如何确定函数自变量的取值范围
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如何确定函数自变量的取值范围
湖北省黄石市下陆中学宋毓彬
为保证函数式有意义,或实际问题有意义,函数式中的自变量取值通常要受到一定的限制,这就是函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围是函数成立的先决条件,只有正确理解函数自变量的取值范围,我们才能正确地解决函数问题.
初中阶段确定函数自变量的取值范围大致可分为以下三种类型:
一、函数关系式中自变量的取值范围
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况:⑴函数关系式为整式形式:自变量取值范围为任意实数;⑵函数关系式为分式形式:分母≠0;⑶函数关系式含算术平方根:被开方数≥0;⑷函数关系式含0指数:底数≠0.
例1.在下列函数关系式中,自变量x的取值范围分别是什么?
⑴y=2x-5;⑵y=;⑶y=;⑷y=;⑸y=(x-3)0
解析:⑴为整式形式:x的取值范围为任意实数;
⑵为分式形式:分母2x+1≠0∴x≠-∴x的取值范围为x≠-;
⑶含算术平方根:被开方数3x-4≥0 ∴x≥∴x的取值范围为x≥;
⑷既含分母、又含算术平方根,故∴x≥-2且x≠0
x的取值范围为:x≥-2且x≠0
⑸含0指数,底数x-3≠0 ∴x≠3,x的取值范围为x≠3.
二、实际问题中自变量的取值范围.
在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素:
⑴自变量自身表示的意义.如时间、用油量等不能为负数.
⑵问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围.
例2、某学校在2300元的限额内,租用汽车接送234名学生和6名教师集体外出活动,每量汽车上至少有一名教师.甲、乙两车载客量和租金如下表:
设租用甲种车x辆,租车费用为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解析:⑴由题设条件可知共需租车6辆,租用甲种车x辆,则租用乙种车辆(6-x)辆.y=400x+280(6-x)=120x+1680
∴y与x的函数关系式为:y=120x+1680
⑵自变量x需满足以下两个条件:
240名师生有车坐:45x+30(6-x)≥240 ∴x≥4
费用不超过2300元:120x+1680≤2300 ∴x≤5
∴自变量x的取值范围是:4≤x≤5
三、几何图形中函数自变量的取值范围
几何问题中的函数关系式,除使函数式有意义外,还需考虑几何图形的构成条件及运动范围.特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”.
例3.若等腰三角形的周长为20cm,请写出底边长y与腰长x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.
解析:底边长y与腰长x的函数关系式为:y=20-2x
①x表示等腰三角形腰长:x≥0
②三角形中“两边之和大于第三边”:2x>y 即2x>20-2x ∴x>5
③等腰三角形底边长y>0,20-2x>0,∴x<10
∴自变量x的取值范围是:5<x<10