圆周运动的临界条件
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结在物理学中，圆周运动是一种非常重要的运动形式，特别是在机械运动、天体运动等方面有着广泛的应用。
而圆周运动的临界问题则是圆周运动中的一个极为重要的问题，它在实践中有着非常广泛的应用。
通过对圆周运动的临界问题进行总结，我们可以更好地理解这一重要的物理概念。
1. 圆周运动的基本概念圆周运动是物体在圆周轨道上运动的一种形式，它在自然界和工程技术中有着广泛的应用。
在圆周运动中，物体不断地向心加速，这使得它能够绕着圆周轨道运动。
2. 临界问题的概念所谓圆周运动的临界问题，是指在圆周运动当中，当增大或减小某个因素（比如转速、半径等）时，会引发系统性质的变化，甚至改变运动的状态的问题。
临界问题的研究对于理解圆周运动和应用于实际中具有十分重要的意义。
3. 临界问题的实际意义临界问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在汽车转弯时的侧倾问题、工程中的旋转机械的稳定性问题等，都与临界问题有着密切的联系。
研究圆周运动的临界问题不仅可以帮助我们更好地理解物理规律，还能够指导我们更好地应用这些规律进行工程设计。
4. 圆周运动的临界问题结论总结通过对圆周运动的临界问题进行深入研究，我们可以得出一些结论：- 当圆周运动的速度达到一定临界值时，会发生状态的变化，比如从稳定运动到不稳定运动。
- 圆周运动的临界问题受到多种因素的影响，比如半径、转速、质量等，它们之间有着复杂的关系。
- 圆周运动的临界问题不仅存在于理论研究中，也存在于实际生活和工程中。
5. 个人观点和理解从我的个人观点来看，圆周运动的临界问题是一个非常复杂而有趣的物理问题。
通过深入研究和总结，我们可以更好地理解圆周运动的规律，也可以更好地应用这些规律到实际生活和工程中。
我认为，对临界问题的研究还有很多有待探索的地方，希望能够有更多的人投入到这一领域的研究当中。
总结回顾：通过本文的阐述，我们对圆周运动的临界问题有了更深入的认识。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
圆周运动中的临界问题
3 rad/s 1.0 rad/s
0.5 rad/s
• 在质量为M的电动机的飞轮上，固定 着一个质量为m的重物，重物到转轴 的距离为r，如图所示，为了使放在地 面上的电动机不会跳起，电动机飞轮 的角速度不能超过( )
A． C．
M m g mr M m g mr
B． D． Mg
mr
M m g mr
m R O
v0 N
M
如图所示，质量为m的物体随水平传送带 一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮， 皮带轮半径为r，要使物体通过终端时， 能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固 定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴 距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静 止。物体与盘面间的动摩擦因数为 /2（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的 夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是 A 5 rad/s B C D
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于等于0 在最高点速度 应大于等于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
3.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径 为R，顶部有一个入口，在的正下方 处 有一个出口，一质量为 m的小球沿切线 方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从 B处飞出，小球射入入口的速度 满足什 么条件? 在运动过程中球对筒的压力 多大？
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
圆周运动不脱轨的临界条件(一)
圆周运动不脱轨的临界条件(一)圆周运动不脱轨的临界条件引言•圆周运动是物体围绕某一点或轴作曲线运动的形式之一，广泛应用于机械、航天等领域。
•为了保证圆周运动的稳定性和安全性，我们需要了解圆周运动不脱轨的临界条件。
什么是圆周运动不脱轨的临界条件？圆周运动不脱轨的临界条件是指在一定条件下，物体进行圆周运动时不会从轨道上脱出的临界条件。
具体来说，当满足以下条件时，圆周运动才能保持稳定，物体不会脱离轨道。
临界条件一：合力向心力等于向心力•合力向心力是物体在圆周运动过程中所受的合力，它的方向指向圆心。
•向心力是物体在圆周运动中受到的真实力，它的方向也指向圆心。
•当合力向心力等于向心力时，物体在圆周运动中所受的合力与向心力平衡，从而保证圆周运动的稳定性。
临界条件二：离心力小于或等于摩擦力•离心力是物体在圆周运动中受到的惯性力，它的方向指向远离圆心的外侧。
•摩擦力是物体与与其接触物体之间发生摩擦产生的力。
•当离心力小于或等于摩擦力时，物体受到的向外的离心力不足以克服摩擦力，从而保持在轨道上，不会脱离圆周运动。
临界条件三：速度不超过临界速度•临界速度是物体进行圆周运动时，速度达到的最大值。
•当速度超过临界速度时，由于离心力增大，合力向心力小于离心力，物体将无法保持在轨道上，从而产生脱轨现象。
•因此，速度不超过临界速度是保证圆周运动不脱轨的关键条件之一。
结论•圆周运动不脱轨的临界条件包括合力向心力等于向心力、离心力小于或等于摩擦力，以及速度不超过临界速度。
•在设计和运用圆周运动时，必须严格遵守这些临界条件，以确保圆周运动的稳定性和安全性。
以上是关于圆周运动不脱轨的临界条件的相关内容。
希望能对读者对此有所帮助。
谢谢阅读！补充说明临界条件一：合力向心力等于向心力•合力向心力与向心力之间的平衡关系是保持圆周运动稳定的基础。
•当合力向心力小于向心力时，物体将受到向外的合力作用，导致脱离轨道。
•当合力向心力大于向心力时，物体将受到向内的合力作用，导致向轨道内侧运动。
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结引言圆周运动是物理学中一个重要的研究对象，它广泛应用于机械、电子、核物理等领域。
在圆周运动中，存在着临界问题，即在达到一定条件下，系统会出现特殊的运动状态。
本文将对圆周运动的临界问题进行总结和讨论，探究其背后的原理和应用。
圆周运动简介圆周运动是物体绕着一个固定点以相同的速度做匀速运动的过程。
在圆周运动中，我们经常涉及到的几个重要概念包括角速度、圆周位移、向心加速度等。
圆周运动的临界问题在圆周运动中，当某些条件达到一定数值时，系统会出现特殊的运动状态，即临界状态。
以下是几个常见的圆周运动的临界问题：1. 临界速度临界速度是指物体在圆周运动中的最小速度，即达到这个速度后，物体将能够保持圆周运动而不会脱离。
临界速度的计算可以通过向心加速度和半径之间的关系得到。
2. 临界半径临界半径是指物体在圆周运动中最大的半径，即当半径超过这个值时，物体将无法保持圆周运动。
临界半径的计算可以通过向心加速度和速度之间的关系得到。
3. 同步转速同步转速是指当一个物体在圆周运动中与另一个物体由于某种相互作用而达到相同的转速。
同步转速常见于机械传动系统中，应用于传感器、电机等设备。
4. 切向加速度的临界条件在圆周运动中，物体的切向加速度也扮演着重要的角色。
临界条件是切向加速度的大小是否足够让物体保持圆周运动，当切向加速度小于临界值时，物体将离开圆周运动。
圆周运动的应用圆周运动的临界问题在实际应用中具有重要意义。
以下是几个典型的应用：1. 离心力的利用离心力是圆周运动中一种重要的力，它的大小与向心加速度成正比。
在很多设备中，我们会利用离心力进行分离、过滤、加速等操作。
2. 地球绕太阳的运动地球绕太阳做圆周运动，正是由于地球的临界速度和太阳的引力，地球才能在太阳系中稳定运动。
3. 卫星轨道维持人造卫星在轨道上运行时，需要使用推进器进行修正，使卫星维持在临界半径内，避免脱离圆周运动。
4. 强化材料的测试在材料科学中，可以通过使材料在高速旋转的离心机中达到临界速度，来测试材料的强度和耐久性。
圆周运动_临界问题
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰
一次，且落点为B，则小球的初速度v＝
_________，圆盘转动的角速度ω＝
_________。
图3-6
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球 的角速度ω应满足什么条件？
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
高三物理 圆周运动的临界条件 知识精讲
高三物理 圆周运动的临界条件 知识精讲在竖直平面内，圆周运动的临界条件：1. 绳拉小球在竖直平面内的运动，是变速运动，在上端v v 小大，在下端BA 位置v AGN小球受到重力G ，绳的拉力为T ，A 位置的向心力F mg N mg N mv RA =++=2/mg N 重力与运动状态无关，为轨道对物体的弹力，该力的大小与运动状态有关。
N mv R mg A =-2/ （1）当时绳提供弹力向下，是N mv R mg A >>02/由绳的形变而引起的，小球维持圆周运动。
（）当时重力提供向心力，202N mv R mg A ==/小球与绳间无相互作用。
（）当时除提供向心力外还有余力，302N mv R mg mg A <</必须由绳提供，向上拉力以抵消该余力，这是绳所做不到的，所以，受力大于向心力而下落。
A. 该时v 称为临界速度，是小球刚好越过顶点，作圆周运动速度的最小值。
B. 临界速度与物体质量⋅⋅无关，只取决于竖直平面内，绳长和重力加速度gC. 当v v <临，小球下落，v v ≥临，小球保持⋅⋅圆周运动。
尚未达到最高点，作抛体运动。
在B 位置重力为mg 为切向力，使小球在切向加速，T 提供力作为向心力 T mv R B =2/在C 位置重力为mg ，拉力为T 在一条直线上，合力指向圆心，充当向心力T mg mv R C -=2/TmgvD. 如果在该题中，绳拉球，改为球在单侧内轨道运动，物体做圆周运动情况相同。
物体在绳，单侧轨道上竖直平面内，否则物体能做圆周运动的速度条件为v gR ≥在最高点。
2. 杆带球在竖直平面内作圆周运动，可以做到是匀速圆周运动。
CA 位置N mgv小球受到重力，杆的拉力N ，A 位置的向心力，F mg N =+ N F mg mv R mg A =-=-2/mg 与运动状态无关，N 与运动状态有关。
（1）当N mv R mg >>02,/ 杆提供向下弹力，是由于杆对球拉力，可以做到。
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题
浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动往往是在一些理想模型约束下进行的,常见的有轻绳、轻杆、轨道、管道等, 下面将对这类临界状态问题进行综合分析。
一、轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧。
如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：1.临界条件：小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力提供。
根据牛顿第二定律得，mg=m，即v临界＝Rg。
这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度；也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。
2.小球能通过最高点的条件：当v>Rg时，这时绳子对球有作用力，称为拉力。
当v＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。
3.小球不能通过最高点的条件：v<Rg时，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道（如图）。
二、轻杆模型杆和光滑管道。
如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：1.临界条件：由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点，临界速度是：v临界＝0。
此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。
2.如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg；当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<FN<mg；当v＝Rg时，FN＝0。
这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力；当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。
三、两种模型分析比较1.轻绳模型：均是没有支撑的小球，由mg＝m得v临＝gr。
浅谈圆周运动的临界条件3
浅谈圆周运动的临界条件在高中物理的知识构成中，曲线运动是教师教学的重点，也是学生学习中的难点。
而圆周运动作为曲线运动的一个典型代表，又有着它区别其他曲线运动所特有的运动特征和规律。
质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动时，即其轨迹是圆周的运动我们称之为圆周运动。
圆周运动分为速度大小不变的匀速率圆周运动，又称匀速圆周运动，以及速度大小变化的非匀速圆周运动。
但不管是哪种圆周运动其速度方向都是时刻变化的。
做匀速圆周运动的物体所受的合外力指向圆心，且大小恒定方向时刻改变，而对于做非匀速圆周运动的物体受到的合外力是不指向圆心的，但这个合外力的两个分力，一个沿圆周上某点的切线方向，称之为切向力，它只能改变速度大小。
另一个分力沿半径指向圆心，也称之为向心力，它只能改变速度方向。
由此可以理解，做匀速圆周运动的物体所受合外力的切向分力为0。
而当物体做圆周运动的某些物理量发生变化时，这种稳定的圆周运动就要被打破，即它的运动轨迹将不再是一个圆周。
像这种物体从圆周运动向非圆周运动转变的切合点我们称为圆周运动的临界状态。
设质量为m物体做圆周运动的角速度为ω，半径为r，我们暂且称mω2r为物体做圆周运动所需要的向心力。
物体所受的所有力的合力指向圆心的分力我们可以称为外力提供的向心力F向，这里要注意，如果物体做变速圆周运动，其合外力还有个沿切线方向的分力。
当F向= mω2r时，物体就做圆周运动；当F向＞mω2r时，物体就做向心运动；当F向＜mω2r时，物体就做离心运动。
不管是离心运动还是向心运动，它们都不是圆周运动，都打破了原先稳定的圆周运动的状态。
所以圆周运动能否稳定的关键是mω2r是否等于F向。
下面本人就结合具体问题来说明和分析。
1．水平面内的圆周运动例1．如图1所示，在水平转盘上距转轴为r的位置放着一个质量为的小物体m，开始一段时间内物体相对与转盘静止随转盘一起转动，已知转盘与物体之间的动摩擦因数为μ。
问当角速度为多少时，物体开始相对转盘滑动。
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结1. 引言：圆周运动是物理学中的一个重要问题，涉及到质点在圆周轨道上运动的临界条件和相关结论。
通过对圆周运动的深入研究和分析，我们可以更好地理解质点运动的性质以及相应的临界条件。
2. 圆周运动的基本定义和参数：圆周运动是指质点沿着固定半径的圆周轨道做匀速运动。
它的参数包括半径r、角速度ω和线速度v等。
圆周运动的关键特征是质点受到向心力的作用，它的大小与质点的质量m、角速度ω和半径r有关，即F = mω²r。
3. 圆周运动的临界条件：圆周运动会出现临界情况，当质点的向心力等于或超过受力的上限时，圆周运动将发生变化。
这个临界条件可以用一个重要的方程来表示：F = mv²/r = mω²r。
当F > mω²r时，质点将脱离圆周轨道，产生离心力；当F = mω²r时，质点保持在圆周轨道上做匀速运动，达到临界情况。
4. 圆周运动的结论总结：通过对圆周运动的分析，我们可以得出以下结论：4.1 向心力是使质点保持在圆周轨道上运动的重要力量，它提供了质点的必要的向心加速度，进而产生了向心力。
4.2 圆周运动的临界条件是质点所受向心力等于或超过受力上限，当向心力小于受力上限时，质点无法保持在圆周轨道上做匀速运动。
4.3 圆周运动的临界条件方程为F = mω²r，其中F是向心力，m是质点的质量，ω是角速度，r是运动半径。
4.4 圆周运动的临界条件可以帮助我们计算或推导质点的角速度、线速度、运动半径等参数，从而更加深入地了解质点运动的性质。
5. 我的个人观点和理解：圆周运动的临界问题是一个非常有趣且重要的物理学问题。
通过对临界条件的研究和理解，我们可以更好地把握物体在圆周轨道上运动时的行为特征，推导出相关的运动参数，并进行定量分析。
这样，我们可以更深入、全面地了解物体运动的规律和特点，为实际问题的解决提供有力支持。
圆周运动不脱轨的临界条件
圆周运动不脱轨的临界条件圆周运动是物体在圆形轨道上运动的一种形式，而临界条件则是指物体在进行圆周运动时，不发生脱轨的条件。
本文将从物体的速度、摩擦力和力的平衡等方面，探讨圆周运动不脱轨的临界条件。
一、速度与圆周运动不脱轨的关系物体在进行圆周运动时，其速度是一个重要的因素。
我们知道，物体的速度是由其质量和速度大小所决定的。
对于圆周运动来说，速度大小不是唯一的考虑因素，还要考虑速度的方向。
当物体的速度与圆周运动方向相同时，物体会受到向心力的作用，从而保持在轨道上，不发生脱轨。
因此，速度与圆周运动不脱轨是密切相关的。
二、摩擦力与圆周运动不脱轨的关系摩擦力是物体在接触面上由于粗糙度而产生的一种力。
在圆周运动中，物体与轨道之间存在着摩擦力。
摩擦力的大小与物体质量、轨道材质以及物体与轨道之间的接触面积等因素有关。
如果摩擦力足够大，能够提供向心力所需要的力，那么物体就可以保持在轨道上，不脱轨。
因此，摩擦力也是圆周运动不脱轨的临界条件之一。
三、力的平衡与圆周运动不脱轨的关系圆周运动中，物体所受力的平衡也是保持物体不脱轨的重要条件。
物体在进行圆周运动时，除了向心力外，还存在着其他的力，如重力、摩擦力等。
这些力的平衡与否，直接影响着物体是否能够保持在轨道上。
当物体所受的合力为向心力时，力的平衡得以保持，物体就不会脱离轨道。
因此，力的平衡也是圆周运动不脱轨的临界条件之一。
圆周运动不脱轨的临界条件主要包括速度与圆周运动方向相同、摩擦力足够大以及力的平衡。
在进行圆周运动时，我们需要确保物体具备这些条件，才能够保持在轨道上，不发生脱轨现象。
这些条件是相互作用的，缺一不可。
因此，我们在设计和进行圆周运动时，必须要考虑这些临界条件，以确保运动的安全和稳定。
向心力 第6课时——圆周运动的临界条件
TAC
解析：当BC绳刚好被拉直（这是一个临界状态），BC绳中的张力然为零。
设这时的角速度为ω1，则有：
F合1
mgtan30°＝mω12Lsin30° 将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad／s
mg
TBC
F合2 mg
当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时， TAC＝0（这又是一个临界状态），则有： mgtan45°＝mω22Lsin45° 将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad／s 所以 当ω满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。
小球能上到最高点的条件： v gr
1 竖直面内的圆周运动的临界问题
模型二：轻杆和圆管模型
N
最高点均有物 体支撑
mg N
O
N mg m v2 r
临界条件：N=mg
mg
O
mg N m v2 r
v=0
1、当v gr 时
杆或圆管不产生弹力
2、当 v gr 时
杆或圆管向下的产生弹力 v越大，N越大
3 课堂小结：
判断圆周运动中临界问题的解题步骤：
1.判定临界状态：它们主要分为三类：①有些题目中有“刚好”“恰 好”“正好”等词语，明显表明题述的过程存在临界点；②若题目中有 “取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在起 止点，而这些起止点往往就是临界状态；③若题目有“最大”“最 小”“至多”“至少”等字眼，则表明题述的过程存在极值，这个极值点 往往也是临界状态。 2.确定临界的受力情况：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析 弄清楚临界状态出现的受力情况。 3.注意找准圆心：确定物体做圆周运动的圆平面，找准圆心（绳子的悬点 不一定是圆心） 4.对临界状态列方程求解：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后， 对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后列方程 求解！
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第3．5节
圆周运动的应用 答案
例题2：
练1：解析：要使悬线碰钉后小球做完整的圆周运动，须使小球到达以P 点为圆心的圆周最高点M ，当刚能到达最高点M 时，小球只受重力mg 作用，此时悬线
拉力为零，即有mg =m R v 2m in ，其中R 为以P 点为圆心的圆周的半径，v min 为小球到达M 点的最小速度，而根据机械能守恒定律，有mg （L －2R ）=2
1mv min
2 联立解得R =52L ，此为小球以P 点为圆心的最大半径，所以OP =L －R =53L 为OP 间的最小距离.
故OP 段的最小距离是5
3L .
例题3：解析】 两根绳张紧时，小球受力如图4－3－7所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现以下两个临界值．
(1)BC 恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有F 1sin30°＝m ω12L sin30°
F 1cos30°＝mg
代入数据解得ω1＝2.4 rad/s.
(2)AC 由拉紧转为恰好拉直，但F 1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F 2sin45°＝m ω22LBC sin45°
F2cos45°＝mg
代入数据解得ω2＝3.16 rad/s
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.
【答案】 2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
练2：D
练3：解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O.
对于B：F T＝mg
对于A：F T＋Ff＝Mrω12
或F T－Ff＝Mrω22
代入数据解得
ω1＝6.5 rad/s，ω2＝2.9 rad/s
所以2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s.
答案：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s。