工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法

i1 xi
2021/3/7
5
3.2 梯形求积公式
梯形求积是一种直观的近似方法， 由边界上近似直线围成的梯形面积 近似代替原来曲边梯形面积。
T11 2baf(a)f(b)
上面误差较大，为得到求积的精度，可将积分区间细分k
次，得到分段数 n 2 k ，其梯形积分公式为
T2h 2f(a)f(b)2f(ah)
2021/3/7
Tn
n1h k02
f(xk)f(xk1)
6
梯形求积公式
如果精度不够，再各子区间平分，得2n=2k+1
T2n1 2Tnb2nakn 1 0f(xk1/2)
当满足
T2n Tn
2021/3/7
7
辛普生求积公式
如用二次插值多项式－－抛物线g(x)所围成的曲边梯 形面积近似代替y=f(x)围成的曲边梯形面积
2021/3/7
12
高斯求积公式
对于一般区间[a,b]，利用积分变量代换，转换为 [-1,1]积分区间。
xbat ba
2
2
b
ba 1 ba ba
f(x)dx
f( t )dt
a
2 1 2
2
n
B
k1
Ak
f
ba ( 2 tk
ba) 2
其中 B b a 2
2021/3/7
13
高斯求积公式
对于多重积分，可以化重积分为多次积分的方法， 与前面辛普生的多重积分相似，每一重积分采用 相同或不同的高斯积分点
第3章 数值积分法
工程电磁场数值方法编程实验－数值积分法 电子科技大学 赖生建
2021/3/7
1
主要内容
一． 概述 二． 数值积分 三． 基于场量积分公式的数值积分法 四． 基于场源离散化的数值积分法 五． 编程实践
2021/3/7
2
3.1 概述
数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之 一。
2021/3/7
14
编程实践一
编写辛普生积分计算函数
2021/3/7
15
编程实践二
编写高斯积分计算函数
2021/3/7
16
椭圆积分的数值计算
在电磁场的数值计算中，椭圆积分的应用广泛。 应用较多的是第一与第二类椭圆积分
第一类Biblioteka Baidu全椭圆积分
/2
d
K(k)
0 1k2sin2
第二类完全椭圆积分
/2
E(k)
1k2sin2d
0
k 称为积分模数 k 2 1
2021/3/7
17
椭圆积分的数值计算
级数展开式
K(k)
2
1
n i 1
i j 1
2
2 j 1
2j
k
2i
E(k)
2
1
n i 1
i j 1
2
2 j 1
2j
k 2i
2i
1
算术几何平均法
K(k) 2an
n
I n ( f ) Ak f ( xk ) k 1
求积节点 xk(k1,2, n)为高斯积分点。 ( x ) 称为积 分区间[a,b]上的权函数，不同的权函数选取，不同的 高斯型求积公式，其中 (x) 1 是最常用的权函数。
2021/3/7
10
高斯求积公式
当给定权函数 (x) 1，可假定积分区间为[-1,1],
3
数值积分实质
数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过
构造被积函数的某种线性组合的逼近函数来近似
求其积分值。
如函数f(x)的定积分
b
a f(x)dxF(b)F(a)
，当被
积函数f(x)的原函数F(x)无法用初等函数表达，则
可以用另一个具有足够逼近精度的简单函数g(x)
来近似替代函数f(x)，函数g(x)的构造通常取f(x)
b
S a g(x)dx
2021/3/7
9
高斯求积公式
高斯求积法，在积分区间，选择某些积分点（设为n 个积分点），计算出函数在这些积分点上的数值， 然后用相应的权系数乘以这些函数值，并求和。
在相同数量积分点的选取条件下，高斯积分的精度 最佳。
b
I ( f ) a ( x) f ( x)dx
利用正交多项式来确定求积点（高斯积分点）时，
该正交多项式为勒让德多项式，这样积分点为
n次勒让德多项式的n个零点，由此得到相应的求积
公式的权系数 A k
xk(k1,2, n)
1
n
f (x)dx
1
Ak f(xk)
k1
上式为高斯－勒让德求积公式。高斯积分点与权 系数的值参考表。
2021/3/7
11
高斯求积点 参考高斯积分表
E(k)
K
1
1 2
c02
n i1
2i
ci2
式 中a0 1；b0
1k2;c0 k
ai (ai1bi1)/2;bi ai1bi1
在电磁场分析计算中，对于无限大、均匀各向同 性的媒质，当已知场源分布求场分布时，基于库 仑定律或比奥－沙伐定律均可以导出关于场量、 位函数的积分表达式。可以计算场分布以及有关 电磁参数、能量和力等积分量。
它是多种电磁场数值计算方法(等参数有限元法、 边界元法和模拟电荷法)数值解的必要基础。
2021/3/7
的代数插值函数或样条函数。
b
b
a f(x)dxag(x)dx
2021/3/7
4
数值积分实质
函数g(x)不同的构造函数，产生不同的数值求积 公式。
为提高数值积分精度，常将积分空间分成n等份 ，在每个小区间上采用相应的求积公式计算，称 为复合的数值求积公式。
b
n
f(x)dx
xi1g(x)dx
a
x2 y2
n1n2
x1 y1f(x,y)dxdyB 1B 2 A iA jf(xi,yj)
i 1j 1
x 2y 2z 2
n 1n 2n 3
x 1y 1z 1f(x ,y ,z ) d x d y d z B 1 B 2 B 3
A iA jA kf(x i,y j,z k )
i 1j 1 k 1
I a bf(x )d x 1 6 b a f(a ) f(b ) 4 f(a 2 b )
为得到求积的精度，将积分区间细分k次，得到分段
数 n 2 k ，其复合辛普生求积公式为
I i n 1x x ii 1g (x )d x 6 h n i 0 1f(x i) 4 f(x i h /2 ) f(x i 1 )
2021/3/7
8
辛普生求积公式
计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分
解为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，
即在第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每
产生一个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生
求积公式计算。
S
b
dx
y2(x)
f(x,y)dy
a
y1(x)
分解为两个单积分
g(x) y2 (x) f (x, y)dy y1 ( x)