高中数学必修一基本初等函数知识点及典型例题总结

指数函数
y a x (a > 0,a 1)
a>1
0<a<1
1、定义域 .
R.
2、值域
R+
3、图象
y
y
1
1
o
x
o
x
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的性质：
a >1 y
0< a <1 y
图
象 y=1
(0,1)
o
x
(0,1) y=1
o
x
1.定义域： (, )
性 2. 值域： (0, )
y
y bx y cx
y ax
y dx
o x=1 x
0ba1d c
图象从下到上,底数逐渐变大.
变式训练
【3】说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图 象的关系,并画出它们的示意图.
(4) y 2x与 y 2|x|
y
o
x
由 y=f(x) 的图象作 y=f(|x|) 的图象：保留y=f(x)中y 轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.
(2) 几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1)
底数为_1_0__
底数为__e__
记法 _l_o_g_a_N__ __l_g_N__ __l_n_N__
2. 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①负数和零没有对数; ② logaa = 1； ③ loga1 = 0. (2) 积、商、幂的对数运算法则：
;
②
logam
Nn
n m
loga
N;
④ loga b logb c loga c.
3. 对数函数图象与性质
函
数
y = logax ( a＞0 且 a≠1 )
图象
定义域 值域 单调性 过定点 趋势
取值范围
(0, +∞)
(0, +∞)
R
R
增函数
减函数
(1，0)
(1，0)
底数越大，图象越靠近 x 轴 底数越小，图象越靠近 x 轴
0<x<1时, y<0
0<x<1时, y>0
x>1时, y>0
x>1时, y<0
4. 反函数
指数函数y=ax与对数函数__y=__lo_g_a_x__互为反 函数,它们的图象关于直线____y_=_x___对称. 5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系
y
y=1
图象从左到 右,底数逐渐变
Байду номын сангаас
o
x 大.
证证证证证明明明明明∴此当此∴:∴此当此∴:∴此当此∴:∴此当此∴∴此当此∴::(((((11111时时当函时时当函时时当函)时时时时当函当函))))00000由由由由由<<<<<函函数函函数函函数函函函函数数aaaaaaaaaaa>aa<>aa>>><<<<数数数数数数数数数数xfxx1xxffx1ff11111111－(－－－－((((xxxxx时时时时时时时时ff时时ffffffff)))1))((11((11((((((的的的的的xxxxxx>xxxx,>,>,>>,,,,,,,x))xx))xx))))))x0xx0xx000的的图的的图的的图的的的的图图<<<<<>，>，>，>>，，0000000图图0象00图图象图图象图图图图象象,,,,,得,得即得,得得,即,,即即即即即即即即象象总象象总象象总象象象象总总函函函函函a函a函a函aa函函在总在在总在在总x在在总在总在在xxxxx>数>数>数>>数数数数数数数在1在1在1在在11yyyyyyyyyy，，，，，ffffff轴轴ff轴轴ff(轴轴轴轴轴轴(((((y((y((yxyyxxxxxxxxx))轴的的)))的的轴)的的轴的的的的轴轴))))的的的的的的的的的的的右一右一的右一的右一右一的的定定定定定定定定定定左侧侧侧侧左侧侧左侧侧侧侧左左义义义义义义义义义义侧；．；．侧；．侧；．；．侧侧域域域域域域域域域域．．．．．为为为为为为为为为为((((((((((－－－－－00000,,,,,＋∞＋＋＋＋∞∞∞∞∞,∞∞∞∞,,,,00000)))))))))),,,,,,,,,,
练一练
【3】已知0＜a＜1，方程a |x| = |log a x|的实根
个数是___2____个． y
1
o
x
【点评】当判断方程 f (x) = g (x)的实根个数时， 我们可转化为判断函数y = f (x) 与函数 y = g (x)的图 像的交点的个数．
题 型 二 对数函数的图象与性质
【例 2】作出函数 y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的 单调区间，并说明它的图象可由函数 y＝log2x 的图象经过怎 样的变换而得到．
作出函数y＝log2x的图象,将其关于y轴对 称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象 向左平移1个单位长度就得到函数
y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,
函数 y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞, －1)，
探究提高
递增区间为(－1,＋∞).
作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基
题 型 二 指数函数的图象及应用
【例 2】(1)函数 y＝x|xa|x (0<a<1)图象的大致形状是 (
)
(2)若函数 y＝ax＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限,则 a, b 的取值范围是__________________．
(3)方程 2x＝2－x 的解的个数是________．
1) 对数的换底公式
log b
log b c a log a
(a,c (0,1)
(1,),b 0)
c
2) 对数恒等式
aloga N N (a 0且a 1,N 0)
3) 四个重要推论
①
loga b
lg b lg a

ln b ln a
;
③
loga b
1 logb
a
本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象,通
过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.
思想与方法
数形结合思想在对数函数中的应用
(14分)已知函数f(x)＝loga(ax－1) (a>0且a≠1)． 求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；
(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.
( a > 0,且 a 1,M > 0, N > 0)
① loga (M N ) loga M loga N;
② loga
M N

loga M
loga N;
③ loga M n nloga M (n R);
④ loga
n
M

1 n
loga
M.
2. 对数的性质与运算法则
(3)对数的重要公式
题 型 三 指数函数的性质及应用
【例3】设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax-1在[-1, 1]上 的最大值为14，求a的值.
1. 对数的概念
(1)对数的定义 如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底
N的对数, 记作__x_=_l_o_g_aN__, 其中__a__叫做对数的底
数 ,__N__ 叫做真数.
质 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1
4.在R上是 增函数 在R上是 减 函数
4.有理数指数幂的运算性质: (a＞0, b＞0, r, s∊Q )
(1) ar as ar s ;
(2) (ar )s ars ;
(3) (ab)r ar br .
6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系
图象应用问题 例4.方程 | x 2 || log2 x | 的解有_3_个. y
y
o
x
o 12
x
练一练
【1】方程 lg0.5( x 1) x2 2 的解有_2_个.
【2】函数 y loga ( x 2) 1(的a 图 0象,且恒a过 点1)
_______. (1,1)