根轨迹绘制的基本法则
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绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
根轨迹绘制基本准则
1 Kg
① 当 Kg 0 时，只有 s p j ( j 1 ~ n) 时，上式才能成立。
而 p j 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。 n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。
② 当 Kg 时，s zi (i 1 ~ m) ，上式成立。zi 是开环传递函数
i 1
j 1
(2k 1)
nm
, (k
0,1,2...)
sk
z2
p2
z1
p1
z3
p3
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
Thursday, July 25, 2019
18
根轨迹渐进线与实轴的交点
渐近线与实轴的交点
假点设和根极轨点迹到在sk无的限矢远量处长有度一都点相s等k 。，可则以s平认面为上：所对有无开限环远有闭限环零极
[例] 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) K (s 1)
s(Ts 1)
( T 0)
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。
解：将开环传递函数改写成
G(s)
K (s 1)
s(Ts 1)
k(s s(s
1)
1)
T
Thursday, July 25, 2019
其中 k＝ τK
由于根轨迹是当Kg从0变到∞时闭环极点的轨迹，所以根 轨迹的起点是对应于系统参数Kg＝0时特征根在S平面上的位置； 而根轨迹的终点则是对应于Kg＝∞时特征根在S平面上的分布 位置。
Thursday, July 25, 2019
3
证明： 由幅值条件可知：
m
s zi
180根轨迹绘制法则
s(s 2.5)(s 0.5 1.5 j)(s 0.5 1.5 j)
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1
n
z
k
i 1
pi
m
zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2
0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2
Kg
0
Kg
6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
绘制根轨迹的基本法则
虚根。故可在闭环特征方程中令 s = jω ，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得 交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K ∗ 值下处于临 界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的 K ∗ 值。此处的根轨迹
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
增益称为临界根轨迹增益。
例 4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
1221)π n−m
⎨ ⎪
n
m
∑ p j − ∑ zi
⎪σ ⎩
a
=
j =1
i =1
n−m
（ k =0，±1，±2，… n − m − 1）
（4-12）
证明 （1）渐近线的倾角ϕa ：假设在无穷远处有闭环极点 s* ，则 s 平面上所有从开 环零点 zi 和极点 p j 指向 s* 的向量相角都相等，即 ∠(s* − zi ) = ∠(s* − p j ) = ϕa ，代入相角
件式（4-9）改写为
∏ ∏ K * =
n
| (s −
j =1
pj)|
=
s n−m
n
|1−
j =1
pj s
|
m
∏| (s − zi ) |
i =1
∏m | 1 − zi |
i =1
s
(4-11)
可见，当 s = p j 时，K * = 0 ；当 s = zi 时，K * → ∞ ；当| s | → ∞ 且 n ≥ m 时，K * → ∞ 。 法则 2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数 m 、开环
（4-16） （4-17）
于是有
∑ ∑ n
1
m
=
1
j=1 s − p j i=1 s − zi
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
4.2.14.2根轨迹绘制的基本法则学习资料
3条渐近线与正实轴的夹角分别为
a
（2k 1）
30
60, 60, 180,
k 0, 1, 2
画出系统根轨迹的渐近线如图所示。
j j4
j3
j2
180 60
j
4 3 7 3
60 0 j
j2
j3
j4
4.2 根轨迹绘制的基本法则
法则5 根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点） （1）若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹: 该区段必有分离点;若实轴两相邻开环零点之
的值，分离角为 （2k 1） / l
j
b
a
z1 p1
p2 0
4.2 根轨迹绘制的基本法则
例4-3 考虑例4-2中的开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
1 1 1 0 d d 3 d 4
3d 2 14d 12 0
7 13
7 13
d1 3 3.5352 , d2 3 1.1315
根 轨 迹 实 轴 区 段:[3,0 ]
4.2 根轨迹绘制的基本法则
（5）根轨迹的分离点与分离角
根轨迹实轴区段[3,0]必有分离点,
1 1
1
1
0
d d 3 d 2 j d 2 j
d 1.1104（其他不在[3,0]，舍去）
分离角为直角。
（6）根轨迹的起始角
根 轨 迹在 开 环 极 点p1 2 j2的起 始角:
求 得 交 点 坐 标 和 相 应K *值 。
例4-5 已知开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
闭环特征方程：s3 7s2 12s K * 0
方法1：
绘制根轨迹的基本原则
绘制根轨迹的基本原则绘制根轨迹是控制工程中常用的一种方法，它可以帮助我们分析系统的稳定性，相当于一个工程师的眼睛。
根轨迹是由根的轨迹组成的，而系统的根是指其特征方程的根。
特征方程是由系统的传递函数确定的，因此我们可以通过绘制特征方程的根轨迹来分析系统的动态性态。
绘制根轨迹的基本原则有以下几点。
1. 系统根轨迹的数量等于系统特征方程的根的数量。
这是因为每个根对应着系统中一个极点。
2. 根轨迹的起点和终点都在实轴上。
这是因为特征方程的根只有实数或成对的共轭复数根。
3. 根轨迹要从左侧的极点开始。
如果存在多个极点，则从最左侧的极点开始。
如果没有极点，则从传递函数的实轴交点开始。
4. 根轨迹要向右边的极点或者方向稳定，如果两个虚根前后交叉，则会出现不稳定性。
在解决此问题是，需要重新绘制，或者调整参数，使出现前后交叉的根跑到不相交的区域。
5. 当相邻两根的虚部相等时，其插值点在实轴上。
这个时候，由于两个根的插值点处于实轴上，因此根轨迹向这个点的方向发生了变化。
6. 根轨迹需要跨越系统的实轴部分。
无论极点的数量、位置以及根轨迹的线路，都必须穿过右半平面。
7. 根轨迹的末端，必须落到无限远点。
<1>｛1｝</1>因此，通过这几个基本原则，我们可以绘制出系统的根轨迹。
然而，在实际的工程中，我们会遇到许多不同的情况，例如系统传递函数变化、加入控制器等。
这时候，我们需要灵活应对，对基本原则进行微调，以便更好地分析系统的动态特性。
总结来说，根轨迹能够帮助工程师更好地了解控制系统的动态特性，这有助于他们进行有效的控制和优化。
在绘制根轨迹的过程中，需要严格遵循基本原则，同时对特殊情况进行灵活调整。
自动控制_04c根轨迹绘制的基本法则
→
d s( s 1)( s 2)s d 0 ds
d 3 s 3s 2 2s s d 0 ds
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
(3s 2 6s 2)sd 0
从而得
d1 0.422, d 2 1.578
由第4点知 d 2 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可 最后画出根轨迹如图4-9所示。
a1 b1 (1 ) s
→
1 nm
a1 b1 1 ( n m) s
1 1 a1 b1 n a b s(1 ) m s[1 1 1 ] ( K ) nm s (n m) s
→
a1 b1 s K (n m)
1 nm
e
( 2 k 1) j nm
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是 说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
N (s) G ( s) H ( s) K 1 K D( s) ( s pi )
* j 1 n i 1 *
(s z j )
时，可得
( j 1,2,, m) 所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将 在无穷远处。的确，当 s 时，
s zj
K lim
i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
根轨迹绘制的基本原则
上有一分离点：d
1
2
d
1 1
1 j d 1 j
即 d 2 4d 2 0 解得：d 3.414 ，d 0.586 （舍去）
作出该系统的根轨迹如下图所示：
2020/7/10
15
复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分
-3.414 -2
2020/7/10
-1+j
-1-j
16
【法则6】 根轨迹的起始角和终止角
2020/7/10
3
• 【法则2】 根轨迹的分支数与开环零点 数 m、开环极点数 n 中的大者相等，连 续并对称于实轴。
2020/7/10
4
•【法则3】.根轨迹的渐近线：
• 当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角
为 a , 交点为 a 的一组渐近线趋向无穷远处。
根轨迹的渐进线可由下式而定：
4.2 绘制常规根轨迹的法则（不证明）
一般来说，绘制根轨迹时可以选择系统的任意参数作为可 变参数，但实际系统中最常用的可变参数是系统的开环根轨 迹增益 K *，因此以系统开环根轨迹增益为可变参数绘制的跟 轨迹就称为常规根轨迹。
本节讨论绘制常规根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。 熟练地掌握这些法则，可以方便快速地绘制系统的根轨迹。 当然，这些法则同样也适应于系统其他参数作为可变参数时 的情况。
9
【法则5】 根轨迹的分离点与分离角：
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
m
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
分离点
B
z p2 Ap1
实轴上的分离点有以下两个特点: (1) 若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有 根轨迹, 则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极 点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.
根轨迹的绘制法则
第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
绘制根轨迹的基本法则
时，
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
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规则七、 根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的Kr值 利用劳斯判据求出。 根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统 出现虚根。 在例4-2-2中，系统闭环特征方程式为：
1 Kr ( s 5) s ( s 1)( s 2)
1 3 6 2K r 3 5K r
0,
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
同理可证明入射角。
例4-2-3
设系统开环零极点图如图4-7。p
0 0
j
3
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
其中 ( p3 z1 ) 85 , ( p3 p1 ) 135
( p3 p2 ) 45 , ( p3 p4 ) 90
0 0
×●
P3
P2 × ●
n m j j 1 i 1
i
nm
对例4-2-2，渐近线与实轴夹角为：
l 180 n m
180 l 2
( l 1,3,) 90 , 90 ( 270 )
0
0 0
交点坐标为：
1 2 ( 5 ) 2
1 , 即（1，j0）。
j
●
× × ×
﹣2 ﹣1
P3
s0 点为从 p3 出发的根轨迹上一点。
z ( p1 p 2 p 3 p 4 ) 180 l
0
j
×●
z
P3
P1
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
P2
×●
Z1
×
01 P
P2
P2 × ●
p2
z
P4
P1
×
p1
z1
×
出 180 l ( p3 z1 )
p4
[ ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )]
180 ( p3 z1 ) [ ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )]
p2
z
P4
P1
×
p1
z1
根据公式：
m n
×
p4
出x 180 ( p x zi ) ( p x p j )
i 1 j 1 jx
图4-7
出 180 85 135 45 90 5
0 0 0 0 0
考虑到根轨迹的对称性
出射角ψp3= -5°，ψp4= 5°
3 2
2
× × ×
﹣2 ﹣1
0
﹣5
0
1
2 s 18 s 30 s 10 0
解出：
s1 0.447, s2 1.61, s3 6.94
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐 0 180 0 标为（-0.447,j0）处。 求出重根角为: 90
nm
P4
●
当s0一点点趋近p3时，可认为 p 3 为 p 处的出射角 出 。 3
×
P4
l 而ψp1、ψp2、ψp4、ψz都分别趋近于各开环零
极点相对于P3点的向量的相角。
p 3 180 l z ( p1 p 2 p 4 )
0
p3
j
×●
P3
此时，出射角 出可以计算：
Kr
s p
j 1 m
j
sz
i 1
i
0.084
规则八、根轨迹的出射角：
在开环复数极点px处，根轨迹的出射角为：
m n
出x 180 ( p x z i ) ( p x p j )
i 1 j 1 j x
在开环复数零点zy处，根轨迹的入射角为：
G( s) H ( s) K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
一条始于开环极点，止于开环零点，
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
j
●
×
﹣2
×
﹣1
×
0
﹣5
规则五、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为：
l 180
0
nm
n
l 1,3,5..
m j
征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的
闭环特征方程1 G( s ) H ( s ) 1
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
0
s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则二、根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始 于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起始于Kr=0处，终止于Kr=∞处。 观察幅值条件：
对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止 但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 于开环零点，另两条（n-m=2）趋于无穷远处。
根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的， *规则三、 且对称于实轴。
证明：（1）连续性 系统开环根轨迹增益 Kr (实变量）与复变量s有一一
对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系 统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的， 因此，根轨迹是n条连续的曲线。 证明：（2）对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征 方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此, 根轨迹总是对称于实轴的。
规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根 轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和 为奇数。
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 p3和 z1之间的线段是否存 在根轨迹，取实验点 s
0
j
×
p4
1
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。
●
●
﹣5 sபைடு நூலகம் ﹣2 ﹣1
× × ×
0
2
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均 为零， 相角条件由其右边的零极点决定。 奇数个π，无论如何加减组合，总能 使±lπ(l=1,3,…)成立。
×
p5
规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹 的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 对于例题， 在实轴上的根轨迹：
2
0 a' ( s )b( s ) a( s )b' ( s ) 0
0
求出重根角为:
180
nm
注意：求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
在例题4-2-2中，
Kr
G( s) H ( s)
3
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
2
s( s 1)( s 2) ( s 5)
2
s 3s 2s s5
3 2
j
dK r ds
( 3 s 6 s 2)( s 5) ( s 3 s 2 s ) ( s 5)
3 2
2
-0.447 ●
2 s 18 s 30 s 10 ( s 5)
K r 0, 必有 s p j
Kr
s p1 s p2 s pn s z1 s z 2 s z m
G( s) H ( s) K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
j 1,2..., n
K r , 必有 s zi
i 1,2,..., m
[例]
G( s)
K ( s 1.5)( s 2 j )( s 2 j ) s( s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
4
根轨迹起始角
3
p (2h 1) ( p 2 z i ) ( p 2 p j )
－与虚轴的交点
与虚轴的交点为 j 5 。 例4-2-2的根轨迹如图。 1、画出开环零极点 3、画出实轴上的根轨迹 4、求渐进线（n≠m） 5、求分离点 7、画出根轨迹
G( s) H ( s)
K r ( s 5) s( s 1)( s 2)
j
Kr=.084
2、确定根轨迹根数
﹣.447
●
●
﹣5 S 0 ﹣2 ﹣1
× × ×
2
0
×
●
当s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为ψ，可写成：
m n l 180
P5
图4－5
●
进而求出渐近线夹角：
l 180 nm
,
l 1,3,...
渐近线一定交于实轴上，其交点实际 由对称性知， 上相当于零极点的质量重心。 p z 按照重心的求法，可求知交点的坐标
性质： 在此点上必出现重根。
Kr=∞
Kr=∞
Kr=0
Kr=0
利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一分离点。 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零 点）时，必有一会合点。 根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。 分离点－最大值，会合点－最小值。
●
j 5, Kr 3
× × ×
﹣2 ﹣1 0
6、求与虚轴交点
﹣5
1
j 5, Kr 3
8、求出特殊点对应的Kr值
n