一笔画数学
不重复的路-一笔画问题
在一笔画过程中，如果起点和终点是同一点，则称该路径为欧拉回路。如果一个 图存在一个遍历其所有边且每条边只遍历一次的路径，则称该路径为欧拉路径。
一笔画问题的数学描述
图论
一笔画问题属于图论的范畴，图论是研究图 的结构、性质和应用的数学分支。在一笔画 问题中，主要关注的是图的连通性和遍历性 。
在计算机图形学中的应用
图形渲染
一笔画问题在计算机图形学中常用于绘制复杂的图形，如地 图、电路图等。通过解决一笔画问题，可以确定从一个点到 另一个点的最短路径，从而高效地渲染图形。
游戏开发
在游戏开发中，一笔画问题也具有广泛应用。例如，在角色 移动、地图导航等方面，可以利用一笔画算法找到不重复的 路径，提高游戏的流畅性和用户体验。
人才培养
为了推动一笔画问题的研究和发展，需要加强人才培养。未来可以加强图论学科的建设， 提高教师的学术水平和教学能力，培养更多具有创新能力和实践精神的人才，为解决一笔 画问题提供人才保障。Leabharlann HANKS感谢观看05
结论
一笔画问题的研究意义
理论意义
一笔画问题作为图论中的经典问题，对于推动图论学科的发展具有重要意义。通过对一笔画问题的研 究，可以深入探讨图论中的连通性、遍历性和最优化等核心问题，为图论学科的理论研究提供支持。
应用价值
一笔画问题在现实生活中具有广泛的应用价值。例如，在地图导航中，如何规划一条不重复的路径； 在电路设计中，如何避免线路交叉；在物流配送中，如何规划最优的送货路线等。因此，一笔画问题 的研究成果可以为这些领域提供理论指导和技术支持。
问题背景
起源
一笔画问题起源于文艺复兴时期 的数学游戏，后来被欧拉等人系 统化并深入研究。
一笔画的数学游戏
分析法：运用数学知识，进行逻辑推理
运用数学知识
一笔画问题涉及到许多数学知识，如图论、组合数学等。可以运用这些知识来分析问题的 本质和规律，从而找到解题的关键。
逻辑推理
在运用数学知识的基础上，通过逻辑推理来分析问题的内在联系和规律。可以尝试使用归 纳法、演绎法等方法来进行推理，以便更准确地找到解题方向。
解题技巧分享
挑战成功的观众可以分享自己在一笔画游戏中的 解题技巧和心得体会。
互动交流
观众之间可以互相交流讨论，分享各自在游戏中 的体验和收获。
答疑解惑
针对观众在游戏中遇到的问题和困惑，主持人或 专业人士可以进行解答和指导。
总结回顾：对本次活动的总结和展望
活动成果展示
展示本次一笔画数学游戏活动的成果，包括观众参与情况、挑战 成绩等。
01
一笔画游戏需要学生在脑海中构建图形的空间结构，有助于培
养学生的空间思维能力。
提高学生解决问题的能力
02
一笔画游戏需要学生不断尝试、调整策略，有助于提高学生解
决问题的能力。
增强学生对数学的兴趣
03
一笔画游戏具有趣味性，可以让学生在游戏中感受到数学的魅
力，从而增强对数学的兴趣。
一笔画在其他领域的应用
解题技巧
总结入门级一笔画问题的 解题方法和技巧，如观察 节点度数、判断连通性等 。
复杂实例：高级一笔画问题挑战
实例3
解析复杂网络中的一笔画问题， 探讨如何运用图论知识解决实际
问题。
实例4
挑战高难度一笔画谜题，展示高级 一笔画问题的复杂性和挑战性。
解题策略
分享解决高级一笔画问题的有效策 略和思路，如逐步推理、尝试不同 路径等。
难易程度分级
《一笔画》(教案)六年级下册数学人教版
《一笔画》（教案）六年级下册数学人教版一、教学目标1.知识目标：理解一笔画的概念，掌握一笔画的基本方法和技巧。
2.能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感目标：激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和毅力。
二、教学重点、难点1.教学重点：培养学生观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
2.教学难点：运用所学知识解决一笔画的难题。
三、教学方法1.讲授法：讲解一笔画的概念、基本方法和技巧。
2.示范法：通过示范解题，帮助学生理解和掌握一笔画的技能。
3.启发式教学法：通过提问和引导，激发学生的思考和创造力。
四、教学过程1.引入：教师出示几幅一笔画的图片，让学生观察并讨论。
引导学生理解一笔画的概念。
2.讲解：通过讲解和示范，介绍一笔画的基本方法和技巧。
（1）水平移动法：一笔画中，同一水平位置上的线段可以通过水平移动的方式连接。
（2）垂直移动法：同一垂线位置上的线段可以通过垂直移动的方式连接。
（3）斜线连接法：同一斜线位置上的线段可以通过斜线连接的方式连接。
（4）走勾条法：通过勾连可以达到连接线段的目的。
（5）回纹草法：通过回旋的方式将线条连接起来。
3.练习：教师示范解题，并让学生参照示例自行解答。
鼓励学生自己思考，尽量寻找所有的联通点，解决上述难题。
4.巩固：让学生进行个人练习，并通过竞赛活动形式来增强学生的学习兴趣。
五、教学反思本节课以讲解法和示范法为主，引导学生掌握一笔画的基本方法和技巧，并通过启发式教学法让学生自己思考解决难题。
通过竞赛等活动形式来巩固所学内容，将理论知识与实际练习相结合，增强学生的学习兴趣和动力，提高学生的学习效果。
小学数学《一笔画》练习题(含答案)精选全文
可编辑修改精选全文完整版小学数学《一笔画》练习题（含答案）什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复.我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.判断图形能否一笔画的规律：（1）能一笔画出的图形必须是连通的图形；（2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点；（4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．（一） 一笔画以及多笔画【例1】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明画法.(f)(e)(d)JIH G F ED C BAJ K IHGFED CB A分析：（a ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点A 、B ；画法为A →头部→翅膀→尾部→翅膀→嘴. （b ）图：不能一笔画，因为此图不是连通图.（c ）图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A 、B 、C 、D.（d ）图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：A →C →D →A →B →E →F →G →H →I →J →K →B. （e ）图：可以一笔画，因为没有奇点；画法可以是：A →B →C →D →E →F →G →H →I →J →B →D →F →H →J →A.（f ）图：不能一笔画出，因为图中有八个奇点.[注意]在上面能够一笔画出的图中，画法并不是惟一的.事实上，对于有两个奇点的图来说，任一个奇点都可以作为起点，以另一个奇点作为终点；对于没有奇点的图来说，任一个偶点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点.[巩固]判断下列图a、图b、图c能否一笔画．E分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A —M—N—A—F—B—C—B—K—C—D—E—D—L—E—F．‘图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画．图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A—B—C—D—E—F—D—A—F —C—A．【例2】右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C.[巩固]在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜.[数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画?分析：通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成．如右图：FE DCB ADCBA我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成.公式如下： 奇点数÷2=笔画数，即2n ÷2=n.【例3】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．IH G FED CBA 图aH G I KLJ F EDCBA 图b DC HG EFBA图c分析：图a ：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d 所示．画法：H →A →B →C →D →E →F →I →D →B →I →H →G →F ．图b ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K ，L 两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e 所示．画法：B →C →D →E →F →→J →H →G →I →A →B →K →I →L →E ．图c ：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B ，C 两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f 所示．画法：A →E →D →H →A →B →F →C →G →B →C →D注意：a 、b 、c 三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画．图dA BCD EFG H IH GI KLJ F EDCB A 图eDC HG EFBA图f[前铺]观察下面的图，看各至少用几笔画成？分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. （2）图中有12个奇点，需6笔画成. （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成.DC BA(2)(1)FEC DB A分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）.图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A 与B ，C 与D （或A 与D ，B 与C ）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）.说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC ，添上边AD 与EF.（二）一笔画的实际应用【例5】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?：这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题：(1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地?而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b 中，点A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B ，D ，在B ，D 之间连一条线(架一座桥)，如图c ．在图c 中只有点A 和C 两个奇点，那么我们可以以A 为起点，C 为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A →C →A →B →A →D →B →D →C所以，如果在河岸B 与小岛D 之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥．（2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A 与C 之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d ．那么A ，B ，C ，D 四个点均为偶点，所以图d 可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A →C →A →C →D →A →B →D →B →A这表明：在河岸B 与小岛D 之间架一座桥后，再在小岛A 与河岸C 之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地．[巩固]如图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法.EDCBA【例6】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下：邮局I JHGF E D C B A 邮局邮局【例7】 右图是某博物馆的平面图，相邻两个展厅之间有一扇门相通，每一个展厅都有一门通往馆外．问参观者能否不重复地一次穿过每一扇门?若能，请找出一条可行路径；若不能，请说明理由．如果允许关闭某一扇门，问参观者能否不重复地穿过每一扇开着的门?分析：我们把展厅A,B,C,D,E 及馆外F 看成某个图中的点，把两个展厅之间的门看作是连接表示这两个展厅的点的线．根据题中条件知，馆外F 与A ，B ，C ，D ，E 各展厅相通，这样将点F 与点A ，B ，C ，D ，E 用线连接；展厅A 与展厅B ，C ，D 相通，将点A 与点B ，C ，D 用线连接；展厅B 除与A 相通外，它还与D ，E 展厅相通，将B 与D ，E 连接；除此之外，展厅C ，D 相通，展厅D ，E 相通，将点C ，D 连接，再将点D ，E 连接(如图a)．于是本题要解决的问题就变成了能否将图a 一笔画的问题．可以看出：图a 中共有六个点，其中有四个奇点，它们分别为C ，D ，E ，F ，由一笔画的规律可知，图a 不能一笔画．也就是说，参观者不能够不重复地一次穿过每一扇门．如果允许关闭某一扇门，这相当于在图a 中去掉一条线，那么参观者就有可能不重复地一次穿过每一扇门．我们知道，在图a 中有四个奇点C ，D ，E ，F 为了把图a 改成一笔画图形，我们设法减少奇点个数，使奇点数变为两个．为此，我们可以去掉一条连接两个奇点的线，如去掉E 与F 间的连线，相应的图a 就变成了图b ．在图b 中，除了原来的C 和D 是奇点外，其余点全部是偶点，故图b 可以一笔画．其中一种画法为：C →F →D →E →B →F →A →B →D →A →C →D ．上面的分析表明，如果关闭连接E 、F 两展厅之间的门，参观者就可以不重复地一次穿过每一扇开着的门． 本题与七桥问题类似，只是将行人过桥换成了参观者穿过每一扇门．我们将这个问题转化为一笔画问题来研究．[前铺]右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ FFF F E C D BA EB A分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E ，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题.EDC BA图中只有A ，D 两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A 或D 展室开始走. 【例8】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米?分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为： 800-40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G →F →C →D →G →H →A →B →E →H(如右图)．[注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题．【例9】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C 楼与D 楼之间的P 处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里?分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P 点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P 点出发，最后仍回到P 点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为：图a ：2×2+3=7；图b ：3+4×2=11；图C ：3×3=9； 图d ：3+6×2=15．显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a ．408080H G F ED C BA804080H GFED CBA图b 图a图d图c在图a 中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P →D →G →D →E →F →G →H →L →H →C →B →L →M →A →B →C →P ，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)．【例10】 邮递员李文投送邮件的街道以及街道的长度如右图所示(单位：千米)，每天小李要从邮局出发，走遍所有街道后回到邮局．请你帮他设计一条最短路线，并计算出这条路线有多少千米?分析：本题仍可以用一笔画图形的方法来解决．在图a 中共有六个奇点E ，F ，G ，H ，I ，J ，把这些奇点配对，每对之间用虚线连接(如图a)，其中要用到D 点，这样图中就没有奇点了，从而可以不重复地走遍所有的街道．由于邮递员李文要重复走一些路段，因此重复走的路越短越好，即添上去的重复线段的总长度越短越好．在图a 中H 与E 之间有重叠，这样势必会增加李文所走路程的长度，应作调整．经调整后，将重叠部分去掉便得图b ．在图b 的圈形闭路IHGJI 中，I ，J ，G ，H 各点没有连线时是奇点，连线后变成偶点，增加长度为50×2=100千米．而如果连IJ 和HG ，增加的长度仅为10×2=20，由此可知图b 需继续作调整，改成图c ，这种连接方法是最好的，它使李文行走的路线最短．根据以上分析，为了保证添上去的线段之和最短，应遵循下面的两条原则：(1)连线不能有重叠的线段；(2)在每一个圈形闭路上，连线长度之和不能超过 这个闭路总圈长的一半．经过分析可以知道，图c 的连接方法能使邮递员李文行走路线最短，而且能保证李文从邮局出发又回到邮局．这时他的行走路线为：邮局→A →I →J →I →H →G →H →E →D →F →D →G →J →B →C →D →E →邮局 他行走的全程为： (50+15)×4+20×4+10×6+20×2=440(千米)．图a图b图c[小结]本题中采用的方法叫做“奇偶点图上作业法”，用这种方法来确定最短路线比较简便实用．此方法可以用下面的口诀来描述：画出路线图，确定奇偶点；奇点对对连，连线不重叠；闭路添连线.不得过半圈．[巩固]右图是某地区街道的平面图，图上的数字表示那条街道的长度.清晨，洒水车从A 出发，要洒遍所有的街道，最后再回到A.问：如何设计洒水路线最合理？ 分析：这又是一个最短路线的问题.通过分析可以知道：在洒水路线中，K 是中间点，因此必须成为偶点，这样洒水车必须重复走KC 这条边（如下左图）.至此，奇点的个数并未减少，仍是6个.容易得出，洒水车必须重复走的路线有：GF 、IJ 、BC.即洒水路线如下右图.全程45＋3+6=54（里）.1. （例1）判断下列各图能否一笔画．图aG I H F ECD BA图bF ED CBA分析：图a 中九个点全是偶点，因此可以一笔画，其中一种画法为：A →F →B →G →C →H →D →E →H →l →→F →G →l →E →A ．图b 中A ，B ，C ，D 四个点均为奇点，故不可以一笔画．图c 中，只有A,C 为奇点，故可一笔画．其中一种画法为：A →D →E →C →H →N →G →M →F →A →B →C ．2. （例3）下列各图至少要用几笔画完？分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔.3.（例6）右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？分析：把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A.上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进，一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来.下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A.4.（例7）一辆清洁车清扫街道，每段街道长1公里，清洁车由A出发，走遍所有的街道再回到A.怎样走路程最短，全程多少公里？分析：清洁车走的路径为： ABCNPBCDEFMNEFGHOLMHOIJKPLJKA. 即：清洁车必须至少重复走4段1公里的街道，如下图.最短路线全程为28公里.5.（例10）一个邮递员的投递范围如右图，图上的数字表示各段街道的长度.请你设计一条最短的投递路线，并求出全程是多少？分析：邮递员的投递路线如下图，即：路线为：ABCDEDOBOMNLKLGLNEFGHIMOJIJA.最短路线的全程为39+9=48.。
小学数学一笔画课件
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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出 笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形， 需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学 中也有广泛应用，例如在 计算机图形学、算法设计 等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中 也有很多应用，如地图的 绘制、电路设计、交通规 划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面 数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创 意的图形，如不规则多边形、立体图形等 ，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战 精神。同时，这类问题也可能涉及到数学 中的其他知识点，如平面几何、立体几何 等。
一笔画问题
第一讲: 一笔画问题【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点（2）1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点【例2】数一数下列图形单数点与双数点的个数，并说出一笔画图形与单数点和双数点的关系。
1、下面的图形能否一笔画完成？为什么？（1） O （2）B D（3）【例2】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？1、下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？【例3】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？12、34、、、【例4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？1、将下列各图改成一笔画。
【例5】邮递员叔叔要向一个居民小区送信，怎么样走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？1.下图是一个小区中花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设计在哪儿呢？2.下面是“儿童乐园”平面图，出口应没在哪里才能不重复地走遍每条路？1.数一数下面图形有几个单数点？2.下列图形能一笔画成吗？为什么？3.甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路线？4.园林工人在花园浇花，怎样才能不重复地走遍每一条小路？第 二 讲:巧填竖式【例1】在方框里填上合适的数，使算式成立。
□ 4+ 2 □8 9练习1：下面题中各图形分别表示多少？（1） 7 ☆ （2） ☆ 9 + □ 4 + 6 59 7 8 □（3） 6 △ （4） 1 ☆ 3 + △ ☆ + □ ☆9 7 1 9 5【例2】猜一猜，每个汉字各表示什么数字？学 学— 4 生8学=（ ） 生=（ ）练习2: 想一想，每个汉字和图形各表示什么数字？（1）我爱 4—学数学我=（）爱=( )数=（）学=（）（2）☆○☆—☆☆7 9 0☆=( ) ○=( )（3） 8 5 4—○○○○○○=( )【例3】在□里填合适的数，使算式成立。
一年级一笔画数学题
一年级一笔画数学题
题目1：
下面这些图形，哪些可以一笔画成？（人教版一年级数学一笔画相关）
（1）正方形。
（2）圆形。
（3）“十”字形状。
解析：
对于正方形，它有4个顶点，都是偶数条线相连（每个顶点连接2条线），所以可以一笔画成。
圆形没有顶点这种概念，但它是一个封闭的曲线，我们可以从圆上任意一点开始，沿着圆周画一圈就能一笔画成。
对于“十”字形状，中间的交点连接了4条线，是偶数条线相连，所以也可以一笔画成。
题目2：
观察下面的图形，能一笔画成的在（）里打“√”，不能的打“×”。
（人教版一年级数学一笔画相关）
图形1：三角形（）
图形2：两个不相连的圆形（）
图形3：“Z”字形（）
解析：
三角形有3个顶点，每个顶点连接2条线，都是偶数条线相连，所以能一笔画成，（√）。
两个不相连的圆形，因为是两个独立的图形，不能一笔同时画出这两个不相连的图形，所以（×）。
“Z”字形有2个端点和2个转折点，端点连接1条线（可视为奇数条线相连），所以不能一笔画成，（×）。
一笔画定理的名词解释
一笔画定理的名词解释一笔画定理是指在数学中，通过一个连续不断的线条，只经过每个点一次，将所有的线段连接成一个图形，而不需要抬笔或重复经过某个点。
这个问题也被称为回路问题或者旅行推销员问题。
早在19世纪，数学家列昂哈德·欧拉就研究过一笔画问题，他证明了一笔画问题总是存在解，并且给出了一系列定理来解决不同类型的图形。
这些研究为后来的数学家们提供了宝贵的思路和方法。
在一笔画定理的研究中，数学家们主要关注以下三个问题：1. 首先，他们关注的是给定一组点，是否存在一笔画解。
这是研究一笔画问题的首要目标。
通过欧拉提出的定理，我们可以得出结论，当且仅当一个图形中的奇顶点的个数为0或2个时，一笔画解存在。
奇顶点是指连接的线段数量为奇数的顶点。
2. 进一步，数学家们研究如何寻找一笔画解。
对于简单的图形，根据欧拉定理，我们可以很容易地找到一笔画解。
但是，对于更复杂的图形，如多边形和复杂的网格，求解难度就会增加。
通过发展一系列算法和技巧，数学家们成功地提出了一些方法来求解这些复杂的一笔画问题。
3. 最后，数学家们关注的是一笔画定理的应用。
一笔画定理并不仅仅局限于纯数学领域，它还有着广泛的应用。
比如，在芯片布线设计中，需要将各个元件之间的连线进行布置，而一笔画定理可以帮助芯片设计师减少布线的复杂性和成本。
除了在数学和电子工程领域的应用之外，一笔画定理还有许多其他的实际应用。
比如，在地理学中，通过一笔画定理可以帮助规划道路交通，优化交通流动性。
在计算机科学中，一笔画定理被应用于图像处理、路径规划等领域。
甚至在生物学和神经科学中，一笔画定理也被用来研究生物系统中的信息传递和信号路由。
总结一笔画定理的名词解释，可以说它是一个关于通过一个连续不断的线条连接图形中的所有顶点的问题。
它的研究主要涉及寻找解的存在性和求解方法，并广泛应用于数学、工程、计算机科学等多个领域中。
一笔画定理的研究为我们认识和解决实际中的问题提供了宝贵的思路和方法。
一笔画数学活动
一笔画数学活动
今天老师带我们做了一次特别的数学活动——一笔画！哇，听到这名字，我就觉得好好玩呀！老师说，我们要用一支笔把图形画完，而且不能抬起笔，也不能重复画线。
真的是好难哦，我一开始怎么都画不好，总觉得哪里不对，啊，错了！重新来！
老师画了个大大的“8”字形，我跟着画，画呀画呀，咦，怎么不行呢？我皱皱眉头，呀，画出来有好多线交叉，好像变成了蜘蛛网，呜呜，我再试试！然后我换了个方法，慢慢地思考，嘿，终于画出了一个整整齐齐的“8”！我高兴地跳了起来：“我做到了！哈哈！”
老师还说，我们今天要通过这个活动学会思考，了解“连续”的意思。
我的朋友小明也做得很好，他的画还画了个小房子呢，嘻嘻，我忍不住笑了：“小明，真厉害！”
老师奖励我们每人一颗小星星。
我心里美滋滋的，觉得数学也可以这么好玩呢！
—— 1 —1 —。
小学数学思维方法：一笔画问题
一笔画问题【知识要点】1.什么是一笔画：所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从定义可知，能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．2.一笔画问题相关结论：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．3.多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．例如 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？解：奇点：J D H 偶点：A E B C G I 、F例如 判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画．解：：图a 能，因为有2个奇点，图b 不能，因为图形不是连通的，图c 能，因为因为图中全是偶点【典型例题】例 1.下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？E解：要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．例 2.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．解：图a 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD ，或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出．图b 不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL ，或者BK 都可以使图形能一笔画出．小结：一个K (K ＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K 笔画有2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B ，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K -1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．例3.18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a )．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？解：欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B 中有4个奇点显然不能一笔画出．例4.下图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？解：将图形中的6个区域（5个展室及出入口部分）看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．I H G FE D C B A图a H G I K L J F EDC B A图b例5.在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米？解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图例6.一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？解：长方体每个顶点有三边，且同一棱不可爬两次，所以不是终点和起点的顶点只能走一次，也就是说非终点和起点的顶点上有一条边是走不了的，8个点除去终点和起点，是6个点，也就是3条边，去掉最短的3条边，所以是48；所以最长路径是6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．由分析可知：如上图，沿A－B－G－H－A－D－C－F－E－D共走：6+5+6+5+4+6+5+6+5=48（分米）．答：小虫最多能爬48分米．练习题1.下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．2.下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？3.判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．4.如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？５.下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？６.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A 点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A 点时，最多能爬行多少厘米？D CHG FBA图c ECD B A。
小学数学竞赛第八讲 一笔画问题
一、一笔画问题问题1你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸，而且每一笔划（或称线段）只能画一次，不准重复。
对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图8－1）通过各种尝试发现，“田”字总也不能一笔画成，而“串”字却可以一笔画成。
由于“品”字中的三个“口”字不连在一起，显然也不能一笔画成。
我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画。
一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成。
例1下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？经过尝试，你会发现，图8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的。
而且图（c）、（e）可从任意一点出发，一笔画成回到出发点，而图（a）只能从A（或D）点出发，一笔画成到D（或A）点结束。
如果图形非常复杂，用这种逐一尝试的方法，则所花的时间较多，且有时还无法下结论。
有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题。
上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的，在数学中叫做图。
图形中的点叫图的结点，线段（或弧）叫做图的边。
作为一个图，其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交。
一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定，而与边的曲直长短无关。
图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数。
度数为偶数的结点叫做偶结点。
例如，图8－3中结点C、D、E都是偶结点。
度数为奇数的结点叫做奇结点。
例如，图8－3中结点A、B、F、G都是奇结点。
任何两点间都有线连接的图称作连通图。
（如图8－3中D与G可通过DB、BA、AG连接）观察例1中的五个图，其结点的奇偶性可列成下表：从表中可以发现，一个图能否一笔画成，与图的奇结点的个数有密切联系，人们总结出如下规律：一个图若是一笔画必定是个连通图。
一个连通图，若没有奇结点（即全是偶结点），那么这个图一定可以一笔画成，而且可以从任一偶结点出发，一笔画成回到出发点。
数学一笔画的规则
数学一笔画的规则
1. 哎呀，要知道一笔画必须是连通的呀！比如说像一个完整的圆形，这就是连通的，你能一笔画出来。
2. 嘿，奇点的数量很关键哦！奇点就是从这个点出发的线的数量是奇数，像五角星就有 5 个奇点，就不能一笔画。
想象一下，这是不是很神奇呢？
3. 记住哦，只有 0 个或 2 个奇点的图形才能一笔画呢！像一个长方形，就
只有 0 个奇点，轻松一笔画呀。
4. 如果有2 个奇点，那开始和结束就得在这两个奇点上呀！比如“中”字，不就是从上面开始画到下面结束嘛。
5. 图形中的线还不能有重复呀！这就好比走路不能走回头路一样，你想想，对吧？比如画一条直线，那肯定不能来回画呀。
6. 一笔画的时候还得按照规定的路线走呀，不能乱涂乱画！就像去一个地方得按地图走一样，不然可就乱套啦，不是吗？
7. 还有哦，要多练习才能掌握一笔画的技巧呀！就像学骑自行车，多练几次就会啦！你说是不是这个理呀？
我觉得数学一笔画真的很有意思，可以锻炼我们的思维和观察能力呀！。
一起学奥数--一笔画(三年级)
A
B
F E
A
B
E F
C
D C
D
【分析】1、左图是一个平面示意图，要分析 路线与出入口问题，应该把左图转化为点线 示意图。
2、只要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ示意图能够一笔画成，就能达到 一次走遍各通道而又不必重复的进出方法。
3、左下图，除了C、D两点为奇点，其它的 为偶点。因此，只要C或D点进，D或C点出 就能达到要求。
4、我们可以设定一条线路： D E F A B E C B D
西岛
北岸 东岛
南岸
【分析】1、首先得把实景图转化为示意图。 用点和线分别来表示两个岛、两岸及七座桥。 注意：先画点，再按桥连通两个点
2、如果这个示意图，能够做到一笔画，则 可以证明能够不重复、不遗漏的经过每座桥， 否则就没法实现。
3、数连接每个点的线，发现四个点都是奇 点，所以没法完成一笔画。即没法做到不重 复、不遗漏的经过每一座桥。
动动手： p.62随堂1
一笔画规则： 1、如果一个连在一起的图中，奇点个数为0或2，那么这个图形可以一笔画。 2、如果一个连在一起的图中，奇点个数不是0或2，那么这个图形就不能一
笔画成。
如何一笔画成： 奇点个数为0时，可从任何一个点开始画，最后回到始点； 当奇点个数为2时，可以从任一个奇点开始，最后到另一个奇点终止。
思考： 1、一个图形中奇点是否可以为奇数个（引起对数奇偶性的兴趣） 2、为什么偶点不影响一笔画（养成学生搞清问题根源的习惯）
例2、如下图中的线段代表小路，A、B处各有一只蚂蚁。哪只蚂蚁能够不重复 地爬完这5条小路？
A
D 【分析】1、由以上总结可知，奇点的数量决定了是否可
以一笔画成图形。本题蚂蚁能够不重复地爬完5条小路，
小学数学课件：第6讲一笔画
A
B
C
F
E
D
P30T10、 下图中九个点代表9面红旗，小军 从A点出发，能不能经过每面红旗但不走重 复路线？最后停在哪一面红旗旁？
A
P28例5、2008年在北京召开了第29届奥运会， 你能一笔画出奥运会的五环图案吗？
✨ 认真倾听 ✨ 努力思考 ✨ 积极发言 你一共得了几颗小星星？
其他情况 不能画出
例3、 下图能否一笔画成？若不能，你用什 么方法可以把它改成能一笔画成的图形？
方法一：减少一条线段
方法二：增加一条线段
例3、 下图能否一笔画成？若不能，你用什 么方法可以把它改成能一笔画成的图形？
方法一：减少一条线段
方法二：增加一条线段
P29T6、 下图是“动物园”平面图，出入口 应设在哪里没有才能不重复地走遍每条路？
●
●
●
提高：到底能不能一笔画成呢？
例2、 你能用一笔画出下列图形吗？
两条相交的线处都有一个交点。
一笔画：画时必须以一个奇点为起点，另一个 奇点为终点。
红绿
点点 为为 偶奇 点点
可 以 一 笔 画
不
奇 点
能 一 笔
画
判断一笔画方法 数奇点个数
0个奇点
2个奇点
任意一个偶点出 又回到这个偶点
一个奇点进， 另一个奇点出
第6讲 一笔画游戏
试试一笔画
“一笔画”是从平面图形上某点出发，笔不能 离开纸，而且每条线都只画一次不重复。
例1、 你能用一笔画出下列图形吗？
两条相交的线处都有一个交点。 注意：点可以重复，线不能重复。
交点分为两种
①从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。
●
一笔画的数学原理
一笔画的数学原理一笔画是一种经典的解谜游戏，游戏规则是在不重复经过已经画出的线条的情况下，连接所有的点。
这看起来非常简单，但实际上涉及到了很多数学原理。
首先，我们可以从图论的角度来看待这个问题。
将每个点看做图中的一个节点，将连接两个点的线条看做图中的一条边。
那么，一笔画的问题就转化成了在图中找到一条欧拉回路。
欧拉回路是指通过每条边恰好一次，回到起点的路径。
如果图中有一条欧拉回路，那么就可以通过一笔画将所有点相连。
但是，并不是所有的图都存在欧拉回路。
欧拉回路存在的条件是：图中所有节点的度数都是偶数或者只有两个点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数。
因此，如果我们想要确定一个图是否可以通过一笔画连接所有点，就需要先判断它是否满足欧拉回路的条件。
此外，如果一个图不是连通的，也就是说其中存在两个及以上的子图，那么每个子图都需要满足欧拉回路的条件，才能通过一笔画连接所有点。
除了图论，数学中的拓扑学也与一笔画有关。
拓扑学研究的是空间形态的不变性，而一笔画也是在二维平面上进行的空间变换。
因此，一笔画问题被认为是拓扑学中的一个经典问题。
最后，值得一提的是，一笔画问题还涉及到了数学中的图染色问题。
如果我们将每个点看做一个节点，将通过线条相连的节点看做相邻节点，那么我们可以给每个节点染上一种颜色。
如果图中不存在相邻两点颜色相同的情况，那么这个图就是二分图。
而二分图可以通过一笔画将每种颜色的节点连接起来。
综上所述，一笔画问题是一个非常有趣的数学问题，它涉及到了图论、拓扑学和图染色等多个数学分支。
通过研究一笔画问题，我们可以深入了解这些数学原理，并能够更好地理解数学中的空间形态问题。
一笔画(数学文化)
①从一点引出的线有单数条，这个点叫奇点。
●
●
●
1条
3条
5条
②从一点引出的线有双数条，这个点叫偶点。
……
●
●
2条
4条
● ……
6条
用 圈出奇点。
●
●
●
●
（ 2 ）个奇点， （ 4 ）个偶点。
●
●
图形只有在奇点的个数为0或2 时才能一笔画。
--------瑞士数学家欧拉 1736年
一笔画的由来
1736年，29岁的数学家欧拉来到哥尼
斯堡。河从市中心流过，河中心有两座小
岛，岛和两岸之间有七座古桥。欧拉发现
当地居民有一项消遣活动，就是试图每座
桥只走一次，最后回到出发点，但没人成
C
功过。欧拉认为岛和岸都可以看作一个点，
而桥则可以看成是连接这些点的一条线。
七桥问题就变成了一个一笔画问题。经过
A
B
欧拉的细心研究，成功的解决了哥尼斯堡
七桥问题，从而确立了著名的 “一笔画原 NhomakorabeaD
理”。
数学人教版六年级下册一笔画
图6
2
2
能 择3幅图研究，所研究图中的奇
图7
2
4
点用红笔做上记号。小组长快
能
速填写组员研究结果。
图8
6
0
不能
2、表格填完后讨论：能一笔画
图9
0
6
能 成的图形，它的奇点与偶点个
数有什么特点？
例2：下列图形各有几个奇点？几个偶点？这些图形能一笔画成吗？
●B
A●
图1
A
A
B
E
B
C
图2
●
●
C
D
图3
A
●
A
●
●E
●
●
●
例2：下列图形各有几个奇点？几个偶点？这些图形能一笔画成吗？
A ●B
A
●
B●
●E
A A
E
A ●●
图1
B
C
图2
●
●
C
D
图3
F
BD C
图4
B C
D 图5
E
D
A
D
A
A
D
F
F
பைடு நூலகம்
E
C B
图6
B
C
图7
B
C
图8
A
B
F
C
E
D
图9
统计表
图形序号 奇点个数 偶点个数 能否一笔画
图1
图2
图3
图4
合作要求：
图5
1、4人合作，组员每人顺次选择3
在这美丽的地方，人们议论着一个有 趣的问题：一个游人怎样才能不重复地 一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢 ？