椭圆焦半径公式及应用

合集下载

焦半径三部曲

以椭圆为例证明，由焦半径公式可得
上述公式具体有统一性。椭圆、双曲线和抛物线均适合，抛物线的离心率，若定义∠PFO=θ，焦点在 x轴y轴公式均适合。
• 焦半径三部曲（坐标式、角度式和定比模型）今天就全部完成了。
• 基本上所有焦半径的题型都可以用这三个切入点做出来，遇到坐标用坐标式，遇到直线用斜率式，遇到比值用定比模型。
如果在解答题上用公式，需要写上述的证明，其实证明也就的记忆规律：同正异负.即当P与F位于y 轴的同侧时取正，否则取负. 取∠PFO=θ，无需讨论焦点位置，上述公式均适合。
三、抛物线焦半径（角度式）
圆锥曲线焦半径三部曲——定比模型
• 所以，任何二级结论要先熟练掌握它的推导过程，而不是只停留在像背诵英文单词一样把它背下来。
• 表象都是结论，背后全是推导。
三、抛物线焦半径
圆锥曲线焦半径三部曲——角度式
• 一、椭圆焦半径（角度式）
注：上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点,O 为圆点.主要优点为焦点在左右上下均适合，无需再单独讨论。若将角度统一为直线的倾斜角，需要讨论焦点位置，为记忆公式方便全文角度统一为∠PFO=θ。
• 关于这些焦半径二级结论我还有话要说。
• 二级结论是指在平时的教学中，由教材中原有的公式、概念和定义进行归纳推导得出的在一定条件下成立的结论。
• 确实记住了这些二级结论针对一些特有的题型能不假思索，快速做出答案。
• 但是 • 高考命题的专家不是白吃干饭的，为体现高考的
公平，命题组肯定会绞尽脑汁考察三基。若过度依赖二级结论，思维容易僵化，遇到一些似是而非的题目时往往乱套结论，同时二级结论往往都有一定的条件限制，用的越爽限制条件往往越大。

椭圆和双曲线的焦半径公式

椭圆和双曲线的焦半径公式椭圆和双曲线的焦半径公式是数学中的重要公式，它们可以用来计算椭圆和双曲线的焦点到中心的距离。

下面我们来详细介绍这两个公式的推导过程。

一、椭圆的焦半径公式椭圆是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，长轴长度为2a，短轴长度为2b。

则椭圆的焦半径公式为：r = √(a^2 - b^2)其中，r表示椭圆的焦半径。

推导过程如下：1. 根据椭圆的定义，可以得到以下两个方程：PF1 + PF2 = 2aPF1PF2 = 4b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

2. 将PF1和PF2表示成坐标形式，设点P的坐标为(x,y)，焦点F1的坐标为(-c,0)，焦点F2的坐标为(c,0)（其中，c为椭圆的离心率），则有：PF1 = √[(x + c)^2 + y^2]PF2 = √[(x - c)^2 + y^2]3. 将PF1和PF2代入第一个方程中，得到：√[(x + c)^2 + y^2] + √[(x - c)^2 + y^2] = 2a4. 对上式两边平方，化简得：x^2 + y^2 = a^2 - c^25. 将c表示成a和b的形式，即c = √(a^2 - b^2)，代入上式中，得到：x^2 + y^2 = b^2这是一个标准的椭圆方程，中心在原点，长轴为2b，短轴为2a。

6. 由于椭圆的焦半径r等于焦点到中心的距离，因此有：r = √(c^2 + b^2) = √(a^2 - b^2)这就是椭圆的焦半径公式。

二、双曲线的焦半径公式双曲线是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之差等于常数的点的集合。

设双曲线的两个焦点分别为F1和F2，中心为O，焦距为2c。

则双曲线的焦半径公式为：r = √(c^2 + b^2)其中，b表示双曲线的半轴长度。

推导过程如下：1. 根据双曲线的定义，可以得到以下两个方程：PF1 - PF2 = 2aPF1PF2 = -b^2其中，PF1和PF2分别表示点P到焦点F1和F2的距离。

焦点在y轴的椭圆焦半径公式

焦点在y轴的椭圆焦半径公式焦点在y轴的椭圆焦半径公式是解决椭圆的一种基本方法，在许多数学领域都有广泛应用，特别是在物理、工程及天文等学科中，常常需要研究物体的运动轨迹。

因此，掌握焦点在y轴的椭圆焦半径公式极为重要。

1. 椭圆的基本定义想要理解焦点在y轴的椭圆焦半径公式，首先需要明确什么是椭圆。

椭圆是平面内到两个不同点F1和F2的距离之和恒定的点P所形成的集合。

这两个点称为椭圆的焦点，它们都在椭圆的长轴上，距离为2c，长轴的长度为2a。

椭圆的焦半径定义为P点到两个焦点中任意一个焦点的距离，记为r。

可以利用椭圆的基本性质得出，对于任意椭圆，两个焦点与中心点C满足以下关系：F1C + F2C = 2a2. 焦点在y轴的椭圆焦半径公式当椭圆的焦点在y轴上时，它的方程可以表示为：b^2(x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2b^2其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。

此时，椭圆的两个焦点分别为F1(0, c)和F2(0, -c)，其中c为焦距。

通过利用椭圆的基本性质，可以计算出焦点在y轴的椭圆焦半径公式：r^2 = (x - h)^2 + (y - k + c)^2其中，h、k、c分别是椭圆的中心坐标和焦距。

这个公式说明了，任意一点P(x, y)到椭圆的焦点F1(0, c)的距离为：r1 = √((x - h)^2 + (y - k + c)^2)同样的，任意一点P(x, y)到椭圆的焦点F2(0, -c)的距离为：r2 = √((x - h)^2 + (y - k - c)^2)综上所述，焦点在y轴的椭圆焦半径公式的意义在于，它能够计算出椭圆上任一点到椭圆的焦点的距离，从而可以推导出椭圆各个点的运动轨迹和速度等参数。

2. 焦半径在数学和物理中的应用焦点在y轴的椭圆焦半径公式在物理和工程领域有广泛的应用，这些应用包括但不限于：- 天体运动：利用椭圆的焦半径公式，可以计算出行星等天体的远地点和近地点，以及其运动轨迹。

椭圆焦半径公式的证明及巧用

椭圆焦半径公式的证明及巧用
一、椭圆焦半径公式的证明
设椭圆的两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，中心点为
O(0,0)，则椭圆的参数方程为：
x=a*cosθ
y=b*sinθ
其中，θ为椭圆上任意一点P的极角，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。

将P的坐标代入椭圆焦半径的定义式，得到：c=(F1P+F2P)/2
c=[(-c-x)²+y²+(c-x)²+y²]½/2
c=[2a²-2x²]½/2
将x=a*cosθ代入上式，得到：
c=[2a²-2a²cos²θ]½/2
c=a(1-cos²θ)½
c=a*sinθ
因此，椭圆焦半径的公式为c=a*sinθ。

二、椭圆焦半径公式的巧用
1.焦距的计算
在光学中，焦距是指光线从远处垂直射入透镜后汇聚到的点与透镜的距离。

对于一个椭圆形的反射器或折射器，其焦距可以通过椭圆焦半径公式计算得到。

2.卫星轨道的计算
卫星轨道是指卫星绕地球或其他天体运行的路径。

对于一个地球同步轨道，其轨道形状为椭圆，可以通过椭圆焦半径公式计算出卫星与地球的距离。

3.椭圆的绘制
在计算机图形学中，椭圆的绘制是一个常见的问题。

通过椭圆焦半径公式，可以计算出椭圆上每个点的坐标，并将其绘制出来。

坐标表示的焦半径公式

一．坐标表示的焦半径公式1、椭圆（一类）由代入整理得,同理，可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助,显然总有符合椭圆定义。

公式常见应用：（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a—c（2）椭圆上三点A，B,C，若成等差数列,则到同一个焦点的焦半径也成等差数列.（3）定义直线为椭圆的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点P（x,y）到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.2。

双曲线由代入整理得,由双曲线上点,若点P在右支上，同理,。

总有.若点P在左支上，同理，.总有.公示的应用：（1）若双曲线上同一支上的三点A,B，C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列.（2)定义直线为双曲线的左右准线.由焦半径公式，双曲线上任意一点P(x,y）到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.3。

抛物线公式的应用：抛物线上三点A，B，C,若，则.二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式1、统一定义:平面上到定点F与定直线l 距离之比等于常数e的点轨迹。

若0〈e〈1,轨迹为椭圆。

若e=1，则轨迹为抛物线.若e〉1，则轨迹为双曲线.2.方向角焦半径公式(1）方向角定义如图:将Fx当始边，FM当终边所成角定义为点M的方向角.方向角范围将焦准距离统一表示为P。

对于椭圆，双曲线（要求记忆)（2）公式:e：离心率，对于椭圆,双曲线，.(3）公式的应用：焦点弦长公式说明：（1）焦点弦长公式中,方向角以平方形式出现，不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴夹角:.（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立.（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上.(4）对于抛物线，∵e=1 ，。

为焦点弦与对称轴夹角.（5)通径：垂直对称轴的焦点弦称通径,在,令得通径的统一表示2eP。

对于椭圆,双曲线：；对于抛物线：2eP=2P。

椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用
椭圆焦半径是椭圆所具有的重要特性之一，它影响并决定了椭圆的形状及大小。

椭圆焦半径公式是椭圆圆周长关于圆心角的函数，可由数学的角度上描述，通常用
L表示圆周长，用2a表示椭圆的长轴，用2b表示椭圆的短轴，用θ表示圆心角，当θ=π时，椭圆周长L即椭圆的长轴2a，而当θ=2π时，椭圆周长L即椭圆的
短轴2b，综上所述，解得椭圆焦半径公式可用下式表示：
$f=\frac{2b^2+2a^2\theta}{4a\theta}$
椭圆焦半径具有重要的工程应用。

例如在电波无线系统中，对于传播衰减，若
能够将天线的辐射模式准确推导，即可准确计算传播衰减误差。

实际中，一般考虑一个圆柱上海具有椭圆形状的发射电子，椭圆焦半径与其发射电子的空间定位有关，也就是说，把椭圆焦半径计算准确，就可以精确推导出发射电子的空间定位，从而推导出从发射端到接收端的信号衰减。

同时，椭圆焦半径还有其他的计算用途，例如在求解受力问题时，当定义椭圆
轴的方向与弯矩（梁的轴向）方向准一致时，椭圆梁的应力通常可以由非定常元素法直接求解，而其中也需要用到椭圆焦半径公式。

此外，研究特殊有限元分析时，椭圆焦半径公式也多次被采用，从而便于精确的求解出有关问题的结果。

综而言之，椭圆焦半径公式求解计算椭圆的形状及大小，具有重要的工程应用，受力分析、有限元分析等多个应用领域都会充分使用到它的方便之处。

焦半径公式的三角形式及其应用

焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设21,F F 是曲线的左、右焦点，点),(00y x P 在曲线上，记11PF r =、22PF r =为左、右焦半径。

则在椭圆中：0201,ex a r ex a r -=+=；在双曲线中：a ex r a ex r -=+=0201,；在抛物线)0(22>=p px y 中：20p x r +=。

若焦点在y 轴上时，则把相应的0x 改为0y 即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为θ，则 (1)|PF 1|＝a ＋ccosθ； (2)|PF 2|＝a －ccosθ．证明：∵ 椭圆的离心角为θ，由椭圆参数方程知点P 的横坐标为acosθ，依焦半径的代数形式知：|PF 1|＝a ＋ex p ＝a ＋ea·cosθ＝a ＋c·cosθ,|PF 2|＝a －ex p ＝a －c·cosθ．例1. F 1、F 2是椭圆＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是______，最小值是_________． (1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为θ，又知a ＝2，c 2＝3，由定理1得 |PF 1|c·|PF 2|＝a 2－c 2cos 2θ＝4－3cos 2θ∵ 0≤cos 2θ≤1 故知 |PF 1|c·|PF 2|max ＝4－3·0＝4 |PF 1|·|PF 2|min ＝4－3·1＝1例2. 椭圆的左右焦点为F 1、F 2，试问此椭圆的离心率e 在什么值范围内，椭圆上恒存在点P，使得PF1⊥PF2。

解：设椭圆方程为b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)，离心角为θ，依题设、定理1及勾股定理得(2c)2＝(a－ccosθ)2＋(a＋ccosθ)2化简得cos2θ＝．∵0≤cos2θ≤1，∴0≤2－≤1，结合0＜e＜1得≤e＜1为所求。

椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用椭圆焦半径公式是指椭圆的焦半径与椭圆的长半轴、短半轴以及离心率之间的关系。

在数学中，椭圆通常由两个焦点和一个常数和直线之间的距离之和等于该常数的所有点组成。

椭圆在很多领域都有广泛的应用，如工程、天文学和天体力学等。

首先，椭圆焦半径公式可以由椭圆的离心率和长短半轴表示。

对于一个椭圆，焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的距离。

椭圆的离心率e定义为焦距与长半轴之比。

则椭圆的焦半径r与长半轴a、离心率e和椭圆上一点到焦点的距离d的关系可以用以下公式表示：r = a(1 - e^2) / (1 - e cosθ)其中，θ是椭圆上一点与焦点和长轴之间的夹角。

1.天文学和天体力学：椭圆是描述行星和卫星轨道的基本几何形状之一、在天文学中，椭圆焦半径公式被用来计算行星和卫星的轨道参数，如半长轴和离心率。

2.工程学：椭圆的焦半径公式在光学工程、雷达系统和卫星通信等领域中有广泛的应用。

例如，在光学镜头设计中，椭圆形镜头可以用来纠正成像系统的畸变。

椭圆焦半径公式可以帮助工程师计算并优化这些镜头的参数。

3.生物医学：椭圆形病灶在医学图像处理和治疗中有重要的应用。

通过计算病灶的焦半径，医生可以确定其位置和大小，从而辅助临床诊断和治疗。

4.地理学和测绘学：在地理信息系统（GIS）和测量领域，椭圆形地球模型常用于地球表面的测量和分析。

椭圆焦半径公式可以用来计算地球上不同点之间的距离和方位。

总之，椭圆焦半径公式是椭圆几何性质的重要描述之一、它在不同领域的应用可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

无论是天体轨道计算、工程设计、医学诊断还是地理测量，椭圆焦半径公式都具有重要的地位和实用性。

在今后的研究和实践中，我们可以继续挖掘和应用椭圆焦半径公式的潜力，为人类的进步和发展做出更多的贡献。

椭圆的另一个焦半径公式及其应用_王健

=
2
4 －
槡2 cos2
θ
．
[ （ 3）不妨设直线 AB 的倾斜角为 α ∈ 0，
)π
2
．因 AB ⊥ DE，则直线 CD 的倾斜角为 α +
π 2
．
由椭圆焦点弦公式，知
AB
=
a2
2ab2 － c2 cos2
， α
( ) DE =
2ab2
a2 － c2 cos2
α
+
π 2
=
a2
2 －
ab2 c2 sin2
对第 ② 问，由平面几何知识相似比可知，
用 AF1 、BF2 分别把 PF1 、PF 2 表示出来，从而只要引入变量 AF1 倾斜角，运用椭圆焦半径公
式，即可迅速求证．
解
（ 1）
x2 2
+ y2
= 1．（过程略）
（ 2） ① 设直线 AF1 的倾斜角为 α，因 BF2
∥ AF1 故直线 BF2 的倾斜角也为 α，由椭圆焦
； θ
（ 3）过点 F 1 （－ 2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆 C 于 A，B 和 D，E，求 AB + DE
的最小值．
·14·
分析本题常见思路是设直线斜率为 k，
把直线方程与椭圆方程联立，用韦达定理和
弦长公式，求出 AB、DE 的长，构建关于 k 函数，
[ ) 的倾斜角为 α ∈ 0，π2 ，则直线 PQ 的倾斜
角为 α
+
π 2
．
由推论
2，知
MN
=
a2
2 －
ab2 c2 si
n2

圆锥曲线焦半径公式及其应用(学生版)

圆锥曲线焦半径公式及其应用一、坐标形式的焦半径公式1.椭圆的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点，21,F F 是其左右焦点，则=1PF ，=2PF ，记忆方式：（2）设点),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 上任意一点，21,F F 是其下上焦点，则=1PF ，=2PF ，记忆方式：2.双曲线的坐标形式的焦半径公式（1）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点，21,F F 是其左、右焦点，则①当点P 在右支上时，=1PF ，=2PF ，②当点P 在左支上时，=1PF ，=2PF ，记忆方式：（2）设点),(00y x P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 上任意一点，21,F F 是其下、上焦点，则①当点P 在上支上时，=1PF ，=2PF ，②当点P 在下支上时，=1PF ，=2PF ，记忆方式：（3）若弦AB 过左焦点，则=AB ；若弦AB 过右焦点，则=AB 3.抛物线的坐标形式的焦半径公式（1）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF （2）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p px y 上任意一点，F 为其焦点，则=PF （3）设),(00y x P 是抛物线)0(22>=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF （4）设),(00y x P 是抛物线)0(22>-=p py x 上任意一点，F 为其焦点，则=PF 例1.（2021年新高考Ⅰ卷）已知21,F F 是椭圆C ：14922=+y x 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6例2.（2019年全国Ⅲ卷理）设21,F F 为椭圆C ：1203622=+y x 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则点M 的坐标为例3.点),(00y x P 为双曲线C ：132422=-y x 的右支上一点，若点P 到右焦点的距离等于02x ，则=0x例4.双曲线116922=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到x轴的距离为例5.（2011年辽宁卷）已知F 是抛物线x y =2的焦点，B A ,是该抛物线上两点，3=+BF AF ，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A.43 B.1C.45 D.47例8.（2013年全国Ⅱ卷）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的方程为（）A.x y 42=或x y 82= B.x y 22=或x y 82=C.x y 42=或xy 162= D.x y 22=或xy 162=注：以抛物线的焦半径为直径的圆与y 轴相切二、角度形式的焦半径公式1.椭圆的角度形式的焦半径公式（1）设过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF ；=BF ；焦点弦长=AB ；（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的焦点F 的弦AB 的倾斜角为θ，则=AF ；=BF ；焦点弦长=AB ；2.双曲线的角度形式的焦半径公式设过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右焦点)0,(c F 的弦AB 的倾斜角为α，渐近线xa b y ±=的倾斜角为θ，则（1）当θπαθ-<<时，焦点弦AB 在右支上，=AF ；=BF ；=AB ，弦AB 在双曲线一支上时，焦点弦最短为（2）当θα<≤0或παθπ<<-焦点弦AB 在两支上，=AF ；=BF ；=AB ，弦AB 交双曲线两支上时，焦点弦最短为3.抛物线的角度形式的焦半径公式（1）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点，则=AF ；=BF ；=AB （2）设过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线)0(22>=p py x 于B A ,两点，则=AF ；=BF ；=AB 例1.如图，设过椭圆13422=+y x 的右焦点F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则=ABMF例2.如图，过椭圆13422=+y x 的左焦点F 任作一直线交椭圆于B A ,两点，若=+BF AF BF AF λ，则=λ例2.已知椭圆12322=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥，则四边形ABCD 的面积的最小值为例3.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于B A ,两点，若a AB 2=，双曲线的离心率为e ，则[]=e 例4.已知双曲线191622=-y x 的左焦点弦交双曲线左支于B A ,两点，且772=AB ，求直线AB 的方程例5.已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则DE AB +的最小值为三、焦半径定比模型（1）设AB 为焦点在x 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θcos e ；=e （2）设AB 为焦点在y 轴上的圆锥曲线的过焦点F 的弦，AB 的倾斜角为θ，斜率为k ，且FB AF λ=，则=θsin e ；=e 例1.（2010年辽宁理科）设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为060，FB AF 2=，则椭圆的离心率为例2.（2010年全国Ⅰ卷）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D ，FD BF 2=，则C 的离心率为例3.（2010年全国Ⅱ卷）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与C 相交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A.1B.2C.3D.2例4.（2014年全国Ⅱ卷理）设21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，若直线MN 在y 轴上的截距为2，且N F MN 15=，则椭圆C 的方程为。

椭圆焦半径公式及应用(1)

本文链接：/Periodical_zxsslh-geb200711015.aspx 授权使用：大连外国语学院(dlwgyxy)，授权号：ffbd7725-ac86-45a4-9d89-9e620175bd94 下载时间：2011年1月5日
万方数据
陛人生如弹簧，困难越大你越强＇先压缩而后发力。－－Ｗｗ２００８１２２＠１２６．ｃｏｒｎ
椭圆焦半径公式及应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：任岭云
中学生数理化(高二版) MATHS PHYSICS & CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(MIDDLE SCHOOL EDITION) 2007，""(11) 0次
露
黧
知Ｐ、Ｆ，、Ｆｚ是一个直角三角形的三个顶点，且ＩＰＦ。ｆ＞ｊ的值．
ＰＦ。ｆ，求器｝
鬻
擎
生数理化
解：由椭圆方程可知“一３，ｂ一２，并求得ｃ一万，离心率ｅ一半．
由椭圆的对称性，不妨设Ｐ（ｚ。，帅）（ｚ。＞０，帅＞０）是椭圆上的一点，则由题意知ＩＰＦ，Ｉ应为左焦半径，ＪＰＦ。Ｉ应为右焦半径．
ｌ—ｄ。・ｅ一
侧，
椭圆煮＋等一１上三个不同的点Ａ（ｚ，，ｙ。）、１３（４，詈）、Ｃ（ｘ。，
解：在已知椭圆中，右准线方程为ｚ—百２５，设Ａ、Ｂ、ｃ到右准线的距离
为矗，、ｄ：、ｄ。，则ｄ。一莩一ｚ。、ｄ。一莩一４、ｄ。一莩一ｚ。．
蹦利、所蛸勰舸舭
万方数据
一…。…。一妙倒
辫毵—黑霸譬爹ｊ
妒
．。：
２唧嘲，期
由焦半径公式，得｝ＰＦ，｛一３＋华ｚ。，｛ＰＦ：：一３一婆。。－０
。。）‘＋（２万）２，解得ｚ。一万，故尉一号．（；）若么Ｆ，ＰＦｉ为直角，则Ｉ

椭圆的焦半径公式及其拓展

1椭圆的焦半径公式及其拓展1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。

2. 焦半径公式：（1）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=.（2）),(00y x P 是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==.推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导）方法一：利用椭圆的标准方程推导由两点间距离公式，可知20201)(y c x PF ++=，根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(22222x a ab y -= 故)(2022220x a a b y -= 将上式代入20201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x ac a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(--0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义2椭圆的左准线方程为：ca x 2-=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⇒= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-=五、典型例题例1：在椭圆18422=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________.【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.解法一：根据椭圆方程：18422=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和设),(n m P ，则有18422=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：22,2,22===e c a3利用焦半径公式：,2222,22-2221n PF n PF +== 由题意可得：212133PF PF PF PF ==或解一元一次方程可得：2±=n 所以)2,2()2,2(±-±P P 或【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；2.本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。

谈谈椭圆焦半径公式及其应用

知识导航椭圆是历年高考的必考内容，也是圆锥曲线的核心内容.与椭圆有关的问题一般难度和运算量都较大.而在解题时灵活运用椭圆的焦半径公式，能有效地简化运算,提升解题的效率.一、椭圆的焦半径公式我们把连接椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式有两种形式:坐标式和三角式.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F 1()-c ,0、右焦点为F 1()-c ,0，在椭圆上任取的一点P ()x 0,y 0，则椭圆的坐标式焦半径公式为|PF 1|=a +ex 0，|PF 2|=a -ex 0.这里e 为离心率.若在椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中，过左焦点F 1的直线l 与椭圆交于A ,B 两点（A 位于x 轴上方，B 位于x 轴下方），直线的倾斜角为θ，且椭圆的离心率为e ,则椭圆的角度式焦半径公式为||AF 1=b 2a -c cos θ=b 2a 1-e cos θ；||BF 1=b 2a +c cos θ=b 2a1+e cos θ.二、椭圆焦半径公式的应用1.椭圆的坐标式焦半径公式的应用根据椭圆的坐标式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的坐标式焦半径公式解答“已知椭圆方程和椭圆上点的坐标，求椭圆的焦半径”的问题.例1.设F 1,F 2是椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若ΔMF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为_______.解：由题意得a =6,b =25,c =4,e =c a =23,因为点M 为椭圆C 上一点且在第一象限，所以当||MF 1=||F 1F 2时,ΔMF 1F 2为等腰三角形设M ()x 0,y 0,则||MF 1=a +ex 0，||F 1F 2=2c =8，所以6+23x 0=8，解得x 0=3，将x 0=3代入椭圆C 方程可得y 0=15，所以M ()3,15.本题若利用两点间距离公式求解,计算过程较为复杂.这里利用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||MF 1，根据||MF 1=||F 1F 2求出M 点的坐标.该过程简单，运算量小.例2.如图,ΔABC 为椭圆x 24+y 23=1的内接三角形，且右焦点F 为ΔABC 的重心，则||FA +||FB +||FC =_______.分析:因为ΔABC 为椭圆的内接三角形，F 为椭圆右焦点，所以||FA ，||FB ，||FC 即为椭圆焦半径，可设出A ，B ，C 三点的坐标，用椭圆的坐标式焦半径公式表示出||FA ，||FB ，||FC ，根据右焦点F 为ΔABC 的重心列出关系式，化简即可求出结果.解：根据椭圆的方程可得a =2,b =3,c =1，F ()1，0，e =c a =12，设A ()x 1,y 1，B ()x 2,y 2，C ()x 3,y 3,则||FA =a -ex 1=2-12x 1，||FB =a -ex 2=2-12x2，||FC =a -ex 3=2-12x 3，因为F 为ΔABC 的重心，所以x 1+x 2+x33=1，即x 1+x 2+x 3=3,所以||FA +||FB +||FC =2-12x 1+2-12x 2+2-12x 3=6-x 1+x 2+x32=92.2.椭圆的角度式焦半径公式的应用根据椭圆的角度式焦半径公式的特点，我们可以利用椭圆的角度式焦半径公式解答以下问题：(1)已知椭圆方程和过椭圆焦点的直线的倾斜角角度，求椭圆的焦半径；(2)已知椭圆的方程和椭圆的焦半径关系式，求过椭圆焦点的直线的斜率.例3.过椭圆x 24+y 23=1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，l 与椭圆交于A 、B 两点，则1||AF +1||BF =_______.分析:已知椭圆的方程和过椭圆焦点的直线方程的倾斜角角度，可利用椭圆角度式焦半径公式表示出38解题宝典||AF ,||BF ，这样便可快速求出1||AF +1||BF 的值.解：由题意得a =2,b =3，||AF =b 2a -c cos 60°,||BF =b 2a +c cos 60°,所以1||AF +1||BF =a -c cos 60°b 2+a +c cos 60°b 2=2a b 2=2×23=43.例4.已知椭圆C ：x 22+y 2=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点A ,B 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,并且AF 1//BF 2.如果||AF 1-||BF 2=，求直线||AF 1的斜率k .分析:先设∠AF 1F 2=θ，用椭圆角度式焦半径公式表示出||AF 1,||DF 1,然后由椭圆对称性可表示出BF ，根据已知条件列出关系式，即可求出cos θ，再通过三角恒等变换求得tan θ，就能得到所求的斜率.解：由题意得a =2,b =1,c =1,设∠AF 1F 2=θ,由椭圆角度式焦半径公式可得||AF 1=||DF 1=12+cos θ,因为AF 1//BF 2，所以由椭圆对称性可得||BF 2=||DF 1=12+cos θ,又||AF 1-||BF 2=,所以,化简得6cos 2θ+4cos θ-26=0，解得cos θ=由sin θ2+cos θ2=1得sin θ，所以k =tan θ=sin θcos θ.总之，椭圆的焦半径公式的两种形式有着各自的特点和适用范围，在解答与椭圆有关的问题中应用非常广泛.在解题时,我们常常需要将椭圆的焦半径公式与椭圆的方程、定义、性质等结合起来应用.这就要求同学们不仅要加深对概念、公式、性质的理解，强化训练，同时也要培养灵活处理问题的能力.（作者单位：湖南人文科技学院数学系）含参问题的类型有很多，如求参数的取值范围、证明不等式恒成立、判断函数的单调性等.解答含参问题的途径也有很多，如利用方程思想、利用导数法、借助待定系数、利用函数思想等.本文重点探讨一下解答含参问题的三种途径：利用方程思想、利用函数的性质、借助待定系数，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、利用方程思想方程思想是解答高中数学问题的常用思想，是指通过建立方程或者方程组使问题获解的数学思想.在解答含参问题时，我们可以根据代数式的特点建立方程或者方程组，然后利用方程的判别式△=b 2-4ac 、根与系数的关系来解答问题.例1.已知函数f ()x =x 2-()m +5x +2()m +5在定义域内恒为非负数，求方程2x m +1=||m +2+1的根的取值范围.解：因为f ()x 恒为非负数，所以方程f (x )=0的判别式△=()m +52-8()m +5≤0，解得-5≤m ≤3.方程2xm +1=|m +2|+1可化为2x=()m +1()|m -2|+1，当-5≤m ≤2时，2x =()m +1()2-m +1，所以2x =-m 2+2m +3=-()m -12+4，则2x ≤4,x ≤2，当2<m ≤3时，2x =()m +1()m -1=m 2-1,3<m 2-1≤8，所以log 23<x ≤3.39。

焦半径公式的三角形式及其应用

焦半径公式的三角形式及其应用重庆清华中学张忠焦半径是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新, 故值得我们进一步总结与研究。

焦半径公式的代数形式：设F I,F2是曲线的左、右焦点，点P(X o,y。

)在曲线上，记r1PF1、r2PF2为左、右焦半径。

则在椭圆中：r i a ex o, r2 a ex o ；在双曲2 p线中：r1ex0a, r2ex0a ；在抛物线y 2px(p 0)中：r x0专。

若焦点在y轴上时，则把相应的X。

改为y o即可。

因应用情形比较常见，不再叙述。

，本文介绍它的三角形式及其应用。

定理1：若椭圆的离心角为贝U (1)|PF i| = a + ccos 0; (2)|PF 2| = a —ccos 0.证明：•••椭圆的离心角为0,由椭圆参数方程知点P的横坐标为acos0，依焦半径的代数形式知：|PF i| = a+ex p= a + ea • cos 0= a + c • cos 0 ,|PF 2| = a—ex p= a —c • cos 0.例1. F i、F2是椭圆+ y2= 1的左右焦点，点P在椭圆上运动，则|PF1| • |PF2|的最大值是_______ ,最小值是__________ .(1996年第七届“希望杯”赛)解：设椭圆的离心角为0,又知a= 2, c2= 3，由定理1得2 2 2 2|PF 1|c • |PF 2| = a —c cos 0 = 4 —3cos 0•/0< cos 0W1 故知|PF1|c • |PF 2| max= 4—3 • 0= 4|PF1| • |PF2| min= 4 —3 • 1= 1例2.椭圆的左右焦点为F1、F2,试问此椭圆的离心率e在什么值范围内，椭圆上恒存在点P,使得PF i ± PR。

解：2 2 2 2 2 2设椭圆方程为b x + a y = a b (a > b> 0)，离心角为B,依题设、定理1及勾股定理得(2 c) 2= (a —ccos 0) 2+ (a + ccos 0) 2化简得cos20 =2O w cos20<1 , ••• 0W2<1结合0 v e v 1PFeFH 1 ecos ep 1 ecos，这里p 为焦准距，在椭圆和双曲线中,b 2W e v 1为所求。

焦半径公式二级结论

焦半径公式二级结论
椭圆：
焦半径公式：对于椭圆上的任意一点P(x, y)，其到左焦点的距离|PF ₁| = a + ex，到右焦点的距离|PF₂| = a - ex，其中a是椭圆的长半轴，e是离心率，x是点P的横坐标。

二级结论：椭圆的通径长度|AB| = 2b²/a，其中b是椭圆的短半轴。

双曲线：
焦半径公式：对于双曲线上的任意一点P(x, y)，其到左焦点的距离|PF ₁| = |a + ex|，到右焦点的距离|PF₂| = |a - ex|，其中a是双曲线的实半轴，e是离心率，x是点P的横坐标。

注意：由于双曲线有两支，因此焦半径可能是正值或负值，这取决于点P位于哪一支上。

抛物线：
焦半径公式：对于抛物线y²= 2px上的任意一点P(x, y)，其到焦点的距离|PF| = x + p/2，其中p是抛物线的焦距，x是点P的横坐标。

二级结论：抛物线的准线方程为x = -p/2。