三种点雨量插值方法的比较研究

三种点雨量插值方法的比较研究1

戚晓明，陆桂华，吴志勇，金君良

（河海大学水问题研究所，江苏 南京 210098）

摘 要:对距离反比、普通Kriging 和PRISM 三种常用点雨量插值算法进行了原理、适用范围和优缺点的对比分析。根据雨量站点的平面三角几何关系，提出了参证插值站点的选择方法，使得参证插值站点的选择更合理。通过具体实例，指出没有最优的点雨量插值方法，应该根据站点布设、雨量资料、地理位置和服务对象等特点，选择适当的插值算法或算法组合以及参证站选取算法，才会得到较好的插值精度。

关键词:插值, 距离反比, 普通Kriging ,PRISM

点雨量插值主要用于雨量缺值估计、内插等值线、数据格网化[1],对流域内雨量站稀少且

站点分布不合理的地区，对分析雨量二维分布变化特征、计算面雨量、解决水文尺度中分辨率和雨量站网规划等研究具有重要现实意义[2,3]。点雨量时空间插值通常有两种：一种是简化，这种方法简化了时空插值问题，变为单纯的空间插值问题。另一种是扩展，这种方法同时考虑时间维与空间维，将时空插值问题拓展为高维空间插值问题[4]，目前常用的点雨量插值通常属于第一种，主要的插值方法有距离反比加权平均法、修正距离平方反比法、梯度距离平方反比法、降雨高程线性回归法、地理统计法、普通Kriging 和DEM 修正Kriging 法，PRISM 插值方法等[6]。本文对距离反比、普通Kriging 、PRISM 插值算法在点雨量插值中的应用情况做了对比研究。

1 三种方法插值原理

1.1 距离反比插值(IDM)

1972年，美国国家天气局开发了距离反比插值算法，是最常用的雨量插值方法之一。它

认为与未采样点距离最近的若干个参证站对待估点值的贡献最大，其贡献与距离成反比。可用下式表示：

))(1/())(1

(1

1*∑∑===n i p i n i i p i D Z D Z (1) 式中, Z *是估计值, Z i 是第i(i=1,..,n)个样本,D i 是距离,p 是距离的幂,它显著影响内插的结果,

它的选择标准是最小平均绝对误差。一般幂越高, 插值结果越具有平滑的效果，在本文p 取值为2。

1.2 普通Kriging插值

普通Kriging 插值法 [7]，它既可以对点进行估计,也可以对块进行估计。可以被表示为：

)

()(ˆ10i n i i x z x z ∑==λ (2)

式中 z(x i )（i=1,…,n ）为采样值,它们分别位于区域内x i 位置；x 0是一个待估点；λi 为权,

并且其和等于1。选取λi ,使z(x 0)的估计无偏,并且使方差σ02解为： ),(),(01

x x y x j i i n i i γφγλ=+∑

= (3) 基金项目：国家自然科学基金资助课题(40371023);948项目资助课题(200317)

作者简介：戚晓明(1975-)，男，内蒙扎兰屯人，博士生，主要从事水文水资源、地理信息系统研究。

φγλσ+=∑=),(01

2

0x x i n i i (4)

式中, φ是极小化处理时的拉格朗日乘数；γ(x i ,x j )是随机变量Z 在参证站x i 和x j 之间的半方差；γ(x i ,x 0)是Z 在参证站x i 和待估点x 0之间的半方差。这些量都从变异函数得到,它是对实验变异函数的最优拟合。实验变异函数的计算公式为：

[21)()(21)ˆ∑=+−=n i i i h x z x

z h λγ（] (5)

它提供了插值和优化采样的有用信息。普通Kriging 插值的第一步是根据样本计算实验变异函数并使用理论变异函数的有限线性组合对它进行拟合。然后计算方法如下：X 0处的估计值Z *(X 0)=Y ′W -1B ，而误差估计值的平方σ2(X 0)=B T W -1B 其中：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01111)

x ,x (cov )x ,x (cov )x ,x (cov )x ,x (cov 11)x ,x (cov )x ,x (cov )x ,x (cov 1)x ,x (cov )x ,x (cov )x ,x (cov W k k 1k 1k 1k k 22212k 12111L L L L L L L (6)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1)x ,x (cov )x ,x (cov )x ,x (cov k 0k 0k 0L B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0)()()(21k x Z x Z x Z Y L 其中cov(x 1,x k )为x 1,x k 之间的变异量，因为变异量只与两点之间的相对距离有关，可以得出cov(x 1,x k )＝cov(x k ,x 1)，也即矩阵W 为对称矩阵。

1.3 PRISM插值

PRISM 算法要求在一定的区域内控制气象要素空间变化的主导因子是高程[10]。此算法考

虑了研究区内降雨要素和高程的关系并不是由简单的线性关系本身就能够确切表达的,还考虑了距离、坡向、坡度等的影响,利用气象数据高程梯度变化来计算每个待估点的降雨量，计算公式如下：

))((1

*i i n

i i Z h H G a Z +−×=∑= (7)

式中,Z *为待估降水量；n 为参证站个数；G 为降雨量随高程变化的梯度；a i 为第i 个站点

的权重；H 为待估点的高程；h i 为第i 个参证站的高程；Z i 为第i 个参证站降雨量。

2 参证站选择方法

参证站的选择对插值精度有较大的影响，目前参证站的选择方法有两类：一是固定参证

站数m ，即选择离待估点最近的m 个参证站进行插值；二是固定距离D ，即选择离待估点距离小于D 的站作为参证站。对于雨量站分布密集的地方，选择第一类方法，选择的站离待估点越近，插值效果越好；而对于雨量站分布稀疏的地方，可供选择的参证站离待估点很远，插值效果很难保证。由于雨量站的分布不均匀性，采用固定个数或距离的方式选择参证站不是最优方法，需要采用一种比较灵活的、有弹性的方法。

可以将两种方法结合起来考虑，在参证站选择上，首先考虑离待估点距离小于D 范围内，

离待插值点距离最近的雨量站；其次，所选择的参证站构成的多边形尽量把待估点包含在里面，即内插优先原则。设参证站数大于等于3，若小于3个时直接取最近参证站进行插值。当待估点M 和距离待估点最近的两个参证站A 、B 的位置固定的时候，第3个参证站C 的位置与M 、A 、B 三站点的平面图形有4种情况：⑴参证站C 位于I 区时候，构成的三角形为图1中的b 所示，则有S ΔABC=(S ΔABM+S ΔACM+S ΔBCM)；⑵ 参证站C 位于II 或IV 区时候，构成的三角形为图1中的c 所示；参证站C 位于III 区时候，构成的三角形为图1中的d 所示；参证站C 位于V 区时候，构成的三角形为图1中的e 所示，则都有S ΔABC<(S ΔABM+S ΔACM+S ΔBCM)成立。因此，参证站选择算法如下：

⑴对参证站按与待估点的距离升序排序；