量子霍尔效应

量子霍尔效应 童国平 浙江师范大学数理信息学院

内容提要 引言 经典Hall 效应 电子的Landau 能级 磁通量子化 整数量子Hall 效应(IQHE) 分数量子Hall 效应(FQHE) 展 引言 (1985年第一次诺贝奖)

1930年, Landau 证明量子力学下电子对磁化率有贡献, 同时也指出动能的量子化导致磁化率随磁场的倒数周期变化. 引言

• 1975年S.Kawaji 等首次测量了反型层的霍尔电导, 1978年 Klaus von Klitzing 和

Th. Englert 发现霍尔平台, 但直到1980年, 才注意到霍尔平台的量子化单位

• 1985年, Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理奖.

引言

1998年第二次诺贝尔奖

• 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台, 一年后,

ughlin 给出了一个波函数, 对分数量子霍尔效应给出了很好的解释. • 1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer, 崔琦和Robert Laughlin, 以表彰他们发现

分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解.

量子霍尔效应

经典霍尔效应

1879年,由Johns Hopkins 大学的研究生Edwin Hall 发现, 其导师是Henry A. Rowland 教授. 经典霍尔效应 长条形导体:

电流密度: 横向电场: 霍尔电阻率:

电阻率与磁场成正比

2

e

h

x j nev

=y E vB

=H y

x E j B ne

ρ==

经典霍尔效应

根据德鲁特电导理论, 金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t 内在电场下加速, 散射后速度为零. τ称为弛豫时间. 电子的平均迁移速度为

电流密度为

若存在外加静磁场, 则电导率和电阻率都变为张量

此处 , 仍然成立.

有磁场时, 加入罗仑兹力, 平面电子运动的Langevin 方程为

稳态时, , 假定磁场沿z 方向, 在xy 平面内

其中 (回旋频率)

(经典电导率)

由此易得

电导率与电阻率的关系为

如果 , 则当 时, 也为0.

另一方面

d v eE m

τ=-2

0d ne j nev E E

m

τσ=-=

=, xx xy xx

xy yx

yy

yx

yy σ

σρρσρσ

σ

ρρ⎛⎫⎛⎫==

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

j=E σ⋅E=j ρ⋅()d

d d v e

v

E v B m τ

=-+⨯-

d j nev =-00x c y x y c x

y

E j j E

j j σωτσωτ=+=-+c eB m ω

=2

0e n m

στ=0c 0

1 =xx yy xy yx ρρσρρωτσ==⎧⎪⎨=-⎪⎩22

0220(1)(1)xx yy c xy

yx c c σσσωτσσσωτωτ⎧==+⎪⎨=-=-+⎪⎩2222(), ()

xx xx xx xy xy xy xx xy

σρρ

ρσρρρ=+=-+0xy ρ≠0xx σ=xx

ρ

由此, 当 时, , 为霍尔电导

电子在均匀磁场中运动的Landau 能级

由量子力学, 电子处在磁场中的哈密顿量为

这里选择矢量势

波函数为(因为H 中不显含x, z)

根据薛定谔方程可求得电子的能量为 或

其中 n = 0, 1, 2, 3, 4, … H 的本征函数为

在xy 平面内单位面积态之数目为

对于某一个Landau 能级, 在y 方向的平衡位置数目也由 决定,

故能级的简并度是 .

xy xx c

ne B σσωτ

=-+0xx σ=x xy y j E σ

=xy σ

H xy ne B

σ

σ==-222

1

[()]2x y z z H p eB y p p S B

m

μ=

+++-(,0,0)

By =-A (,,)()exp[()]

i

x z x y z y p x p z ψφ=+ 212

()2n c z

z E n p

m S B

ωμ=++- 1

2

()n c

E n ω=+

****

1/2

const ()2, ()2m

n

zz nm

c c c z z e z z z x iy l z x iy l l eB ψ-∂∂⎛

⎫⎛⎫=-- ⎪

⎪∂∂⎝

⎭⎝⎭=+=-⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

B n eB h

=B

n

B

n

磁通量子化

选标量函数仅依赖方位角

作规范变换,并选取 若波函数描述延展态,则方位

角可以取任意值. 若满足周期性,则

单值性要求:

其中

为磁通量子.

整数量子Hall 效应(IQHE)

• 二维电子系统

目前, 二维电子气主要以下面三个方式实现 1, MOSFET(金属-氧化物-半导体场效应管)

硅中空穴向z 方向运动,在SiO2和Si 的表面出现负电荷.电子密度为:

MOSFET 示意图 p-Si 空穴型

12L r R

A d l R R χπφ

=∂⋅=⋅=Φ

∂⎰ ()2χχφφ

π

Φ==

00

exp A i ψφ'=⎛⎫

Φ'=- ⎪

Φ⎝⎭

()exp A A A ie α

ψψαψ

'→=+∇'→= αχ

=-0

, 0,1,2,...

m m Φ==±±Φ0

h e Φ=13-2

10cm

ρ