2018年度高考~上海数学带内容答案
2018年上海市高考数学试卷(含详细答案解析)
2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为．3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．414．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．1616．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）行列式的值为18．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n项和为S n．若=，则q=3．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）设D是函数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n∈N*，都有|b n ﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．第21页（共21页）。
【真题】2018年上海市高考数学试题含答案解析
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
3.（2018•上海）在（1+x）7 的二项展开式中，x²项的系数为
。（结果用数值表示）
【答案】21
【解析】【解答】（1+x）7
中有
Tr+1=
C7r
xr
，故当
r=2
时，
C72
=
7
2
6
=21
【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。考点公式 a b n 第 r+1 项为 Tr+1= Cnranrbr 。
3
当|q|<1
时，
lim
n
1
qn 1
qn
q
(舍)
【分析】 Sn
a1 a1qn 1 q
（等比数列前
n
项和公式）
【题型】填空题
【考查类型】中考真题
【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
11.（2018•上海）已知常数
a
>0，函数
f
(x)
【试题地区】上海
【试题来源】2018 年高考数学真题试卷（上海卷）
8.（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点 A（-1，0），B（2，0），E，F 是 y 轴上的两个动点，且
| EF |=2，则 AE · BF 的最小值为______
【答案】-3
【解析】【解答】设 E(0，y1)，F(0，y2)，又 A（-1，0），B（2，0），
y1
(完整版)2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________.2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D） 14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)
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保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（上海卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()nf x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF u u v |=2，则AE u u u v ·BF u uu v 的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则12x y +-∣₁₁∣+12x y +-∣₂₂∣的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2（B ）2（C ）2（D ）414.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3（B ）32 （C ）3 （D ）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］上的解。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=?x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018?上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018?上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018?上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018?上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018?上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018?上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018?上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．＞1”是“＜1”的（）14．（5分）（2018?上海）已知a∈R，则“ａA．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“ａ＞1”?“”，“”?“ａ＞1或a＜0”，∴“ａ＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018?上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018?上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ＝==．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF?k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018?上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．感恩和爱是亲姐妹。
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)
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保持平常心，顺其自然2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（上海卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。
2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。
7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()nf x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF u u v |=2，则AE u u u v ·BF u uu v 的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1Sn 1lim2n n a →∞+=，则q=____________11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则12x y +-∣₁₁∣+12x y +-∣₂₂∣的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2（B ）2（C ）2（D ）414.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3（B ）32 （C ）3 （D ）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2 （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值； （2）若4f π〔〕31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］上的解。
2018年上海市高考数学试题有答案
2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。
【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。
【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。
故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。
注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。
考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。
【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
2018年上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海)行列式的值为18．【考点】OM:二阶行列式的定义．【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解:行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为:18．【点评】本题考查行列式的定义,运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）(2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC:双曲线的性质．【专题】11 :计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为:y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O:定义法;5P :二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式(1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2,得展开式中x2的系数为=21．故答案为:21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x)=1og2（x+a）．若f（x)的反函数的图象经过点（3,1)，则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a)的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R,函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点(3，1)，∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点(1，3）,∴log2（1+a）=3,解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．5．(4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i)z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5．【考点】A8:复数的模．【专题】38 :对应思想;4A ：数学模型法；5N :数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则｜z｜=．故答案为:5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法,是基础题．6．(4分）（2018•上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题;34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列｛a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈｛﹣2,﹣1,﹣,1，2，3},若幂函数f(x）=xα为奇函数，且在（0，+∞)上递减,则α=﹣1．【考点】4U:幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 :方程思想；4O：定义法；51 :函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数,且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1,，1，2，3｝，幂函数f（x)=xα为奇函数，且在（0，+∞)上递减，∴a是奇数,且a＜0,∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是基础题．8．(5分）（2018•上海)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1，0）、B（2，0），E、F 是y轴上的两个动点，且|｜=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 :计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E(0,a），F（0，b），从而得出｜a﹣b|=2,即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0,a），F（0，b）；∴;∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算,二次函数求最值的公式．9．（5分)(2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想;49 :综合法;5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数,然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2,没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3,1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是:=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分)（2018•上海）设等比数列｛a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N＊)，前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 :计算题；34 ：方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 :点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列｛a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1,因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用,等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0,函数f（x)=的图象经过点P（p,），Q（q,）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想;51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则:，整理得：=1,解得:2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．(5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A(x1,y1），B（x2，y2),=（x1，y1)，=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A,B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B(x2,y2）,=（x1,y1)，=（x2，y2）,由x12+y12=1,x22+y22=1，x1x2+y1y2=,可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形，AB=1,+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0,（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义,以及圆的方程和运用,考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。
2018年上海市高考数学试题答案(word、精校、详细解析版)
2018年上海市高考数学试题（详细解析版）1．解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．2．解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±3．解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为T r+1=•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．4．解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．5．解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．6．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．7．解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．8．解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．9．解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．10．解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n+1=q n．可得====，可得q=3．故答案为：3．11．解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：612．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2≤AB=1，即+的最大值为1，故答案为：1．13．解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．14．解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．15．解：根据正六边形的性质可得D1F1⊥A1F1，C1A1⊥A1F1，D1B1⊥A1B1，E1A1⊥A1B1，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E和D1一样，故有2×6=12，故选：C．16．解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．17．解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．18．解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．19．解（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．20．解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．21．解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得b n+1﹣b n=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n+1﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．。
2018年上海高考数学试卷(参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.行列式4125的值为_________. 2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。
若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_________.5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________.7.已知12,1,,1,2,32α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭。
若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________.8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为_________.9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。
从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q-=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。
若11lim2n n n S a →+∞+=，则q =_________.11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,5Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭。
若236p q pq +=，则a =_________.12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A） （B） （C） （D）14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018上海高考数学真题与答案
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. （4分）（2018?上海）行列式° 1的值为18 .2 5【考点】OM:二阶行列式的定义.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5R :矩阵和变换.【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行列式°】=4X 5-2X1=18.2 5故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （4分）（2018?上海）双曲线匚-y2=1的渐近线方程为.【考点】KC双曲线的性质.【专题】11 :计算题.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.2 °【解答】解：•双曲线］「—1的a=2, b=1，焦点在x轴上2 2 ,而双曲线-^7；- -1的渐近线方程为y=±—芷a2 b3 a2双曲线/二1的渐近线方程为y=±y X■ £故答案为：y=± —【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）.【考点】DA:二项式定理.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数.【解答】解：二项式（1+x） 4 5 6展开式的通项公式为T r+1='〔？乂,令r=2，得展开式中x2的系数为c2=21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4. （4 分）（2018?上海）设常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,则a= 7 .【考点】4R反函数.【专题】11 :计算题；33 :函数思想；40:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由反函数的性质得函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,由此能求出a.【解答】解：•常数a€ R,函数f （x）=1og2 （x+a）.f （x）的反函数的图象经过点（3, 1）,•••函数f （x）=1og2 （x+a）的图象经过点（1, 3）,••• Iog2 （1+a）=3,解得a=7.故答案为：7.4（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1 - 7i （i是虚数单位），则|z| =5 .【考点】A8:复数的模.【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；5N :数系的扩充和复数.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由（1+i）z=1 - 7i,则|Z|= • 4 ■-故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6. （4分）（2018?上海）记等差数列｛a n｝的前n项和为S,若a3=0, a e+a7=14, 贝U S7= 14 .【考点】85:等差数列的前n项和.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；54 :等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=- 4, d=2,由此能求出S7. 【解答】解：•••等差数列｛a n｝的前n项和为S n, a3=0, a e+a7=14,If ai+2d=0a 严d二14L 1 1解得a1= - 4, d=2,3=7屛i=- 28+42=14.故答案为：14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 7且a v0,由此能求出a的值.【解答】解:：a { - 2,- 1, 1, 1, 2, 3},7（5 分）（2018?上海）已知a€ ｛- 2,- 1,-二，y , 1, 2 , 3｝，若幕函数f （x）=X a为奇函数，且在（0, +X）上递减，则a= - 1 .【考点】4U:幕函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；4O:定义法；51 :函数的性质及应用.【分析】由幕函数f （x）=x a为奇函数，且在（0, +7 上递减，得到a是奇数，幕函数f (x) =x"为奇函数，且在(0, +x)上递减，二a是奇数，且a v0,--a=— 1.故答案为：-1.【点评】本题考查实数值的求法，考查幕函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.8. (5分)(2018?上海)在平面直角坐标系中，已知点A (- 1, 0)、B( 2, 0),i ■】耳 * ■E、F是y轴上的两个动点，且|卩|=2,贝U 的最小值为-3 .【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 :计算题；35 :转化思想；41 :向量法；5A :平面向量及应用.【分析】据题意可设E (0, a), F (0, b),从而得出| a-b| =2, 即卩a=b+2，或并可求得- • •，将a=b+2带入上式即可求出2'- - 1F的最小值,b=a+2,同理将b=a+2带入，也可求出的最小值.【解答】解：根据题意，设E (0, a), F (0, b);I-:;••• a=b+2,或b=a+2；且厂门・..「—，:；-.-..；当a=b+2时，…丨，—I | ：；v b2+2b - 2的最小值为二：;；•••垃•甬的最小值为-3，同理求出b=a+2时，瓦•祈的最小值为-3.故答案为：-3.【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式.9. （5分）（2018?上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是丄（结果用最简分数表示）.【考点】CB古典概型及其概率计算公式.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；49 :综合法；51 :概率与统计.【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2; 2个2,没有2, 3种情况，所有的事件总数为：C ；=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5, 3，1或5, 2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：吕士，10 5故答案为：丄.【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查.10. （5分）（2018?上海）设等比数列｛a n｝的通项公式为a n=q nr （n € N*），前n 项和为S n .若'II —，则q= 3 .nr w a n-+l 2【考点】8J:数列的极限.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；35 :转化思想；49 :综合法；55 : 点列、递归数列与数学归纳法.【分析】禾I」用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可.【解答】解：等比数列｛a n｝的通项公式为a =q n一1（n€ N*），可得a1=1，H因为： ------ -- ，所以数列的公比不是1,n-^^a n+l 戈；-,a n+i =q n . 口1-Q1 n1-q2网+2卩典+2口亦a 2pq解得：2^q =a i 2pq ， 由于：2p+q =36pq ，所以：a 2=36， 由于a >0, 故：a=6.可得1 ■ l-q inn ----- L g (1_Q)Q=H IT严8 L-<1 =1 a a-1 2 可得q=3. 故答案为：3.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用， 等比数列求和以及等比数列的 简单性质的应用，是基本知识的考查.11. （5分）（2018?上海）已知常数a >0,函数f （x ）= ”2s fax£）, Q （q ，卡）•若 2p+q =36pq ，则 a= 6 .【考点】3A :函数的图象与图象的变换.的图象经过点P （p ，【专题】 35 :转化思想；51 :函数的性质及应用. 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值.的图象经过点P （p ，—），Q （q ，丄）.【分析】2p +ap 2 Q +aq故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12. (5 分)(2018?上海)已知实数 x i 、X 2、y i 、y 2满足：x i 2+y i 2=1, X 22+y 22=1, x i X 2+y i y 2丄，贝U ： |一'的最大值为.】+.「；.【考点】7F ：基本不等式及其应用；IT ：点到直线的距离公式. 【专题】35 :转化思想；48 :分析法；59 :不等式的解法及应用.【分析】设 A (x i , y i ), B (X 2, y 2), 0A = (x i , y i ), 0& = (X 2, y 2),由圆的方程即有/ AOB=60,即三角形OAB 为等边三角形,到直线x+y - i=0的距离d i 与d 2之和，显然A , B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=i 平行, 可设 AB ： x+y+t=0, (t > 0),和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形 OAB 为等边三角形，AB=i , I 蛊］+ ¥厂11 + II 七+ y厂11的几何意义为点A , B 两点到直线x+y -仁0的距离d i与d 2之和，由两平行线的距离可得所求最大值. 【解答】解：设 A (X i , y i ), B (X 2, y 2),'-■= (X i , y i ), L..j = (X 2, y 2),由 x i 2+y i 2=i ,2 2X 22+y 22=i , x i x 2+y i y 2〒,可得A , B 两点在圆x 2+y 2=i 上,1七4坯11近B 两点由圆心O 到直线AB 的距离且-?>=i x i x cos /AB=1,的几何意义为点A ,故答案为：一 7+ :;.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点 与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确 选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. （5分）（2018?上海）设P 是椭圆 44 =1上的动点，贝u P 到该椭圆的两个 焦点的距离之和为（）A. 2 :?B. 2 二C. 2 仃D. 4. ■: 【考点】K4:椭圆的性质.【专题】11 :计算题；49 :综合法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出 a,接利用椭圆的定义，转 化求解即可.2 2|【解答】解：椭圆％+^厂=1的焦点坐标在x 轴，a 卫，5 J2 2P 是椭圆1 I - =1上的动点，由椭圆的定义可知：贝U P 到该椭圆的两个焦点的5 3 距离之和为2a=2.・. 故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用， 椭圆的定义的应用，是基本知识的考 查.即有两平行线的距离为1：=：：＞V2 2I| +1 Jtg+yg-l |~?2雹的最大值为:■:+ ■；,14. （5 分）（2018?上海）已知a€ R,贝1”是“<1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5L :简易逻辑.土”？“a1 或a v 0”a故选：A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识, 考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15. （5分）（2018?上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A. 4B. 8C. 12D. 16【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；50 :排列组合.【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则D1 - A1ABB，D1- A1AFF满足题意，而C1，E1，C，D，E,和D1 一样，有2X6=12,当A1ACC为底面矩形，有2个满足题意，当A i AEE为底面矩形，有2个满足题意,【分析】aT? “a1 或a v0”,由此能求出结果.解：a€ R,贝U “a 1”？“厂Ia“a 1 "是a故有12+2+2=16故选：D.Di Ci【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.16. (5分)(2018?上海)设D是含数1的有限实数集，f (x)是定义在D上的函数，若f (x)的图象绕原点逆时针旋转一后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A. . ；B.二C. —D. 0【考点】3A:函数的图象与图象的变换.【专题】35 :转化思想；51 :函数的性质及应用；56 :三角函数的求值.【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转丄个单位后与下一个点会重合.6我们可以通过代入和赋值的方法当f (1) = ^ —，0时，此时得到的圆心角为—,，0,然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数5 6的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=L，此时旋转一，此时2 &满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. (14分)(2018?上海)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设PO=4,OA、OB是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，如图•求异面直线PM与OB所成的角的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角；L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);LF: 棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.【解答】解：(1)v圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4, I 圆锥的体积V二〕一…■- L •- ■'1I3~.(2)v PO=4, OA, OB 是底面半径，且/ AOB=90 ,M为线段AB的中点，•••以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P (0, 0, 4), A (2, 0, 0), B (0, 2, 0),M (1,1, 0), O (0, 0, 0),PH= (1,1,—4), 0B= (0, 2, 0),设异面直线PM与OB所成的角为9,os .6•••异面直线PM与0B所成的角的为【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.18. (14分)(2018?上海)设常数a€ R,函数f (x) =asin2>+2coSx.(1)若f (x)为偶函数，求a的值；(2)若f (弓T =胚+1，求方程f (x) =1-厲在区间［-n, n上的解.【考点】GP两角和与差的三角函数；GS:二倍角的三角函数.【专题】11 :计算题；38 :对应思想；4R:转化法；58 :解三角形.【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)： f (x) =asin2x+2cos2x,• f ( —x) =—asin2x+2cos2x,= pJ*o5 |2|n p| OB1届・26则cos9二9 =arccarccos6••• f (x )为偶函数， ••• f (- x ) =f (x ),•••- asin2x+2coEx=asin2x^2cos 2x , • 2as in 2x=0, • a=0; (2)T f () = ：-+1 ,4• asi 』^+2cos 2 (工)=a+仁岛+1 ,2 4 • a=：,• f (x ) =_ _;sin2X +2CO E X = ；sin2x+cos2x+ 仁2sin (2x^—) +1,&T f (x ) =1 -^2,19. （14分）（2018?上海）某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从 居住地到工作地的平均用时•某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤.分析显示：当S 中x% （0v x v 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时 间为而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回 答下列问题:（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤• sin (2x+丄)=-厶―” 2+2k n 或 2x+一=■6 -• 2x+—=65兀 …x=- 24n +k n 或x= 或x= 244 n+2kn k€ Z,n +k n, k € Z ,或x=-或x=- 112E24【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题. f (x )? 0<x<30. .（单位：分钟），+1=1-血, • 2sin (时间？(2) 求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性, 并说明其实际意义.【考点】5B:分段函数的应用.【专题】12 :应用题；33 :函数思想；4C :分类法；51 :函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意知求出f (x )> 40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g (x )的解析式，判断g (x )的单调性，再说明其实际意义. 【解答】解；(1)由题意知，当30V X V 100时,即 x 2- 65x+900>0, 解得x v 20或x >45,•I x €( 45, 100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间; (2) 当 0v x < 30 时，g (x ) =30?x%+40 (1 - x%) =40 - 当 30V x v 100 时,40——也10当0v x v 32.5时，g (x )单调递减; 当32.5V x v 100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的; 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决 问题的能力.20. (16分)(2018?上海)设常数t > 2 .在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2, 0),直线I : x=t ,曲线r y 2=8x (0< x < t , y >0). l 与x 轴交于点A 、与r 交于f (x ) =2x+ 1800 -90>40,g (x ) = (2x+二-2-90)碎心 1-x%0)=-r 13 10x+58 ；点B. P、Q 分别是曲线r与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离；(2)设t=3, |FQ=2,线段0Q的中点在直线FP上，求△ AQP的面积；(3)设t=8 ,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ使得点E在r上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【专题】35 :转化思想；4R:转化法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(1)方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得| BF ；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF| ；(2)根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得0D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得厶AQP的面积；(3)设P及E点坐标，根据直线k PF?k Fc=- 1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据习+冠=75,求得E点坐标，贝则(彎尸)2=8 (「+6)，即可求得P 4y 8点坐标.【解答】解：(1)方法一：由题意可知：设B (t，2 :■:t)，则|BF制(1 边严+3t=t+2,••• | BF| =t+2；方法二：由题意可知：设 B (t, 2 :■:t),由抛物线的性质可知：| BF =t甘=t+2,「. |BF=t+2;(2) F (2, 0), |FQ=2, t=3，则|FA=1,，二Q (3,血)，设OQ 的中点D,D (),k QF=~VI,则直线PF方程：y=-體(x-2),联立,整理得：3x2- 20x+12=0,• △ AQP 的面积 x^：；x根据「+円；'，则E （k+6,•存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ 使得点E 在r 上，且P （2,毁5）.5 5【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计 算能力，属于中档题.21. （18分）（2018?上海）给定无穷数列｛a n ｝，若无穷数列｛b n ｝满足：对任意n€ N *，都有|b n — a n | < 1,则称｛b n ｝与®｝接近”（1）设｛a n ｝是首项为1,公比为寺的等比数列，b n =&+1+1, n € N *，判断数列｛b n ｝解得:,x=6 （舍去），（3）存在，设P （罟，y ），2E (凹—，m )，贝U k pF =yT-2，k FQ 」——8y直线QF 方程为y= 1才/ ~sT(x — 2), ••• y o=■ - ■ ~~8y~,Q( 8, ),)2=8 ( ——+6），解得：y 2丄■是否与｛&｝接近，并说明理由；(2)设数列｛a n｝的前四项为：a i=1, a2=2, a3=4, a4=8, ｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，记集合M=｛x| x=b i，i=1，2，3，4｝，求M中元素的个数m；(3)已知｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，且在b2 - b i，b3 - b2，…，b20i - b200中至少有100个为正数，求d的取值范围.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；54 :等差数列与等比数列.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和新定义接近”即可判断；(2)由新定义可得a n - K b n< a n+1，求得b i，i=1，2，3, 4的范围，即可得到所求个数；(3)运用等差数列的通项公式可得a n,讨论公差d >0, d=0,- 2v d v 0, d< -2,结合新定义接近”推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：(1)数列｛b n｝与｛刘接近.理由：計匕数列，可得a n=则| b n - a n| =| v 1, n € N ,可得数列｛b n｝与｛a n｝接近；(2)｛b n｝是一个与｛a n｝接近的数列，可得a n - 1 w b n w a n+1,数列｛a n｝的前四项为：a1=1, a2=2, a3=4, a4=8,可得b1€ [0, 2] , b2€[ 1 , 3] , b3€ [3, 5] , b4€ [7, 9],可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M=｛x|x=b i, i=1, 2, 3, 4｝,M中元素的个数m=3或4;(3)｛a n｝是公差为d的等差数列，若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近, 可得a n=a1+ (n - 1) d,①若 d >0,取b n=a n，可得b n+1 - b n=a n+1 - a n=d>0,则b2 - b1, b3 - b2,…，b201 - b200中有200个正数，符合题意；②若d=0,取b n=a i -—，则|b n- a n|=|a i-丄-a i| —v 1, n€ N*,n n n可得b n+1 - bn^ —> 0 ,n n+1则b2 —b i, b3 —b2,…，b20i —b2oo中有200个正数，符合题意；③若—2v d v 0，可令b2n-1=a2n- 1 —1，b2n=a2n+1 ,则b2n —b2n- 1 =a2n+1 —( a2n- 1 —1) =2+d > 0，则b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中恰有100个正数，符合题意；④若d< —2,若存在数列｛b n｝满足：｛b n｝与｛a n｝接近，即为a n — 1 w b n w a n+1，a n+1 — 1 W b n+1 w a n+1+1，可得b n+1 —b n w a n+1+1—(a n —1) =2+d w 0，b2 —b1，b3 —b2，…，b201 —b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2，+x).【点评】本题考查新定义接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.。
【数学】2018年上海高考数学真题及答案
【关键字】数学2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21（结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为Tr+1=•xr，令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是根底题．4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=7．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是根底题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|=5．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是根底题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=0，a6+a7=14，则S7=14．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f （x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{a n}的通项公式为a n=q n﹣1（n∈N*），前n 项和为S n．若=，则q=3．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{a n}的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，，a n=q n．+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=6．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线k PF•k FQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P 点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），k QF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则k PF==，k FQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴y Q=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{a n}，若无穷数列{b n}满足：对任意n ∈N*，都有|b n﹣a n|≤1，则称{b n}与{a n}“接近”．（1）设{a n}是首项为1，公比为的等比数列，b n=a n+1+1，n∈N*，判断数列{b n}是否与{a n}接近，并说明理由；（2）设数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{b n}是一个与{a n}接近的数列，记集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得a n﹣1≤b n≤a n+1，求得b i，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a n，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{b n}与{a n}接近．理由：{a n}是首项为1，公比为的等比数列，可得a n=，b n=a n+1+1=+1，则|b n﹣a n|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{b n}与{a n}接近；（2）{b n}是一个与{a n}接近的数列，可得a n﹣1≤b n≤a n+1，数列{a n}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=b i，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{a n}是公差为d的等差数列，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，可得a n=a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取b n=a n，可得b n+1﹣b n=a n+1﹣a n=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取b n=a1﹣，则|b n﹣a n|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，﹣b n=﹣＞0，可得b n+1则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n﹣1≤b n≤a n+1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1，可得b n﹣b n≤a n+1+1﹣（a n﹣1）=2+d≤0，+1b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
2018上海高考数学试卷含答案
2018上海一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 ．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 (结果用数值表示)．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ ．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z |＝ ．6．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ ．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ ．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 ．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ ． 11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ ． 12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 214．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．1616．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( )A ． 3B ．32C ．33D ．0三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．18．设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．2018上海答案解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．行列式的值为 18 ． 【解答】行列式＝4×5－2×1＝18．故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为 ． 【解答】因双曲线x 24－y 2＝1的a ＝2，b ＝1，焦点在x 轴上，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，故双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，故答案为：y ＝±12x 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．在(1＋x )7的二项展开式中，x 2项的系数为 21 (结果用数值表示)．【解答】解：二项式(1＋x )7展开式的通项公式为T r ＋1＝•x r ，令r ＝2，得展开式中x 2的系数为＝21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．4．设常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．若f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，则a ＝ 7 ．【解答】因常数a ∈R ，函数f (x )＝1og 2(x ＋a )．f (x )的反函数的图象经过点(3，1)，故函数f (x )＝1og 2(x ＋a )的图象经过点(1，3)，故log 2(1＋a )＝3，解得a ＝7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1－7i(i 是虚数单位)，则|z|＝ 5 ．【解答】由(1＋i)z ＝1－7i ，得z ＝－3－4i ，则|z |＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．(4分)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝ 14 ．【解答】因等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝0，a 6＋a 7＝14，故， 解得a 1＝－4，d ＝2，故S 7＝7a 1＋21d ＝－28＋42＝14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ －1 ．【解答】因α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减， 故a 是奇数，且a ＜0，故a ＝－1．故答案为：－1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为 －3 ．【解答】解：根据题意，设E (0，a )，F (0，b )；故|EF →|＝|a －b |＝2；故a ＝b ＋2，或b ＝a ＋2；且AE→＝(1，a )，BF →＝(－2，b )；故AE →·BF →＝－2＋ab ；当a ＝b ＋2时，AE →·BF →＝－2＋(b ＋2)b ＝b 2＋2b －2；因b 2＋2b －2的最小值为－3；故AE →·BF →的最小值为－3，同理求出b ＝a ＋2时，AE →·BF→的最小值为－3．故答案为：－3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示)．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：＝10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：＝15，故答案为：15． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N *)，前n 项和为S n ．若1lim +∞→n n n a S ＝12，则q ＝ 3 ． 【解答】等比数列{a n }的通项公式为a n ＝q n －1(n ∈N*)，可得a 1＝1，因为1lim +∞→n n n a S ＝12，所以数列的公比不是1，S n ＝a 1(1－q n )1－q，a n ＋1＝q n ．可得＝＝＝1q －1＝12，可得q ＝3．故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P (p ，65)，Q (q ，－15)．若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝ 6 ． 【解答】因为f (x )＝2x 2x ＋ax ＝11＋ax 2x ，且其图象经过点P ，Q ，则f (p )＝11＋ap 2p ＝65，即ap 2p ＝－16①， f (q )＝11＋aq 2q ＝－15，即aq 2q ＝－6②，①×②得a 2pq 2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，则22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为 ．【解答】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，由x 12＋y 12＝1，x 22＋y 22＝1，x 1x 2＋y 1y 2＝12，可得A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，且OA →·OB →＝1×1×cos ∠AOB ＝12，即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的几何意义为点A ，B 两点到直线x ＋y －1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x ＋y ＝1平行，可设AB ：x ＋y ＋t ＝0(t ＞0)，由圆心O 到直线AB 的距离d ＝22t ，可得22-12t ＝1，解得t ＝62，即有两平行线的距离为22(1＋62)＝12(2＋3)，即22|x 1＋y 1－1|＋22|x 2＋y 2－1|的最大值为2＋3，故答案为：2＋3．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．设P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．2 5 D ．4 2【解答】椭圆x 25＋y 23＝1的焦点坐标在x 轴，a ＝5，P 是椭圆x 25＋y 23＝1上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝25．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．已知a ∈R ，则“a ＞1”是“1a＜1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“1a ＜1”，“1a ＜1”⇒“a ＞1或a ＜0”，故“a ＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A ．4B ．8C ．12D ．16【解答】根据正六边形的性质，则D 1－A 1ABB 1，D 1－A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4＝8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8＋4＋4＝16，故选：D ．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A ． 3 B ．32 C ．33 D ．0【解答】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f (1)＝3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x ＝0或者x ＝1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x ＝32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO ＝4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【解答】(1)因圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，故圆锥的体积V ＝13×π×r 2×h ＝13×π×22×23＝833π． (2)因PO ＝4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB ＝90°，M 为线段AB 的中点，故以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，P (0，0，4)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，M (1，1，0)，O (0，0，0)，PM →＝(1，1，－4)，OB →＝(0，2，0)，设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则cos θ＝＝26．故θ＝arccos 26．故异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos 26．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．(14分)设常数a ∈R ，函数f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ．(1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)若f (π4)＝3＋1，求方程f (x )＝1－2在区间[－π，π]上的解． 【解答】(1)因f (x )＝a sin2x ＋2cos 2x ，故f (－x )＝－a sin2x ＋2cos 2x ，因f (x )为偶函数，故f (－x )＝f (x )，故－a sin2x ＋2cos 2x ＝a sin2x ＋2cos 2x ，故2a sin2x ＝0，故a ＝0；(2)因f (π4)＝3＋1，故a sin π2＋2cos 2(π4)＝a ＋1＝3＋1，故a ＝3，故f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，因f (x )＝1－2，故2sin(2x ＋π6)＋1＝1－2，故sin(2x ＋π6)＝－22，故2x ＋π6＝－π4＋2k π，或2x ＋π6＝5π4＋2k π，k ∈Z ，故x ＝－524π＋k π，或x ＝1324π＋k π，k ∈Z ，因x ∈[－π，π]，故x ＝1324π或x ＝1924π或x ＝－524π或x ＝－1124π． 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30， 0<x ≤30，2x ＋1 800x －90， 30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．【解答】(1)由题意知，当30＜x ＜100时，f (x )＝2x ＋－90＞40，即x 2－65x ＋900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，故x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当0＜x ≤30时，g (x )＝30•x %＋40(1－x %)＝40－x 10；当30＜x ＜100时，g (x )＝(2x ＋－90)•x %＋40(1－x %)＝－x ＋58；故g (x )＝；当0＜x ＜32．5时，g (x )单调递减；当32．5＜x ＜100时，g (x )单调递增；说明该地上班族S 中有小于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32．5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2，0)，直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x (0≤x ≤t ，y ≥0)．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B 、P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．(1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】(1)方法一：由题意可知：设B (t ，22t )，则|BF |＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； 方法二：由题意可知：设B (t ，22t )，由抛物线的性质可知：|BF |＝t ＋p 2＝t ＋2，故|BF |＝t ＋2； (2)F (2，0)，|FQ |＝2，t ＝3，则|F A |＝1，故|AQ |＝3，故Q (3，3)，设OQ 的中点D ，D (32，22)， k QF ＝－3，则直线PF 方程：y ＝－3(x －2)，代入联立y 2＝8x ，整理得：3x 2－20x ＋12＝0，解得：x ＝23，x ＝6(舍去)，故△AQ P 的面积S ＝12×3×73＝736； (3)存在，设P (18y 2，y )，E (18m 2，m )，则k PF ＝16-82y y ，k FQ ＝y y 8-162，直线QF 方程为y ＝y y 8-162(x －2)，故y Q ＝y y 43-482，Q (8，y y 43-482)，根据FP →＋FQ →＝FE →，则E (18y 2＋6，y y 4482+)，故(yy 4482+)2＝8(18y 2＋6)，解得：y 2＝165，故存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P (25，455)．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n －a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”．(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n ＝a n ＋1＋1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围．【解答】(1)数列{b n }与{a n }接近．理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，可得a n ＝12n －1，b n ＝a n ＋1＋1＝12n ＋1，则|b n －a n |＝|12n ＋1－12n －1|＝1－12n ＜1，n ∈N *，可得数列{b n }与{a n }接近； (2){b n }是一个与{a n }接近的数列，可得a n －1≤b n ≤a n ＋1，数列{a n }的前四项为：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等，集合M ＝{x |x ＝b i ，i ＝1，2，3，4}，M 中元素的个数m ＝3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，可得a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①若d ＞0，取b n ＝a n ，可得b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＝d ＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；②若d ＝0，取b n ＝a 1－1n ，则|b n －a n |＝|a 1－1n －a 1|＝1n ＜1，n ∈N *，可得b n ＋1－b n ＝1n －1n ＋1＞0，则b 2－b 1，b 3－b 2，…，b 201－b 200中有200个正数，符合题意；③若－2＜d ＜0，可令b 2n －1＝a 2n －1－1，b 2n ＝a 2n ＋1，则b 2n －b 2n －1＝a 2n ＋1－(a 2n －1－1)＝2＋d ＞0，则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤－2，若存在数列{b n}满足：{b n}与{a n}接近，即为a n－1≤b n≤a n＋1，a n＋1－1≤b n＋1≤a n＋＋1，可得b n＋1－b n≤a n＋1＋1－(a n－1)＝2＋d≤0，b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符1合题意．综上可得，d的范围是(－2，＋∞)．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
(完整版)【解析版】2018年高考上海卷数学试题
2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）4 11. 行列式'门的值为___________________________X22~~ y ■ == 12. 双曲线4 ■的渐近线方程为________3. •的二项展开式中-的系数为____________________ （结果用数值表示）4. 设常数，■',函数汀-竺二泊吻【X *茂.：,若虑的反函数的图像经过点,则5. 已知复数H满足11 + i） ' = 1 _丄是虚数单位）,则国=________________________________6. 记等差数列'的前••项和为「，若I ' _ 1 ,则Sj =（认+x ）上递减，则c 二8.在平面直角坐标系中，已知点■ ' ' ■ !' ■'是■轴上的两个动点，且9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为 ______________ （结果用最简分数表示）考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑a E7.已知丨.若函数=書"为奇函数，且在,则.-.最小值为10.设等比数列■；的通项公式为'~ '（” €）,前口项和为孔,若lim —1-,则'f （J ：）= -----11.已知常数筮紳那,函数… ；‘十心-的图像经过点若’''■12.已知实数 X 1, X 2, y 1, y 2 满足：X 12y 121,血22 . 1 M .7211X 1X 271722,则二、选择题（本大题共有 4题，满分20分, 每题5分）每题有且只有一个正确选项2 213.设p是椭圆—"^―5 31上的动点p到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A. 2.2 B. 2 一3 D. 4.214.已知a R,则“ a1 1 ”是“-aB.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件15•《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。
2018上海高考数学真题及答案解析
2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．（4分）（2018•上海）行列式的值为18 ．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换．【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18．故答案为：18．【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．2．（4分）（2018•上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±∴双曲线的渐近线方程为y=±故答案为：y=±【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．（4分）（2018•上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）．【考点】DA：二项式定理．【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数．【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为=•x r，Tr+1令r=2，得展开式中x2的系数为=21．故答案为：21．【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．（x+a）．若f（x）的4．（4分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og2反函数的图象经过点（3，1），则a= 7 ．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．（x+a）的图象经过点（1，3），由【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2此能求出a．（x+a）．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2f（x）的反函数的图象经过点（3，1），（x+a）的图象经过点（1，3），∴函数f（x）=1og2（1+a）=3，∴log2解得a=7．故答案为：7．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）（2018•上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模．【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，得，则|z|=．故答案为：5．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．（4分）（2018•上海）记等差数列{an }的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7= 14 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S7=7a1+=﹣28+42=14．故答案为：14．【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）（2018•上海）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=﹣1 ．【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．（5分）（2018•上海）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为﹣3 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；41 ：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得，将a=b+2带入上式即可求出的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a=b+2，或b=a+2；且；∴；当a=b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．9．（5分）（2018•上海）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；5I ：概率与统计．【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：=10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．10．（5分）（2018•上海）设等比数列{an }的通项公式为an=q n﹣1（n∈N*），前n项和为Sn．若=，则q= 3 ．【考点】8J：数列的极限．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；55 ：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．【解答】解：等比数列{an }的通项公式为a=q n﹣1（n∈N*），可得a1=1，因为=，所以数列的公比不是1，=q n．，an+1可得====，可得q=3．故答案为：3．【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查．11．（5分）（2018•上海）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P （p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a= 6 ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．12．（5分）（2018•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x 1x2+y1y2=，则+的最大值为+．【考点】7F：基本不等式及其应用；IT：点到直线的距离公式．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，即+的最大值为+，故答案为：+．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）（2018•上海）设P是椭圆=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2B．2C．2D．4【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【解答】解：椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．14．（5分）（2018•上海）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4 B．8 C．12 D．16【考点】D8：排列、组合的实际应用．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；5O ：排列组合．【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E 1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12，当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意，故有12+2+2=16故选：D．【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．16．（5分）（2018•上海）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B． C． D．0【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=，，0时，此时得到的圆心角为，，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）（2018•上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；41 ：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角．【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积V===．（2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosθ===．∴θ=arccos．∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【考点】GP：两角和与差的三角函数；GS：二倍角的三角函数．【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；58 ：解三角形．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19．（14分）（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）=（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4C ：分类法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）=2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣；当30＜x＜100时，g（x）=（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）=﹣x+58；∴g（x）=；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．20．（16分）（2018•上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPF •kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标．【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），则|BF|==t+2，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t），由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，D（，），kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，解得：x=，x=6（舍去），∴△AQP的面积S=××=；（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF ==，kFQ=，直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），根据+=，则E（+6，），∴（）2=8（+6），解得：y2=，∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21．（18分）（2018•上海）给定无穷数列{an }，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn ﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．（1）设{an }是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；（2）设数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m；（3）已知{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】34 ：方程思想；48 ：分析法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得an ﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【解答】解：（1）数列{bn }与{an}接近．理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列，可得an =，bn=an+1+1=+1，则|bn ﹣an|=|+1﹣|=1﹣＜1，n∈N*，可得数列{bn }与{an}接近；（2）{bn }是一个与{an}接近的数列，可得an ﹣1≤bn≤an+1，数列{an }的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等，集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，M中元素的个数m=3或4；（3）{an }是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，可得an =a1+（n﹣1）d，①若d＞0，取bn =an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；②若d=0，取bn =a1﹣，则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*，可得bn+1﹣bn=﹣＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意；③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，则b2n ﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意；④若d≤﹣2，若存在数列{bn }满足：{bn}与{an}接近，即为an ﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1，可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0，b 2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意．综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）．【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.行列式41
25的值为 。
2.双曲线2
214
x y -=的渐近线方程为 。
3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。
（结果用数值表示）
4.设常数a R ∈，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。
5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。
6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若a 3=0，a 8+a 7=14，则S 7= 。
7.已知α∈{－2,－1,－21,21,1,2,3}，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=_____
8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则BF AE ⋅的最小值为______
9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。
若1
Sn 1lim
2n n a →∞+=，则q=____________
11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，，若236p q pq +=，则a =__________
12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212
x x y y +=₁₂₁，则2+2
的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设P 是椭圆
²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）22
（B ）23
（C ）25
（D ）42
14.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“
1a
1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件
（B ）必要非充分条件
（C ）充要条件
（D ）既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
（A ）4
（B ）8
（C ）12
（D ）16
16.设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）
的图像绕原点逆时针旋转π6
后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3 （B ）3 （C ）3 （D ）0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段
AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+
（1）若f x （）
为偶函数，求a 的值； （2）若4
f π
〔〕31=+，求方程12f x =-（）在区间ππ-［，］上的解。
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均勇士，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g x （）的表达式；讨论g x （）
的单调性，并说明其实际意义。
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设常数t >2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x=t ，曲线τ：
²8y x =00x t y （≦≦，≧）
，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B ，P 、Q 分别是曲线τ与线段AB 上的动点。
（1）用t 为表示点B 到点F 的距离；
（2）设t =3，
2FQ =∣∣，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积； （3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。
21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||n n b a -≤，则称{}{}n n b a 与 “接近”。
（1）设{a n }是首项为1，公比为
2
1的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； （2）设数列{a n }的前四项为：a ₁=1，a ₂=2，a ₃=4，
=8，{b n }是一个与{a n }接近的数
列，记集合M={x |x =b i ，i =1,2,3,4},求M 中元素的个数m ； （3）已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b ₂-b ₁，b ₃-b ₂，…b 201-b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围。