各类不等式的解法 - 360文档中心

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一、不等式的基本性质不等式的基本性质有：

(1) 对称性或反身性： a>b b

(2) 传递性：若 a>b ， b>c ，则 a>c ； (3)可加性： a>b a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；

(4)

可乘性：

a>b ，当 c>0 时， ac>bc ；当 c<0 时， ac

不等式运算性质

(1)同向相加：若 a>b ， c>d ，则 a+c>b+d ； (2)正数同向相乘：若 a>b>0， c>d>0，则 ac>bd 。

特例： (3)乘方法则：若 a>b>0，n ∈N +，则 a n b n ；

11

(4)开方法则：若 a>b>0，n∈N +，则 a n b n

11

(5)倒数法则：若 ab>0，a>b ，则。

ab

例 1： 1)、 8 6 与 7 5 的大小关系为

3)已知 , 满足 , 试求 3 的取值范围

例 3.解关于 x 的不等式 m(x 2) x m

二、一元二次不等式的解法

过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集

各类不等式的解法

元二次不等式 ax 2

bx c 0(a 0) 或 ax 2

bx c 0(a. 0) 的求解原理：利用二次函数的图

象通

4

1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 2)(-x-1)(x-1)(x-2)<0

三、分式不等式与高次不等式的解法 1.分式不等式解法

2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）

(x+2) ≤0 4)( x-3)(x+2)(x-1) 2

(x-4)>0

不等式 x a(a 0) 的解集是 xx a,或x a

例 4 解不等式 2x 1 x 1 1 例 5 解不等式 9 x 2

6x x 2

3

五、绝对值不等式的解法

含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值 ,而去掉绝对值 ,则需要对绝对值中的零点进行讨论

一个零点分两个范围 ,两个零点分三个零点 ,依次类推 . (1)含有一个绝对值：

不等式 x a(a 0) 的解集是 x a x a ;5)

32

2x x 15x 0 (6) (x 4)(x 5)2

解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要

例 2 解不等式：（ 1）|x-3|-|x+1|<1. （2） |x|－|2x ＋1||>1．

例 3 已知函数 f （x ）=|x-2|-|x-5|．

（I ）证明： -3≤f （x ） ≤3；（ II ）求不等式 f （x ） ≥2

x-8x+15 的解集．六、指数不等式与对数不等式

利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式例 1.解不等式 0.2

2x x x x 1

例 4． a 1时解关于 x 的不等式 log a

(1)a 2＋ b 2≥2ab(a ， b ∈ R) (2)ab ≤(a ＋2 b )2(a ， b ∈ R) a 2

b )2(a ， b ∈ R) (4)b a ＋ a

b ≥2(a ， b 同号且不为零 )

上述四个不等式等号成立的条件都是 a ＝ b. 3．算术平均数与几何平均数

不等式 ax

b

c(c 0）的解集为

x|ax b c, 或ax b c (c 0)

c(c 0)的解集为 x| c ax b c (c 0);

ax b 例 2. 解不等式 log x 4

5

例 3. 解不等式：

log a x 1 3 log a x (0 a 1)