第三节 高阶导数 习题课

四则 运算 法则
′ f ( x) f ′( x) g( x) − f ( x) g′( x) (3) = 2 g( x) [ g( x)]
3.复 复 合函 数的 求导 法则
(4) ( f [ g( x)])′ = f ′(u) ⋅ g′( x) u= g ( x )
dy dy du = ⋅ dx du dx
ds(t ) v(t ) = dt
或
v = s′.
加速度a是速度 对时间 的变化率，即速度v对时 加速度 是速度v对时间 的变化率，即速度 对时 是速度 对时间t的变化率 的导数： 间t的导数： 的导数
d[v(t )] d ds(t ) a= = dt dt dt 或 a = (s′)' = s'' (t ).
y′ = a ,
n
y ′′ = 0
(n )
问题： 问题：(1) x
( )
=?
(x )
n
(n)
= n!
(ax ) = ? (ax ) ( ) (x ) = 0
n
(n)
n
n
( n+1)
=?
n+1
n n −1 ⑵ 若 y = a0 x + a1 x + L + a n−1 x + a n , y( n) = ? y( n+1) = ?
第二章 导数与微分
第一节 第二节 第三节 第四节 导数概念 函数的求导法则 高阶导数 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 第五节 函数的微分
求导公式与求导法则
(1) (c)′ = 0
1. 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式
(2) ( x µ )′ = µ x µ−1 ′ = ex (e )
y (4) = µ (µ − 1)(µ − 2)(µ − 3) x µ − 4 , LL 一般地，可得
y (n) = µ(µ − 1)(µ − 2)L(µ − n + 1) x µ − n ,
当µ = n
(x )
n ( n)
= n(n − 1)(n − 2)L3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!,
而 ( x n )(n+1) = 0.
π y = sinx = sin( x + 4 ⋅ ), 2 LL
(4)
y
( n)
π = sin( x + n ⋅ ). 2
例6
求对数函数ln(1+x)的n阶数. 1 解 y = ln( 1 + x), y′ = , 1+ x 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1 ( 4) y'' = − , y' ' ' = − , y =− , 2 3 4 (1 + x) (1 + x) (1 + x) LL
(7) (tan x)′ = sec2 x ′ = − csc2 x (8) (cot x) (9) (sec x)′ = sec x tan x (10)(csc x)′ = − csc x cot x
(1) [ f ( x) ± g( x)]′ = f ′( x) ± g′( x) 2.导 导 数的 (2) [ f ( x ) g( x )]′ = f ′( x ) g( x ) + f ( x ) g′( x )
的导数f 仍然是可导函数， 定义 若f (x)的导数 '(x)仍然是可导函数，则导数 的导数 仍然是可导函数 则导数y'=f '(x)的导 的导 数 叫做函数f 的二阶导数， 叫做函数 (x)的二阶导数，记作
d2 y d 2 y d dy ′ = y′′或 f ′′(x) 或 即 y′′ = ( y′ ) 或 2 2 dx dx dx dx
四阶导数 : y(4)
LL n阶导数 : y ( n) = f (n) ( x),
d 4 y d d3 y = f (4) ( x) , = 3 ; 4 dx dx dx
d n y d d n−1 y = n−1 ; n dx dx dx
y = f (x)具有 阶导数，也说函数 = f (x)为n 阶可导。 具有n 具有 阶导数，也说函数y 为 阶可导。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数. 高阶导数 例1 y = ax + b, 求y′′. 解
注
一阶导数：y'= f ' ( x), dy ； dx
二阶导数：y ' ' = f ' ' ( x), d2 y d dy = ; 2 dx dx dx
三阶导数 : y '' ' = f''' ( x),
d3 y d d 2 y = 2 ; 3 dx dx dx
1 (2x − x )
3 2 2
=−
1 =− 3 , y
∴ y3 y '' + 1 = 0.
例5 解
求正弦函数sin x的 n阶导数.
y = sin x, π y ' = cosx = sin( x + ), 2
π y '' = −sinx = sin( x + 2 ⋅ ), 2 π y''' = −cosx = sin( x + 3 ⋅ ), 2
= 1
(1 − x ) ′ − x⋅
2
1− x
2 1 − x2
2
1 − x2 − =
− 2x2
2 1 − x2 1 − x2
(1 − x )
3 2 2
1 y′′ = 1 − x2
(
)
3 2
3x ′= 1− x2
(
)
5 2
课后作业： 课后作业：
教材103页： 1（11,12），2，3(2)
例4 证明
证明函数 y = 2x − x2 满足关系式y3 y'' +1 = 0.
y′ =
2 − 2x 2 2x − x
2
=
1− x 2x − x
2
,
− 2x − x − (1 − x)
2
2 − 2x 2 2x − x 2
y' ' =
=
2x − x 2
− 2x + x 2 − (1 − x) 2 (2 x − x 2 ) 2 x − x 2
一般地，可得 y
(n)
= (−1)
n −1
(n − 1)!
[ln(1 + x)]
( n)
= (−1)
n−1
(n −1)! . n (1 + x)
(1 + x)
n
,
通常规定0！=1， 所以这个公式当n=1时也成立.
注 总结
( xµ )(n ) = µ (µ −1)(µ − 2)L(µ − n +1) xµ −n ( xn )(n ) = n! ( xn )n+1 = 0
π (sin x)(n) = sin x + n ⋅ 2
(cos x)
( n)
(sin kx)
(n)
π = k sin kx + n ⋅ 2
n
π = cos x + n ⋅ 2
x
(cos kx)
( n)
π = k cos kx + n ⋅ 2
注
n次多项式的 次多项式的n+1阶导数为零 阶导数为零. 次多项式的 阶导数为零
y = arctan x, 求y′′′ x =0 .
x 例3 求 y = e 的n阶导数.
例2
µ 求幂函数y = x（µ是任意常数）的n阶导数.
解
y′ = µx
µ −1
y'' = µ(µ −Hale Waihona Puke 1) xµ −2,
y''' = µ (µ − 1)(µ − 2) x µ −3 ,
n
(e )
x ( n)
=e
(a )
= (−1)
n−1
x
(n)
( n)
= a (ln a )
x
n
(ln( 1 + x))
1 1+ x
( n)
(n)
(n − 1)! (1 + x)n
(ln x)
= (−1)
n−1
(n − 1)! xn
n! = (−1) (1 + x)n+1
n
例7 求下列函数的二阶导数 (1) y = cos x ⋅ ln x;
sin 2 x − x sin 2 x − cos 2 x = −2 cos 2 x ln x − + x x2 2 sin 2 x cos 2 x = −2 cos 2 x ln x − − x x2
(2) y =
x 1 − x2
.
′=
1− x
2
x 解：y′ = 1− x2
x
复习
′ = a x ln a (3) (a )
x
1 (4) (log a x)′ = x ln a (5) (sin x)′ = cos x (6) (cos x)′ = − sin x
1 (ln x)′ = x
(11) (arcsin x)′ = 1 1 − x2 1 (12) (arccos x)′ = − 1 − x2 1 (13) (arctan x)′ = 1 + x2 1 (14) (arc cot x)′ = − 1 + x2