初三数学竞赛试题含答案

初三数学竞赛试题(含答案)

2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分）（1）已知（），则的值为（B）．

（A）（B）（C）（D）

【解】，．

又，∴.故选（B）．

（2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于

2且小于3，则m的取值范围是（C）．

（A）（B）（C）（D）

【解】根据题意，由根的判别式，得．设，

由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象，

当时，有，即；

当时，有，即；

当时，有，即；

当时，有，即．

综上，.故选（C）．

（3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）．

（A）（B）（C）（D）

【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s，此辆汽车在各路段上行驶

的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为

．故选（D）．

（4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）．

【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中，

如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴；

如图②，当点P在BC边上运动时，

，即（），有，

∴

=；

如图③，当点P在线段CE上运动时，

，有（），

∴．

故选（A）．

（5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72

等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩

形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC

上的两个点）共有（D）．

（A）130个（B）129个（C）121个（D）120个

【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则．

因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每一条都相交，

所以有57+73=130个交点（含重合的交点）．

由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点．

因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故选（D）．

二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于.

【解】

123456

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线上，因此所求的概率等于．

（7）计算（的整数）的值等于100．

【解】根号内的被开方数可化为

所以．

（8）若是质数，且整除，则的末位数字是2.

【解】当时，，，5能整除10；

当是奇质数时，为偶数，为奇数，而偶数不能整除奇数，此时不满足“整除”的条件.

综上，.于是.

由的末位数字是6，所以的末位数字是2.

（9）如图，四边形ABCD中，，

，若，则的长为

2．

【解】如图，过点A作与BC的延长线交于点E，

则.

∵在△中，由，，得．

∴．

∵，∴，又，

∴．

又在△ACD中，，∴．

∴△ACE≌△CAD．有．

而在Rt△ABE中，∵，∴，∴.

（10）如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，

4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两

个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，

若使这个和最大，则此最大值为50．

【解】设相邻格子内的两数为，，且，则，共有10个差，要使这10个差的和最大，其中10个被减数应当尽量大，10个减数应当尽量小，而每个数仅与两个数相邻，所以，将10，9，8，7，6各当作两次被减数，5，4，3，2，1

各当作两次减数，可满足条件，所以要求的最大值为

．

如图，是满足条件的一种填数字的方法．

三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）

（11）（本小题满分20分）

已知，，，求的值.

【解】∵，∴，①

同理，②

.③……………………………10分

由①+②-③，得，解得.

由①+③-②，得，解得.

由②+③-①，得，解得.

所以，.……………………………20分

（12）（本小题满分20分）

从一个等边三角形（如图①）开始，把它的各边分成相等的三段，再在各边中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成六角星图形（如图②）；然后在六角星各边上，用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成一个有18个尖角的图形（如图③）；如果在其各边上，再用同样的方法向外画出更小的等边三角形（如图④），继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线．

如果设原等边三角形边长为a，不妨把每一次的作图变化过程叫做“生长”，例如，第1次生长后，得图②，每个小等边三角形的边长为，所形成的图形的周长为．请填写下表：（用含的代数式表示）

第1次

生长后第2次

生长后第3次

生长后….第n次