勾股定理数轴上表示无理数

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勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)

勾股定理中考章节复习(知识点+经典题型分析总结)【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

AB C a b c 弦股勾A BD 5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用参考解析

17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。

勾股定理--在数轴上表示无理数

17.1(6)勾股定理--在数轴上表示无理数一．【知识要点】1.在数轴上表示无理数二．【经典例题】1.如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）-+A．15-C．5--B．15-D．152.如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是.3.如图甲，把一个边长为2的大正方形分成四个同样大小的小正方形，再连接大正方形的四边中点，得到了一个新的正方形（图中阴影部分），求：（1）图甲中阴影部分的面积是多少？（2）图甲中阴影部分正方形的边长是多少？（3）如图乙，在数轴上以1个单位长度的线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，以正方形对角线长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，求点A所表示的数是多少？三．【题库】【A】1、如图，在数轴上点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3-D. 5-【B 】1．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（）A ．+1 B ．﹣1 C ．﹣+1 D ．﹣﹣12.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）A. 5+1B. 5-1C. -5+1D. -5-13．如图，AB=AC ，则数轴上点C 所表示的数为（）A ．+1B ．﹣1C ．﹣+1D ．﹣﹣14.如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O 为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A ，则点A 表示的数为________5.如图所示，是老师在讲解“实数”是所画的图，即“以数轴的单位长度1为边长作一个正方形，然后以O 为圆心、以正方形的对角线的长为半径画弧，交数轴于点A ，作这样的图是用来说明（）A ．无理数是存在的B ．实数是存在的C ．有理数可以在数轴上表示出来D ．无理数可以在数轴上表示出来6.如图以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径，交数轴于点A ，则点A 表示的数是_________【C 】1．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()2,3-，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（）A 4-和3-之间B 3和4之间C 5-和4-之间D 4和5之间2.如图，数轴上点A对应的数是﹣1，点C对应的数是﹣3，BC⊥AC，垂足为C，且BC＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．﹣1+B．C．﹣1+D．【D】。

新人教版第十七章勾股定理教案

新人教版第十七章勾股定理教案第十七章勾股定理第1课时勾股定理(1)教学目标：1.知识与技能：掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能够应用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

2.过程与方法：通过观察、猜想、归纳、验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想。

3.情感态度与价值观：在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。

教学重点：知道勾股定理的结果，并能运用于解题。

教学难点：进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。

教学准备：彩色粉笔、三角尺、图片、四个全等的直角三角形。

教学过程：一、课堂导入2002年世界数学家大会在我国北京召开，出示了本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

今天我们就来一同探索勾股定理。

二、合作探究让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

这个事实是我国古代3000多年前有一个叫XXX的人发现的。

他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

讨论：32+42与52有何关系？52+122和132有何关系？通过计算得到32+42=52，52+122=132，于是有勾2+股2=弦2.那么对于任意的直角三角形也有这个性质吗？用四个全等的直角三角形拼成如图所示的图形，其等量关系为：4S△+S小正=S大正，即4×ab＋（b－a）2=c2，化简可得a2+b2=c2.三、证明定理勾股定理的证明方法达300余种。

下面这个古老的精彩的证法出自我国古代无名数学家之手。

已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)

A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2

3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A

人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案

人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算教案【教学目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【教学难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】一、情境导入[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.二、合作探究1.利用勾股定理证明HL定理[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.〔解析〕要证明Rt△ABC≌Rt△A'B'C',难以找到锐角对应相等,只有找第三边相等,发现可以根据勾股定理得到BC=,B'C'=,容易得到BC=B'C'.证明:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,根据勾股定理,得:BC=,B'C'=.又AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).2.利用勾股定理在数轴上表示无理数思路一[过渡语]下面我们回到导入一的问题,一起来看:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?学生回忆以前的作法,并运用勾股定理计算,长为的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.学生尝试在数轴上找到表示的点.OB是以数轴的单位长度为边的正方形的对角线,以数轴的原点为圆心、OB长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是.小组交流讨论:找到长为的线段所在的直角三角形.教师可指导学生寻找长为,……这样的包含在直角三角形中的线段.逐步引导学生得出,由于在数轴上表示的点到原点的距离为,所以只需画出长为的线段即可.设c=,两直角边为a,b,根据勾股定理得a2+b2=c2,即a2+b2=13,若a,b为正整数,则13必须分解为两个平方数的和,即13=4+9,a2=4,b2=9,则a=2,b=3.所以长为的线段是直角边长为2,3的直角三角形的斜边.学生在数轴上画出表示的点.教师根据巡视情况指导步骤如下:(1)在数轴上找到点A,使OA=3;(2)作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2;(3)连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示的点.学生自由作图,教师适当指导.利用勾股定理作出长为,,……的线段,按照同样方法,在数轴上画出表示,,……的点.[设计意图]利用勾股定理和数轴上的点表示实数,将数与形进一步联系在一起,渗透数形结合思想,加深对勾股定理、数轴和实数的理解.思路二引导学生观察图案发现:图形由若干个直角三角形形成,是根据我们所学的勾股定理来完成的.最后教师总结画图的方法:先构造出直角边长为1的等腰直角三角形,并以前一个三角形的斜边及长度为1的线段为直角边,以此向外画直角三角形,就可以得到问题中的图案了.提问:我们知道是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边的长,可是在数轴如何表示出?如何表示出呢?学生根据观察的结果思考在数轴上如何表示出,.教师根据情况指点.追问:你能在数轴上找出表示的点吗?学生讨论:利用勾股定理把长为的线段看成一个直角三角形的斜边,那么两条直角边长分别是哪两个正整数?学生发现()2=22+32后,尝试作图,教师讲解,师生再共同完成.作法:在数轴上找到点A,使OA=3;过点A作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=2,连接OB,以原点O为圆心、以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C 即为表示的点.[设计意图]通过观察感知,讨论分析,规范作图,一步紧扣一步,让学生明白如何利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.[知识拓展]在数轴上表示无理数时,将在数轴上表示无理数的问题转化为画长为无理数的线段问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中两条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.3.例题讲解(补充)如图所示,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求四边形ABCD的面积.学生讨论:如何构造直角三角形?比较发现:可以连接AC,或延长AB,DC交于F,或延长AD,BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单.解:延长AD,BC交于E,如图所示.∵∠A=60°,∠B=90°,∴∠E=30°.∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==4.DE2=CE2-CD2=42-22=12,DE==2.∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB·BE- CD·DE=6.[解题策略]不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差.三、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容:1.用勾股定理在数轴上表示无理数,构造长为无理数的线段放在直角三角形中,有时是直角边,有时是斜边.2.求不规则图形的面积,应用割补法把图形分解为特殊图形,四边形中常常通过作辅助线构造直角三角形,以利用勾股定理.【板书设计】17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算1．利用勾股定理证明HL定理2.利用勾股定理在数轴上表示无理数3.例题讲解例题．【教学反思】在课堂教学中注重数学与生活的联系,注重数学知识的应用,从学生认知规律和接受水平出发,循序渐进地引入新课,成功地引导学生会将长为无理数的线段看成一个直角三角形的斜边,再按照尺规作图的要求,在数轴上找出表示无理数的点.由于学生尺规作图的能力较差,学生在确定了作图思路之后,却难以按照尺规作图的步骤完成作图.教师指导在数轴上找出表示无理数的点,示范作图步骤.教学中,根据学生的基础情况,适当进行复习,帮助学生解决学习中的困难.人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时3 利用勾股定理作图或计算学案【学习目标】1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【学习重点】会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.【学习难点】灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【自主学习】一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.二、合作探究知识点1：勾股定理与数轴呢？(提示：可以构造直角三角形想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.13.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.【典例探究】例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.【跟踪检测】1.如图，点A表示的实数是（）A. 3B. 5C. 3D.5--2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？知识点2：勾股定理与网格综合求线段长【典例探究】第1题图第2题图例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的高.方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.【跟踪检测】1.如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为5的线段？2.如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为2,2,10.知识点3：勾股定理与图形的计算【典例探究】例4 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.方法总结:折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.【跟踪检测】1.如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD 的面积．三、知识梳理利用勾股定理作图或计算在数轴上表示出无理数的点利用勾股定理解决网格中的问题通常与网格求线段长或面积结合起来利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算通常用到方程思想四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.25BA2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位第1题图第2题图第3题图长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4．边长分别为2cm和3cm的长方形的一条对角线长为_______cm．5．如果等腰直角三角形的斜边长为_______cm，那么这个三角形的面积是_______cm2．6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．7. 如图，A是数轴上一点，以OA为边长作正方形ABCO，以OB为半径作半圆交数轴于P1、P2两点．(1)当点A表示的数是1时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______；(2) 当点A表示的数是2时，P1表示的数是_______，P2表示的数是_______．8. 边长为3的正方形的一条对角线长是_______．9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．10. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分△AFC的面积.11.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，则梯子的顶端沿墙面升高了多少米?12.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5103a、、,求这个三角形的面积．王琼同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．(1)求△ABC的面积；a a a(a＞0)，请利用图②的正方形网格（每(2)若△ABC三边的长分别为5,22,17个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②13.如图所示,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是,点B表示的数是.14.如图所示,在Rt△AOB中,OB=1,AB=2,以原点O为圆心,OA为半径画弧,交数轴负半轴于点P,则点P表示的实数是.15.如图所示,4×4方格中每个小正方形的边长都为1.(1)直接写出图(1)中正方形ABCD的面积及边长;(2)在图(2)的4×4方格中,画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的格点上),并把图(2)中的数轴补充完整,然后用圆规在数轴上表示实数.。

17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数-教案

教案新课题目17.1 勾股定理(4)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2, 3,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为为无理的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√提前测评及一、课前5分钟：1、宣誓2、唱红歌3、学习《和田人民忠国爱民图册》暴恐分子是没有文化、没有脑子，很容易上当的蠢货。

二、温顾而知新1、勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°1 导入新课①已知ɑ，b 则c=②已知ɑ，c 则b=③已知b，c 则ɑ=3、矩形的一边长5，对角线长13，则它的面积是.二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结一、探究1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出13所对应的点吗？2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：1、在数轴上找到点A,使OA=12、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=13、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。

基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）3、归纳结论只要能画出长为2的线段，就能在数轴上画出表示这个数的点。

长为2的线段是两条直角边的长都是1 的直角三角形的斜边。

勾股定理的应用(3种题型)

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。

聚焦无理数与数轴上点的问题

聚焦无理数与数轴上点的问题山东于秀坤学习了实数，我们知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，对于一个有理数可以比较容易用数轴上的点表示，对于无理数又如何用数轴上的点表示呢？一些同学感到有些困难，下面就让我们一起来探究这方面的问题.一、用数轴上的点表示无理数利用数轴上点表示无理数，一般的方法是利用直角三角形的斜边积累来表示.主要涉及勾股定理的应用.例1用数轴上的点表示2和-2.解：如图1，以原点为一个顶点，以单位长度为边长画一个正方形OABC，以原点O为圆心，正方形对角线OB为半径画弧，与正半轴的交E点就表示2，与负半轴的交点F就表示-2.图1理由：因为在Rt△OAB中，OB2=0A2+AB2=1+1=2，所以OB=2，又OE=OB，所以OE=2，所以点E表示2.同样点F表示-2.例2 用数轴上的点表示3和-3.解：如图2，以单位长1为边作等腰直角三角形OAB，根据勾股定理得OB=2，再以B为直角顶点作Rt△OBC，使BC=1，根据勾股定理，得OC2=OB2+BC2=3.所以OC=3.图2以O为圆心，OC长为半径，画弧交数轴的正半轴于点F，负半轴于点E，则点F表示的数为3，点E表示的数为-3.例3 用数轴上的点表示π.解：如图3，将直径为单位长度1的圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点原点到点O′，从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以O′点表示无理数π.实际上，圆的周长为OO′=1×π=π.如果圆向左滚动一周，则与负半轴的交点表示-π.图3其它的无理数都可探究方法用数轴上的点表示.你可以试一试：在数轴上表示：5，13.二、写出数轴上的点所表示的无理数例4 如图4，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=1，BC⊥OB，BC=1，且E、O、A、D在同一数轴上，OC=OE=OD.试说出点D、E各表示的是什么数？图4解：在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，由勾股定理得OB=5，在Rt△OBC中，OB=5，BC=1，由勾股定理，得OC2=OB2+BC2=6，所以OC=6，所以OD=OE=OC=6，所以点D表示的数是6，点E表示的数是-6.。

人教版八年级数学下《勾股定理第3课时：用勾股定理在数轴上表示无理数》精品教学课件

能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示 13的点.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
探究
步骤：
1 在数轴上找到点A，使OA=3；
2 作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；
3 以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
13 3
数轴交于C点，则点C即为表示 13的点.
l
正整数的角三角形的斜边； 2 以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴
存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.
原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
拓展
利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型” 图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
复习回顾
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别 b
c
为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². a
变求斜边：c a2 b2 形求直角边：a c2 b2 ，b c2 a2
已知两边可求第三边
利用勾股定理还能解决哪些问题呢？
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习 2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半
径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 7 .
3 2 1 O 1 2M3
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个

2020-2021学年人教版数学八年级下册17.1.2数轴表示根号13教案

在数轴上表示无理数一、教学目标知识与技能1、能用勾股定理证明直角三角形全等的"HL〞判定定理；2、能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；过程与方法1．通过证明 "HL〞加强学生对勾股定理的理解和运用2．通过学生在数轴上表示无理数培养学生运用知识、思考问题、解决问题的能力 . 3．在解决实际问题的过程中 ,学会与人合作 ,•并能与他人交流思维过程和结果 ,形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中 ,•体验勾股定理的重要作用 ,并从中获得成功的体验 ,锻炼克服困难的意志 ,建立自信心．2．在解决实际问题的过程中 ,•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．涉及核心素养1、数学抽象：通过对国际数学大会会徽认识数学中的数字海螺图 ,认识数学的美 ,体会数学的严谨和神奇 .运用勾股定理得到一个想要长度的线段2、数学推理和数学运算：勾股定理的理解、运用和计算二、教学重、难点35重点：在数轴上寻找表示 , ,……这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学过程一、创设情境1.PPT展示第七届国际数学大会的会徽图案,联系生活中的海螺图,让学生体会数学的美,对数学学习有向往 .师生活动：老师引导学生了解会徽的构成特点,联系海螺的命名特点给会徽命名 .老师要多给予肯定和鼓励 .设计意图：引导学生总结会徽的特点,培养学生的观察总结能力和利用数学知识分析实际问题的能力,也引起学生的兴趣,为学生树立学习的目标,提高学生的爱国情操,让学生命名是一个开放性的创新问题,引人入胜,也培养了学生的创新意识和创新能力 .会徽也是本节课的学习知识,为后面的学习埋下伏笔 .2、复习引入勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b ,斜边长为c ,那么2a+2b=2c求直角三角形中未知边的长度2设计意图：复习上节课的知识,检查和稳固学生对勾股定理的理解和运用能力 .为下面的学习做好知识上的准备 .让学生顺利过渡到新问题的探究当中去,也为下面的学习做下铺垫 .3、学习探究探究点一：证明 "HL〞问题1在八年级|上册中 ,我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后 ,你能证明这一结论吗 ?：如图 ,在Rt△ABC 和Rt△A B C 中 ,∠C =∠C , =90° ,BC =B ,C ,,AC =A ,C ,.求证：△ABC≌△A B C ．证明：师生活动：跟学生一起完成整个分析、作图、证明的过程 ,老师要注重引导 ,不可直接给出答案 ,可以让一个学生说答案 ,老师板书 ,让其与学生以纠错完善的方式参与其中 .尤其要提醒学生注意画图的过程和证明的一般性 ,体会数学的严谨美 .设计意图：1、本节课的重点是在是在数轴上画出表示无理数的点 ,本环节在证明HL时 ,用到的勾股定理的运用和尺规作图都对下面的重点学习有重要的正面引导作用 .2、让学生感受学习的成就感和必要性 ,原来没有知识的准备 ,只能用作图的方法证明 ,有了新知识 ,可以用更严谨的方法证明 ,提高学生不断学习的内在动力和成就感 .3、让学生体会数学的严谨美 ,提高学生学习数学、研究数学的兴趣 .探究点二：在数轴上表示无理数??问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数 ,有的表示无理数 (与实数一一对应 ) ,你能在数轴上画出表示13的点吗 ?师生活动1：引导学生在数轴上找表示有理数的点 ,如表示点1、3、5、 -1、 -3等老师追问:能像找出点1一样找到13位置吗 ?大致的在什么位置 ?如果给你一条长为13的线段呢 ?你在什么地方见过长为13的线段呢 ?设计意图：引导学生思考整数点可以在数轴上表示出来 ,无理数想要表示出来的关键点在于：找一条长度为该无理数的线段 ,借助前面的学习学生很容易得出可以用勾股定理来得到这样的线段 ,并且其余两边为整数 .师生活动2：让学生带着问题思考如何得到一条长为13的线段 ,并在数轴上表示出来表示13的点 ,学生给出结论 ,老师示范标准步骤 .设计意图：让学生在明白原理的根底上 ,动手画图 ,也可以自己给出答案 ,但是由于是第|一次接触这个问题 ,条理性、标准化要求肯定达不到 ,所以一定要做示范 ,将知识原理转化为具体过程 .师生活动3：请学生在数轴上画出表示17的点 ,并请学生上来演板 ,老师注意学生的答题情况 ,并给予点评 .老师一定要要求学生作图时保存作图痕迹 .你能找到一个两条边为正整数 ,一条边为13的点吗 ?设计意图：纸上得来终觉浅 ,绝|知此事要躬行 ,进一步稳固在数轴上找表示无理数点的方法 ,熟悉勾股定理的应用 ,并找出缺乏 ,及时改变 .4.....的点问题3：在数轴上表示出235师生活动4：因导学生画出课前预习中的第七届国际数学教育大会会徽 .并从中受到启发 ,4......在数轴上分别画出2、 -2、3、5设计意图：让学生举一反三 ,通过勾股定理两边都是整数发散思维 ,如果有一个边是的无理数 ,也可以当做边 ,构造直角三角形 ,求得所需要的无理数 ,让学生明白 ,可以通过勾习中的困惑 ,激发学生利用知识解决问题的活力和积极性 .可以让学生先自己大胆尝试和。

培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]

第17章勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2= c 2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形．请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2=（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）．（图1）（2）（3）ABC点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点．点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 ,b 2=c 2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系；（3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．针对练习:1．下列说法正确的是（）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x，则x 2—10的立方根为（）A ．．2 D ．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（） A ．8cm B ．10cm C ．12cm D ．14cm7．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 8．如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b的面积为（）（Ａ）4（Ｂ）6（Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AB=13cm ，AC 于BC 之和等于17cm ，求CD 的长.l类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）．例2：如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为( ) A ．a 3 B ．a )21(+C ．3aD ．a 5解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵．由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a5a)a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把在数轴上作出．解：以3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用∙ ∙ ABC图3⑵∙ A B图3⑴例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=……=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么()2ba+的值为（）（A）13 （B）19 （C）25 （D）169解析：由勾股定理，结合题意得a2+b2=13 ①.由题意，得 (b-a)2=1 ②.由②，得 a2+b2-2ab =1 ③.把①代入③，得 13-2ab=1∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为边长就是．类似地也可作出（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，=∠E222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，2AC在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析（1）由点A 作AD⊥BC 于D ，则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响．故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时.（3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A ）2、4、8 （B ）4、8、10 （C ）6、8、10 （D ）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B ．15，17，62 C ．25，59，74 D ．32，60，68 3、如果直角三角形的三条边2，4，a ，那么a 的取值可以有（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A ）2厘米（B ）4厘米（C ）6厘米（D ）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是（）（A ）S 1+S 2>S 3 （B ）S 1+S 2<S 3 （C ）S 1+S 2=S 3 （D ）S 12+S 22=S 32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm 和12cm ，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm ．3、如图，CD 是Rt ⊿ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3．已知BC ＝3cm ，则AB ＝ cm ．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米．7、如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，又量得BC ＝160 m ，则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）8、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c 2＝＋．化简后即为c 2＝．第6题图第5题图abc9、如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为．10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是 . 12、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A′，使梯子的底端A′ 到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′等于1米；②大于1米；③小于1米.其中正确结论的序号是________________.13、观察下面各组数：（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）、（9，40，41）、…，可发现：4＝2132-，12＝2152-，24＝2172-，…，若设某组数的第一个数为k ，则这组数为（k ，，）．三、解答题1、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a 、b 、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.2、若正整数a 、b 、c 满足方程a 2+b 2=c 2 ，则称这一组正整数（a 、b 、c ）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．（3）用两个正整数m 、n （m ＞n ）表示一组商高数，并证明你的结论． 3、阅读并填空：寻求某些勾股数的规律：⑴对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：222543=+，我们把它扩大2倍、3倍，就分别得到2221086=+和22215129=+，……若把它扩大11倍，就得到，若把它扩大倍，就得到．⑵对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为222453-=，则有5432+=；若勾股数为5，12，13，则有131252+=；若勾股数为7，24，25，则有；……若勾股数为m (m 为奇数)，n ，，则有=2m ，用m 来表示n ＝；当17=m 时，则n ＝，此时勾股数为． ⑶对于大于4的偶数：若勾股数为6，8，10，因为2228106-=，则有……请找出这些勾股数之间的关系，并用适当的字母表示出它的规律来，并求当偶数为24的勾股数．4、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面A B C D 倒下到A B C D '''的位置，连结C C '，设,,AB a BC b AC c ===，请利用四边形B C C D ''的面积证明勾股定理：222a b c +=.aD 'B 'DC ' A BCb c 第4题图5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD 和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE6、仔细观察图形，认真分析各式，然后解答问题.;23,4)3(;22,31)2(;21,21)1(322212==+==+==+S S S（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．一、选择题1、如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（） A 、56B 、48C 、40D 、32214、若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（） A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（）A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边（1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是角三角形.3、在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC的面积是4、如图要修一个育苗棚，棚宽a=3m，高b=4m，底d=10m，覆盖顶上的塑料薄膜的面积为2m5、如图点C是以为AB直径的半圆上的一点，4∠BCACACB则图中阴影部分的面积︒=,,390==是6、在Rt△ABC中，3︒=ABC且BC=136则AC=∠AC90=:5:,7、直角三角形的一直角边为8cm，斜边为10cm，则这个直角三角形的面积是斜边上的高为8、△ABC中，︒,C则a:b:c=90a∠30==∠︒9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm和80cm，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x长度的取值范围三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCABBAD求正方形DCEF的面积CBDAD=,,4,3︒90,==90=3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE︒∠∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．==90︒C,B15,6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠ACACB米，BC=60米，若线段CD为一=,︒90=条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”．例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积．分析由斜边长是2，周长是4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2， ∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD，AB∥CD，AD∥BC，AB=2，AD≠DC，长方形ABCD的面积为S，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（）A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED′与四边形CFED全等，则对应边、角相等，∴AF=FC，且FC=AE，则△ABF≌△AD′E，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF折叠后A、C重合，∴四边形AFED′与CFED关于EF对称，则四边形AFED′≌四边形CFED．∴∠AFE=∠CFE．∴AF=FC，∠D′=∠D=∠B=90°AB=CD=AD′．∵AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC．∴∠AEF=∠AFE．则AE=AF．∴Rt△ABF≌Rt△AD′E．在Rt△ABF中，∵∠B=90°，∴AB2+BF2=AF2．设BF=x，b2+x2=（a-x）2，∴x=222a ba-．∴S=2S△ABF =2×12bx=2×12·b·222a ba-=22()2b a ba-．练习22-21．如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m，当梯子的顶部A向下滑0.4m到A′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.772-5例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a2-b2，试判断△ABC的形状．先阅读下列解题过程：解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC为直角三角形．④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________；（2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC的度数．例5 如图2-10，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．分析若作AE⊥BC于E，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD是Rt•△ADC的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程．解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ， ∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12．设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2，在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．练习51．如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．求证：AD 2=AC 2+BD 2．2-122．如图2-13，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD 的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从A 出发，沿长方形表面到达C 处，问绳子最短是多少厘米？2-102-112-14勾股定理及应用答案: 练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出） 2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：（1）以A 、B 为对称点（如图） ∵S=AB ×BC ，AB=2， ∴BC=AD=2S ．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得：AF==12（2）以A 、D 为对称点（如图） ∴BF=12BC=4S ．由∠B=90°，据勾股定理得：AF==3．D练习2 1．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B练习31．B 2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2．同理：在Rt△ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt△ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2．∵54a 2+516a 2=2516a 2，∴AF 2+EF 2=AE 2． ∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ．3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2， ∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5．则△ACD ≌△AED ．又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2．解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2． ∴3．3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°， ∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ．即∠ACP=∠BCE ．∴△PCA ≌△ECB （SAS ）． ∴BE=AP=3．在Rt △PCE 中， PE 2=PC 2+CE 2=8．又∵BP 2=1，BE 2=9，∴BE 2=BP 2+PE 2．∴△PBE 是直角三角形，其中∠BPE=90° 在Rt △PCE 中，PC=CE ， ∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．练习5 1．连结AM ． ∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．又∵AC 2=AM 2-CM 2，BD 2=BM 2-MD 2， ∴AC 2+BD 2=AM 2-MD 2．又∵AD 2=AM 2-DM 2， ∴AD 2=AC 2+BD 2．2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面，连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离． ∴（cm ）．勾股定理的逆定理1班级姓名号次一．选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且ab c b a 2)(22+=+，则（）A.A ∠为直角B.B ∠为直角C.C ∠为直角D.不能确定 2.如图，下列三角形中是直角三角形的是( )51213 C467 B7 58 A73 53.下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,内错角相等B.若b a =,则b a =C.对顶角相等D.如果a =b ,那么a 2=b 24.下面四组数中，其中有一组与其他三组规律不同，这一组是（）A. 4，5，6B. 6，8，10C. 8，15，17D. 9，40，415.如图有五根小木棒，其长度分别为7、15、20、24、25，现想把它们摆成两个直角三角形，则摆放正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D6.放学后，斌斌先去同学小华家玩了一回，再回到家里。

八下教学案(第一章勾股定理)

§1.1勾股定理(1)【教学目标】1.会用面积法探索勾股定理，并掌握勾股定理的内容；2.会用勾股定理进行简单计算.【重点】:勾股定理的内容及证明.【课堂学习】一.导1.20XX年8月2日世界数学年会在北京召开，下图是本届年会的会徽，这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”.你知道勾股定理吗？2.相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.你知道这个数量关系吗？二.学1.下图中A、B、C的面积各是多少？它们之间有什么关系？图(1)中，S A= ，S B= ，S C= .图(2)中，S A= ，S B= ，S C= .通过(1)、(2)发现:S A+S B=S C，也就是说:在等腰直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.2.在任意的三角三角形中，具有这样的数量关系吗？图(3)中，S A = ，S B = ，S C = . 图(4)中，S A = ，S B = ，S C = .由上可知，在任意的直角三角形中，以三边为边长向外作正方形，直角边外的两个正方形的面积和等于斜边上正方形的面积.3.你能用三角形的边长表示正方形的A 、B 、C 面积吗？S A = ，S B = ，S C = .因为S A +S B =S C ，所以 . 4.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 三.议例1.判断题:(1).如果三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （） (2).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，则222c b a =+ （） (3).如果直角三角形的三边长分别为a ,b ,c ，且c 为斜边，则222c b a =+ （）例2.求出下列直角三角形中未知边的长度.四.练1.求下列图中字母所表示的正方形的面积:S A= ，S B= .2.⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a:b=3:4，则a= ，b= .⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 .五.悟:本节课你有什么收获？【课后练习】:1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a,b,c是△ABC的三边，则⑴c= .（已知a,b,求c）⑵a= .（已知b，c求a）⑶b= .（已知a，c，求b）2.在Rt△ABC，∠C=90°，⑴如果a=7，c=25，则b= . ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= .a =2，则b= .⑶如果∠A=45°，a=3，则c= . ⑷如果c=10，b⑸如果a,b,c是连续整数，则a+b+c= .⑹如果b=8，a:c=3:5，则c= .3.如图，欲测量嘉陵江的宽度，沿江岸取B.C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 .BC§1.1勾股定理(2)【教学目标】:掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 【重点】:用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.【课堂学习】:一.导(1)勾股定理的内容是；(2)直角三角形两边长为3和4，则第三边长；(3).图中x的值是 .二.学1.拼图验证. 用准备的四个全等的直角三角形（直角边分别为a、b，斜边为c）拼出正方形.①如图1，用两种方法表示大正方形的面积是 =②如图2，用两种方法表示大正方形的面积是 =③化简上面的式子，你可以验证勾股定理吗？2.请利用图3验证勾股定理:三.议:例1.如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？OABCDx1517例2.折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.C F四.练——课堂练习 1.若△ABC 中，∠C=90°(1)若a =5，b =12，则c = ； (2)若a =6，c =10，则b = ； (3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3.直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4.等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（）.A.302cmB.1302cmC.1202cmD.602cm五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.2.一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？§1.1.2 勾股定理(3)【教学目标】1.能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；2.会在数轴上表示无理数.【重点】:利用勾股定理在数轴上表示无理数.【课堂学习】一. 导在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=1，b=1，则c= ；(2)若a=1，b=2，则c= ；(3)若a=1，b=3，则c= ；(4)若a=1，b=4，则c= ；…………依次类推:若a=1，b=n，则c= .二.学:阅读教材1.根据上面的规律，你能画出长度为1、2、3……n的线段吗？2.我们知道数轴上的点与实数是一一对应的.你能在数轴上画出表示1、2、3……n的点吗？三.议:例1.如何在数轴上画出表示13的点？【分析】:除了上面的方法外，利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____， _____的直角三角形的斜边.【作法】:在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点.例2.已知:如图，等边△ABC 的边长是6cm .⑴求等边△ABC 的高. ⑵求S △ABC.四.练 1.填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a =8，b =15，则c = .⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a =3，b =4，则c = . 2.已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积. 3.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（） A. 4cm B. 34cm C. 6cm D. 36cm2.△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（） A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 333.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米 4. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.“路”4m3m5.在△ABC中，∠C＝90°(1)已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；(2)已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；(3)已知∠A＝45°，c＝18，则a＝ .6.一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 .cm，则AB＝.7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝3028.等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为，面积为 .9.一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家.到了家门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm.你认为小明能拿进屋吗？ .10.有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树m/的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大梢上发出友好的叫声，它立刻以4s树和伙伴在一起？§1.2.1勾股定理的逆定理(1)【教学目标】1.理解勾股定理逆定理的证明方法；掌握勾股定理的逆定理；2.能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形，体会数形结合的思想方法；3.能运用勾股定理的逆定理解决相关问题. 【重、难点】1.重点:理解和运用勾股定理的逆定理.2.难点:勾股定理的逆定理的证明. 【学习过程】一.导1.勾股定理的内容的是: .2.把勾股定理的题设和结论交换你会得到一个命题: .3.勾股定理的逆命题成立吗？如何证明？二.学1.画一个边长为3cm ,4cm ,5cm 的三角形，并观察猜测个三角形的形状？2. 三边长度为3cm ,4cm ,5cm 的三角形与以3cm ,4cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？请简要说明理由？3.△ABC 三边长为a ,b ,c 且满足222c b a =+，那么△ABC 与以a ,b 为直角三角形之间有何关系？试说明理由？BCC14.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a ,b ,c ，且满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.5.在一对命题中，第一个命题的题设为第二个命题的结论，而第一个命题的结论恰为第二个命题的题设，像这样的两个命题叫做互逆命题.若如果把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题.6.若一个定理的逆命题成立，我们就把这个逆命题叫做这个定理的逆定理.任意一个命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理. 三.议例1.说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确.1.猫有四只脚.2.线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.3.对顶角相等.4.角平分线上的点，到这个角的两边距离相等. 例2. 判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形: (1)a =15，b =8，c =17 (2)a =13，b =14，c =15【说明】像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）.你还能说出一些勾股数吗？例3.如图，∠C=90°,AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由.四.练1.判断由线段a ,b ,c 组成的三角形是不是直角三角形.(1)a =15 b =8 c =17 （） (2)a =13 b =14 c =15 （） 2.判断正误:(1)△ABC 的三边分别为a 、b 、c 且满足222b c a -=那么△ABC 不是直角三角形.（） (2)△ABC 中a =5，b =13，c =12，因为222c b a ≠+所以△ABC 不是直角三角形.（） (3)在△ABC 中三边长分别为a =10 , b =6, c =8, 因为222a c b =+，所以∠C=900（）(4)任何一个命题都有逆命题，任何一个定理都有逆定理.( ) 五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.下列线段不能组成直角三角形的是（）A.a =8，b =15，c =17B.a =9，b =12，c =15C.a :b :c =2:3:4D.a =5k ，b =12k ，c =13k （k ＞0）2.如图，已知∠B=90°，AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，求四边形ABCD 的面积.3.已知:在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若n 表示大于1的整数且12-=n a ，n b 2=，12+=n c .那么a 、b 、c 是一组勾股数吗b ？如果加以证明，若不是说明理由.§1.2.2勾股定理逆定理(2)【教学目标】:1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.2.培养学生的发展逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合. 【难点】:勾股定理的逆定理的应用【课堂学习】一.导1.如果线段a 、b 、c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）.A.5，6，7B.10，8，4C.7，25，24D.9，17，15 3.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）. A.a -1，a 2，1+a B.1-a ，2 ，1+a C.1-a ，a 2，1+a D.1-a ，a ，1+a4.若△ABC 的三边a .b .c 满足182-+b a +2)18(-b +30-c =0则△ABC 是三角形. 二.学例 1.“远航”号.“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？三.议例3.已知正方形ABCD 中E 为AD 的中点，CF=3DF.求证∠BEF 为直角.CA四.练1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.3，4，5B.2，3，4C.5，10，15D.4，5，62. 下列条件①∠A=∠B=∠C ； ②∠A+∠B=∠C ； ③∠A=∠B=300；④∠A+∠B=450；⑤∠A=∠B=450；能判断△ABC 是直角三角形的条件有（）A.2个B.3个C.4个D.所有的条件都不能判断3.等腰三角形的周长为36厘米，底边上的高为12厘米，则该三角形的面积为 .4. 一个直角三角形的三边长为连续的整数，则它的三边长分别为；一个直角三角形的三边长为连续的三个偶数，则它的周长为 .五.悟:本节课你收获了什么？【课后练习】1.请完成以下未完成的勾股数:(1)8、15、_______；(2)10、26、_____.2.△ABC 中，222c b a =+，722=-b a ，又c =5，则最大边上的高是_______. 3.以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）.A.3+1，3-1，22B.7，24，25C.4，7.5，8.5D.3.5，4.5，5.54.一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）. A.12.5 B.12 C.152 D.95.已知:如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB ⊥AD.求证:BC ⊥BD.6.一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？§1《勾股定理》单元复习【知识要点】1.如图，在△ABC 中，设BC=a ,AC=b ,AB=c①.若∠C=90°，则a 、b 、c 之间的关系为 . ②.当a 、b 、c 之间的关系满足时，∠C=90°. 2.勾股定理的应用:(1)已知直角三角形的两边，求第三边.（直接代入公式）(2)已知直角三角形的一边及另两边的关系，求另两边.（利用勾股定理列方程） 3.勾股定理逆定理的应用:用作直角三角形的判定. 【典型例题】【例1】.填空题:在Rt △ABC ，∠C=90°，⑴如果a =7，c =25，则b = . ⑵如果∠A=30°，a =4，则b= . ⑶如果∠A=45°，a =3，则c = . ⑷如果c =10，b a -=2，则b = . ⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则c b a ++ .⑹如果b=8，a :c =3:5，则c = .【例2】.如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=10cm ，折叠矩形的AD 边，使D 点落在BC 边的F 处，求CE 的长.FD ABC【例3】.如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 边的中点，E 是BC 上一点，且CE=BC 41. 求证:∠AFE=90°BDabCA【课后练习】，一、填空题1.如图，有一块边长为12米的正方形草地，有人常走捷径AB ，为此，小明在A 地立了一个标牌“少走米，踏之何忍”.5米12米ABF BADC2.利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是 .3.已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是 6，则它底边上的高为 .4.如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD.BC 于E.F ，连接CE ，则CE的长为5.若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论:① 以2a ，2b ，2c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；② 以a ，b ，c 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③ 以b a +，h c +，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④ 以a1，b 1，c1的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为 . 二.选择题:1.以OA 为斜边作等腰直角三角形OAB ，再以OB 为斜边在△OAB 外侧作等腰直角三角形OBC ，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB 与△OHJ 的面积比值是（） A.32B.64C.128D.256cba2.如图，直线上有三个正方形a ,b ,c ，若a ,c 的面积是5和11，则b 的面积是（） A.4B.6C.16D.553.以下不能构成三角形三边长的数组是（）A.（1，3，2）B.（3，4，5）C.（3，4，5）D.（32，42，52）4.左图是一个边长为）（n m +的正方形，小明将图左中的阴影部分拼成右图形状，由左图和右图能验证的式子是（）A.mn n m n m 4)(22=--+）（B.mn n m n m 2)()(222=+-+C.2222)(n m mn n m +=+-D.22))((n m n m n m -=-+nn mmnm三.解答题:1.如图，在一棵树的10米高的B 处两只猴子，其中一只猴子爬到树下，走到离树20米处的池塘A 处，另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到池塘A 处（假设它经过的路线是直线），如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高度.2.如图，八年级五班几名同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹杆插到离湖1米远的水底，只见竹杆高出水面0.2米，把竹杆的顶端拉向湖边（底端没动），杆顶和湖边的水面刚好平齐，求湖水的深度.BCD3.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足442222b ac b c a -=-，试判断△ABC 的形状. 解:∵ 442222b ac b c a -=- ————————① ∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=- ————————② ∴222b ac += ————————③ ∴ △ABC 为直角三角形.问:(1)上述解题过程，有错吗？（填“有”或“无”） (2)如果有错，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号； (3)错误的原因是； (4)本题正确的结论是 .。

人教版八年级数学教案设计：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数

教学设计新课题目17.1 勾股定理 (3)利用勾股定理在数轴上表示无理数教学（学习）目标知识与技能目标利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段.过程与方法目标经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力．情感、态度和价值观目标体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.建立自信心。

重点利用勾股定理在数轴上寻找表示2 , 3 ,5…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为无理数的线段．教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规．教学方法分组讨论法、讲练结合法教学方式实验课演示课电教课多媒体课√√回顾旧知导入新课一、温顾而知新1.勾股定理的内容是什么？2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90°①已知ɑ， b 则c=②已知ɑ， c 则b=③已知b， c 则ɑ=二、导入新课实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数：你能在数轴上表示出无理数对应的点吗?揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）教学过程设计（教学内容，方法及重难点的处理方法，师生活动、总结基础知识）三、探究新知1、议一议我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出2、13所对应的点吗？教师可指导学生寻找象2，3，……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：①学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形；②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可．我们不妨先来画出长为2的线段．2、画一画、议一议在数轴上画出表示2的点.作法：①在数轴上找到点A,使OA=1②、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=1③、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。

《利用勾股定理在数轴上表示无理数》教学设计3

17.1勾股定理（第3课时）教学目标：知识与技能：1. 利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2. 利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点。

过程与方法：1. 经历在数轴上寻找表示无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决实际问题的能力。

2. 在勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新精神。

3. 在解决实际问题的过程中，学会与他人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意思。

情感态度与价值观：1. 在用勾股定理的，在数轴上寻找表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，增强自信心。

2. 在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度，以及进行质疑和独立思考的习惯。

教学重点、难点：重点：在数数数轴上寻找表示√2，√3，√5，这样的表示无理数的点。

难点：利用勾股定理，寻找直角三角形中长度为无理数的线段。

教学准备：教学助手课件，学生平板40台，智能手机一部。

教学方法：本节课基于宁夏教育资源公共服务平台中的资源，借助授课助手里的互动课堂软件，进行师生互动，优化课堂，实现信息化教育教学的目的。

整堂课采取三段式教学法,即尝试法加演示法加任务驱动法.设置了问题、例题和测试,学生自己尝试回答问题,分析理解定义,完成例题,教师通过几何画板演示得出结论,结合小组长和老师布置的任务,学生自己完成测试.教学过程：一、复习导入复习勾股定理的内容，探究勾股定理的综合应用。

教师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，能用勾股定理证明这一结论吗？学生：思考并独立完成，教师巡视指导，并总结。

在教师的指导下学生在练习本上完成证明，用平板拍照提交，小组内互相批改纠错。

先画出图形，在写出已知，求证如下：已知：如图，在RT∆A BC和RT∆A′B′C′中,∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′求证:∆ABC≅∆A′B′C′证明: 在RT∆ABC和RT∆A' B' C'中, ∠C=∠C'=90°,根据勾股定理，得BC=√AB2−AC2,B′C′=√A′B′2−A′C′2又AB=A' B',AC=A' C'∴BC=B′C′∆ABC≅∆A' B' C'(SSS)教师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示√13所对应的点吗？设计意图：上节课我们利用勾股定理解决了生活中的不少问题。

数轴上表示无理数的点

第四课时《数轴上表示无理数的点〈〉一、教学目标知识与技能1．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．2．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，•并能用勾股定理解决简单的实际问题．过程与方法1．经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，•发展学生灵活勾股定理解决问题的能力．2．在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，•发展学生的动手操作能力和创新精神．3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，•并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．情感、态度与价值观1．在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，•体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 2．在解决实际问题的过程中，•形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．二、教学重、难点重点：点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．三、教学准备多媒体课件四、教学方法分组讨论，讲练结合五、教学内容：利用勾股定理，在数轴上找到表示无理数的点六、教学时间:4月22日七、教学时数：1课时八、课型：新授课九、教学过程(一)复习回顾，引入新课复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题．在初一时我们，……可以当直角三角形师生行为：学生小组交流讨论……这样的包含在直角三角形中的线段．此活动，教师应重点关注：②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；③学生能否积极主动地交流合作．，所以只需画出长1的直角三角形的斜边．生：设，两直角边为a，b，根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13．若a，b为正整数，•则13必须分解为两个平方数的和，即13=4+9，a2=4，b2=9，则a=2，b=3．•2，3的直角三角形的斜边．生：步骤如下：1．在数轴上找到点A，使OA=3.2．作直线L垂直于OA，在L上取一点B，使AB=2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示13的点．(二)新课教授例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5 000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以画出图，A点表示男孩头顶的位置，C、B•点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5 000米，AC=4 800米．由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．即5 0002=BC2+4 8002，所以BC=1 400米．飞机飞行1 400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1 400×6×60=50 400米=504千米，即飞机飞行的速度为504千米/时．评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形等三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决．同时注意，在此题中小孩是静止不动的．例2、如右图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，•已知物体A到平面镜的距离为6米，向B点到物体A的像A′的距离是多少？分析：此题要用到勾股定理，轴对称及物理上的光的反射知识．解：如例2图，由题意知△ABA′是直角三角形，由轴对称及平面镜成像可知：AA′=2×6=12米，AB=5米；在Rt△A′AB中，A′B2=AA′2+AB2=122+52=169=132米．所以A′B=13米，即B点到物体A的像A′的距离为13米．评注：本题是以光的反射为背景，涉及到勾股定理、轴对称等知识．由此可见，数学是物理的基础．例3、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，•问这里的水深是多少？解：根据题意，得到右图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB•是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD．所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即（AC+3）2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5，所以这里的水深为4.5分米．评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要．设计意图：让学生进一步体会勾股定理在生活中的应用的广泛性，同时经历勾股定理在物理中的应用，由此可知数学是物理的基础，方程的思想是解决数学问题的重要思想．师生行为：先由学生独立思考，完成，后在小组内讨论解决，教师可深入到学生的讨论中去，对不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注：②学生是否自主完成上面三个例题；②学生是否有综合应用数学知识的意识，特别是学生是否有在解决数学问题过程中应用方程的思想．例4、练习：在数轴上作出表示17的点．解：17是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点如下图：设计意图：进一步巩固在数轴上找表示无理数的点的方法，熟悉勾股定理的应用．师生行为：由学生独立思考完成，教师巡视．此活动中，教师应重点关注：（1）生能否积极主动地思考问题；（2，另外两个角直边为整数的直角三角形．例 5 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

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Ｆ (4, 0)
第十七章勾股定理 17.1 勾股定理(三）
历史因你而改变学习因你而精彩
探究1:
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
13 2
步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3;
3
2、作直线l⊥OA,在l上取一点B，使
3A,B以=原2;点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点。
由此可知,利用勾股定理,可以作出长为
2, 3, 5,, n
的线段.
111 1
1
1
13
14
15
1
12 11
10 9
1
1
16
81
17
1
7
1
18
12
61
1
19
1 3 45 1
n 11
第七届国际数学
教育大会的会徽
练习&1 ☞
1、如图为4×4的正方形网格,以格点与点A 为端点,你能画出几条边长为10 的线段?
A
练习&1 ☞
2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.
y
2
Ｄ(2,1)
5 x1
5
5
Ｈ
Ｏ x Ｃ2 x Ｅ
(
5,
0)
12
(2
x)2
x2
(5 , 4
0)
(
5, 0)
1 4 4x x2 x2 解得x 5 4
4
2 3C 4
15
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ?
用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,....呢?
探究1:
你能在数轴上画出表示 13的点吗？
2 -1
21
0
1

2
2
34
5
6
3
7
13 ?
13 ?
12 2 3
93
1
2√
13 ? 42
3√
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
l
B ∴点C即为表示 13 的点
13 2
0
1
2
A•3
13
C4
你能在数轴上画出表示 17 的点和
15 的点吗？
你能在数轴上画出表示 17 的点和 15 的点吗？
17 ?
15 ? 15 ?
16 4
14
11
15
? 6
1 √ lB
1
2
15
B
3
1?
17 4
0 A•1 2
4√
4
15
17
3 4C
0 1 A•1