD==，∴△ACD的周长=AD+CD+AC=+1+2=+3．答：△ACD的周长是+3．➢课后反击1、要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．6个B．5个C．4个D．3个【解析】故选B2、如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HL B．AASC．SSS D．ASA【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3、直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（）A．90°B．135°C．120°D．45°或135°【解析】如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB+∠OBA=90°÷2=45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，根据三角形外角和定理，∠BOE=∠OAB+∠OBA=45°，∴∠EOD=180°﹣45°=135°，故选B．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，则∠CDA=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，∴AC=AB，又∵过点C的直线与AB交于点D，且将△ABC的面积分成相等的两部分，∴AD=BD∴AC=AD，∵∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠CDA=60°．5、如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE 的长为（）A．10 B．6C．8 D．5【解析】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E为AC的中点，∴DE=AB=×10=5，故选D．6、如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是AC=DE．【解析】AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′= 10°．【解析】∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案为：10°．8、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD为∠BAC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．9、如图所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分别为B，C，过D点作BC的垂线交BC于F，交AC于E，AB=EC，试判断AC和ED的长度有什么关系并说明理由．【解析】AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的对应边相等）．10、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC．【解析】∵∠B=30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB=90°﹣∠B=60°．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。

第3讲直角三角形全等的性质与判定(培优)

1．如图1，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 交于O ，OB OC =，则图中全等的直角三角形共有()A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2.如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AC 上一点，将ABD ∆沿线段BD 翻折，使得点A 落在A '处，若28A BC '∠=︒，则(CBD ∠=)A ．15︒B ．16︒C ．18︒D ．20︒3.已知如图3，//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，2AD =，3BC =，则ADE ∆的面积为()A ．1B ．2C ．5D ．无法确定4.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图4所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一条直线上，若AB ＝，则CD 的长为（）A ．﹣1B ．C ．﹣1D ．5.如图5，ABC ∆的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②12DFB CGE ∠=∠；③ADC GCD ∠=∠；④CA 平分BCG ∠．其中正确的结论是()A ．③④B ．①②④C ．①②③D ．①②③④6.如图6，ABC ∆中，10AB AC ==，210BC =，点D 是AB 上一点，连接CD ，将BCD ∆沿CD 翻折得到△B CD '，若B D AC '⊥于点E ，则E 到CD 的距离为()A ．6B ．8C ．455D ．6557.如图7，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，62B ∠=︒，D 、E 分别在AB 、AC 上，将ADE ∆沿DE 折叠得FDE ∆，且满足//EF AB ，则1∠=．8.如图8，已知∠AOB ＝45°，点P 在OA 边上，OP ＝8cm ，点M 、N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2cm ，则ON 的长为．9.如图9，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ＝6，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ：AD ＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为．10.如图10，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC ∆外一点，连接AD ，BD ，CD ，发现4AD =，2CD =且45ADC ∠=︒，则BD =．11.如图11，在等腰三角形ABC 中，4AC BC ==，30A ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为边AB 上一个动点，连接DE ，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点F 处．当直线EF 与直线AC 垂直时，则AE 的长为．12.如图12，ABC ∆中60CAB ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，6AC AB +=，当ABD ∆为直角三角形时，线段AD 的值为．13.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A 、B 、D 三点在同一直线上，//EF AD ，90CAB EDF ∠=∠=︒，45C ∠=︒，60E ∠=︒，量得8DE =．（1）试求点F 到AD 的距离．（2）试求BD 的长．14.如图，在ABC ∆中，AC AB >，以点A 为圆心、AB 长为半径的弧交BC 于点D ，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ．（1）若10AB =，2DE =，求ABD ∆的面积；（2）若125AC =，20AD =，410CD =，求ABC ∆的面积．15.如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分ACB ∠与y 轴交于D 点，90CAO BDO ∠=︒-∠．（1）求证：AC BC =；（2）如图2，点C 的坐标为(4,0)，点E 为AC 上一点，且DEA DBO ∠=∠，求BC EC +的长．16.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．17.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AB =，点D 是射线CB 上的一个动点，ADE ∆是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．（1）如图，当点D 在线段CB 上时，①求证：AEF ADC ∆≅∆；②连接BE ，设线段CD x =，线段BE y =，求y 关于x 的函数解析式及取值范围；（2）当15DAB ∠=︒时，求ADE ∆的面积．。

24.2 直角三角形的性质华东师大版数学九年级上册素养提升卷(含解析)

第24章　解直角三角形24.2　直角三角形的性质基础过关全练知识点1　直角三角形斜边上的中线的性质1.(2023河南周口淮阳期末)如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是( )A.逐渐变大B.不断变小C.不变D.先变大再变小2.【新考法】(2023海南海口九中海甸分校月考)一副三角板按如图所示的位置摆放,△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC中斜边AC的中点M,BE交AC于点F,则∠BFM= °.3.【新独家原创】如图,已知点D是△ABC中边AB的中点,∠ACB=∠A+∠B,AC=6,BC=8,求CD的值.4.【一题多变】(2023山西晋城陵川月考)已知:如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE 是AB边上的中线,G是CE的中点,DG⊥CE于点G.求证:∠B=2∠BCE.[变式](2023湖南衡阳华新实验中学期中)如图,BD、CE是△ABC不同边上的高,点G、F分别是BC、DE的中点,试证明GF⊥DE.知识点2　含30°角的直角三角形的性质5.【新情境·衣架】(2023山西吕梁汾阳期末)如图,衣架框内部可以近似地看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC,若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为( )A.11 cmB.12 cmC.13 cmD.14 cm6.(2023吉林长春绿园期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8.若E、F是BC 边上的两个动点,以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC的内部或边上,则等边△EFP的周长的最大值为 .7.【新情境·双翼闸门】(2023河南许昌禹州期中)图1是某超市门口的双翼闸门,当它的双翼展开时,如图2,双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm,双翼的边缘AC=BD=62 cm,且与闸机箱侧立面的夹角∠ACP=∠BDQ=30°.求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度.图1 图2能力提升全练8.【跨学科·物理】(2022山西长治模拟,6,★★☆)如图,在长方形台球桌上打台球时,如果击打黑球时入射角∠1=30°,恰好使黑球在上边框的点A处反弹后进入袋中,点A到右边框BC的距离为3,则黑球从点A到进袋所走过的路径AC约为( )A.3B.4C.5D.69.(2022辽宁大连中考,9,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.分别以点A和点C为圆AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN.直线MN与AB相交于心,大于12点D,连结CD,若AB=3,则CD的长是( )A.6B.3C.1.5D.110.(2023河南开封金明中学期末,15,★☆☆)如图,已知∠AOB=60°,点P在OA边上,OP=12 cm,点E、F在边OB上,且PE=PF,若EF=2 cm,则OE= cm.11.(2023陕西西安碑林模拟,13,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,以AC 为斜边作Rt△ADC.使∠ADC=90°,∠CAD=∠CAB,E、F分别是BC、AC的中点,连结EF、DE、DF,则DE的长为 .12.(2023河南鹤壁淇滨期中)如图所示,一轮船由西向东航行,早上8点,在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上,以每小时20海里的速度继续向东航行,10点到达B处,并测得小岛P在北偏东60°的方向上,已知小岛周围22海里内有暗礁,若轮船仍向前航行,有无触礁的危险?13.(2023四川资阳安岳期末)已知:如图,在△ABC中,∠B=30°,∠ACB=45°,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线.(1)求证:AE=CD;(2)求∠ACE的度数.14.(2023吉林长春净月期末)如图,在Rt△ADB和Rt△ABC中,∠ADB=90°,∠ACB=90°,E 是AB的中点.(1)求证:DE=CE;(2)若∠CAB=30°,∠DBA=40°,求∠DEC的度数.素养探究全练15.【推理能力】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E是AC的中点,点F 是BD的中点.(1)求证:EF⊥BD;(2)若∠BED=90°,求∠BCD的度数;(3)若∠BED=α,直接写出∠BCD的度数.(用含α的代数式表示)答案全解全析基础过关全练AB,1.C　∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=12∵木杆AB的长固定,∴OP的长度不变.2.75解析　本题借助一副三角板考查直角三角形斜边上的中线的性质.∵M是Rt△ABC 中斜边AC的中点,∴BM=CM,∴∠MBC=∠C=30°,∵∠DBE=∠DEB=45°,∴∠EBC=∠EBD+∠MBC=75°,∵∠BFM+∠FBC+∠C=180°,∴∠BFM=180°-30°-75°=75°.3.解析　∵∠ACB=∠A+∠B,∠A+∠ACB+∠B=180°,∴∠ACB=90°,∵D是斜边AB的AB.∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC2+BC2=62+82=10,中点,∴CD=12∴CD=5.4.证明　如图,连结DE,∵G是CE的中点,DG⊥CE,∴直线DG是线段CE的垂直平分线,∴DE=DC,∵AD⊥BC,CE是AB边上的中线,∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线, AB.∵DE=DC,∴∠DEC=∠BCE,∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE,∴DE=BE=12∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE.[变式]证明　如图,连结EG、DG,∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高,点GBC,∵点F是DE的中点,∴GF⊥DE.是BC的中点,∴DG=EG=125.C　∵AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠ABC=30°,∴AD =12AB =13(cm).6.63解析　如图,当点F 与C 重合时,△EFP 的边长最大,周长也最大,∵∠ACB =90°,∠PFE =60°,∴∠PCA =30°,∵∠A =60°,∴∠APC =90°,在Rt △ABC中,AC =12AB =4. 在Rt △ACP 中,AP =12AC =2,∴PC =AC 2―AP 2=42―22=23,∴等边△EFP 的周长的最大值为23×3=63.7.解析　如图,过点A 作AE ⊥CP 于点E ,过点B 作BF ⊥DQ 于点F ,在Rt △ACE 中,∠ACE =30°,∴AE =12AC =12×62=31(cm),同理可得BF =31 cm,∵双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为12 cm,∴31+12+31=74(cm),∴当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为74 cm .能力提升全练8.D ∵反射角等于入射角,∴∠1=∠2=30°. 由题意可得∠2+∠3=90°,∴∠3=60°,∵∠ABC =90°,∴∠ACB =30°,∴AC =2AB =6.9.C 由已知可得直线MN 是线段AC 的垂直平分线,设AC 与MN 的交点为E ,∵∠ACB =90°,MN 垂直平分AC ,∴∠AED =∠ACB =90°,AE =CE ,∴ED ∥CB ,∴△AED ∽△ACB ,∴AE AC =AD AB ,∴12=AD AB ,∴AD =12AB ,∴点D 为AB 的中点,∵AB =3,∠ACB =90°,∴CD =12AB =1.5.10.5解析　如图,过P作PD⊥OB于D,∵PE=PF,EF=2 cm,∴ED=FD=1 cm,∵PD⊥OB,OP,∵OP=12 cm,∴OD=6 cm,∴∠PDO=90°,∵∠POB=60°,∴∠OPD=30°,∴OD=12∴OE=OD-ED=6-1=5(cm).11.22解析　∵∠CAD=∠CAB,∠CAB=30°,∴∠CAD=30°,∵∠ADC=90°,点F是AC的中AC=2,∴∠CAD=∠ADF=30°,∴∠DFC=∠CAD+∠ADF=60°,点,AC=4,∴DF=AF=12AB=2,EF∥AB,∴∠EFC=∠BAC=30°,∴∠EFD=∵E、F分别是BC、AC的中点,∴EF=12∠EFC+∠CFD=90°.在Rt△DFE中,DE=DF2+EF2=22+22=22.12.解析　如图,作PC⊥AB于点C.∵∠PAB=90°-75°=15°,∠PBC=90°-60°=30°,∠PBC=∠PAB+∠APB,∴∠PAB=∠APB=15°,∴BP=AB=20×2=40(海里),在Rt△PBC中,PC=12 =20(海里)<22海里,即若轮船仍向前航行,有触礁的危险.PB=40×1213.解析　(1)证明:如图,连结DE,∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,∵∠B=30°,∠ACB=45°,∴∠BAD=60°,∠DAC=∠ACD=45°,∴AD=CD,∵点E是AB的中点,AB,∴△AED是等边三角形,∴AD=AE,∴AE=CD.∠ADB=90°,∴BE=DE=AE=12(2)∵DE=EB,∴∠B=∠EDB=30°,∴∠DEC+∠DCE=30°,∵DE=AD,AD=CD,∴DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=15°,∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=30°,∴∠ACE的度数为30°.14.解析　(1)证明:∵在Rt △ADB 和Rt △ABC 中,∠ADB =90°,∠ACB =90°,E 是AB 的中点,∴DE =12AB ,CE =12AB ,∴DE =CE.(2)在Rt △ADB 和Rt △ABC 中,∵∠ADB =90°,∠ACB =90°,∠CAB =30°,∠DBA =40°,∴∠DAB =90°-∠DBA =50°,∠ABC =90°-∠CAB =60°,∵E 是AB 的中点,∴DE =12AB =AE ,CE =12AB =BE ,∴∠ADE =∠DAB =50°,∠ECB =∠ABC =60°,∴∠DEA =180°-2∠DAB =180°-100°=80°,∠CEB =180°-2∠ECB =180°-120°=60°,∴∠DEC =180°-∠DEA -∠CEB =180°-80°-60°=40°.素养探究全练15.解析　(1)证明:∵∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点,∴DE =12AC ,BE =12AC ,∴DE =BE ,∴△BED 是等腰三角形,又∵点F 是BD 的中点,∴EF ⊥BD.(2)∵∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点,∴DE =12AC =EC ,BE =12AC =EC ,∴∠EDC =∠ECD ,∠EBC =∠ECB ,在四边形DEBC 中,∠EDC +∠ECD +∠ECB +∠EBC +∠BED =360°,∠BED =90°,∴2∠ECD +2∠ECB +90°=360°,∴∠ECD +∠ECB =135°,即∠BCD =135°.(3)∠BCD =180°-12α.提示:∵∠ABC =∠ADC =90°,点E 是AC 的中点,∴DE =12AC =EC ,BE =12AC =EC ,∴∠EDC =∠ECD ,∠EBC =∠ECB ,在四边形DEBC 中,∠EDC +∠ECD +∠ECB +∠EBC +∠BED =360°,∠BED =α,∴2∠ECD +2∠ECB +α=360°,∴∠ECD +∠ECB =180°-12α,即∠BCD =180°-12α.。

专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15．本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15，故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。

《直角三角形》全章培优提高复习(初二)

《直角三角形》全章培优提高复习一、知识过关：一、知识要点梳理与过关：1、直角三角形的定义：叫直角三角形。

直角三角形 ABC用几何符号表示为__________ 。

说明一个三角形是直角三角形时，一般必须说明哪个内角是直角或哪条边是斜边，不然的话就要分类讨论。

2、直角三角形的性质：①直角三角形中有一个角是_________ :②直角三角形中两个锐角_________ ；③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_________ ；④直角三角形中，如果有一角等于30 °那么这个角所对的直角边是斜边的 _________ ；⑤直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___ ；⑥勾股定理（直角三角形的三边关系定理）： _______________________________________________________ ，用几何语言叙述为___________________________________________ 。

注意：1、定理1用来求直角三角形的角的度数；定理2、3通常用于证明线段之间的倍分关系；定理 4通常用于求三角形中角的度数；定理 5通常用来求直角三角形的边长。

2、勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的任意两边可求第三边。

计算中一定要注意找准斜边和直角边，同时要熟悉以下公式的变形：222222 2 2 2 2 2 2a =c -b,b =c -a,c=a b a=. c -b ,b= c -a⑦直角三角形面积计算方法是：_____________________________________ 。

⑧直角三角形斜边上的高线长度公式：__________________________________。

3、直角三角形的判定方法：①利用角来判定： ___________________ 或__________________ 的三角形是直角三角形。

2直角三角形----知识讲解(提高)及其练习含答案

直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、（春•卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【答案】5或．【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．2、（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=． ∴ BD ＝4， ∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==， ∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°， ∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20，∴BD 2+CD 2=BC 2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得： 12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+= 则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．【答案与解析】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，∵AE⊥EB，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠EAB=∠DAB；在△ADB与△AEB中，90EAB DABE ADBAB AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．【答案与解析】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EA+AF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．直角三角形——巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为( )A.5B.7C.5或7D.72．（•诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C． D．a=15，b=8，c=173．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）4.cba,,为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：①222,,cba能组成一个三角形②cba,,能组成三角形③hbahc,,++能组成直角三角形④hba1,1,1能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定6. 下列定理中，有逆定理的是（）A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角二.填空题7．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C 共个．8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．9.（春•普宁市期末）如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是．10.（春•滑县期末）如果三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则三角形为三角形．11. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则 ∠BAD ＝_______.12.在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R ，S ，PR=PS ，AQ=PQ ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．三.解答题13.（春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．14.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ全等．15.（春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】C ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.2.【答案】C ；【解析】解：A 、满足勾股定理：72+242=252，故A 选项不符合题意；B 、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B 选项不符合题意； C 、不满足勾股定理，不是勾股数，故C 选项符合题意； D 、满足勾股定理：152+82=172，故D 选项不符合题意．故选：C ．3.【答案】C ；【解析】22222272425152025+=+=，. 4.【答案】C ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为a b c +>，所以c b a ,,能组成三角形，②正确；因为ab ch =，所以2222222a ab b h c ch h +++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确.5.【答案】A ；【解析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt △CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可6. 【答案】D.二.填空题7. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.8．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=. 9．【答案】AC=DE ；【解析】解：AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）．故答案为：AC=DE ．10.【答案】直角；【解析】解：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c∴a 2+b 2+c 2﹣6a ﹣8b ﹣10c+50=0即a 2﹣6a+9+b 2﹣8b+16+c 2﹣10c+25=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+（c ﹣5）2=0 ∴a=3，b=4，c=5∵a 2+b 2=c 2∴三角形为直角三角形．11.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形. 12.【答案】①②．【解析】解：连接AP ，在Rt△ASP 和Rt△ARP 中， PR=PS ，PA=PA ，所以Rt△ASP≌Rt△ARP，所以①AS=AR 正确；因为AQ=PQ ，所以∠QAP=∠QPA，又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，所以∠PAR=∠PAQ，于是∠RAP=∠QPA，所以②PQ∥AR正确；③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故答案为：①②．三.解答题13.【解析】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．14.【解析】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．15.【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。

培优专题26 解直角三角形模型-解析版

培优专题26 解直角三角形模型类型一：背靠背型1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°． 1.414 1.732 2.236）(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m）(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =Ð=Ð=°°，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ^=米，10AB =米，sin ACB Ð=CD 的长度．（2）sin AB ACB ÐQ sin sin AC B AB ´Ð\=3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD 垂直于地面，在地面上选取,A B 两处分别测得CAD Ð和CBD Ð的度数（,,A D B 在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上,A B 两点的距离为58m,42,58CAD CBD Ð=°Ð=°．问题解决：求宝塔CD 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90°»°=°»，sin 580.85,cos580.53,tan 58 1.60°=°=°=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．1254176,\=xx»．解得，33.4答：宝塔的高度约为33.4m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关系是解题的关键．4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30°方向与包装公司北偏西60°方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：»）1.414» 1.732答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB 的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若728,927AH ADAD AC==，请直接写出ADAB的值________．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．类型二：子母型6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45°，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31°，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°≈，tan 310.6)°»10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B 到地面的高度为BA ，在测点C 用仪器测得点B 的仰角为α，前进一段距离到达测点E ，再用该仪器测得点B 的仰角为β，且点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在同一竖直平面内，点A ，C ，E 在同一条直线上．a 的度数b 的度数CE 的长度仪器CD （EF ）的高测量数据31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：sin 310.52°≈，cos310.86°=，tan 310.60°»，sin 420.67=°，cos420.74=°，tan 420.90=°）【答案】7.1AB =米【分析】在两个直角三角形中，用BG 表示DG 、FG ，进而用 DG−FG ＝DF ＝3列方程求出BG 即可．【详解】如图，延长DF 与AB 交于点G ，类型三：拥抱型11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．课题成员测量工具测量毛主席塑像的高度组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX测倾器，皮尺等测量示意图说明：线段AB 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，C 为测点，线段CE ，CD 表示测倾器（点D 在CE 上），点A ，B ，C ，D ，E 都在同一竖直平面内，且AB BC ^，CE BC ^；ADF Ð、AEG Ð表示两次测量的仰角，点G ，F 在AB 上．测量项目第一次第二次平均值ADF Ð的度数35.1°34.9°35.0°AEG Ð的度数33.4°33.6°33.5°测倾器CE 的高 1.68m1.72m1.70m 测量数据测倾器CD 的高1.07m 1.05m1.06m任务：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：sin 35.00.57°»，cos35.00.82°»，tan 35.00.70°»，sin33.50.55°»，cos33.50.83°»，tan 33.50.66°»）（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器CD 测出仰角ADF Ð，再测出BC 的长来计算塑像高度AB ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】（1）毛主席塑像的高度为12.26m ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【分析】（1）根据题意AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，可推得四边形BCEG 与四边形DEGF 都是矩形，其中BG=CE=1.70m ，FG=DE=CE-CD=1.70-1.06=0.64m ，EG=DF ，在Rt △AEG 和Rt △ADF 分别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG 的长度，则AB 的长度可求；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC ．【详解】解：（1）由题意，得AB ^BC ，CE ^BC ，AB ^EG ，AB ^DF ，13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在条直线上的三点(A A 为楼底)，,D E ，她在D 处测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°,5DE =米.已知广告牌的高度 2.35BC =米，求这座商场大楼的高度AB1.41»»，小红的身高不计，结果保留整数)．15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB ）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D 处，用高度为1 m 的测角仪CD ，从点C 测得宣传牌的底部B 的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4 m 到达点F 处，又从点E 测得宣传牌顶部A 的仰角为45°．已知教学楼高19m BM =，且点A 、B 、M 在同一直线上，求宣传牌AB 的高度．（参考数据：1.73»，sin 370.60°»，cos370.81°»，tan 370.75°»）【答案】宣传牌AB 的高度为2米【分析】过点C 作CG AM ^于G ，设AB 为x ，根据45AEG °Ð=可得18EG AG x ==+，然后在Rt CBG V 中解直角三角形即可.类型四：12345型16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1-，0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交y轴于D，CD=3AD，反比例函数kyx=的图象经过点C，则k的值为_______．【答案】9∵∠ABC=135°，17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．【答案】6．【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则△PAH是等腰直角三角形，证明△PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x，则AM=2x，根据AH=PH，得2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；【详解】过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，∵AH=PH，∴2x﹣1=2+x，x=3，∴PG=3，AM=6，∵△DAM≌△CDF，∴DF=AM=6．故答案为6.【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE∠EAF=45°，则AF的长为_____．19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE Ð的值为__________．20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x 轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．。

初二数学知识点专题讲解与练习18---直角三角形(培优版)

x2 + 82 = (12 − x)2 ，
得
x
=
10 3
．
例 2 B 提示：过 B 作 BD⊥AC 延长线于 D 点，设 CD=x，BD=y，可求得：x=y，则∠
BCD=45°，故∠BCA=135°．
例 3 ∠ACB=75° 提示：过 C 作 CQ⊥AP 于 Q，连接 BQ，则 AQ=BQ=CQ．
例 4 提示：过 E 作 EG⊥AB 于 G，先证明 Rt△EAG≌Rt△ABC，再证明△EFG≌△
C. 锐角三角形 D.不能确定
（山东省竞赛试题）
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6.如图，小正方形边长为 1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC，则 AC 边上的
高为（） A. 3 2 2
B. 3 5 10
C. 3 5 5
D. 4 5 5
A C
第B6题
（福州市中考试题）
7.如图，一个长为 25 分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端 7 分米，如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑（）
DFA．
例 5 连接 AC
∵AD=DC，∠ADC=60°，
A
∴△ADC 是等边三角形，DC=CA=AD，
D
B
C
以 BC 为边向四边形外作等边三角形 BCE，即 BC=BE=CE，
E
则∠BCE=∠EBC=∠CEB=60°，
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°，
连接 AE，则 AE2 = AB2 + BE2 = AB2 + BC 2 ，
7． 169 提示：连接 AD，由△ADE≌△CDF，得 ED=DF，AE=CF=5，AF=BE=12，
4

直角三角形的性质练习题

直角三角形的性质练习题直角三角形的性质练习题直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

它具有一些独特的性质和特点，我们可以通过练习题来加深对这些性质的理解和应用。

下面是一些直角三角形的性质练习题，希望能够帮助你更好地掌握这一知识点。

1. 在一个直角三角形ABC中，角A为90度，边AC的长度为5，边BC的长度为12。

求边AB的长度。

解析：根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

设边AB的长度为x，则有x^2 = 5^2 + 12^2，即x^2 = 25 + 144，解得x =√169，即x = 13。

所以边AB的长度为13。

2. 在一个直角三角形DEF中，角D为90度，边DE的长度为9，边DF的长度为15。

求角E的度数。

解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。

设角E的度数为x，则有sin(x) = 9/15，即sin(x) = 3/5。

查表可得sin(x) = 0.6，所以x = arcsin(0.6)。

计算得x约等于36.87度。

所以角E的度数约为36.87度。

3. 在一个直角三角形GHI中，角G为90度，边GI的长度为10，角H的度数为30度。

求边GH的长度。

解析：根据正弦定理，对于一个三角形，任意两边的比值等于其对应角的正弦值的比值。

设边GH的长度为x，则有sin(30) = x/10，即1/2 = x/10。

解得x = 5。

所以边GH的长度为5。

4. 在一个直角三角形JKL中，角J为90度，边JK的长度为8，边KL的长度为6。

求角K的度数。

解析：根据余弦定理，对于一个三角形，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的这两边的长度乘积与这两边夹角的余弦值的乘积。

设角K的度数为x，则有8^2 = 6^2 + KL^2 - 2*6*KL*cos(x)。

化简得64 = 36 + KL^2 -12KL*cos(x)。

整理得KL^2 - 12KL*cos(x) = 28。

专题24.2直角三角形的性质-2021-2022学年九年级数学上册尖子生培优题典(原卷版)

20212022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题24.2直角三角形的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•闵行区校级月考）下列说法中错误的是（）A．三角形的三个内角中，最多有一个钝角B．三角形三个内角中，至少有两个锐角C．直角三角形中有两个锐角互余D．三角形中两个内角和必大于90°2．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）A．2km B．3km C．2√3km D．4km3．（2021春•青羊区校级期中）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（）A．30°B．（m﹣15）°C．（m+15）°D．m°4．（2021春•深圳期中）如图，从旗杆AB的顶端A向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子AP的长度不可能是（）A．3B．3.3C．4D．55．（2021春•芝罘区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D．若BE＝2，则AC的长度为（）A．√3B．1C．√2D．26．（2021春•广安期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE＝5，CD＝6，则△ABC的面积是（）A．60B．50C．40D．307．（2021春•肥东县期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，OB为AC边上的中线，若以AC为斜边作△ADC，连接OD，则下列说法错误的是（）A．OD＝OA B．OD＝OB C．OD=12AC D．OD=12BD8．（2021春•潮阳区期末）如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（）A ．不变B ．变小C ．变大D ．无法判断9．（2021春•任丘市期末）如图，点E 是△ABC 内一点，∠AEB ＝90°，D 是边AB 的中点，延长线段DE 交边BC 于点F ，点F 是边BC 的中点．若AB ＝6，EF ＝1，则线段AC 的长为（）A ．7B ．152C ．8D ．910．（2021春•海淀区校级期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D ，梯子视为线段MN ，老鼠抽象为点E ，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的最小值为（）A ．2√5B ．2√5−2C ．2D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•锦江区校级期末）等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9cm ，则这个等腰三角形的腰长是 cm ，顶角是．12．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ．若AD ＝2cm ，则△ABC 的周长为 cm ．13．（2021春•官渡区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AC中点，E为边AB 上一动点，当四边形BCDE有一组邻边相等时，则AE的长为．14．（2021春•宛城区期末）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是．15．（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，∠BCD ＝3∠ACD，CD＝3，则AB的长为．16．（2021春•河东区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD 的中点，EF＝3．则AC的长为．17．（2021春•青秀区校级期末）如图，Rt△ABC中，BC＝13，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D，E分别是边AB，AC上的点，且满足AD＝2CE，则CD﹣CE的最小值为．18．（2021•克东县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为30°，AB＝6．若点E在直线BC上（不与点B、C重合），且∠CAE＝30°，则BE的长为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•郓城县期末）如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE 平分∠BAC，∠B＝30°．（1）求∠C的度数；（2）若DE＝1，求EC的长．20．（2021春•成都期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC＝ED，过点E作EF⊥AB，垂足为F．（1）判断DE与BC的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，∠ACB＝80°，求∠DEF的度数．21．（2020秋•南浔区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．（1）求证：AD＝CE．（2）若AD＝5，AC＝6，求△BDE的面积．22．（2021春•亳州期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F 是线段AD的中点，连接EF，CF．（1）求证：EF＝CF；（2）若∠BAC＝45°，AD＝6，求C，E两点间的距离．23．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？24．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上一点，连接CD，且CD＝BD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．（1）如图1所示，若BC＝4，CD＝2√3，求AE的长．（2）如图2所示，若DF⊥AD交AC于点F，过点F作FG⊥CD于点G．求证：AE＝DF+FG．。

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直角三角形的性质
【知识点1】直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC •=2
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)、勾股定理：直角三角形两直角边A ，B 的平方和等于斜边C 的平方，即2
2
2
c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得：AB •CD=AC •BC 【知识点2】直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长A ，B ，C 有关系2
2
2
c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

【知识点3】射影定理：（直角三角形中，直角边的平方等于其射影与斜边的乘积，……）
例1．（2010•黄岩区模拟）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点，AC=4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF ，EF 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．在旋转过程中有以下结论：①MF=NF：②四边形CMFN 有可能为正方形；③MN 长度的最小值为2；④四边形CMFN 的面积保持不变；⑤△CMN 面积的最大值为2．其中正确的个数是（） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5
例2．在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。

求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF
G E F D
C
B
A
例3．已知：四边形ABCD 中，∠ABC= ∠ADC=90度，E 、F 分别是AC 、BD 的中点。

求证：EF ⊥BD
例4．如图，在矩形ABCD 中，，AB=1．若AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M ，CN⊥AN 于点N ，则
DM+CN 的值为( ) A. 1 B.
C.
D.
【练一练】一、填空题
1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
2.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；
3.已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________；
4.等边三角形的高为2，则它的面积是。

5.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于。

二、选择题
E
D
C
B
A
1.如图，等边三角形DEF 的顶点分别在等边三角形ABC 的各边上，且DE⊥BC 于点E ．若AB=1，则BD 的长为( ) A.
B. C.
D.
第1题第2题第3题
2. 如图，在Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D ．若AD=1，则△ABC 的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线上一点，且BD=DE ．若△ABC 的周长为12，则△DCE 的周长为( ) A. 4 B.
C.
D.
4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠ABC=120°，D 为外角平分线上的一点，且DC⊥BC．若BD=2，则△ABD 的面积为( ) A. 1 B. 3 C.
D.
第4题第7题
5. 在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC=6，P 为BC 上一点，且PA=4，则PB·PC 的值为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
6.在△ABC 中，已知AB=25，AC=17，BC 边上的高AD=15，则△ABC 的周长为( )
A. 70
B. 8或20
C. 54或70
D. 12或28
7.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，CE 是高．若AB=10cm ，DE=5
2 cm ，则△BCD 的面积为
( )cm 2
．
A. B. C. D.
8. 如图，BD，BE分别是Rt△ABC的斜边AC上的中线与高线．若AB=4，BC=3，则AD：DE：EC=( )
A. 5：3：4
B. 25：9：16
C. 25：7：18
D. 3：2：1
第8题第9题第10题
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长
为( ) A. 10 B. C. D.
10.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长
为( ) A. B. C. D. 8
11.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
第11题第12题第13题
12. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于( )
A. B. C. D.
13. 如图，在△ABC中，∠B=45°，，，则边AC的长为( )
A. B. C. 2 D.
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，则EF的长是( )
A. 3
B. 2
C.
D. 1
第14题第15题第16题
15. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为( )
A. 2
B.
C.
D. 3
16.如图，等边三角形ABC外一点P到三边距离分别为，，，且，其中，
，，则( )
A. B. C. D.
17.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）
A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3
第17题第18题
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF是∠ACB的平分线。

则∠1与∠2的关系是（）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2 C．∠1>∠2 D．不能确定
三、解答题
1.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA.求证：DE=DC
2.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB. 求证：AE=2CE
3、如右图,已知∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,BE=1,求BC？
A
E
D C
B
4、如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.
A
E
C
5、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，腰长为8cm，AC、BD相交于O点，且∠AOD＝600，设E、F分别为CO、AB的中点，则EF＝。

6.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在 BC 边上，且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB
7.已知：∠ABC=∠ADC=90度，E是AC中点。

求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？
C D
B
A。