高中数学-空间向量及向量的应用

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2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

人教版数学高二数学选修2-1 3.2《空间向量》的应用空间

《空间向量》的应用空间湖南高明生空间向量的应用空间：1．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。

⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量。

⑸点A 到直线a 的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量。

⑹两平行直线,a b 之间的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量。

3.用向量法证明例题讲解：类型一：利用空间向量求异面直线所成的角例1．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：以D 为原点建立坐标系)1,1,1(),1,0,1(1-=--=GF E A 01=⋅GF E A异面直线A 1E 与GF 所成的角是2π 类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n )所成的角例2 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC设正四面体ABCD 的棱长为a ，则336,,,23a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2a a a a C D A -∵E 为AD 的中点，∴36(0,,)a aE ∴ 36(,,)236a a aCE =-又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==类型三：利用空间向量求锐二面角例3 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE 的方程为：0Ax By Cz ++=（过原点D=0）则202,0A B A B C B B C +=⎧⇒=-=-⎨+=⎩ ABCDEF HoxzyABCDA 1B 1C 1D 1EFMzy∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 二面角E —BD —C 的余弦值为：6cos cos ,6m n θ=<>=∴tan θ=类型四：利用空间向量求异面直线之间的距离例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>=== 类型五：利用空间向量求点到平面的距离例5 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ），则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：GFEABCDA 1B 1C 1D 1||AD n d n ⋅===1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩，取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =-- ∴由点到平面的距离公式：||AD n dn ⋅===1749∴点D到平面ABC 类型六：用向量法证明例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1111111111()()()222EF EB B F BB B D AA BD AA AD AB =+=+=+=+-＝(－a ＋b ＋c)/211AB AB AA =+＝a ＋b1EF AB ∴⋅＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1EF AB ∴⊥，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1EF AB ∴⋅＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0EF AC ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC例7 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥，∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -= ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA = ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0 ∴AB OC ⊥。

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课

第一章第2课时A 级——基础过关练1．若直线l 的方向向量为(2，1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．－4【答案】C【解析】因为l ⊥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量是共线向量，所以21＝112＝m2，解得m ＝4． 2．若平面α，β的法向量分别为n 1＝(2，－3，5)，n 2＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】因为n 1·n 2＝(2，－3，5)·(－3，1，－4)＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，所以n 1与n 2不垂直，显然n 1与n 2不平行，所以α，β相交但不垂直．3．已知点A (0，0，0)，B (－1，0，－1)，C (1，2，1)，P (x ，y ，1)，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( )A ．(1，0，－1)B ．(－1，0，1)C ．(1，－1，1)D ．(－1，0，0)【答案】B【解析】由已知得PA →＝(－x ，－y ，－1)，AB →＝(－1，0，－1)，AC →＝(1，2，1)．若PA ⊥平面ABC ，则⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0，PA →·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，－x －2y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝0．故点P 的坐标为(－1，0，1)．故选B ． 4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，则直线PA 与底面ABCD 的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．在平面内D ．成60°角【答案】B【解析】因为AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，所以AP →·AB →＝(－1)×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0．所以AP →⊥AB →，AP →⊥AD →，即AP ⊥AB ，AP ⊥AD ．又因为AB ∩AD ＝A ，所以直线PA ⊥平面ABCD ．5．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－2，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，－2)，若|a |＝3，且l 1⊥l 2，则x －y 的值是( )A ．－4或0B ．4或1C ．－4D ．0【答案】A【解析】因为|a |＝22＋（－2）2＋x 2＝3，所以x ＝±1．又因为l 1⊥l 2，所以a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2－2y －2x ＝0，所以y ＝2－x ．当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝3．所以x －y ＝0或x －y ＝－4．6．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，5)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则实数t 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为α⊥β，所以u ⊥v ，则u ·v ＝－12－8＋5t ＝0，解得t ＝4．故选D ． 7．(多选)四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，则下列等式成立的是( ) A ．PA →·AB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PA →·CD →＝0 D ．PC →·AB →＝0 【答案】ABC【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA →·AB →＝0，PA →·CD →＝0成立．又因为PC →·BD →＝(PA →＋AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝PA →·(AD →－AB →)＋AD →2－AB →2＝0成立，PC →·AB →＝(PA →＋AB →＋AD →)·AB →＝PA →·AB→＋AB →2＋AD →·AB →≠0．故选项ABC 成立．8．已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝____________．【答案】22【解析】由题意可得a ·b ＝1×1×cos45°＝22，由向量垂直的充分必要条件可得(k a －b )·a ＝0，即k ×a 2－a ·b ＝k －22＝0，解得k ＝22． 9．平面α与平面β的法向量分别是m ，n ，直线l 的方向向量是a ，给出下列论断： ①m ∥n ⇒α∥β；②m ⊥n ⇒α⊥β； ③a ⊥m ⇒l ∥α；④a ∥m ⇒l ⊥α．其中正确的论断为________(把正确论断的序号填在横线上)．【答案】①②④【解析】法向量平行的两个平面互相平行，①正确；法向量垂直的两个平面互相垂直，②正确；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或在平面内，③错误；直线的方向向量与平面的法向量共线，则直线与平面垂直，④正确．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P 使MD ⊥平面PAC?解：如图，建立空间直角坐标系，则A (1，0，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12．假设存在P (0，0，a )满足条件，则PA →＝(1，0，－a )，AC →＝(－1，1，0)，设平面PAC 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－az 1＝0，－x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，得y 1＝1，z 1＝1a，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1a ．若MD ⊥平面PAC ，则MD →∥n ．因为MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，所以a ＝2．又因为0≤a ≤1，所以不存在点P 使MD ⊥平面PAC ．B 级——能力提升练11．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点，则△APM 的面积为( )A ． 2B ．3C ．2 2D ．2 3【答案】B【解析】以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ．依题意得D (0，0，0)，P (0，1，3)，C (0，2，0)，A (22，0，0)，M (2，2，0)，所以PM →＝(2，1，－3)，AM →＝(－2，2，0)．所以PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2，0)＝0，即PM →⊥AM →，所以AM ⊥PM ．又因为|AM →|＝（－2）2＋22＋02＝6，|PM →|＝22＋12＋（－3）2＝6．所以S △APM ＝12|AM →|·|PM →|＝12×6×6＝3．12．(多选)(2022年淄博期末)在空间直角坐标系Oxyz 中，平面α的法向量为n ＝(1，1，1)，直线l 的方向向量为m ，则下列说法错误的是( )A ．若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，则l ∥αB ．若m ＝(1，0，－1)，则l ⊥αC ．平面α与所有坐标轴相交D ．原点O 一定不在平面α内【答案】ABD【解析】对于A 选项，m ·n ＝－12－12＋1＝0，所以m ⊥n ，故l ∥α或l ⊂α，故A 错误；对于B 选项，m ·n ＝1＋0－1＝0，所以m ⊥n ，故l ∥α或l ⊂α，故B 错误；对于C 选项，由于法向量的横、纵、竖坐标均不取零，故平面不与坐标轴确定的平面平行，所以平面α与所有坐标轴相交，故C 正确；对于D 选项，由于法向量不能确定平面的具体位置，故不能确定原点O 与平面α的关系，故D 错误．故选ABD ．13．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为________．【答案】407，－157，4【解析】由题意可知BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝0，BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1×3＋5×1＋（－2）×z ＝0，（x －1）＋5y ＋（－3）×（－2）＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4．14．(2021年北京期中)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．CD ＝CC 1＝1，则A 1C 与平面C 1BD ________(填“垂直”或“不垂直”)；A 1C 的长为________．【答案】垂直6【解析】设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，由题意可得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则CA 1→·BD →＝CA 1→·(CD →－CB →)＝(a ＋b ＋c )·(b －a )＝b 2－a 2＋c ·b －c ·a ＝||c ·||b cos60°－||c ·||a cos60°＝0，∴CA 1⊥BD ，同理可证CA 1⊥BC 1，∵BD ∩BC 1＝B ，故CA 1⊥平面C 1BD ．∵∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝CC 1＝1，∴CD ＝CB ＝CC 1＝1，∴CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋a ·c )＝1＋1＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴CA 1→＝6，即A 1C 的长为6．15．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN?解：如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．依题意，易得A (1，0，0)，M (0，0，1)，N (1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0．假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ．因为AN →＝(0，1，1)，可设AS →＝λAN →＝(0，λ，λ)．又因为EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，所以ES →＝EA →＋AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ．由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ES →·AM →＝0，ES →·AN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，（λ－1）＋λ＝0，故λ＝12，此时AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS →|＝22．经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN ．故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN．。

高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳

高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。

本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。

3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。

4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。

4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。

点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。

5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。

叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。

三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。

2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。

3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。

4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。

5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

空间向量及应用课件-2023届高三数学一轮复习

2．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯
p＝xa＋yb＋zc
一的有序实数组(x，y，z)，使得____________．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角
①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
第五节空间向量及应用
【课标标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画
点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念，
了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标
表示.3.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示．能用向量的
数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向
7 = 2m − n
∴ 6 = m + 2n ，
λ = −3m + 3n
解得λ＝－9.
5．(易错)在正方体ABCD -
1
A1B1C1D1中，1 ＝ 1 1 ，AE＝xAA1 ＋
4
1
1
y(AB + AD)，则x＝______，y＝________．
4
解析：由向量加法的三角形法则得AE＝AA1 ＋1 ，由平行四边形法则得：
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出
F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
专题突破❼
与球有关的切、接问题
[常用结论]
1．长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点；
a2 +b2 +c2
(a，b，c为长方体的长、宽、高)．

浅谈向量在高中数学中的应用

浅谈向量在高中数学中的应用【摘要】本文主要介绍了向量在高中数学中的应用。

文章首先介绍了向量的概念、性质和运算，为后文内容铺垫。

接着，详细讨论了向量在几何图形表示、平面和空间向量运算中的应用，以及在物理等其他学科中的实际应用。

结合实际解题案例，探讨了向量在高中数学中的重要性和广泛应用，强调向量为学生提供更加直观和灵活的解题方式。

通过本文的阐述，希望读者能更深入地理解向量在高中数学中的重要性及实际应用，从而更好地掌握相关知识，提升数学解题能力。

【关键词】向量的概念、向量的性质、向量的运算、几何图形、平面向量、空间向量、物理学、实际应用、重要性、广泛应用、直观、灵活解题方式1. 引言1.1 向量的概念向量是高中数学中一个重要的概念。

在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以表示空间中的某个点到另一个点的位移，也可以表示一个力、速度或者加速度。

向量的概念最早由英国数学家威廉·测量提出，后来被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在数学中，向量可以用不同的形式来表示，比如坐标形式、分解形式等。

向量的大小叫做模长，方向由箭头指向表示。

向量之间可以进行加法、减法、数乘等运算。

向量的性质有共线性、共点性、平行性等。

向量的运算包括模长运算、数量积、向量积等。

通过学习向量的概念，我们可以更好地理解和描述几何图形，解决各种几何问题。

向量在平面向量和空间向量的运算中也有重要应用，比如求向量的夹角、平行四边形的性质等。

向量还被广泛运用于物理等其他学科中，例如描述力的大小和方向、分析运动的轨迹等。

向量的应用使我们能够更加直观地理解和解决问题，为学生提供了更加灵活和直观的解题方式。

1.2 向量的性质向量的性质是向量运算中非常重要的概念，它们决定了向量在数学中的具体行为和特性。

在高中数学中，我们常常会接触到以下几种向量性质：1. 平行向量的性质：如果两个向量平行，则它们具有相同的方向。

这意味着它们乘以同一个数仍然平行，而且它们的夹角为0度或180度。

空间向量的复习与应用

空间向量的复习与应用教案主题：空间向量的复习与应用说明：本教案旨在对高中数学课程中的空间向量进行复习，并通过实际应用场景展示空间向量的作用。

教案共分为以下几个小节，分别介绍空间向量的基本概念、向量的运算、向量的坐标表示、向量的模和方向以及向量的应用。

通过这些内容的学习，学生将能够更好地理解和应用空间向量。

一、引入教师可以通过引用一个贴近学生生活的例子，如描述一个用空间向量来计算的问题，引起学生的兴趣和好奇心。

例如，描述一个飞机在空中沿不同方向飞行的场景，探讨如何利用空间向量计算飞机的位移。

二、空间向量的基本概念1. 向量的定义：通过引用实际例子，介绍向量的定义，以及向量的起点和终点的概念。

2. 向量的表示：通过几何图形和坐标表示，展示如何表示一个空间向量。

3. 向量的相等：引入向量的相等概念，即相同方向和相同大小的向量。

三、向量的运算1. 向量的加法：通过图形和坐标表示，介绍向量的加法规则，包括平行四边形法则和三角形法则。

2. 向量的减法：通过图形和坐标表示，介绍向量的减法规则，即加上负向量。

3. 向量的数量积：引入向量的数量积的概念，以及数量积的性质和计算方法。

四、向量的坐标表示1. 坐标系：介绍直角坐标系和空间直角坐标系，以及坐标表示的方法。

2. 向量的坐标计算：通过例子演示如何利用向量的起点和终点的坐标计算向量的坐标。

五、向量的模和方向1. 向量的模：介绍向量的模的概念和计算方法，并通过实际例子展示求解过程。

2. 向量的方向角：引入向量的方向角的概念，以及通过坐标表示和计算方向角的方法。

六、向量的应用1. 平面向量的投影：通过实际问题，介绍如何利用空间向量的投影计算，如飞机在空中的水平飞行距离。

2. 向量的垂直和平行关系：通过实际问题，介绍如何通过向量的数量积判断向量的垂直和平行关系，如判断两个物体的运动方向是否相互垂直。

七、总结与拓展教师可以对本节课所学内容进行总结，并给学生提供一些拓展问题，让学生继续思考和应用空间向量的知识。

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第1课

SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
1
2
,试建立适当的坐标系.
解以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所
示的空间直角坐标系,
则
1
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D( ,0,0),S(0,0,1).
设 Q(0,1,m).
(方法 1)因为 =
=
1
-1,0, 2
1 1 1
- ,- ,
2 2 2
, 1 =(-1,-1,1),所以 ∥ 1 ,于是 OP∥BD1.
1
, =(-1,0,m),当 m=2时,
= ,即 AP∥BQ,有平面 PAO∥平
面 D1BQ,故当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.
是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平
行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再
结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与
法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量

第3章空间向量及其应用-高二数学单元复习(沪教版2020选择性必修第一册)

轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
→
→
因为AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ →
→ →
所以AC·BC1＝0，所以AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
3 考点突破
考点2、利用空间向量证明位置关系
，0，

2
2
1

3

→
3
→
1 → 1
3

∴AC ＝，，0， AB ＝，0，，DC＝－，，0，
2
2

2
2
2
2

设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
→
3 1
n·
AB
＝

2 x＋2z＝0，
5
→ →
同理，DH·PF＝x＋ y－z＝0，
4
4
9
又 x＋y＋z＝1，解得 x＝y＝17，z＝17.
3
→ 3
→
所以DH＝ (2,2,3)，所以|DH|＝
17.
17
17
3
因此，点 D 到平面 PEF 的距离为17 17.
3 考点突破
考点3、利用空间向量计算距离
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解
由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离
3 考点突破
→
→
→ →
1
1
若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则 x＝___，y＝____.

备战高考数学复习考点知识与题型讲解55---空间向量及其应用

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第55讲空间向量及其应用考向预测核心素养本讲主要考查空间向量的线性运算、共面及共线向量定理的应用、数量积的应用等，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下．数学运算、数学抽象一、知识梳理1．空间向量的概念(1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意0 0单位向量 1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b2.共线向量与共面向量平行(共线)向量共面向量定义位置关系表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合平行于同一个平面的向量空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c．4．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝π2，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.[提醒] 向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．5．空间向量的平行、垂直及模、夹角(b≠0)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a·acos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23．常用结论1．在平面中A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间任意一点．3．若MN →＝xAB →＋yAC →且M 点或N 点不在平面ABC 内，可得MN ∥平面ABC . 二、教材衍化1．(人A 选择性必修第一册P 15习题1.2T 2改编)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且向量m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，则可以与m ，n 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．a B.b C.cD.2a解析：选C.由题意知，a ，b ，c 不共面，对于选项A ，a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝12m ＋12n ，故a ，m ，n 共面，排除A ；对于选项B ，b ＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝12m －12n ，故b ，m ，n 共面，排除B ；对于选项D ，由选项A 得，2a ＝m ＋n ，故2a ，m ，n 共面，排除D.选C.2．(人A 选择性必修第一册P 9习题1.1T 4改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以|EF →|＝2，所以EF 的长为 2.答案： 2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )(3)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (4)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(向量共线与直线平行记混致误)在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直 B.平行 C ．异面D.相交但不垂直解析：选B .由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD .2.(空间向量运算法则不清致误)如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则向量C 1M →可用a ，b ，c 表示为________．解析：C 1M →＝C 1C →＋CM →＝－AA →1－12AC →＝－AA →1－12(AB →＋AD →)＝－12AB →－12AD →－AA →1＝－12a －12b －c .答案：－12a －12b －c3．(共线、共面结论理解不清致误)O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC→，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝________．解析：因为P ，A ，B ，C 四点共面，所以34＋18＋t ＝1，所以t ＝18.答案：18考点一空间向量的线性运算(自主练透)复习指导：了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 1．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA →1＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．1，1 B.1，12C.12，12D.12，1 解析：选C.AE →＝AA →1＋A 1E →＝AA →1＋12A 1C 1→＝AA →1＋12(AB →＋AD →)，故x ＝12，y ＝12.2.(多选)如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，ON →＝23OM →，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式成立的是( )A.OM →＝12b －12cB.AN →＝13b ＋13c －aC.AP →＝14b －14c －34aD.OP →＝14a ＋14b ＋14c解析：选BD.对于A ，利用向量的平行四边形法则，OM →＝12OB →＋12OC ＝12b ＋12c ，A 错误；对于B ，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得AN →＝ON →－OA →＝23OM →－OA →＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →－OA →＝13OB →＋13OC →－OA →＝13b ＋13c －a ，B 正确；对于C ，因为点P 在线段AN 上，且AP ＝3PN ，所以AP →＝34AN →＝34⎝⎛⎭⎪⎫13b ＋13c －a ＝14b ＋14c －34a ，C 错误；对于D ，OP →＝OA →＋AP →＝a ＋14b ＋14c －34a ＝14a ＋14b ＋14c ，D 正确，故选BD.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用(综合研析)复习指导：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(链接常用结论1)在空间四边形ABCD 中，BC →＝3BM →，AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，则λ＝________．【解析】因为AM →＝－DA →＋13DC →＋λDB →，所以AM →＋DA →＝13DC →＋λDB →，即DM →＝13DC →＋λDB →，又BC →＝3BM →，所以B ，C ，M 三点共线，所以13＋λ＝1，解得λ＝23.【答案】23三点P ，A ，B 共线空间四点M ，P ，A ，B 共面PA →＝λPB → MP →＝xMA→＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB → 对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA→＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB → 对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →|跟踪训练|1.如图，点M 为OA 的中点，{OA →，OC →，OD →}为空间的一个基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则有序实数组(x ，y ，z )＝________．解析：DM →＝OM →－OD →＝12OA →－OD →，所以有序实数组(x ，y ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12．(2022·云南永善一中月考)对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OD →＝tOA →－3OB →＋OC →，若D ，A ，B ，C 四点共面，则t ＝________．解析：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则A ，B ，C ，D 四点共面等价于t －3＋1＝1，所以t ＝3.答案：3考点三空间向量数量积的应用(思维发散)复习指导：掌握空间向量的数量积及其坐标表示．如图所示，已知空间四面体ABCD 的每条棱长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EG →·BD →.【解】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12)＝12.1．在本例条件下，求证EG ⊥AB .证明：由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a )，所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →，即EG ⊥AB .2．在本例条件下，求EG 的长．解：由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12，则|EG →|＝22，即EG 的长为22.3．在本例条件下，求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解：由例题知AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |，进而可求两异面直线所成的角求长度(距离)运用公式|a |2＝a ·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题|跟踪训练|已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，2)且DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为____________．解析：设点D 的坐标为(x ，y ，z )， AD →＝(x －1，y ，z )，BC →＝(0，－1，2)，DB →＝(－x ，1－y ，－z )，AC →＝(－1，0，2)，DC →＝(－x ，－y ，2－z )，AB →＝(－1，1，0)，又因为DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，且AD ＝BC ，所以DB →⊥AC →，DC →⊥AB →，且|AD →|＝|BC →|，即⎩⎨⎧x －2z ＝0，x －y ＝0，（x －1）2＋y 2＋z 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋4109，y ＝4＋4109，z ＝2＋2109或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4109，y ＝4－4109，z ＝2－2109.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4109，4＋4109，2＋2109 或⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4109，4－4109，2－2109[A 基础达标]1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，则( ) A ．x ＝1，y ＝12 B.x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D.x ＝1，y ＝14解析：选D.AE →＝AA →1＋A 1E →＝AA →1＋14A 1C 1→＝AA →1＋14AC →＝AA →1＋14(AB →＋AD →)．由AE →＝xAA →1＋y (AB →＋AD →)，对照可知x ＝1，y ＝14. 2．已知a ＝(2，1，－3)，b ＝(－1，2，3)，c ＝(7，6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B.－9C.－3D.3解析：选B.由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7，6，λ)＝x (2，1，－3)＋y (－1，2，3)，所以⎩⎨⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.3．(2022·河北省邢台市联考)在正四面体DABC 中，点O 是△ABC 的中心，若DO →＝xDA →＋yDB→＋zDC →，则( ) A ．x ＝y ＝z ＝14B.x ＝y ＝z ＝13C ．x ＝y ＝z ＝12D.x ＝y ＝z ＝1解析：选B.因为四面体DABC 是正四面体，则每个面都是正三角形，所以DO →＝DA →＋AO →＝DA →＋13()AB →＋AC →＝DA →＋13()DB →－DA →＋DC →－DA→＝13DA →＋13DB →＋13DC →. 又由DO →＝xDA→＋yDB →＋zDC →，所以x ＝y ＝z ＝13. 4．已知向量a ，b ，c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a －b ＋2c |＝( ) A. 5 B.5 C.6D. 6解析：选A.(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a ·b ＋4a ·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos 60°＝5，所以|a －b ＋2c |＝ 5.5．(多选)已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB →－CB →＝AC →B.AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→C.AA ′→＝CC ′→D.AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→ 解析：选ABC.如图，作出平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，则A 正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，则B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB →＋BC →＝AC →，则D 不正确．综上，正确的有ABC.6．(2022·北京朝阳陈经纶中学月考)若空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，则p ＋q ＝________．解析：因为空间中三点A ()1，5，－2，B ()2，4，1，C ()p ，3，q 共线，所以AB →∥AC →，所以AB →＝()1，－1，3，AC →＝()p －1，－2，q ＋2，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，解得p ＝3，q ＝4，所以p ＋q ＝3＋4＝7. 答案：7 7.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，所以OA →⊥BC →，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案：0 8.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN ＝________．解析：连接PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0，0，1)，D (0，1，0)，所以PD ＝02＋（－1）2＋12＝2，所以MN ＝22. 答案：229.如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .证明：因为点M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，所以根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .10．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝ 02＋（－5）2＋52＝5 2. (2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB → ＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.[B 综合应用]11．(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件解析：选CD.由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA →－PC →＝λ(PB →＋CP →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．12．(多选)(2022·重庆质检)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )A ．AC 1＝6 6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为63解析：选AB.因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA →1·AB →＝AA →1·AD →＝AD →·AB →＝6×6×cos 60°＝18，(AA →1＋AB →＋AD →)2＝AA →21＋AB →2＋AD →2＋2AA 1→·AB →＋2AB →·AD →＋2AA →1·AD →＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC 1→|＝（AA →1＋AB →＋AD →）2＝66，所以A 正确；AC →1·DB →＝(AA →1＋AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AA →1·AB →－AA →1·AD →＋AB →2－AB →·AD →＋AD →·AB →－AD →2＝0，所以B 正确；显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°.因为B 1C →＝A 1D →，且A 1D →与AA →1的夹角是120°，所以B 1C →与AA →1的夹角也是120°，所以C 不正确；因为BD →1＝AD →＋AA →1－AB →，AC →＝AB →＋AD →，所以|BD 1→|＝（AD →＋AA →1－AB →）2＝62，|AC →|＝（AB →＋AD →）2＝63，BD →1·AC →＝(AD →＋AA →1－AB →)·(AB →＋AD →)＝36，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD →1·AC →|BD →1|·|AC →|＝3662×63＝66，所以D 不正确．13．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．解析：如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b . 由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，所以VA →，PM →，PN →共面．又VA ⊄平面PMN ，所以VA ∥平面PMN . 答案：平行14．在正四面体ABCD 中，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 是线段AO 上一点，且满足∠BMC ＝π2，则AMMO＝________．解析：依题意建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设AB ＝32，则A (0，0，0)，B (3，0，3)，C (3，3，0)，D (0，3，3)．因为AO ⊥平面BCD ，所以O 是△BCD 的重心，即O (2，2，2)，线段AO 上的点M 可设为M (t ，t ，t )(0≤t ≤2)，所以BM →＝(t －3，t ，t －3)，CM →＝(t －3，t －3，t )．由∠BMC ＝π2，得BM →·CM →＝0，即3(t －3)(t －1)＝0，即t －1＝0或t －3＝0(舍去)，所以M (1，1，1)，故AMMO＝1. 答案：1[C 素养提升]15．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1(－12，0，2)， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2， M (0，0，0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N →＝λNC →，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ，所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.答案：15 16.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的最大值．解：以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y，2)(0≤y≤2)，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，所以EM→＝(－1，y，2)，|EM→|＝y2＋5，AF→＝(2，1，0)，|AF→|＝5，所以cosθ＝|EM→·AF→||EM→||AF→|＝|y－2|5·y2＋5＝2－y5·y2＋5.令t＝2－y，要使cos θ最大，显然0<t≤2.所以cos θ＝15×t9－4t＋t2＝1 5×1⎝⎛⎭⎪⎫3t－232＋59≤15×1⎝⎛⎭⎪⎫32－232＋59＝15×25＝25.当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cos θ取得最大值25 .。

高中数学空间向量的相关概念及解答方法

高中数学空间向量的相关概念及解答方法一、引言空间向量是高中数学中的重要概念之一，它是描述空间中点的位置和方向的工具。

在解题过程中，我们常常会遇到与空间向量相关的问题。

本文将介绍空间向量的相关概念，并提供解答方法和技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间向量。

二、基本概念1. 空间向量的定义空间中的向量是由起点和终点确定的有向线段，它具有大小和方向。

我们可以用字母加上箭头来表示一个空间向量，如AB→表示从点A到点B的向量。

2. 向量的模与方向角向量的模表示向量的长度，用|AB→|表示。

方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角，通常用α表示。

3. 向量的加法与减法向量的加法是指将两个向量的起点相连，构成一个新的向量。

向量的减法是指用一个向量的终点减去另一个向量的起点，得到一个新的向量。

4. 向量的数量积与向量积向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

向量的向量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

三、解答方法与技巧1. 利用向量的平行关系当两个向量平行时，它们的方向角相等或互补。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的方向角来求解未知向量的方向角。

例如，已知向量AB→与向量CD→平行，且α为AB→的方向角，β为CD→的方向角。

我们可以得到α=β或α+β=180°。

利用这一关系，我们可以求解未知向量的方向角。

2. 利用向量的共线关系当三个或多个向量共线时，它们的数量积为0。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。

例如，已知向量AB→与向量CD→共线，且|AB→|=a，|CD→|=b，α为AB→与CD→的夹角。

根据共线向量的性质，我们有a·b·cosα=0。

利用这一关系，我们可以求解未知向量的模或方向角。

3. 利用向量的垂直关系当两个向量垂直时，它们的数量积为0。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。

高中数学选修1-第一章-1.1空间向量及其运算-重点知识点

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算知识点一：空间向量的概念及几类特殊向量1.空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。

2.单位向量：模为1的向量。

3.零向量：长度为0的向量。

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

5.相反向量：长度相等且方向相反的向量6.共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线(平行)向量。

7.方向向量：在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。

8.共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。

知识点二：空间向量的线性运算1.加法：三角形法则：a+b=OA→+AB→=OB→;平行四边形法则：a+b=OA→+OC→=OB→2.减法：a-b=OA→-OC→=CA→ 3.数乘运算当λ>0时，λa=λOA→=PQ→(与a同向)当λ<0时，λa=λOA→=MN→(与a反向)当λ=0时，λa=04.运算律(λ,μ∈R)交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb知识点三：空间向量共线、共面的有关定理1.共线向量定理对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb2.共面向量定理向量p 与不共线的两个空间向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p =x a +y b知识点四：空间向量的数量积1.数量积：a ·b =|a ||b |cos<a ,b >，其中<a ,b >为两个非零向量a ,b 的夹角。

2.运算律：(λa )·b =λ(a ·b )；λ∈R ；a ·b =b ·a (交换律)；(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)。

高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时空间

第一章空间向量与立体几何
空间向量的应用用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时空间中的夹角问题
学习目标
素养要求
1．理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二直观想象、抽象数学
面角的定义
2．能够用向量法解决线线、线面、二面角的计算直观想象、数学运算问题
|自学导引|
空间三种角的向量求法
角的分类
利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量 n．
(4)计算：设线面角为 θ，则 sin θ＝|cos〈n，m〉|＝|nn11|·|nn22|．
2．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD＝ CD＝CB＝2，∠ABC＝60°，在矩形 ACFE 中，AE ＝2，BF＝2 2．
(1)求证：BC⊥平面 ACFE； (2)求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值．
(1)证明：在梯形 ABCD 中 AB∥CD，AD＝CD＝CB＝2，∠ABC＝60°， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ADC＝120°． ∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°． ∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°． ∴AC⊥BC．又∵在矩形 ACFE 中，CF＝AE＝2， BF＝2 2，CB＝2，∴CB⊥CF．又∵AC∩CF＝C，∴BC⊥平面 ACFE．
则 B(0，0，0)，C(0，6，0)，A(0，0，6)，D(－2 7，6，0)，
E(－ 7，3，3)，B→E＝(－ 7，3，3)，C→D＝(－2 7，0，0)，
∴cos〈B→E，C→D〉＝
→→ BE·CD →→
＝
57．
|BE||CD|
∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 57．

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→a 叫做平面α的法向量。

平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。

2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。

由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。

方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。

0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。

其法向量),,(C B A n =→;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++czb y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。

方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→→⨯b a 为一长度等于θsin ||||→→b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。

通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→⨯b a 的方向,→→→→⨯-=⨯a b b a 。

:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→→⎝⎛=⨯→→21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x⎪⎪⎭⎫21y y （注：1、二阶行列式:c a M =cb ad db-=；2、适合右手定则。

）例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→→b a ，试求（1）：;→→⨯b a （2）：.→→⨯a bKey: (1) )5,2,1(-=⨯→→b a ;)5,2,1()2(-=⨯→→a b例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。