静力学第四章摩擦

（2）求保持平衡的最大拉力F 求保持平衡的最大拉力F 木箱将滑动的条件为 Fs = Fmax = f s FN ∑ Fx = 0 Fs − F cos α = 0 FN − P + F sinα = 0 ∑ Fy = 0
α
F
D
a
C
h
A
P
B
F = 1876 N
a hF cos α − P + FN d = 0 ∑ MA = 0 2 绕A点翻倒的条件为 d = 0 点翻倒的条件为 F
d F Fs N
= 1443 N
保持平衡的最大拉力 F = 1443 N
§4-2 滚动摩阻(rolling resistance) resistance)
刚性约束模型的局限性
FP FT
F FN
根据刚性约束模型，得到 根据刚性约束模型， 不平衡力系， 不平衡力系，即不管力 FT 多么小,都会发生滚动， 多么小,都会发生滚动， 这显然是不正确的。 这显然是不正确的。
(a) FR α +φ +φ Fmax (b)
根据平面汇交力系平衡的几何条件， 根据平面汇交力系平衡的几何条件， 可画得如图b所示的封闭力三角形。 可画得如图b所示的封闭力三角形。 求得水平推力的最大值为
G
Fmax = G tan (α + ϕ )
同样可画得，物块在有向下滑动 同样可画得， 趋势的临界状态时的受力图 c 。
F Fmax Fd O 静止状态
临界状态 运动状态
F FN
FP
摩擦角和自锁
请思考：静止物块受力图能否这样画？ 请思考：静止物块受力图能否这样画？
全约束反力: 全约束反力:
FR = FN + FS
全约束反力F 与法向约束力 全约束反力FR 与法向约束力FN 约束力F 作用线之间的夹角用ϕ 表示。 表示。 F P F Fs FN P Fs FN ϕ FR
3、综合条件（a）和（b），得 综合条件（ ），得 G tan (α − ϕff ) ≤ F ≤ G tan (α + ϕff )
几何法
解： 由图a可见，物块在有向上滑动趋 由图a可见，
势的临界状态时，可将法向约束力 势的临界状态时， 和最大静摩擦力用全约束力 FR 来 代替，这时物块在G，FR ，Fmax三 代替，这时物块在G 个力作用下平衡，受力如图。 个力作用下平衡，受力如图。
例2
物体A 物体A重G = 10 N，放在粗糙的水平固定面上， 放在粗糙的水平固定面上， 它与固定面之间的静摩擦因数f 0.3。 物体A 它与固定面之间的静摩擦因数fs = 0.3。今在 物体A 上施加F 的力， =30° 上施加F = 4 N 的力，α =30°，试求作用在物体上 的摩擦力。 的摩擦力。
Fs − F cos α = 0
FN − P + F sinα = 0
h
A
∑ Fy = 0
∑MA =0
P
B
a hF cos α − P + FN d = 0 2
d F Fs N
Fs − F cos α = 0 FN − P + F sinα = 0 a hF cos α − P + FN d = 0 2 代入h 代入 , a , P , α数据求解得 数据求解得
P
P
P
主动力与法向夹角为15° 故长方块能平衡。 主动力与法向夹角为 °，故长方块能平衡。
考虑摩擦时的平衡问题
两种临界状态 1.滑动 2.翻 倒 2.翻
考虑摩擦时的平衡问题
方法与特点 （1）受力分析时必须考虑接触面的摩擦力。 ）受力分析时必须考虑接触面的摩擦力。 分析临界平衡问题时， 分析临界平衡问题时，必须正确画出最大摩擦 力的方向。为此， 力的方向。为此，常需对物体的运动趋势先作 定性分析 （2）除列平衡方程外，还须列补充方程 ）除列平衡方程外， （3）讨论解的范围 ）
静摩擦力
由平衡条件
—静止状态 W FP
∑F
x
=0
F = Fs＝FP
F FN
最大静摩擦力 —临界状态
F＝F max = fs FN
0 ≤ Fs ≤ Fmax
动摩擦力
F＝Fd= f FN
— 运动状态 W FP
静、动摩擦系数与接触物体 的材料和表面状况有关， 的材料和表面状况有关，可 由实验测定。 由实验测定。 通常 f < f s
y
∑F ∑F
= 0 , FN = P
= 0 , Fmax 1 = Fs max = FN f S
C Mf A FN
F Fs
x
代入数据得F 代入数据得 max1 =1.5(kN) ) M f max FN δ ∑ M A = 0 , Fmax 2 = R = R 代入数据得F 代入数据得 max2 =0.01(kN)
作封闭的力三角形如图 d 所示。 所示。
( c)
α -φ
得水平推力的最小值为
Fmin = G tan (α − ϕ )
综合以上条件，得 综合以上条件，
G
FR
Fmin (d)
G tan (α − ϕf )
≤
F ≤ G tan (α + ϕf )
均质木箱重P=5 kN，其 例4 均质木箱重 ，
与地面间的静摩擦系数 f =0.4 α 图中h=2m , a=1m ,α=30° 图中 ° 求：（1）当D处的拉力 h F=1kN，木箱是否平衡 ，木箱是否平衡? （ 2） 保持木箱平衡的最大拉 ） 力F。 。
Fs = 866 N
α
F
D
a
C
h
A
FN = 4500 N d = 0.17 m
P
B
木箱与地面间最大摩擦力
Fmax = f s FN = 1800 N
d F Fs N
木箱不会滑动； 因 Fs<Fmax ，木箱不会滑动； 木箱不会滑动 木箱不会翻倒。 因 d>0，木箱不会翻倒。木箱保持平衡。 木箱不会翻倒 木箱保持平衡。
滚动摩阻
滚动摩阻
物体平衡时， 物体平衡时，滚阻力偶矩变化范围为 0 ≤ M f ≤ M max
其中 临界平衡状态
M max = FN ⋅ δ
δ—滚动阻碍系数(coefficient of rolling resistance) 滚动阻碍系数(
滚动摩阻系数 δ
材料名称 铸铁与铸铁 木与钢 木与木
第四章 摩 擦
本章重点： 本章重点：
1、摩擦角和自锁 2、考虑摩擦时平衡问题 3、滚动摩阻 、
两个表面粗糙的物体， 滑动摩擦力 — 两个表面粗糙的物体，当 其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动 彼此作用有阻碍相对滑动的阻力。 时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力。
滑动摩擦力方向 — 与相对滑动趋势或
F
D
a
C
P
A B
欲保持木箱平衡，必须满足两个条件： 解:（1）欲保持木箱平衡，必须满足两个条件： 一是滑动摩擦力不大于最大静摩擦力； 一是滑动摩擦力不大于最大静摩擦力； 二是不绕A点翻倒， 二是不绕A点翻倒，则法向约束力的作用 F a 线在木箱内。 线在木箱内。 α C D 取木箱为研究对象
∑ Fx = 0
自锁:主动力作用线位于摩擦
角范围内时，不管主动力多大， 角范围内时，不管主动力多大， 物体都保持平衡的现象。 物体都保持平衡的现象。
长方块重量为P 受与法向夹角为30° 例1 长方块重量为P，受与法向夹角为30°的外 力P 作用，摩擦角为16°。长方块能平衡吗？ 作用，摩擦角为16° 长方块能平衡吗？
对？
对！
摩擦角(angle
of friction) ϕm：ϕ 临界状态时达到的 friction) 临界状态时达到的 ０ ≤ ϕ ≤ ϕ ϕ m = = = fs FN FN
摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数 。 三维受力状态下，变为摩擦锥 三维受力状态下，变为摩擦锥 (cone of static friction) 。 friction)
思考3：用砖夹夹住四块砖， 思考 ：用砖夹夹住四块砖，每块 砖重10N，夹和砖之间静摩擦因数 ， 砖重 为0.7，砖和砖之间静摩擦因数为 ， 0.32，夹子提供的压紧力为30N。 ，夹子提供的压紧力为 。 问：能否提起四块砖？ 能否提起四块砖？
小 结
基本概念： 滑动摩擦、 基本概念： 滑动摩擦、滚动摩阻 基本方法： 几何法、 基本方法： 几何法、解析法 基本技能： 基本技能： 考虑摩擦时的平衡问题分析计算
δ (mm)
0.05 0.3～0.4 ～ 0.5～0.8 ～
材料名称 软钢与软钢 轮胎与路面 淬火钢与淬火钢
δ (mm)
0.05 2～10 ～ 0.01
例5
重P=10kN的滚子，半径R=0.5米，静放在 10kN的滚子 半径R 0.5米 的滚子， 水平面上，滚子和水平面间的fs=0.15,滚 水平面上，滚子和水平面间的f =0.15, 动摩阻系数为δ=0.5mm。 动摩阻系数为δ=0.5mm。 使滚子滑动或滚动的水平力F多大？ 求：使滚子滑动或滚动的水平力F多大？ P 解：分析滚子 临界状态时
∑F
∑F
x
y
= 0, F cos α − Ff − G sin α = 0
= 0, FN − G cos α − F sin α = 0
Ff = −G sin α + F cos α
FN = G cos α + F sin α
0 ≤ Ff ≤ f s FN ,
f s = tan ϕ f
F ≤ G tan (α + ϕ f ) （b）
y
x
联立求解
Ff = G sin α − F cos α
FN = G cos α + F sin α