全等三角形三种证明方法经典例题

全等三角形经典例题

典型例题：

知识点一：全等三角形判定1

例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。

思路分析：

1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。

2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。

;

解答过程：

已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。

证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE

在△AFD 和△CEB 中，

∵

&

∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC

解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。

小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。

知识点二：全等三角形判定2

AD CB AF CE DF BE =⎧⎪=⎨

⎪=⎩

例2：已知：如图，是和的平分线，。

*

求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。

解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP

<

∴∠AOB ＝∠COD

在△OAB 和△OCD 中，

∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ）

（2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD

解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。

.

例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。

解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD

、

OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD

=AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=

⎩

∴∠1＝∠2

在△ADB 和△CBD 中，

∵

∴△ADB ≌△CBD （SAS ） ∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD ∴AD ∥BC

综上：AD ∥BC ，AD ＝BC

~

解题后的思考：本题中证明三角形全等用到了公共边，这是解决问题的关键所在；在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。

例4：（1）在图1中，△ABC 和△DEF 满足AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠A ＝∠D ，这两个三角形全等吗（2）在图2中，△ABC 和△ABD 满足AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，这两个三角形全等吗

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查应用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的问题。

2）解题思路：在图1中，△ABC 和△DEF 满足AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠A ＝∠D ，即两个三角形满足SAS 的条件，所以这两个三角形全等。（2）在图2中，△ABC 和△ABD 满足AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。

解答过程：（1）全等；（2）不全等。

…

解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS ”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA ”时，这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。

小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2的掌握情况，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面，也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。

知识点三：全等三角形判定3

AB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME ＝MF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。

思路分析：

*

1）题意分析：要证明AM 是△ABC 的中线，就要证明

BM ＝CM ，要证明线段相等，就要证明与BM 、CM 有关的三角形全等，即△BEM ≌△CFM ，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。

2）解题思路：

结合已知条件和对顶角相等可由ASA 来判定 △BEM ≌△CFM ，从而得出BM ＝CM ，进而得到AM 是△ABC 的中线。

解答过程：

∵BE ⊥AE ，CF⊥AE ∴∠BEM ＝∠CFM ＝90° 在△BME 和△CMF 中，

%

∵

∴△BME ≌△CMF （ASA ） ∴BM ＝CM

∴AM 是△ABC 的中线。

解题后的思考：要证明AM 是△ABC 的中线，需要证明M 是BC 的中点，因此，转化为证明BM ＝CM ，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。

知识点四：全等三角形判定4

例6：已知：BC ＝EF ，BC ∥EF ，∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC 。求证：AF ＝DC 。

、

思路分析：

1）题意分析：要证明AF ＝DC ，就要先证明△ABF ≌△DEC ，而已知中证明这两个三角形全等的条件是∠A ＝∠D ，∠ABF ＝∠DEC ，但还缺少一组边，如何找到这组边呢根据BC ＝EF ，BC ∥EF ，想到连接BE ，从而证明△BFE ≌△ECB ，进一步得到BF ＝EC ，再利用AAS 来判定两个三角形全等。

2）解题思路：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，△ABF 和△DEC

中有

BME CMF ME MF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠∠⎩

BEM=CFM