第八章-方差分析

表1 对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml）
实
对照组 61.24 58.65 A降脂药 82.35 56.47
验
B降脂药
组
C降脂药 25.46 38.79
26.23 46.87
46.79
37.43 66.54
61.57
48.79 62.54
24.36
38.54 42.16
13.55
19.45 34.56
SS 及其自由度 df 分别分解成处理间、区组间和误差3部分，然
后分别求得以上各部分的变异（MS处理、MS区组和MS误差），进 而得出统计量F值（MS处理/MS误差、MS区组/MS误差）。
2、意义：用方差分析比较多个样本均数，可有效地控制第一
类错误。
t 检验和 u 检验适用于两个样本均数的比较，对于 k 个
SS A ni ( xi x )
2
k
k
( xij ) 2
j 1
ni
i
i 1
i 1
ni
( x) 2 N
（8-3）
（8-4）
df A k 1
SS A MS A df A
（8-5）
3）组内离均差平方和（sum of square of deviations within groups
用途： ① 两个或多个总体均数间的比较；
② 回归方程的线性假设检验；
③ 多元线性回归分析中偏回归系数的假设检验； ④ 分析两个或多个因素间的交互作用； ⑤ 两样本的方差齐性检验等。
第一节
单因素方差分析
（one-way ANOVA）
一、方差分析的原理和方法
1、试验研究的三要素：
处理因素(factor)：是指研究者根据研究目的而施加给实验
方差分析：对不同处理因素或同一处理因素的 不同水平的实验效应有无差异的分析。
2、方差分析的分类： 根据处理因素的个数分为：
单因素（one-way ANOVA） 双因素（two-way ANOVA）
多因素方差分析（multi-way ANOVA）
根据处理因素的水平分为：
固定效应模型（fixed-effects model） 随机效应模型（random-effects model）
例8-2
方差分析的检验步骤为：
1）建立检验假设，确定检验水准 H0：四组家兔的血清ACE浓度总体均数相等， μ1=μ2=μ3=μ4 H1：四组家兔的血清ACE浓度总体均数不等或不全相等， 各μi不等或不全相等
总变异
组间变异 组内变异
个体变异 随机测量变异 可能的处理 因素的变异
个体变异
系统性误差
随机误差
随机测量变异
方差分析是将总变异中的离均差平方和（sum of squares，
SS）及其自由度（freedom，df）分别分解成相应的若干部
分，然后求各相应部分的变异；再用各部分的变异与组内
（或误差）变异进行比较，得出统计量 F 值；最后根据 F 值
59.27
60.87
372.59 6
62.10
30.33
20.68 229.17 7
32.74
10.96
48.23 191.00 7
27.29
x
j 1
ni
ij
329.92 6
54.99
1122.68 26
43.18
x
（N ）
（x）
ni
i
x
j 1
xi n
2 ij
18720.97
23758.12
的大小确定 P 值，作出统计推断。
eg1: 完全随机设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和 SS
及其自由度 df 分别分解成组间和组内两部分，SS组间 / df组间和SS组内
/df组内分别为组间变异（MS组间）和组内变异（MS组内），两者之比 即为统计量F（MS组间/MS组内）。
eg2: 随机区组设计的方差分析，是将总变异中的离均差平方和
混合效应模型（mixed-effects model）
3、单因素试验（one factor trial）：试验中仅有一个处理因
素，但取不同水平，而其它因素保持不变。又称完全随 机设计（completely random design），即将观察对象随 机地分为若干组，每组给予同一处理因素的不同水平， 以观察处理因素的不同水平间有无差异。
5）方差分析的统计量：
F MSA / MSE
（8-10）
总结计算公式：
完全随机设计的单因素方差分析是把总变异的离均
差平方和SS及自由度分别分解为组间和组内两部分，其 计算公式如表3。
表3 单因素方差分析表（analysis of variance table）
变异来源 离均差平方和(SS) 自由度（ df ) 均方( MS ) F
学时分配：3学时（理论）
单因素方差分析 多重比较（自学） 两因素方差分析（自学） 交叉设计的方差分析（自学）
学习目的和要求
掌握方差分析的基本思想和要求、熟练运用方差分析
步骤和方差分析表进行单因素方差分析 ；
熟悉两两间多重比较的方法；
了解运用方差分析表进行两因素方差分析的方法、用
Ｅxcel 进行方差分析的运算。
SSE SST SSA
dfE N k
（8-7）
（8-8）
SSE MSE dfE
（8-9）
4）三种变异的关系：
SST ( xij x ) 2 [( xij x i ) ( x i x)]2
i 1 j 1 i 1 j 1
k
ni
k
ni
ni ( x i x) 2 ( xij x i ) 2
4! 6 次。假设每次比较所 2!(4 2)!
率为1-0.05=0.95；那么6次检验都不犯第一类错误的概率为(1-0.05)6 =0.7351，而犯第一类错误的概率为0.2649。
（二）方差分析的具体步骤
1．公式： 将 N 个受试对象随机分为 k 组，分别接受不同的 处理水平。归纳整理数据的格式、符号见表2。
8088.59
6355.43
56923.11 （ x 2）
由表1可见，26只家兔的血清ACE浓度各不相同，称为总
变异；四组家兔的血清ACE浓度均数也各不相同，称为组间
变异；即使同一组内部的家兔血清ACE浓度相互间也不相同， 称为组内变异。 该例的总变异包括组间变异和组内变异两部分，或者说可 把总变异分解为组间变异和组内变异。组内变异是由于家兔间 的个体差异所致。组间变异可能由两种原因所致，一是抽样误 差；二是由于各组家兔所接受的处理水平不同。
8088.59
6355.43
56923.11 （ x 2）
1）总离均差平方和（sum of square of total deviations，总变差）
及自由度
总变异的离均差平方和为各变量值与总均数（ x ）差值 的平方，离均差平方和和自由度分别为：
2 ( x ) SST ( xij x ) 2 x 2 N i 1 j 1 k ni
单因素方差分析
本质：不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因素，
但处理因素可以有两个或多个水平。
在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个 处理因素的多个水平中去，然后观察各组的试验效应； 在观察研究（调查）中按某个研究因素的不同水平分组，
比较该因素的效应。
要求：样本含量尽可能相等或相差不大。
i 1 i 1 j 1
k
k
ni
SS A SSE
dfT n 1 (k 1) ( N k ) df A dfE
可见，完全随机设计的单因素方差分析时，总的离均差
平方和（SST）可分解为组间离均差平方和（SSE）与组内离均 差平方和（SSA）两部分；相应的总自由度（ dfT ）也分解为组 间自由度（ df A）和组内自由度（ df E ）两部分。
误差平方和）、自由度和均方（mean square within groups， 误差均方）
组内离均差平方和为各处理组内部观察值与其均数（ x i）差 值的平方和之和：
SSE ( xij xi ) 2
i 1 j 1
k
ni
（8-6）
数理统计证明，总离均差平方和等于各部分离均差平 方和之和，因此，
方差分析（Analysis of variance，ANOVA)：1923年
由英国统计学家 R. A. Fisher 首先提出，以F 命名其统计
量，故方差分析又称F 检验。
应用条件： ① 各样本必须是相互独立的随机样本——独立性； ② 各样本来自正态分布总体——正态性； ③ 各样本总体方差相等——方差齐性。
用途：用于单因素试验设计的处理因素的多个水平的样 本效应（均数）间比较，其统计推断是推断各样本所代表 的各总体效应（均数）是否相等。
eg: P188 例8-1
（一）方差分析的基本思想 1、基本思想：
eg: 有4组进食高脂饮食的家兔，接受不同药物处理后，测 定其血清肾素血管紧张素转化酶（ACE）浓度（表1），试 比较四组家兔的血清ACE浓度。
方差分析的基本思想：
根据研究目的和试验设计类型，将所有观察单位的总变
异按设计或需要分为两个部分，一部分为组内变异（抽样误
差——个体变异或随机测量变异，即随机因素引起的随机误差），另
一部分为组间变异（包括组内变异和可能存在的处理因素引起的变
异），然后由组间变异除以组内变异，若远远大于1，则处理
因素可能有影响，即各组之间有差异。
…
nk
表1 对照组及各实验组家兔血清ACE浓度（u/ml）