2009年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1. 设

，则

（ A ）

A.24.

B. 25.

C..

D.

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（ C ）

A..

B. .

C. .

D. .

3．用表示不大于的最大整数，则方程

的解的个数为 （ C ）

A.1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ B ）

A..

B. .

C. .

D. .

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则si n∠CBE=（ D ）

A..

B. .

C. .

D.

6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是（ B ）

A.3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.

2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______.

3．如果实数满足条件，，则______.

4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有___7__对.

选择题解答：

1. 解：

a=√7-1

a+1=√7

(a+1)²=7

a²+2a+1=7

a³=-2a²+6a代入原式

原式=3(-2a²+6a)+12a²-12

=6a²+18a-12

=6(a+1)²-18

=42-18=24

2. 解：

如图，作∠BAC平分线，AD交BC于D

∠BAD=∠DAC=∠BCA

△ABC △DBA

AB/DB=BC/BA=AC/DA

7/DB=BC/7=8/DA

DB×BC=49

DA×BC=56

DB×BC+DA×BC=105

BC×(DB+DA)=105

又∠C=∠DAC

DA=DC

BC×(DB+DC)=105

BC²=105

BC=√(105)

3. 解：

x²-2[x]-3=0

[x]=((x²-3)/2)≤x ([x]表示不大于X的最大整数) (1)

x²-2x-3≤0

(x-3)(x+1)≤0

即：-1 ≤ x ≤3

由[x]≤x 可得，[x]的可能取值为 -1, 0, 1, 2, 3

当[x]=-1 代入（1）式，解得X=±1, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=-1或[x]=1，x=-1有一个解；

当[x]=0 代入（1）式，解得X=±√3, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=1或[x]=-2，产生矛盾，x无解；

当[x]=1 代入（1）式，解得X=±√5, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=2或[x]=-3，产生矛盾，x无解；

当[x]=2 代入（1）式，解得X=±√7, 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=2或[x]=-3，x=√7有一个解；

当[x]=3 代入（1）式，解得X=±√(11), 根据[x]表示不大于X的最大整数，则[x]=3或[x]=-4，x=√(11)有一个解；

综上，满足条件的方程的解有3个。

4. 解：

由A,B,C,D,O为顶点构成的三角形只有形如△OAB和△ABC两种，每种4个。

取中两个形如△OAB的三角形概率为：4/8×3/7=3/14

取中两个形如△ABC的三角形概率为：4/8×3/7=3/14取中面积相等的两个三角形的概率为2×3/14=3/7

5. 解：

取BC中点为o，也是半圆的圆心；

连接OA，则OA=√(AB²+OB²)=√(10)

连接OE，则OE⊥AE（过切点和圆心直线垂直于切线）

因为OB=OE, △OAB≅△OAB, 所以，∠AEB=∠ABE

连接EC，则∠BEC=90⁰（直径对应的圆周角为直角）

∠AEB=∠ECB（切线的弦切角等于圆周角）

所以，∠CBE=∠OAB

sin∠CBE=sin∠CBE=OB/OA=1/√10=√10/10

6. 解：

设m=2009-n，代入原式分母

则n=2009-m，代入原式分子，得

原式=(100-m)/m=(100/m) -1

满足题意能被100整除的m可能取值有1，2，4，5，10，20，25，50 依次代入求得

原式=99，49，24，19，9，4，3， 1

其中有4个完全平方数：49，9，4，1

二、填空题

1. 解：

a,b是方程的两个非负根，a≥0,b≥0

a+b=2

a⋅b=t-1

(a²-1)(b²-1)=(a+1)(a-1)(b-1)(b+1)

=(a+1)(b+1)(a-1)(b-1)

=(ab+a+b+1)(ab-a-b+1)

=(t-1+2+1)(t-1-2+1)

=(t+2)(t-2)

=t²-4

由于a⋅b=t-1≥0

t≥1