第一章作业

60P Dmax r r
F (θ ,ϕ)
E1 =
60 Pr Dmax r1
F1 (θ , ϕ )
由图可知，该天线最大辐射方向在
θ = 90 , ϕ = 90 处
因此，M1点为半功率点
z
M 1 ( r0, 51 ,90
• •
)
)
M 2 ( 2r0 ,90 ,90
•
1 = 则 P0 2 M
P1 M
EM1 EM0
E1m 所以 =1 E2m
（2）解：因为 E m a x =
6 0 Pinη A D r
且
D1 = D 2 = 10 dB , r1 = r2 , P1in = P2 in , η A1 = 0.5, η A 2 = 0.8
所以
E1m = E 2m
ηa = ηa
1 2
5 = 0 .7 9 1 8
（3）解:由 Emax
λ
i λ co s δ = 2 π co s δ
)
× co s (π co s δ
π
2 co s δ
sin δ )
)
∴ f H (δ ) = 1 × co s (π co s δ
)
d =λ 时，E 面方向图
0
×
f1 (δ ) f a (δ )
0
0
=
f E (δ )
d=λ 时，H 面方向图
0
0
0
×
f1 (δ ) f a (δ )
1 = 2
x
M 0 ( r0, 90 ,90
) y
(1)
EM 2 EM 0
r0 1 = = 2r0 2
EM1 EM2
(2)
= 1 × 2 = 1 .4 1 4 2
由 (1) ( 2 ) 式 得 :
9.已知某天线的归一化方向函数 试求其方向系数D。
解：D = 4π
π
2π
⎧ cos 2 θ ⎪ ⎪ Fθ = ⎨ ⎪0 ⎪ ⎩
θ ≤ θ >
π π
2 2
∫ ∫
2 0
0
F 2 (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ 4π
=
∫ ∫
2 0
π
2π
0
cos 4 θ sin θ dθ dϕ 4π
4π = = = 10 π 2 4 2 π −2π ∫ cos θ d ( cos θ ) 0 5
10.一天线的方向系数D1=10dB，天线效率 η A = 0.5 ,另 一天线的方向系数D2=10dB，天线效率 η A = 0.8。若将 两天线先后置于同一位置且主瓣最大方向指向同一点 M。
1
2
（1）若二者的辐射功率相等，求它们在M点产生的辐 射场之比。 （2）若二者的输入功率相等，求它们在M处产生的辐 射场之比。 （3）若二者在M点产生的辐射场相等，求所需的辐射 功率比及输入功率比。
解：（1）因为M点位于两天线主瓣最大方向
E m ax =
6 0 Pr D r
由于D1 = D2 = 10dB, r1 = r2 , Pr1 = Pr 2
元因子为半波对称振子：
d
Z
δ
1
cos( cosθ) 2 f1(θ,ϕ) = sinθ
π
θ
2
Y
X
（b）
所以，只须求阵因子：
f a (θ , ϕ ) = 1 + m e m1 ∵ = 1, m2
jψ
ξ = 0 ψ
2
∴ f a (θ , ϕ ) = 2 c o s
对于（b）图，当 d =
λ
2
时，有
2π λ ψ = ξ + k ∆r = i cos δ = π cos δ λ 2 ∴ f a (δ ) = 2 cos( cos(
π
2
cos δ )
π
∴ f E (δ ) =
2 sin θ
cos θ )
× cos(
π
2
cos δ )
=
cos(
π
2 cos δ
sin δ )
× cos(
π
2
cos δ )
d =
0
λ
2
时，E面方向图
0
0
×
f1 (δ ) f a (δ )
=
f E (δ )
对于平行振子，H 面阵因子与 E 面一样，只是 在 H 面半波振子无方向性。
Eϑ Eϑ ∵ Hϕ = = η 120π ∴ H ϕ (0 ) = 0 Hϕ (60 ) = 5.46 × 10−6 ( A / m ) Hϕ (90 ) = 6.28 × 10−6 ( A / m )
5.计算基本振子E面半功率波瓣宽度2θ0.5E ， 和零功率波瓣宽度2θ0E。
F (θ , ϕ ) = sin θ
∴ f H (θ ) = f1 (θ ) × f a (θ ) 3π = 1× 2sin( sin θ ) 2
Z
i
0
i
θ
Y
H 面方向图
×
f1(δ ) f a (δ )
=
fE (δ )
E0.5 E = 2 × 45 = 90 E0 E = 2 × 90 = 180
8. 某 天 线 在 YOZ 面 的 方 向 图 如 图 所 示 ， 已 知 2θ0.5=78º，求点M1 （r，51º，90º）与点M2 （2r，90º，90º）的辐射场的比值。 解：由题2知：
Eθ = Emax × F (θ ,ϕ) =
j 2ψ
(1 + e )]
= E1 (1 + e jψ )(1 + e j 2ψ )
其中：ψ = ξ + kd cos δ =
π
2
+
π
2
cos δ
由方向函数乘积定理
f (θ , ϕ ) = f1 (θ , ϕ ) × f a1 (θ , ϕ ) × f a 2 (θ , ϕ )
其中元因子为电基本振子 f1 (θ , ϕ ) = sin θ = cos δ
∵ 2l = λ / 2 Eθ ∴ f (θ ) = = tgθ sin ( kl cos θ ) 60 I m / r = tgθ sin( cos θ ) 2
π
Fθ =
tgθ sin( cos θ ) 2 π
2
π
D=
4π
∫ ∫
0
2π
π
0
F 2 (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ
= 8×
−3 + Si (π )π
π
π
= 7.176 其中Si (π ) = ∫
0
sin t dt t
27. 二半波振子等幅同相激励，如图放置，间距分别 为 d = λ 2 , λ,计算其 E 面和 H 面方向函数并 概画方向图。 解: (1) 由方向函数乘积定理：
f (θ ,ϕ) = f1(θ ,ϕ) × fa (θ ,ϕ)
f a1 (θ , ϕ ) = 2 cos
ψ
= 2 cos( + cos δ ) 2 4 4
π
π
f a 2 (θ , ϕ ) = 2 cosψ = 2 cos( + cos δ ) 2 2
π
π
或由方向函数乘积定理
f (θ , ϕ ) = f1 (θ , ϕ ) × f a (θ , ϕ ) f1 (θ , ϕ ) = sin θ = cos δ 4ψ sin 2 = sin(π + π cos δ ) f a (θ , ϕ ) = ψ π π sin sin( + cos δ ) 2 4 4
π Il 5 或Pr = 40π I ( ) ⇒ = λ λ 8 60π Il 60 5 E sin θ = sin θ 则有： θ = r 8 λr
2 2
l
2
当θ= 0º时，Eθ= 0； 当θ= 60º时，Eθ= 2.05×10-3 V/m； 当θ= 90º时，Eθ= 2.37×10-3 V/m
所以
Pin 1 η A 2 0 .8 = = = 1 .6 Pin 2 η A1 0 .5
23.设一直线对称振子，2l = λ / 2，沿线电流为等 幅同 相分布。根据场的叠加原理，求出此天线的方向函 数及方向系数。 解：可把该对称振子看作无数个等幅同相沿Z方向分 布的电流元组成，在Z处取电流元段dz，由基本振 子辐射场表达式得：
第一章 习
Байду номын сангаас
题
2.一电基本振子的辐射功率为25W，试求r=20km 处，θ=0º、60º、90º的场强。θ为射线与振子 轴之间的夹角。 解：电基本振子的最大方向系数为Dmax=1.5,方向 函数
F (θ , ϕ ) = sin θ
Eθ = Emax × F(θ,ϕ) = 60×25×1.5 = Sinθ 3 20×10 60PDmax r r Sinθ
60 Pr D = r
得 Pr
( rEmax ) =
60 D
2
因为 D1 = D2 , r1 = r2 , E1 = E2
所以
Pr 1 =1 Pr 1
60P ηA D in 又因 Emax = r
得 P in
( rEmax ) =
2
60ηA D
又知
D1 = D 2 = 10, r1 = r2 , E1 = E 2
Z
δ
d
∆r θ
X
∵ f a (δ
= 1 + m e jψ )
ψ = ξ + k ∆r 2π 3 =π + × 2 × λ sin θ 4 λ = π + 3π sin θ
m =1 ∴ f a (δ
)=
1+ e
j ( π + 3 π sin θ )
= 2 co s
ψ
2
⎛ 3π ⎞ sin θ ⎟ = 2 sin ⎜ ⎝ 2 ⎠
E
−l
r
dZ
r'
l
θ Z
z
60 π I m dz − jkr ′ dE θ = j sin θ e ' λr r ' = r − z cos θ , r − r ' = z cos θ ∴ r ' ≈ r,
r
60 π I m dz − jk ( r − z cos θ ) dE θ = j sin θ e λr 60 π I m sin θ e − jkr l jkz cos θ Eθ = j dz ∫− l e λr 60 I m sin ( kl cos θ ) − jkr tg θ e = j r
Z 0
∴ f H (δ ) = 1× 2cos( cos δ ) 2
π
i
δ
i
θ
X
D =
λ
2
0
时，H 面方向图
0 0
×
f1 (δ ) f a (δ )
=
f E (δ )
当 d =λ时
ψ = ξ + k ∆r =
2π
∴ f a (δ ) = 2 co s (π co s δ ∴ f E (δ ) = co s(
2
2
ZrΣ(1) = 2Z11 + Z12 (− j + j ) = 2Z11 = 2 × ( 73.1 + j 42.5) = 146.2 + 85 j 1 I 2R ∴ PrΣ（1）= m1 rΣ(1) 2 = 1 ×1.852 ×146.2 2 = 250.2 (W )
38.一半波振子水平架设在地面上空，距地面高 度h=3λ/4，设地面为理想导体，试画出该振 子的镜像，写出E面、H面的方向函数，并慨 画方向图。 解：如图，为负镜象。
∴ f E (θ ) = f1 (θ ) × f a (θ ) ⎛π ⎞ cos ⎜ cos θ ⎟ ⎝2 ⎠ × 2sin ⎛ 3π sin θ ⎞ = ⎜ ⎟ sin θ ⎝ 2 ⎠
E 面方向图
×
f1(δ ) f a (δ )
=
fE ( δ )
H 面在ZOY平面上，阵方向函数与E 面相 同，只是阵元方向函数为半波振子的H 面方向函 数为1。
=
f E (δ )
29. 四个电基本振子排列如图所示，各振子的激励 相位依次为ej0º、ej90º、ej180º、ej270º, d=λ/4，试写 出 E 面和 H 面方向函数并概画极坐标方向图。 解:
E (θ , ϕ ) = E1 (1 + e
jψ jψ
+e
j 2ψ
+e
j 3ψ
)
jψ
= E1[(1 + e ) + e
37.解：
Im2 Zr ∑(1) = Zr1 + Zr2 Im1 Im2 Im2 ⎛ Im1 ⎞ = Z11 + Z12 + ⎜ Z22 + Z21 ⎟ Im1 Im1 ⎝ Im2 ⎠ Im1 j π2 ∵Z11 = Z22, Z12 = Z21, =e Im2 ⎛ Im2 Im1 ⎞ ∴Zr ∑(1) = 2Z11 + Z12 ⎜ + ⎟ ⎝ Im1 Im2 ⎠