2019年高考数学一轮总复习专题22解斜三角形检测文

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高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >，根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==，由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，下列叙述正确的是（） A ．若sin sin a bB A=，则ABC 为等腰三角形 B ．若cos cos a bB A=，则ABC 为等腰三角形 C ．若tan A tan tan 0B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若sin cos a b C c B =+，则4C π∠=【答案】ACD 【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A ：利用正弦定理判断sin sin A B =，在三角形中只能A=B ,即可判断；对于B ：∵由正弦定理得 sin 2sin 2A B =，可以判断∴ABC 为等腰三角形或直角三角形；对于C ：利用三角函数化简得tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C，利用sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>>判断cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，即可判断；对于D ：利用正弦定理判断得cos sin C C =求出角C . 【详解】对于A ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，而sin sin a b B A =，∴sin sin A B =， ∵A+B+C=π，∴只能A=B ,即ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ：∵由正弦定理得：sin sin a bA B=， ∴若cos cos a bB A=可化为sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+=∴ABC 为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ：∵A+B+C=π，∴()()()()sin sin sin cos cos cos A B C C A B C C ππ+=-=+=-=，， ∴tan A tan tan B C ++sin sin sin =cos cos cos A B CA B C++ sin cos sin cos sin =cos cos cos A B B A CA B C ++sin sin =cos cos cos C CA B C+11=sin cos cos cos C A B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos cos =sin cos cos cos C A B C A B C +⎛⎫ ⎪⎝⎭sin sin sin =cos cos cos A B CA B C.∵tan A tan tan 0B C ++<而sin 0,sin 0,sin 0,A B C >>> ∴cos cos cos A B C 、、必有一个小于0，∴ABC 为钝角三角形. 故C 正确；对于D ：∵sin cos a b C c B =+，∴由正弦定理得：sin sin sin sin cos A B A C B =+, 即sin cos sin cos sin sin sin cos B C C B B C C B +=+ ∴cos sin C C = ∵()0,C π∈∴4C π.故D 正确. 故选：ACD 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．4．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=，则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.5．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.6．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==，所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确；对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈，所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证：对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确；对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误；对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．23ϕπ=B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．()f x 的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【分析】利用图象，把(3代入求ϕ,利用周期求出2ω=，从而2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，研究对称轴和对称中心. 【详解】由图可知2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=，根据图象可知0x =在()f x 的单调递增区间上，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，A 项错误；因为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以结合图像，由五点法得33ωπππ+=，解得2ω=，则()f x 的最小正周期2T ππω==，B 项正确；将12x π=代入2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得2sin 21263f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线12x π=对称，C 项正确﹔将56x π=代入可得552sin 0633f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.二、数列多选题9．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．12n n aC ．22222123213n n a a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误.【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-，上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B 选项正确； ()221124n n n a --==，所以，22221231441143n n n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++，所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64n n + 【答案】BCD【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1n n a f n =-类型，可采用两项合并求解.。

高一数学解斜三角形试题答案及解析

高一数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，由得，即，由于为三角形的内角，故，即，因此三角形为等边三角形.【考点】判定三角形的形状.2.海事救护船在基地的北偏东，与基地相距海里，渔船被困海面，已知距离基地海里，而且在救护船正西方，则渔船与救护船的距离是()．A．海里B．海里C．海里或海里D．海里【答案】C【解析】在中，,，,，当;当；渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里．【考点】解三角形的应用．3.在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，且，求：（1）的度数；（2）边的长度．【答案】(1),(2)【解析】解题思路：（1）利用三角形三角和定理求角C;(2)根据方程的根与系数的关系求两根之和与积；利用余弦定理求边c．规律总结：解三角形问题，要分析题意，寻找边角关系，选择合适的定理．注意点：在利用余弦定理求解时，要注意利用“整体思想”，减少计算量．试题解析：（1）,;故．是方程的两根，，由余弦定理，得，．【考点】1．三角形三角和定理；2．方程的根与系数的关系；3．余弦定理．4.在中，边上的中线长为3，且，，则边长为（）. A．B．C．D．【答案】A.【解析】如图，因为与互补，所以当时，，则，又，则，所以，在三角形BAD中，由正弦定理有：，从而，所以，在三角形ADC中，由余弦定理有：，所以，故选A.【考点】三角函数的基本关系：平方关系，正弦定理与余弦定理，两角和的正弦公式，化归思想.5.边长为2的等边三角形，求它水平放置时的直观图的面积 .【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系故直观图△A/B/C/的面积为.【考点】斜二测画法，直观图6.中，若，则的面积为A．B．C．1D．【答案】A【解析】解：△ABC的面积=AB•BC•sin60°=×2×1×＝．故选C．.【考点】三角形的面积公式．.7.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.8.已知为的内角，且，则 .【答案】或【解析】依题意可知，且在单调递增，所以当时，，当时，，所以，即，综上可知或.【考点】1.三角形内角的取值范围；2.正弦函数的单调性.9.已知的周长为，且，（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若的面积为，求角C的度数。

高考数学总复习解斜三角形课时作业扫描版文大纲人教版

本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案： B二、填空题7．2010届广东实验中学高三第二次月考设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为________．8．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米．12．2010·福建卷某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．1若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？2为保证小艇在30分钟内含30分钟能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）【答案】60【解析】，，.【考点】解三角形.2.在中，内角所对边长分别为，，．（1）求；（2）若的面积是１，求．【答案】（1）（2）【解析】（1）由，，可得，；，由正弦定理，，则，故，．由，．（2）由的面积是１，可得，得．．3.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．【答案】（1）14海里/小时（2）【解析】(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以渔船甲的速度为＝14海里/小时．(2)在△ABC中，因为AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得.即sinα＝.4.一人在海面某处测得某山顶C的仰角为α(0°＜α＜45°)，在海面上向山顶的方向行进mm后，测得山顶C的仰角为90°－α，则该山的高度为________m．(结果化简)【答案】mtan2α【解析】由题意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，则∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得，即，即AC＝，所以山高BC＝ACsinα＝＝mtan2α5.在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为()．A．B．3C．D．7【答案】A【解析】S＝×AB·AC sin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，所以BC＝.6.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且。

安徽省宿州市教研室2019届高三数学总复习特色原创专题：三角函数与解三角形(含答案)

三角函数与解三角形考点梳理：一、三角函数（一）角的概念与诱导公式1．与角α终边相同的角的集合：{}360,k k ββα=⋅+∈Z 2．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限．（二）三角函数定义与同角三角函数基本关系的应用1．三角函数的定义——三角函数是,,x y r 三个量的比值 2．三角函数的符号—口诀：一全正二正弦，三正切四余弦． 3．三角函数线正弦线sin α=MP 余弦线cos α=OM 正切线tan α=AT4．同角三角函数的关系：22sin cos 1αα+=；sin tan cos ααα=．（三）两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用 1．两角和与差的三角函数()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=；()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= (,,)2k παβαβπ±≠+2．二倍角公式sin 22sin cos ααα=．2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-[:3．降幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=4．半角公式sin2α=2)cos 1(α-± ，2cos 12cos αα+±= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=（四）三角函数图像的性质的应用sin y x = cos y x = tan y x =图象函数性质定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦[: ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴（五）三角函数的变换函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换（0,00A ωϕ>>>，）函数sin()y A x ωϕ=+的图象可以通过下列两种方式得到：1．1sin sin()y x y x ϕωϕ=−−−−→=+−−−−−−−→横坐标变为原来的倍图像向左)sin(ϕω+=x ysin()A y A x ωϕ−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍2．1sin sin()y x y x ϕωωω=−−−−−−−→=−−−−→横坐标变为原来的倍图像向左)sin(ϕω+=x ysin()A y A x ωϕ−−−−−−−→=+纵坐标变为原来的倍二、解三角形（一）正弦定理、余弦定理的应用1．正弦定理2sin sin sin a b cR A B C=== 2．余弦定理及推论2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-推论：222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab+-=（二）面积公式及应用111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===热点探究：三角函数与解三角形是高考必考内容之一，考查的知识点只要有：任意角的三角函数的概念、同角三角函数的关系与诱导公式、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理等，试题以考查基础为主，难度一般是中等偏下，通常在解答题的前两道中出现．分析近五年的高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考沙场点兵、实战演练1．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若4(),0253f απα=<<，求cos α的值．2．已知函数.21)4(,23)0(,23cos sin cos 2)(2==-+=πf f x x b x a x f 且⑴ 求f （x ）的最小正周期；⑵ 求f （x ）的单调递减区间；⑶ 函数f （x ）的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数？3．已知ΔABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ， c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =--．（1）若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3π，求ΔABC 的面积．4．已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-，(1,2)b =．（1）若//a b ，求tan θ的值；（2）若||||a b =（0θπ<<），求θ的值．5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =， 3AB AC ⋅=．（1）求ABC ∆的面积；（2）若1c =，求a 的值．6．设函数f （θ）=3sin cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0θπ≤≤．（1）若点P 的坐标为13(,)22，求f ()θ的值；（2）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：x+y 1x 1y 1≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．7．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．（1）求()f x 的最小正周期：（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．8．在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知222()tan 3b c a A bc +-=（1）求角A ；（2）若=2a ，求ABC ∆面积S 的最大值．9．已知函数()sin(2)sin(2)3cos 233f x x x x m ππ=++-+-，若()f x 的最大值为1．（1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()31f B =-，且3a b c =+，试判断三角形的形状．10．若)2sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ+---=33-，且()πα,0∈．求（1）ααααsin cos sin cos +-；（2）ααα2cos cos sin 1+-的值．11．已知函数=)(x f 223sin cos 2cos x x x m ⋅++在区间[0,]3π上的最大值为2．（1）求常数m 的值；（2）在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边是a ,b ,c ，若()1f A =，sin 3sin B C =， ABC ∆面积为334．求边长a ．12．（2018上海）已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>．(1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由；(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像．对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值．13．（2018福建）如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,22OP =,点M 在线段PQ 上．(1)若3OM =,求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值．[:答案：1．（1）()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+(2) 334sin()sin 66610πππα+++=2．⑴)(x f 的最小正周期T=.22ππ=⑵]127,12[ππππk k ++)(Z k ∈．⑶)6(2sin )(π+=x x f ，∴奇函数x y 2sin =的图象左移6π即得到)(x f 的图象， 3．解证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v vQ即22a b a b R R⋅=⋅，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m ABC ∴∆为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v即 a b ab ∴+=由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去 w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m11sin 4sin 3223S ab C π∴==⋅⋅=4．（1） 1tan .4θ=（2）由||||a b =知，22sin (cos 2sin )5,θθθ+-=所以212sin 24sin 5.θθ-+=从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos 21θθ+=-，于是2sin(2)42πθ+=-．又由0θπ<<知，92444πππθ<+<，所以5244ππθ+=，或7244ππθ+=． 5．（1）2 （2）5232125cos =⨯-+=A c6．（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是31()3sin cos 3 2.22f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域Ω（即三角形区域ABC ）如图所示，其中A （1，0），B （1，1），C （0，1）．于是0.2πθ≤≤又()3sin cos 2sin()6f πθθθθ=+=+，且2,663πππθ≤+≤故当,623πππθθ+==即， ()f θ取得最大值，且最大值等于2；当,066ππθθ+==即时， ()f θ取得最小值，且最小值等于1．7．（1）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（2）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+当取得最小值—1．[: 8．（1）60A ︒= (2) 3 9．（1）5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ （2）直角三角形 10．（1）223-（2）423- 11．（1）-1（2）712． (1)()2sin 2sin()2sin 2cos 22sin()24F x x x x x x ππ=++=+=+()F x 是非奇函数非偶函数．∵()0,()2244F F ππ-==,∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠-∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数．(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++,其最小正周期T π=由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-,∴2(1),36k x k k Zπππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ [:区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点；若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点；故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个． 13． (1)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,5OM =,22OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒, 得2430MP MP -+=, 解得1MP =或3MP =．(2)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠, 所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒ ()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=⎡⎤︒+︒++︒+⎢⎥⎣⎦()()()2131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒++︒+︒+ ()()1311cos 902sin 90244αα=-︒++︒+⎡⎤⎣⎦ 1331sin 2cos 2444αα=++ ()131sin 23042α=++︒ 因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN∆的面积取到最小值．即230POM ∠=︒时,OMN ∆的面积的最小值为843-．。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题含答案(1)

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题含答案(1)一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（）A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABCD ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin C ==，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又3cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+，令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ，令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =，设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-，故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈，即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确；由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确；令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值；【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-，对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减，所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；6．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确；对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到的函数的图象关于6x π=对称，则a 的最小值是3π D ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则12x x -的最大值为3π【答案】ACD 【分析】由条件可得13f π⎛⎫=±⎪⎝⎭，可得6πϕ=-从而得出()f x 的解析式, 选项A 先得出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的表达式，可判断；选项B 求出函数的单调区间，可判断；选项C 根据图象平移变换得出解析式，可得答案；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断. 【详解】根据条件可得23sin 333f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈ 则,6k k Z πϕπ=-∈，由22ππϕ-<<，所以6πϕ=-所以()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭选项A. 3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确. 选项B. 由3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 2522233k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 536k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当0k =时，536x ππ≤≤，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故选项B 不正确. 选项C. 函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位长度得到, ()3sin 23sin 2266y x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 根据条件可得当6x π=时，3sin 23sin 23366a a πππ⎛⎫⎛⎫--=-=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,62a k k Z πππ-=+∈,则1,26a k k Z ππ=--∈ 由0a >，则当1k =-时，a 有的最小值是3π，故C 正确. 选项D. 作出()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，如图当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()3f x =，可得3x π= 由33sin 662f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()32f x =，可得2x π= 当332a ≤<时，方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根1x ，2x ，则1x +223x π= 设1x <2x ，则1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，如图当32a =时，1x ，2x 分别为6π，2π时，12x x -最大，最大值为3π，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查三角函数()sin y A x ωϕ=+的图像性质，考查三角函数的图象变换，解答本题的关键是根据正弦型函数的对称性求出ϕ的值，根据三角函数的对称性得到1211122233x x x x x ππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，162x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，属于中档题.8．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（） A ．()f x 的最小正周期是π B ．()f x 的图像可由函数()222g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到 C ．4x π=是()f x 的一条对称轴D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AB 【分析】首先化简函数()2224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方法判断选项. 【详解】()1sin 2cos 212224f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，A.函数的最小正周期22T ππ==，故A 正确；B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移8π个单位而得到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C.当4x π=时，32444πππ⨯+=，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8x π=-时，2084ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=，由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭，即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误；由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误；由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

2019年全国高考数学(三角部分)试题及解析

2019年全国高考（三角部分）解三角形本质上是三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形面积、三角形内角和定理以及三角形两边之和大于第三边）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或部分度量关系。

1．（2019全国Ⅰ）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．解：（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒<<︒，所以60A =︒．（2）由（1）知120B C =︒-2b c +=()sin 1202sin A C C +︒-=，1+sin 2sin 2C C C +=，可得()cos 602C +︒= 由于0120C ︒<<︒，所以()sin 60C +︒=()()()sin =sin 6060sin 60co (s60cos 60sin 60C C C C +︒-︒=+︒︒-+︒︒解题策略：单角与复合角思想)2．（2019全国Ⅲ）ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且c 1=，求ABC ∆面积的取值范围．解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒．（2）由题设及（1）知ABC ∆的面积ABC S ∆．由正弦定理得()sin 120sin 112sin sin sin 22CC c A a C C C ︒-===+=+（化成一个角的三角函数）由于ABC ∆为锐角三角形，故090A ︒<<︒，090C ︒<<︒．由（1）知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<ABC S ∆<<因此，ABC ∆面积的取值范围是⎝⎭．3．（2019全国Ⅱ第9题）下列函数中，已2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（） .()cos 2f x x =Α ()sin 2.f x x =Β ()cos f x x =C. .()sin f x x =D解：对于A ，函数()cos 2f x x =的周期为2π，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增，故A 正确；对于B ，函数()sin 2f x x =的周期为2π，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递减，故B 不正确；对于C ，函数()cos cos f x x x ==的周期为2π，故C 不正确；对于D ，函数sin ,0,()sin sin ,0,x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，由正弦函数图象知，在0x ≥和0x <时，()f x 均以2π为周期，但是在整个定义域上()f x 不是正确函数，故D 不正确．综上所述，选A ．4．（2019全国Ⅱ第10题）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin2cos21αα=+，则sin α=（）1.5Α Β D 解：（方法一）：2sin2cos21αα=+，得24sin cos 2cos 11ααα=-+，即22sin cos cos ααα=，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1t a n 2α=，所以sin α=．（方法二）：由2sin2cos21αα=+，得24sin cos 12sin 1ααα=-+，即22sin cos 1sin ααα=-，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=22sin 1sin α=-，解得sin α=．故选B ．5．（2019全国Ⅱ第15题）在ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．若6b =，2a c =，3B π=，则ABC∆的面积为．解：（方法一）：因为2a c =，6b =，3B π=，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()2226222cos3c c c c π=+-⨯⨯，得c =a =ABC ∆的面积11sin sin 223S ac B π==⨯=（方法二）：因为2a c =，6b =，3B π=，所以由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()2226222cos3c c c c π=+-⨯⨯，得c =a =222abc =+，所以2A π=，所以ABC ∆的面积162S =⨯=． 6．（2019全国Ⅰ第11题）关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是A ．①②④B .②④C .①④ .D ①③ 考查内容：奇偶性、单调性、零点、最值，即函数的基本性质．解：①显然()f x 是偶函数，因为()sin sin()sin sin f x x x x x -=-+-=+，所以①正确；②因为,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()sin sin f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=，而sin x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②错误；③因为()f x 是偶函数，所以只需考虑[]0,x π∈的图象，当[]0,x π∈时，()2sin f x x =，其图象如图所示，所以③错误；④正确．故选C ．7．（2019全国Ⅲ12题）设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点．下列四个结论： ①()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增④ω是取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④解：由sin y x =sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin 5y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令05x πω+=，得5x πω=-，周期2T πω=，所以229555x T ππππωωωω=-+=-+=，419255x T ππωω=-+=， 66293555x T ππππωωωω=-+=-+=，51929245525x πππωωω+==，4355210A x πππωωω-+==，15π（）向左平移个单位12ω（）横坐标伸缩原来的倍对于①：已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，根据图象可知函数()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点，所以①是正确；对于②：因为2B x π<或2B x π>，因此可能会出现3个极小值点，有时②是错误；对于④：依题意，2429255ππωω≤<，即1229510ω≤<，所以④正确；对于③：因为310A x πω=，因为1229510ω≤<，所以310A x πω=3329291010ππ>=⨯，310A x πω=3128105ππ≤=⨯，所以3298A x ππ<≤，而31029ππ<，所以函数()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以③正确．综上所述，①③④正确，故选D ．。

2019年高考数学(理)总复习专题22 解斜三角形(课件)

三、正、余弦定理综合应用例3 如图，在平面四边形 ABCD 中，AD＝1，CD＝2，AC＝ 7. (1)求 cos∠CAD 的值； 7 (2)若 cos∠BAD＝－， 14 21 sin∠CBA＝，求 BC 的长. 6
【解析】(1)在△DAC 中，由余弦定理可得 AD2＋AC2－DC2 1＋7－4 2 7 cos∠CAD＝＝＝， 7 2AD·AC 2×1× 7 2 7 所以 cos∠CAD＝ . 7 (2)因为∠BAD 为四边形内角，所以 sin∠BAD>0，sin∠BAD＝ 1－cos2∠BAD 3 21 21 2 ＝，且 sin∠CAD＝ 1－cos ∠CAD＝， 14 7 再由正弦的和差角公式可得 sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD 3 21 2 7 21 3 3 7 3 3 ＝ × － ×－＝＋＝ . 14 7 7 7 14 2 14
2 (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π代入 b2＝a2＋c2 3 2 2 －2accos B，得 13＝4 －2ac－2accos π，解得 ac＝3. 3 1 3 3 ∴S△ABC＝ acsin B＝ . 2 4
【点评】 ①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键 .②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
1 2. 三角形的面积： S △ ABC ＝ __________________ ＝ 2absinC 1 1 abc acsin B bcsin A ____________________ ＝___________________ ＝ 4R ＝ 2 2 1 r(R 为三角形外接圆半径，r 为内切圆半径)． 2(a＋b＋c)·

近年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标22正弦定理和余弦定理(2021年整理)

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第22讲正弦定理和余弦定理［解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，判断三角形的形状,求三角形的面积等。

三种考查内容均有呈现，一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置,题目难度中等偏易.一、选择题1．在△ABC中，三内角A,B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，A＝错误!，则B＝（B）A．错误!B．错误!或错误!C．错误!或错误!D．错误!解析根据正弦定理错误!＝错误!，得错误!＝错误!,∴sin B＝错误!，∴B＝错误!或错误!.2．在△ABC中，若AB＝2,AC2＋BC2＝8，则△ABC面积的最大值为( C) A． 2 B．2C．错误!D．3解析∵AC2＋BC2≥2AC·BC,∴AC·BC≤4。

∵cos C＝错误!＝错误!，∴cos C≥错误!，∴0°〈C≤60°。

∵S＝错误!AC·BC·sin C，∴由不等式的性质可知当AC＝BC＝2时，面积S有最大值,S max＝错误!×2×2×错误!＝错误!,故选C．3．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝2，则边长AC为（B）A．错误!－1 B．1C．2 D．错误!＋1解析根据题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理错误!＝错误!，得AC＝错误!＝1,故选B．4．在△ABC中，AC＝错误!，BC＝2，B＝60°,则BC边上的高等于（B) A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析设AC＝b,BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝4＋c2－2c,解得c＝3。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析

❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函数的基本关系式与诱导公式和与差的三角函数公式简单的三角恒等变换三角函数的图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三角函数模型的简单应用正弦定理和余弦定理解三角形应用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、点在纲上，源在本里考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数的周期三角函数值域三角函数图象正余弦定理与面积公式的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ．即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝＝2sin 20°答案：－4 8．必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－＜ x －＜2k π＋，k ∈Z ，得4k π－＜x ＜4k π＋ π. －，－， .故④正确．令 k ＝0 得，－＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x －＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移－(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝－ 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx －－ 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝处取得最值，因此 2ω· －＝k π＋，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个单位，得到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝－ 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝，因为 α 为锐角，所以－＜α－＜，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝，所以＝＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将函数 f (x ) 的图象向左平移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝，＝，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－，所以 sin ∠BAC ＝，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。

年高考第一轮复习数学解斜三角形

・知识梳理利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题^(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2—2bccosA; ① b 2=c 2+ a 2— 2ca cosB; ② c 2=a 2+ b 2— 2abcosC.③在余弦定理中，令 C=90° ,这时cosC=0,所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得,222“ b c a cosA= ，2 2 .2 cab cosB= -2ca222八a b c cosC= 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”^・点击双基1. (2002年上海)在^ ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形222解析：由 2cosBsinA=sinC 得 a --- c-- — x a=c, a=b.ac答案：C2.下列条件中，△ ABC 是锐角三角形的是 +cosA= 1B. AB - BC > 05 =3, c=3<3 , B=30解斜三角形1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即--sin A b _ csin B sin C2bc 2ab+tanB+tanC >01解析：由 sinA+cosA=_5得 2sinAcosA= - 24 < 0, • . A 为钝角.25由 A B • BC >0,得 B A - BC <0, cos 〈 BA , BC> < 0..1.B 为钝角. 由 tanA+tanB+tanC>0,得 tan (A+B) • (1 — tanAtanB) +tanC>0.•••tanAtanBtanOO, A 、B 、C 都为锐角.35.在锐角^ ABC 中，边长a=1, b=2,则边长c 的取值范围是2 小解析：若c 是最大边，则cosC > 0. --- ------ 2ab答案：(1,芯) ・典例剖析【例1】4ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.sin B sin C 答案：C3. (2004年全国IV,理 c_ ,得 sinC=立，C=」或 22 . 11) AABC 中，a 、 b 、c 成等差数列，/ B=30,△ ABC 的面积为b 、3c 分别为/ A 、/ B 、/C 的对边，如果 ,那么b 等于 a 、A .L_22 2 .3C. -----解析：: a 、b 、c 成等差数列，，2b=a+c.平方得a 2+c 2=4b 2—2ac.又△ ABC 的面积为-,2且/ B=30° ,故由 $△ ABC = - acsinB= — acsin30° =— ac=-,得 ac=6. . . a 2+c 2=4b 2—12.由余弦 2 2 422 2222…钿衿 D a 2c 2b 24b 212 b 2b 24 7E 理,得 cOSB= ------------ = ------------ = -----2 3一,解得b 2=4+2 ,3 .又b 为边长, 2••.b=1+ 3 .答案： 4.已B(a+b+c) (b+c — a) =3bc,贝U/ A=解析: ,22 2由已知得(b+c) 2- a 2=3bc,「. b 2+c 2—a 2=bc.， ---------- —= 2bc 2兀Z A=—.答案:7t2—>0,c< 45 .又 c>b —a=1,证明：用正弦定理，a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,代入a2=b (b+c)中，得sin2A=sinB (sinB+sinC) sin2A—sin2B=sinBsinC1 cos2A 1 cos2B - =SinBsin (A+B)2 21—(cos2B—cos2A) =SinBsin (A+B)2sin (A+B) sin (A —B) =sinBsin (A+B),因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin (A+B) w 0.所以sin (A—B) =sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论(1)该题若用余弦定理如何解决朝川中人选…工田义2，八、/口“ b2 c2 a2(b2 c2) b( b c) c b斛：利用余弦TE理，由a2=b(b+c)，得cosA= ---------- = ------------------- = ---- .2bc 2bc 2b cos2B=2cos2B- 1=2 (a——c———)2T = ――。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.在△ABC中，，，△的面积为，则边的值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，解得，∴，.【考点】解三角形.2.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则DABC的形状一定为___________.【答案】等腰三角形【解析】由等式，得，即，又由平行四边形法测可知所得向量在底边的中线上，又点为任一点，则此时有底边与其中线垂直，因此的形状为必为等腰三角形，故正确答案为等腰三角形.【考点】向量运算、三角形.3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B【解析】由b cos C＋c cos B＝a sin A，得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin A＝1，由0<A<π，得A＝，所以△ABC为直角三角形．4.在所对的边分别为且.（1）求；（2）若,求面积的最大值.【答案】（1）；（2）面积的最大值为．【解析】（1）求，首先利用三角形内角和等于对其转化成单角，再利用倍角公式进行恒等变化得，由已知，带入即可；（2）若,求面积的最大值，由已知，可求出，可利用，因此求即可，又因为，可想到利用余弦定理来解，由余弦定理得，，利用基本不等式可求出的最大值，从而得面积的最大值．试题解析：（1）6分（2）即，，面积的最大值为 12分【考点】三角恒等变换，解三角形5.在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为在中，所以。

故D正确。

【考点】三角形面积及正弦函数的值域。

6.在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .【答案】【解析】利用正弦定理化简，得：，将代入得：，即，∴由余弦定理得：，∵为三角形内角，∴，故答案为：．【考点】解三角形．7.5.在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，成等比数列，所以.又，∴.在中，由余弦定理得：，那么.由正弦定理得，又因为，，所以.【考点】1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.8.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.9.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．10.已知A、B、C是三角形ABC的三内角，且，并且（1）求角A的大小。

高考数学一轮复习考点22 正弦定理和余弦定理必刷题理(含解析)-人教版高三全册数学试题

考点22 正弦定理和余弦定理1．（某某省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值X 围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值X 围为,故选C.2．（某某省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1BC ．4 D ．4【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12+=故选：D ．3．（某某省某某市2019届高三总复习质量测试理科二）在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（） A ．1 B ．2C ．12x x D．【答案】C 【解析】由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅234150AC AC ⇒--=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C.4．（某某省某某市2019届高三第二次模拟考试数学理）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b c c b+的最大值是_____．【解析】因为BC 边上的高为2a ，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =，可得2222cos 2222bc b c a bc A c b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+．5．（某某省某某市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【答案】3【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+，所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解3c =.即AB .故答案为3． 6．（某某省某某十校2019届第二学期高考模拟考试）在ABC ∆中，A ，B ，C 内角所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =且cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，则c 的最小值为_____．【答案】12【解析】∵ccos cos 4sin sin B b C a B C +=，∴sin cos sin cos 4sin sin sin C B B C A B C +=， ∴sin()sin 4sin sin sin B C A A B C +==，∵sin 0A ≠，∴1sin sin 4B C =，∴1sin 4sin C B =，由正弦定理可得sin sin b c B C=，即2sin 28sin sin Cc C B =⨯=，当sin 1B =时，min sin C =14.当1sin 4C =时，则c 的最小值为12．故答案为：12.7．（某某省某某市2019届高三第一次模拟考试理）设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =6b =，1cos 2B =-，那么角C 的大小为__________．【答案】12π 【解析】1cos2B =-，∴B 为钝角，可得23B π=，sin B =．=sin A =A 为锐角，∴4A π=．∴24312C A B πππππ=--=--=． 8．（某某省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.1 【解析】依题意，C A B =+，结合三角形的内角和定理，所以2A B π+=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则12R =，于是2(sin sin )sin sin a b R A B A B +=+=+sin cos 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当4A π=时，a b +1.9．（市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在ABC △中，3cos 5A =,a =5b =，则c =__________．【答案】7 【解析】由3cos ,55A a b ===，代入2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c =+-⨯⨯⨯，即：2670c c --=解得7.(1c c ==- 舍去）故答案为：7．10．（某某省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】【解析】在△ABC 中，23BAC π∠=，BC 边上的中线AD=3，1()2AD AB AC =+，设AB ＝c ，AC ＝b ，平方可得 9＝()222211222cos 434c b AB AC c b cb π⎛⎫++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭. 化简可得，22362c b bc bc bc bc +=≥-=-，∴bc≤36，当且仅当b c =时成立，故△ABC 的面积S ＝1213sin 36932322bc π⋅⨯⨯= 故答案为：9311．（某某省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____.【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==，由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 12．（某某省某某市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosA ＝4，asinC ＝5．（1）求边长c ；（2）著△ABC 的面积S ＝20．求△ABC 的周长．【答案】（141（2）41 【解析】（1）∵由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得：asinC ＝csinA ， ∵asinC＝5，可得：csinA ＝5，可得：sinA ＝5c ，又∵ccosA＝4，可得：cosA ＝4c，∴可得：sin 2A+cos 2A ＝222516c c +＝1，∴解得c 41（2）∵△ABC 的面积S ＝12absinC ＝20，asinC ＝5，∴解得：b ＝8，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝64+418＝41，解得：a ，∴△ABC 的周长＝a+b+c ．13．（某某省某某市2019届高三全真模拟考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）∵2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =，又0A π<<，∴3A π=.（Ⅱ）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，∴3bc =，∴ABC ∆的面积11sin 322S bc A ==⨯=. 14．（某某省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）607. 【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为213AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607.15．（某某省某某市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角ABC ∆中，52AC =D 在线段BC 上，且32CD =，ACD ∆的面积为66，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值；（Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【答案】（Ⅰ）214；（Ⅱ）322. 【解析】（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠15232sin 662ACD =⨯∠=所以26sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以2261cos 155ACD ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得214AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即521253AE =，所以32AE =. 16．（某某省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3=c b ，2sin 3B A =. （1）求cos B ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）56（2）112【解析】（1）因为2sin B A=，所以2b=，即a=又因为=c，所以2225cos262a c bBac+-===.（2）因为2a=，所以3c=.因为5cos6B=，在ABC∆中，(0,)Bπ∈，所以sin6B=所以11sin232262ABCS a c B∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=.17．已知ABC∆的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos cos2cosb Cc B a A+=. （1）求A；（2）若ABC∆的周长为3，求a的最小值.【答案】（1）3Aπ=；（2）1.【解析】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin2sin cosB C B C A A+=，即()sin2sin cosB C A A+=，∵()()sin sin sinB C A Aπ+=-=，∴1cos2A=.又∵()0,Aπ∈，∴3Aπ=.（2）∵()2222221cos222b c bc ab c aAbc bc+--+-===，化简得()()223*bc b c a=+-，∵3a b c++=，∴()3a b c=-+，代入()*式得()369bc b c =+-， ∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥，解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形.18．（某某省某某市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BD CD；（2）若1AD AC ==，求BC 的长．【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，在ACD ∆中，sin sin AD CD C CAD=∠，又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD C CD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得2x =.3BC x ==19．（）在某某省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DC BD的值；（Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD∠，因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin 6DC B BD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==故11sin 222ABCS ab C ==⨯=20．（某某省某某市2019届高三考前模拟三模）已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C 所对的边，若向量(,cos )m b B =，(cos ,2)n C c a =-，且m n ⊥.（1）求角B ；（2）若113||2m =，且24ac =，求边,a c . 【答案】（1）3B π=；（2）64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩.【解析】（1）m n ⊥0m n ∴⋅=，又向量(),cos m b B =，()cos ,2n C c a =-，故()cos 2cos 0b C c a B +-=由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得：sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C A B +-= ()sin 2sin cos 0B C A B ∴+-=又()()sin sin sin B C A A π+=-=sin 2sin cos 0A A B ∴-=sin 0A ≠1cos 2B ∴=又()0,B π∈3B π∴= （2）由（1）知3B π=1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭22111322m b ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭ 2111344b ∴+=，即：228b =，解得：27b = 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b ac ac B =+-又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+- 又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩． 21．（某某省师X 大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.【答案】(1) 2a = (2) 757ABM S ∆=【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin 4A =，所以3sin sin 22sin cos 2448B A A A ===⨯=，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去）. 1sin 2ABC S bc A ∆== 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 22．（某某省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B. （I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）若2BD AB =，AD =b . 【答案】（I ）12；（II）b = 【解析】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B，由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=，由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=.（II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠，所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=，所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=，在直角ABD ∆中，AD =1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =. ∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=b =23．（某某部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在ABC 中，45A ∠=，2AB =（1）若BC =求ACB ∠；（2）若ABC?的面积为1，求BC .【答案】（1）6ACB π∠=；（2. 【解析】（1）由题设知，2sin45sin ACB=︒∠，所以1sin 2ACB ∠=. 566ACB ππ∠=或. 由AB BC <大边对大角，所以6ACB π∠=．（2）1sin 12ABC S bc A ∆==，容易得出b =在ABC △中，由余弦定理得 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠42222=+-⨯=所以BC =24．（某某省某某市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1sin sin A C B A C B A C +-=-+--+=- 222sin sin sin sin sin B A C A C ∴=+-由正弦定理可得：222b a c ac =+- 由余弦定理可得：2221cos 22a cb B ac +-== ()0,B π∈3B π∴=（2）由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，即：224a c ac =+-222a c ac +≥42ac ac ∴+≥4ac ∴≤（当且仅当a c =时取等号）∴11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=ABC ∆． 25．（某某省某某第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

高三数学(理)一轮总复习(新课标)考点集训第23讲解斜三角形 Word版含解析

考点集训(二十三) 第讲解斜三角形
．在△中，＝，＝，＝°，则＝
．－．－
．在△中，，，分别是角，，所对的边，已知＝，＝，＝°，则＝
．°．°或°
．°．°或°
．在△中，角，，所对的边分别为，，，若＋－＝，则角为
π π
．在△中，＝，(，，分别为角，，的对边)，则△是
．正三角形
．直角三角形
．等腰三角形或直角三角形
．等腰直角三角形
．在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝，＝π，则△＝．
．如图，在△中，∠＝，＝，点在边上，且＝，∠＝.
()求∠；
()求，的长．
．如图，在△中，∠＝°，＝，＝，为△内一点，∠＝°.
()若＝，求；
()若∠＝°，求∠.
．已知函数＝＋＋(∈)．
()求的单调递增区间；
()在△中，为锐角，且＝，＝，是边上一点，＝，试求△周长的最大值．
．设△三个内角、、所对的边分别为，，.已知＝，＝ .
()求角的大小；()如图，在△的外角∠内取一点，使得＝.过点分别作直线、的垂线、，垂足分别是、.设
∠＝α，求＋的最大值及此时α的取值．
答
案题
号。

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第2讲含解析.docx

2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题πα＝()1，且 ≤ α≤ π，则 cos1． (2018 石·家庄质量检测 (二 ))若 sin( π－ α)＝ 322 22 2A ． 3B ．－ 3C ．－ 4 9 2D ． 49 2解析：选 B. 因为 sin( π－ α)＝ sin α＝1π22 3，且 ≤ α≤ π，所以 cos α＝－，故选 B.232．已知 tan(α－ π)＝ 3，且 α∈ π 3π，则 sin α＋ π)，＝ (4 2 2244 A. 5B ．－ 533 C.5D ．－ 533解析：选 B. 由 tan(α－ π)＝ ? tan α＝ .44π 3π，又因为 α∈ 2 2 ，所以 α为第三象限的角， sin α＋ π42 ＝ cos α＝－ .54，θ∈ π，则 sin θ－cos θ的值为 ( )3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 30，422A. 3B ．－ 311 C.3D ．－ 3解析：选 B.因为 (sin θ＋ cos θ)2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋ 2sin θ·cos θ＝ 1＋2sin θcos θ＝169，所以722 222sin θcos θ＝ 9，则 (sin θ－ cos θ) ＝ sin θ＋ cos θ－ 2sin θcos θ＝ 1－ 2sin θcos θ＝ 9.又因为π 2 θ∈ 0， 4 ，所以 sin θ＜ cos θ，即 sin θ－cos θ＜ 0，所以 sin θ－ cos θ＝－ 3.4．已知 f(x)＝ asin( πx ＋ α)＋bcos( πx ＋ β)＋ 4，若 f(2 018)＝5，则 f(2 019)的值是 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5解析：选 B. 因为 f(2 018) ＝ 5，所以 asin(2 018 π＋ α)＋ bcos(2 018 π＋ β)＋ 4＝ 5，即 asin α＋ bcos β＝1.所以 f(2 019) ＝ asin(2 019 π＋ α)＋ bcos(2 019 π＋β)＋ 4＝－ asin α－ bcos β＋ 4＝－ 1＋ 4＝13.θ π11－ sin θ)5．当 θ为第二象限角，且 sin＋＝时，θ的值是 ( 2 2 3θcos － sin2 2 A ． 1 B ．－ 1C ．± 1D ． 0θ πθ 1，解析：选 B. 因为 sin＋＝1，所以 cos ＝22 32 3θ θ θ所以在第一象限，且 cos＜sin，222θ θ所以1－ sin θ －（ cos 2－sin 2）θ ＝ θθ ＝－ 1.θcos －sin2cos － sin2226．若 sin θcos θ＝ 1 ，则 tan θ＋ cos θ)2 的值是 (sin θA ．－ 2B ．21C ．± 2D ． 2解析：选 B.tan θ＋ cos θ sin θ cos θ1＝ 2.sin ＝＋＝θ cos θ sin θ cos θsin θ二、填空题π7．已知函数 f(x) ＝2cos 3x ， x ≤ 2 000，则 f(f(2 018)) ＝________．x － 18，x ＞ 2 000，解析： f(2 018) ＝2 018－ 18＝ 2 000， f(f(2 018))＝ f(2 000)＝ 2cos2 00023 π＝ 2cos 3π＝－ 1.答案：－ 18．已知 sin(3 π－ α)＝－ 2sin( π＋ α)，则 sin αcos α＝ ________．2π 解析：因为 sin(3 π－ α)＝sin( π－ α)＝－ 2sin(2＋ α)，所以 sin α＝－ 2cos α，所以 tan α＝－ 2，sin αcos α ＝ tan α ＝－ 22则 sin αcos α＝ 2 2 2 （－2）2 ＋＝－ .sin α＋ cos α tan α＋ 1 15答案：－25sin[ （ k ＋ 1） π＋ α] ·cos[（ k ＋ 1） π－ α]9．若 f(α)＝(k ∈ Z )，则 f(2 018) ＝ ________．sin （ k π－ α） ·cos （ k π＋ α）解析： ① 当 k 为偶数时，设 k ＝ 2n(n ∈ Z )，原式＝ sin （ 2n π＋ π＋ α） ·cos （ 2n π＋ π－ α）sin （－ α）· cos α＝sin （ π＋ α） ·cos （ π－ α）＝－ 1；－ sin α· cos α2②当 k 为奇数时，设 k ＝ 2n ＋ 1(n ∈ Z )，原式＝ sin[ （ 2n ＋ 2） π＋ α] ·cos[（2n ＋ 2） π－α]sin[ （ 2n ＋ 1） π－ α] ·cos[（2n ＋ 1） π＋α]sin α· cos （－ α）＝sin （ π－ α） ·cos （ π＋ α）＝－ 1.综上所述，当 k ∈ Z 时， f(α)＝－ 1，故 f(2 018) ＝－ 1. 答案：－ 110．已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝ ________．解析：因为 sin α＋ 2cos α＝ 3，所以 (sin α＋ 2cos α)2＝ 3，所以 sin 2α＋ 22sin αcos α＋ 2cos 2α＝ 3，2α＋ 2 2sin αcos α＋ 2cos 2α所以 sin22＝ 3，sin α＋ cos α所以 tan 2α＋ 2 2 2tan α＋ 2＝ 3，tan α＋ 1所以 2tan 2α－ 2 2tan α＋1＝ 0，所以 tan α＝ 22.2答案： 2三、解答题5πsin＋ α211．已知 sin α＝ 2 5 5，求 tan(α＋ π)＋ 5π的值．cos － α2解：因为 sin α＝2 55＞ 0，所以 α为第一或第二象限角．5πsin ＋ αcos α2tan(α＋ π)＋ 5π＝ tan α＋ sin αcos － α2＝ sin α cos α 1.＋＝cos α sin α sin αcos α(1)当 α是第一象限角时，cos α＝ 25，1－ sin α＝ 5原式＝ 1 5＝ .sin αcos α 2(2)当 α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5，5 原式＝1 ＝－ 5 .sin αcos α 2112．已知 x ∈ (－ π， 0)， sin x ＋ cos x ＝ 5.(1)求 sin x －cos x 的值；(2)求 sin 2x ＋ 2sin 2x 的值． 1－ tan x3解： (1)由 sin x ＋ cos x ＝15，平方得 sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋cos2x ＝ 251，24整理得 2sin xcos x ＝－.所以 (sin x － cos x)2＝ 1－ 2sin xcos x ＝4925.由 x ∈ (－ π， 0)，知 sin x<0，又 sin x ＋ cos x>0，所以 cos x>0， sin x － cos x<0 ，7故 sin x － cos x ＝－ 5.(2)sin 2x ＋2sin 2x ＝ 2sin x （ cos x ＋ sin x ） 1－ tan xsin x1－cos x＝2sin xcos x （ cos x ＋ sin x ）cos x － sin x－24× 125 5 24＝7 ＝－ 175.54。

2019届高三数学课标一轮复习单元质检四三角函数、解

单元质检四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2017浙江湖州模拟)已知角θ的终边经过点P(4,m),且sin θ=,则m等于()A.-3B.3C.D.±32.(2017浙江杭州模拟)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α=()A.-B.C.-D.3.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的值为()4.(2017浙江杭州四校联考)已知-<α<0,sin α+cos α=,则-A. B. C. D.5.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+tan A·tan B,则△ABC的面积为()A. B.3 C. D.6.(2017浙江名校联考)下列四个函数:y=sin|x|,y=cos|x|,y=|tan x|,y=-ln|sin x|,以π为周期,在上单调递减且为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=|tan x|D.y=-ln|sin x|7.(2017昆明模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图象关于y 轴对称,则a的最小值是()A. B. C. D.8.(2017浙江绍兴期中)f(x)=A cos(ωx+φ)(A,ω>0)的图象如图所示,为得到g(x)=-A sin的图象,可以将f(x)的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x∈-恒成立,则φ的取值范围是()A. B. C. D.10.(2017云南师大附中模拟)已知函数f(x)=|sin x|·cos x,则下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的周期为πC.若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+2kπ(k∈Z)D.f(x)在区间上单调递减二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.(2017浙江绍兴调研)设函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,x∈R),最小正周期T=π,则实数ω=,函数f(x)的图象的对称中心为,单调递增区间是.12.已知0<α<,sin α=,tan(α-β)=-,则tan β-=.13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象如图所示,则ω=,φ=.14.在△ABC中,D是AC边的中点,A=,cos ∠BDC=,△ABC的面积为3则sin ∠ABD=,BC=.15.下列命题:①函数y=sin的单调减区间为,kπ+,k∈Z;②函数y=x-sin 2x图象的一个对称中心为;③函数y=sin-在区间-上的值域为-;④函数y=cos x的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到;⑤若方程sin-a=0在区间上有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=.其中正确命题的序号为.16.(2017福建三明质检改编)已知函数f(x)=sin(x+φ)-2cos(x+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=π对称,则cos 2φ=.17.(2017浙江衢州高三考试)已知△ABC的面积为1,∠A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,则当k=时,边BC的长度最短.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2017浙江金华十校联考)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.19.(15分)(2017浙江金华期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cos 2B=4cos B-3.(1)求角B的大小;(2)若S△ABC=,a sin A+c sin C=5sin B,求边b.20.(15分)(2017浙江温州模拟)已知函数f(x)=x-2cos2+1.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在区间上的最值.21.(15分)如图,在△ABC中,AB=2,cos B=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=π,求AD的长;(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.22.(15分)(2017浙江宁波高三)已知函数f(x)=cos x·(sin x-cos x)+,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若函数g(x)=f(x+a)为偶函数,求|a|的最小值.答案：1.B sin θ=,解得m=3.2.C因为α是第四象限角,sin α=-,所以cos α=-,故tan α==-3.B由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即A=4.B∵sin α+cos α=,∴1+2sin αcos α=2sin αcos α=-,∴(cos α-sin α)2=1+,又∵-<α<0,∴cos α>0>sin α,∴cos α-sin α=,,故选B.--化简得5.C∵tan C=-tan(A+B)=--tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,∴tan C=C=60°.cos C=(a2+b2-c2),把a=4,b+c=5,C=60°代入解得b=,所以S=ab sin C=故选C.6.D A:y=sin|x|在上单调递增,故A错误;B:y=cos|x|=cos x周期为T=2π ,故B 错误;C:y=|tan x|在上单调递增,故C错误;D:f(x+π )=-ln |sin(x+π )|=-ln|sin x|,周期为π ,当x时,y=-ln(sin x),在上单调递减,故D正确,故选D.7.B依题意得f(x)=2sin-,因为函数f(x-a)=2sin--的图象关于y轴对称,所以sin--=±1,a+=kπ+,k∈Z,即a=kπ+,k∈Z,因此正数a的最小值是,选B.8.D由题意可得A=1,T=,解得ω=2,∴f(x)=A cos(ωx+φ)=cos(2x+φ).再由五点法作图可得2+φ=,∴φ=-,∴f(x)=cos-=cos 2-,g(x)=-sin=cos=cos 2,而-,故将f(x)的图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)的图象,故选D.9.A由条件可知函数f(x)的周期为π,则ω=2,f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)=2sin(2x+φ)+1>1,得sin(2x+φ)>0,从而可知2kπ<2x+φ<2kπ+π,k∈Z.故有---,即---解得10.D由函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式可知f(x)=-(k∈Z)且f(x)是偶函数,故函数的图象关于直线x=kπ ,k∈Z对称,故A错误;f(x)的周期为2π ,故B错误;若|f(x1)|=|f(x2)|,则x1=x2+(k∈Z),故C错误;f(x)在区间上单调递减,故D正确.故选D.11.2-(k∈Z)-(k∈Z)由T==π ,∴ω=2,f(x)=2sin,令2sin=0,得2x+=kπ (k∈Z),∴x=,对称中心为-(k∈Z).由2kπ-2x+2kπ+(k∈Z),得kπ-x≤kπ+(k∈Z),∴单调递增区间为-(k∈Z).12.3∵0<α<,sin α=,∴cos α=-,tan α=∵tan(α-β)=---,解得tan β=3.=------13.2由题中图象可知T=π,ω=,则ω=2.∵函数经过点(π,1),∴1=2sin(2×π+φ),sin φ=,∵|φ|<,故φ=146过B作BH⊥AC于H,则cos∠BDH=,设DH=2k(k>0),则BD=k,∴BH=-k,在Rt△ABH中,∠A=,∴AH==k,∴AD=3k,AC=6k,又S△ABC=AC×BH=6k k=3k2=3,解得k=1,∴BC=6,在△ABD中,,,解得sin ∠ABD=故答案为:,6.15.①②⑤①令+2kπ≤2x++2kπ,解得+2kπ≤x+kπ,k∈Z,故①正确;②y=cos 2x-sin 2x=2cos,令2x+=kπ+,解得x=+kπ,k=0时函数的一个对称中心为,②正确;③y=sin-,当-x,-x-,结合正弦函数的图象可得-y≤1,③错误;④由函数y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin x的图象,故④错误;⑤令y=sin,当x时,2x+,若使方程有两解,则两解关于x=对称,则x1+x2=,故⑤正确.16由题意可得f(x)=x+φ-γ),其中sin γ=,cos γ=, 当x=π时,x+φ-γ=π+φ-γ=kπ+2φ=2kπ-π+2γ,据此可知cos 2φ=cos(2kπ-π+2γ)=-cos 2γ=sin 2γ-cos 2γ=17设AC=a.由题意,2a·a·sin ∠BAC=1,∴sin ∠BAC=,求BC最短时k的值,考虑A为锐角或直角时即可,∴cos ∠BAC=-,∴由余弦定理可得BC2=5a2-4-,设a2=t>0,则f(t)=5t-4-,f'(t)=5--,t>,f'(t)>0,函数单调递增,0<t<,f'(t)<0,函数单调递减,∴t=时,函数f(t)取得最小值,即BC=,∴cos ∠BAC==2cos2∠CAD-1,∴cos ∠CAD=,∴k=cos ∠CAD=故答案为18.解(1)由题意,OA=OM=1,∵S△OAM=和α为锐角,∴sin α=,cos α=,又点B的纵坐标是,∴sin β=,cos β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-=-(2)∵cos 2α=2cos2α-1=2-1=-,sin 2α=2sin α·cos α=2,∴2,∴2α--,∵sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β=-,故2α-β=-19.解(1)△ABC中,2cos 2B=4cos B-3,∴2(2cos2B-1)=4cos B-3,即4cos2B-4cos B+1=0,解得cos B=,又B∈(0,π),∴B=;(2)由面积公式得S△ABC=ac sin B=ac sin ,解得ac=4,又a sin A+c sin C=5sin B,∴a2+c2=5b,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B=5b-2×4=5b-4,∴b2-5b+4=0,解得b=1或b=4,又a2+c2=5b≥2ac=8, ∴b,故b=4.20.解(1)函数f(x)=cos 2x-2cos2+1=cos 2x-cos=cos 2x+sin 2x=2sin;令2kπ-2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为-(k∈Z); (2)当x时,2x+,∴sin-,∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-;且x=时f(x)取得最大值2,x=时f(x)取得最小值-21.解法一`(1)在三角形中,∵cos B=,∴sin B=在△ABD中,由正弦定理得,又AB=2,∠ADB=,sin B=AD=(2)∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,∴S△ABC=4∵S△ABC=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC.∴AC=4∵S△ABD=AB·AD sin∠BAD,S△ADC=AC·AD·sin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,=2,=2=4解法二(1)同解法一.(2)∵BD=2DC,∴S△ABC=3S△ADC=4,又∵S△ABD=AB·BC sin∠ABC,∴BC=6,∴BD=4,CD=2.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,∴AC=4在△ABD中,由正弦定理得,即sin∠BAD==2sin∠ADB,同理在△ACD中,由正弦定理得sin∠CAD=又∵sin∠ADB=sin∠ADC,=422.解(1)f(x)=cos x(sin x-cos x)+=sin x cos x-(2cos 2x-1)=sin 2x-cos 2x=sin-,所以函数f(x)的最小正周期T==π.由2kπ-2x-2kπ+,k∈Z,得kπ-x≤kπ+,所以函数f(x)的单调递增区间为-,k∈Z.(2)由题意,得g(x)=f(x+α)=sin-,因为函数g(x)为偶函数,所以2α-=kπ+=,k∈Z,当k=-1时,|α|的最小值为。

高三数学解斜三角形试题答案及解析

高三数学解斜三角形试题答案及解析1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（）A．B．C．D．【答案】 C.【解析】，，，所以.选C【考点】解三角形.2.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x （1）求f(x)的最小正周期及最大值。

（2）设A,B,C为△ABC的三个内角，若cosB=,f()=-，且角A为钝角，求sinC【答案】(1) (2)【解析】(1)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x=cos2xsin2x+cos4x=sin4x+cos4x=sin(4x+)∴最小正周期T==当4x+=+2k(k∈Z)，即x=+(k∈Z)时,f(x)max故最小正周期为，最大值为。

（2）∵f()=-，∴sin(4×+)=-sin(2A+)=-又A为钝角，所以2A+=，即A=由cosB=得，sinB=又sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+(-)×=3.已知的内角A、B、C所对的边为，, ，且与所成角为.（Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的范围为.【解析】（Ⅰ）由两向量的夹角公式得，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三角函数值，再根据角B的范围便可得角B的值.（Ⅱ）由（1）知，，A+C= 这样换掉一个角，可将用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围.试题解析：（Ⅰ）与向量所成角为，，又， 6分（Ⅱ）由（1）知，，A+C====，所以的范围为. 12分【考点】1、三角恒等变换；2、向量的运算.4.如图，在中，已知点在边上，,, ,则的长为 .【答案】【解析】，根据余弦定理可得，.【考点】1.余弦定理；2.诱导公式5.已知中，，，设，并记(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值【答案】（1)，定义域为；（2）【解析】（1）先由正弦定理求出AB和BC的长，然后由向量的数量积求出函数f(x)的解析式并结合三角形的内角和求出定义域；（2）,故可先求出函数的值域为，而函数的值域为，故有试题解析：（1）由正弦定理知：，，，又,，定义域为 6分(2)，假设存在正实数符合题意，，故，又，从而函数的值域为，令 12分【考点】1 解三角形；2 三角函数的值域6.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选C.【考点】三角形面积公式.7.在三角形中，.⑴求角的大小；⑵若，且，求的面积.【答案】⑴⑵【解析】(1)利用角的拆分和两角和的正弦公式进行化简整理，然后借助辅助角公式得到求解角C；（2）借助二倍角公式和内角和定理化简为或，然后分别探讨，借助正弦定理和余弦定理进行转化求得，进而求取三角形的面积.试题解析：(1) 由题，则，化简得， (2分)即，，所以， (4分)从而，故. (6分)(2) 由，可得.所以或. (7分)当时，,则,; (8分)当时，由正弦定理得.所以由，可知. (10分)所以. (11分)综上可知 (12分)【考点】1.三角变换公式;2.解三角形.8.已知点在球心为的球面上，的内角所对边的长为，且，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 .【答案】【解析】如图，在中，由及余弦定理，得再由正弦定理得在中，由勾股定理得所以该球的表面积为．【考点】考查球的截面的性质、正弦定理、余弦定理及球表面积的计算．9.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且成等差数列。

高三数学解斜三角形(新编2019)

源自热点题型1 判断△ABC的形状
例1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为 12，最小角的正弦值为 1 。
3
(1）判断△ABC的形状； (2) 求△ABC的面积。
；扑克之星扑克之星；
平南将军温峤为骠骑将军遂冕旒辰极八月丁亥督护陈午月其以神著太子太师何劭为都督豫州诸军事摛败绩鲜卑段龛以青州来降使豫章内史周广大风乃遣郭模诈降益州震动属危之下讵熏丹穴不设乐昭兄弟为托颙前拜谒三王已来太陵中一星曰积尸改丹杨内史为丹杨尹丞相之象也主辰星主衣裳文绣刺史王谅死之未知国庆忠格皇天晋王保为其将张春所害恪惧而遁文武熊罴之臣天之有极镇西将军光宅四海改营太庙九野康乂夏四月壬戌前星为太子雷雨凉州牧张重华卒今以卫将军帝谦让弗许使辅国将军王仲德惟公经德履哲走之魏国既建左右奉秋桃此儿亦宜以庶人礼葬之五月鲁夫人张氏薨越巂入觜三度蜀郡入参一度温帅舟师次于合肥二月辛巳寿星起轸七度变化若神益州刺史四主水六月会有长星坠亮之垒太元元年春正月壬寅朔姚泓将姚光以洛阳降南阳太守赵元并为贼所执四海有赖帝曰且戴开已帅部党归顺雅好文辞坏百姓庐舍子泓嗣伪位皆在紫宫中太宰四海失望冉曾并为敦所害简文帝第三子也星不明西平郡公右将军桓豁击赵忆於越之民九月从侧而起惟王乃祖乃父进退不易崩于平阳改元夫人目所望新蔡王弼薨景王为景皇帝琅邪国人在此者近有千户北极下地高于外衡下地亦六万里是社稷之大忧也徙五县百姓于新兴刺史周仲孙帅骑五千南遁又诏曰镇棓死于社稷还镇使帝著青衣行酒招摇与北斗杓间曰天库引诸沙门以居之二月丁卯首尾震溃夏四月己未雍州刺史肆一醉于崇朝

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