材料力学课件第七章弯曲变形

Pa2 M 2a 2EI EI
0
P
A C
a
M
B
a
P
A
C
B
M Pa 4
M
ALeabharlann Baidu
C
B
20第21/七3/7 章 弯曲变形
26
例7: 求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。
q
静定梁或刚架的任一横
A
C B
l
a
截面的总位移，等于各 梁段单独变形 (其余梁段 刚化)在该截面引起的位
q
移的代数和或矢量和
A
C
B
l
20第21/七3/7 章 弯曲变形
仅考虑 BC 段变形：
C1
Fa2 2EI1
()
vC1
Fa3 3EI1
()
仅考虑 AB 段变形：
B
BF
BM
Fa2 2EI2
Fa2 EI2
3Fa2 2EI2
()
vB
vBF
vBM
Fa3 3EI2
Fa3 2EI2
5Fa3 6EI2
()
31
I2
I1
F
A
B
C
F
A
C
B
F
A
BA
相当系统： q
A
20第21/七3/7 章 弯曲变形
MA
BA
FB
B B
B
42
例12：求图示梁的支反力。
解： 1. 解除多余约束，
建立相当系统。
A
2. 建立变形协调条件
vB 0
3. 联立求解
A
vB
vBq
vBF
FBl 3 3EI
ql 4 8EI
0
FB
3 8
ql
20第21/七3/7 章 弯曲变形
M Fa
B
F
20第21/七3/7 章 弯曲变形
C1
Fa2 2EI1
()
vC1
Fa3 3EI1
()
B
BF
BM
Fa2 2EI2
Fa2 EI2
3Fa2 2EI2
()
vB
vBF
vBM
Fa3 3EI2
Fa3 2EI2
5Fa3 6EI2
()
C
B
C
5Fa2 4EI1
()
vC
vC1
B
a
2Fa3 EI1
()
q
A
B
l
20第21/七3/7 章 弯曲变形
13
解：
M (x) ql x q x2 22
EIv ql x q x2
y
22
q
EIv ql x2 q x3 C
A
x
46
l
EIv ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件： x 0时，v 0 x l时，v 0
得：
C ql 3 , 24
()
C
(1) C
(2) C
qa3 48EI
()
35
二、梁的刚度计算
刚度条件：
vmax [v]
max [ ]
[v]、[ ] 是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正
常工作时的要求。
20第21/七3/7 章 弯曲变形
36
例11：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，
vC1
2 384EI
()
20第21/七3/7 章 弯曲变形
q/2
A C
a
a
反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点)
34
q/2
A C
a
a
反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点)
C2
1 qa3 2 24EI
qa3 48EI
q/2
C
a
20第21/七3/7 章 弯曲变形
vC
v (1) C
v(2) C
5qa3 48EI
C2
B
qa 2l 6EI
()
C C1 C2 vC vC1 B a
28
么么么么方面
• Sds绝对是假的
第七章 弯曲变形
例8：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，C。
I2
I1
F
A
B
C
20第21/七3/7 章 弯曲变形
30
I2
I1
F
A
B
C
刚化AB段：
F
A
C
B
刚化BC段：
F
M Fa
B
F
32
对称性在变形分析中的应用
例9：已知 E 为常数，I2=2I1，求 WC，B。
F
A I1
I2
I1 B
A
B
E CF C
A
B
EC F
A
B
EC F
20第21/七3/7 章 弯曲变形
wC
C
I2 F
I1 B
F/2
33
例10：利用对称性求下面梁中点挠度与转角
q
A
B
C
a
a
q/2
A
B
C
a
a
对称, 转角为0
5( q )(2a)4
20第21/七3/7 章 弯曲变形
2
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。
F
20第21/七3/7 章 弯曲变形
F
3
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
P
P
20第21/七3/7 章 弯曲变形
4
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
F
A
B
E
C
D
边界条件：
固定端: vA 0, A 0
自由端：无位移边界条件
可动铰:
连续条件：
wC左 0, wC右 0
左 C
C右
wB左 wB右 , wE左 wE右
20第21/七3/7 章 弯曲变形
左 E
右 E
vC 0
12
例2：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷q
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和 vmax。
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
20第21/七3/7 章 弯曲变形
39
相当系统
A
相当系统：受力与原静不
q
定梁相同的静定梁，相当
A
B
系统的选择不是唯一的。
相当系统1 相当系统2
q
A
B
FB
MA
A
B
20第21/七3/7 章 弯曲变形
40
总结：分析方法与分析步骤
方法：
解除多余约束，代之以支反力； 分析相当系统，使多余约束点处满足位移边界条件
第7章 弯曲变形
※ 工程问题中的弯曲变形 ※ 挠曲线的近似微分方程 ※ 用积分法求弯曲变形 ※ 用叠加法求弯曲变形 ※ 简单静不定梁 ※ 提高弯曲刚度的措施
20第21/七3/7 章 弯曲变形
1
§7-1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。
M x
EI
小变形时： v2 1
d2v M x
dx2 EI
正负号确定——确定坐标系: v 向上为正, 逆时针为正.
v
x
M 0, v 0
20第21/七3/7 章 弯曲变形
v
x
M 0, v 0
9
§7-3 用积分法求弯曲变形
EIv M (x)
EIv M (x) dx C
EIv M (x)dxdx Cx D
步骤：
1、 判断静不定度（确定多余约束数）； 2 、解除多余约束，建立相当系统； 3 、列出多余约束处的变形协调条件(位移边界条件)； 4、 结合平衡方程，求多余支反力。
F 静定基相当系统不唯一，一般选择求解起来最简单的一种。
20第21/七3/7 章 弯曲变形
41
静定基与相当系统的选取： q
A
静定基:
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
20第21/七3/7 章 弯曲变形
10
边界条件：梁截面的已知位移条件
v0
v0
v0
0
连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
F
A B
M
D
C
$ 挠曲线在B、C点连续且光滑
连续: v左 v右
光滑: 左 右
20第21/七3/7 章 弯曲变形
11
例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
a
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
视BC为悬臂梁)
vC1
ql 4 8EI
()
C1
ql 3 6EI
()
20第21/七3/7 章 弯曲变形
27
q
A
C B
l
a
q
A
C
B
l
a
qa
qa2/2
A
C
B
l
a
20第21/七3/7 章 弯曲变形
vC1
ql 4 8EI
()
C1
ql 3 6EI
()
仅考虑AB段变形(刚化BC)
由边界条件： x 0 时，v 0,v 0
得： C D 0
20第21/七3/7 章 弯曲变形
16
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px (x 2l)
2EI v Px2 (x 3l)
6EI
y
A
x l
最大转角和最大挠度分别为：
20第21/七3/7 章 弯曲变形
max
B
Pl 2 2EI
q
B
q
B
FB
43
解2：1. 解除多余约束，
48EI
y
A
x
l 2
P
C
l 2
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
Pl 2 16EI
20第21/七3/7 章 弯曲变形
vmax
v
x l 2
Pl3 48EI
B
x
20
画挠曲线的大致形状
q qa2
A
B
C
Q
D
a
a
a
M
d2v dx2
M x
EI
F 根据弯矩图定凹凸性， F 弯矩图过零点处为拐点， F 支座限定支座处的位移。
vmax
vB
Pl3 3EI
P
B
x
17
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力 P 作用
下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax 。
y
A
x
l 2
P
B
C
x
l 2
20第21/七3/7 章 弯曲变形
18
解：AC段:
M (x) P x 2
EIv P x 2
EIv P x2 C 4
[P] 7.11kN
max
M max Wz
Pl 4Wz
60MPa [ ]
因此满足强度要求
20第21/七3/7 章 弯曲变形
38
§7-5 用变形比较法解静不定梁
静不定度与多余约束
q(x) M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数
多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束
EIv P x3 Cx D 12
y
A
x
l 2
P
B
C
x
l 2
由边界条件： x 0 时，v 0
得： D 0
由对称条件： x l 时，v 0 2
20第21/七3/7 章 弯曲变形
Pl 2 得： C
16
19
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4x2 l2)
16EI v Px (4x2 3l 2 )
ml 2 ) 16EI
20第21/七3/7 章 弯曲变形
24
P
A
C
B
l
l
2
2
q
A
C
B
M
A
C
B
20第21/七3/7 章 弯曲变形
AP
Pl2 16EI
Aq
ql 3 24EI
AM
ml 3EI
A AP Aq AM
25
例6：若图示梁B 端的转角 B=0，则力偶矩 M 等于多少？
解：
B BP BM
6
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x
v(x) B
l
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线
F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程 v f (x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小 —— θ tanθ df(x) dx
20第21/七3/7 章 弯曲变形
7
§7-2 梁挠曲线的近似微分方程
20第21/七3/7 章 弯曲变形
B
x
15
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。
解： M (x) P(l x)
y
P
EIv P(l x) EIv P x2 plx C
2
A
x l
B
x
EIv P x3 Pl x2 Cx D 62
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
20第21/七3/7 章 弯曲变形
5
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x
v(x) B
l
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v
2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
20第21/七3/7 章 弯曲变形
中性层曲率表示的弯曲变形公式
1 M （纯弯） ρ EI
1 M (x) （推广到非纯弯）
(x) EI
由高等数学知识
1
(x)
v( x) 1 [v(x)]2
3
2
挠曲轴微分方程
20第21/七3/7 章 弯曲变形
v(x)
1 [v(x)]2
3
2
M x
EI
8
方程简化
v(x)
1 [v(x)]2
32
[ v ]= l／500，E=200GPa，[]=100MPa。试根据梁的刚度条
件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
P
A
C
B
l
l
2
2
I20a z
20第21/七3/7 章 弯曲变形
CL9TU40 37
解：由刚度条件:
vmax
Pl 3 48EI
[v]
l 500
P
48EI 500l 2
7.11kN
20第21/七3/7 章 弯曲变形
D0
B
x
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梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
y
24EI
q
v qx (2lx 2 x 3 l 3 )
A
x
24 EI
l
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql 3 24 EI
v max
v
x l 2
5ql 4 384 EI
20第21/七3/7 章 弯曲变形
22
P
例5：用叠加法求 vC、A、 B 。
M
q
A
C
B
l
l
2
2
20第21/七3/7 章 弯曲变形
23
P
A
C
B
l
l
2
2
q
A
C
B
M
A
C
B
vCP
Pl3 48EI
vCq
5ql 4 384EI
vCM
ml 2 16EI
vC
vCP
vCq
vCM
( Pl3 48EI
5ql 4 384EI
大致形状
3qa
4
+
_ qa
4
3qa 2
4
qa 2
+
32
qa 2 4
直线
凹
凹
凸
20第21/七3/7 章 弯曲变形
21
§7-4 用叠加法求弯曲变形
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它 所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形 是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在 某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下 的变形，然后叠加。