图形计算器在函数中的应用

图形计算器在函数中的应用

遂宁中学 周剑

函数是高中数学的主干知识，贯穿高中数学的始终，它是培养学生理性思维以及应用意识和创新意识的良好载体．学习函数的最大特点就是数形结合．图形计算器具有计算、作图、统计等多种功能，同时它的便携性、专用性、交互性以及网络化为数学学习提供了一种直观、自主、多元的学习环境.在函数教学中恰当应用图形计算器，有助于展示知识形成，突破教学难点，渗透思想方法，促进理性思维.下面通过几个具体案例说明CASIO 图形计算器在函数

教学中的应用以及需注意的问题.

一、 突出其图形的特性

教材的编写有其严密的逻辑体系．函数知识的编写遵循着由简单到复杂，由特殊到一般再到特殊的认知规律．在传统教学中限于技术手段，往往不能很好地呈现函数知识的形成过程，展现函数知识的内涵，挖掘函数知识蕴含的重要思想方法，领悟数学的本质，虽然学生通过一段时间的学习能解决一些问题，但对函数知识的认识往往是一知半解、残缺不全．现在利用图形计算器等信息技术手段，由“静”到“动”，“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程，有利于学生构建完整的知识体系．

案例1 幂函数

传统的幂函数教学是有局限性的，受教材所限，或者是教学手段的不足，教

师在组织幂函数的学习时，往往只研究5个具体的函数：1(),1,2,3,,12

f x x αα==-1。关注这5个极具代表性的幂函数，是笔者多年来一贯坚持的，之前由于缺乏信息技术手段，只能是采取“灌输”的办法：引导学生观察其中的3()f x x =的图象，启发他们探究函数73

()f x x =的图象以及性质，强制性的“输入”类比的思想，学生略有所悟，其实是怀疑的，但是由于心目中根深蒂固的“依赖教师的情绪”，最终“将信将疑”变成“无庸质疑”，尽管目的达到了，但是缺乏学生自己的“身临其境”。有了图形计算器，就可以引导学生绘制一定数量的幂函数（不局限于

5个典型的），通过观察分析，他们很容易把

幂函数分成若干类型，就能概括出每一种类

型幂函数的图象特征以及性质。程度比较好

的学生还可以进行适当的拓展，例如通过绘

制、观察函数3()f x x =以及73()f x x =的图象（图1），拓展到形如()p q f x x =（,p q 为奇数

且互质）的情形，个别优秀学生甚至能够归纳出所有可能的情况（依据,p q 的奇偶性分类）。

利用图形计算器进行这样的探究，能够使学生真正体会5个典型幂函数的代表性，加深了对有关概念的理解，同时也培养了学生观察、分类以及概括的数学能力。

二、 突出其研究特性

函数是高中最重要的内容之一，也是进入高中后的第一个难点。由于传统方法过于注重知识的灌输，与理论的推导，所以学生往往对知识一知半解，而图形计算器却可以作为学生的研究辅助工具真正体验到探究的过程，这样学生对知识理解上就更加准确、深刻。

案例1. 新课标教材人教A 版必修①函数奇偶性概念的教学

人教A 版教材在研究偶函数和奇函数概念时，分别只给出了学生比较熟悉的两个具体函数，即2y x =，y x =和y x =，3y x =，我们感觉只从两个具体函数就归纳给出偶函数和奇函数的概念是有所欠缺的.借助图形计算器，我们可以给出更多的具体函数，让学生从多个具体函数所具有的共性中归纳总结得出概念.

问题1. 画出2y x =，y x =， 21y x =

，41y x =+，21011y x =+的图象，并观察它们的图象有什么共同特征？

学生利用图形计算器的“图形函数”功能（图1），能很快绘制出1个（图

2）或多个函数的图象（图3）, 从直观上可以看出这组函数的图象均关于y 轴对称. 图1

图1 图2 图3 问题2. 列出上述函数相应的函数值对应表，观察它们有什么共同特征？

利用图形计算器的“表格函数”功能（图4），图形计算器可很快列出这5个具体函数的自变量及所对应的函数值（图5，图6）.学生从表格中容易发现这组函数当自变量的取值互为相反数时，函数值相同，通过改变自变量的取值范围，可发现这一数量特征对于定义域中的任意值都成立，由此可归纳得出()()

f x f x

=-.此时教师可指出我们可以把符合这种特征的函数称为偶函数，进而在教师的引导下学生可尝试给出偶函数的定义，并通过学生和教师之间的交流互动完善定义.

图4 图5 图6 在得出偶函数的定义后，教师可提出：

问题3.画出函数y x

=，3

y x

=，

1

y

x

=，

1

y x

x

=+，3

y x x

=+的图象，并观察

它们的图象有什么共同特征？相应的函数值对应表是如何体现这些特征的？

学生通过类比偶函数的研究方法很快就能够归纳出奇函数的定义. 进而教师提出：

问题4.自己任意写出一些函数，观察它们的图象特点以及自变量互为相反数时，函数值所具有的特征.

学生这时可从课本上任意选择函数或者自编函数，从数和形两个角度进行分析，会发现有些函数的图形和数据特征符合奇函数或偶函数的定义，而有些函数不符合定义，从而很自然地提出问题，这些不符合奇函数或偶函数定义的函数叫什么函数呢？在教师的引导下，学生会顺理成章地得出这些函数既不是奇函数，也不是偶函数，从而进一步加深了对偶函数和奇函数概念的理解.有的学生还会发现函数()0

f x=既关于y轴对称，也关于原点对称，类比已得到的概念，学生会

很深刻地认识到()0

f x=这个函数既是偶函数又是奇函数.

在上述概念的形成过程中，学生通过观察和分析大量具体的函数，从数和形两个方面，逐渐归纳、总结得出偶函数和奇函数的概念，并通过更丰富的例子，进一步加深对概念的理解，同时认识到有些函数既不是偶函数也不是奇函数，并且存在既是偶函数也是奇函数的函数()0

f x=.这一过程既建构了知识，渗透了数形结合的数学思想，同时又培养了学生的抽象概括能力，以及利用类比来研究数学问题的逻辑思维方式.如果没有图形计算器，课上很难作出那么多具体的函数图象，学生对于偶函数和奇函数概念的理解就难以达到一定的深度.