2020年人大附中高三下学期数学统练(一)

人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。