第五章_晶体的能带理论

i ( n )x 1 a 2 V a V ( x )[ e a ]* dx Vn a 2 * n
2
23
一维晶格中电子的薛定谔方程为
2 d 2 [ V ( x )] k ( x ) E ( x ) k ( x ) 2 2m dx
晶格的周期势 Ψk(x)=eikxuk(x)
b1 b2 b3 * ( 2 )3 ( 2 )3 ( ) N1 N 2 N 3 N N Vc
电子的波矢密度为
Vc ( 2 ) 3
21
§5.2 一维晶格中的近自由电子
在金属晶体中，原子实对价电子的束缚较弱， 价电子的行为与自由电子相似。 模型和零级近似
E0 E E0
一维周期场
1 2
1 1
3
( a1 ) eik a ,( a2 ) eik a ,( a3 ) eik a Rn n1a1 n2 a2 n3a3
2 2 3
3
( Rn ) eik R
n
晶体中电子波函数满足方程
ˆ ( R ) ( r ) ( r R ) eik Rn ( r ) T n n
（2）假定电子间相互作用可用某种平均作用来代替， 作用在每个电子上的势场只与该电子的位置有关，与 其它原子的位置和状态无关。V(r)
4
等效势场V(r)的性质
由于晶格周期性，晶体中等效势场V(r)具有晶格 的周期性：
V (r ) V (r Rn )
5
2.2 哈密顿算符具有平移对称性 在直角坐标系中
第五章 晶体中电子能带理论
1.孤立原子中电子受原子束缚，处于分立能级； 晶体中的电子不再束缚于个别原子，而是在一 个周期性势场中作共有化运动。在晶体中该类 电子的能级形成一个带。 2. 晶体中电子的能带在波矢空间具有反演对 称性，且是倒格子的周期函数。
3. 能带理论成功的解释了固体的许多物理特 性，是研究固体性质的重要理论基础。
2 1 ikx i nx 0 a k ( x) e V Vn e L n
L 0
一级微扰能量
(1)
0 V V ( x ) V0 V0 k0 * ( x )V ( x ) k ( x )dx
0 0 E ( k ) H kk k * ( x )V k ( x )dx 0 0
1
本章主要内容
§5.1 布洛赫波函数 §5.2 一维晶格中的近自由电子 §5.3 一维晶格中电子的布喇格反射 §5.4 平面波法 §5.5 布里渊区 §5.6 紧束缚法 §5.7 正交化平面波 赝势 §5.8 电子的平均速度 平均加速度和有效质量 §5.9 等能面 能态密度 §5.10 磁场作用下的电子能态 §5.11 导体 半导体和绝缘体

L
二级微扰能量
E ( 2) (k )
k
H kk

2
E 0 (k ) E 0 (k )
26
微扰矩阵元
i nx V Vn e a n 2
3
2、布洛赫定理的证明 ˆ H ( r ) (r ) V (r ) 2.1 单电子近似 2m
2 2
固体中存在大量电子，它们的运动是相互关联的，是 个多体问题； 可将多体问题简化为单电子问题，把每个电子运动看 成是独立地在一个等效势场V(r)中运动； 单电子近似的步骤：
（1）假定晶体中原子实固定不动，电子运动和晶格振 动分开；（Born-Oppenheimer approximation）
uk K n ( r ) a( k K n K h )eiK h r a( k K l )ei( K l K n )r
l h
k态和k+Kn态
实际是同一 电子态
k K ( r ) ei ( k K
n
n
)r
uk K n ( r )
eik r a(k K l )eiK l r k (r )
本征值
13
(3) 电子波函数是按晶格周期调幅的平面波
( r Rn ) eik R ( r )
n
！构造波函数
平面波 ( r ) eik r 满足 当波矢k增加一个倒格矢 Kh h1b1 h2b2 h3b3 i ( k K )r ( r ) e 平面波 也满足
i
l1 b1 a1 N1
同理可以得到
l k2 2 b2 N2 l3 k3 b3 N3
( a2 ) e
( a3 ) e
i
l2 b2 a 2 N2
l3 b3 a3 N3
i
11
具有波矢的意义
l3 l1 l2 k k1 k 2 k 3 b1 b2 b3 N1 N2 N3
ˆ( R ) T ˆ( n a n a n a ) O T n 1 1 2 2 3 3
ˆ (n a )T ˆ (n a )T ˆ (n a ) T 1 1 2 2 3 3
a3
a2 a1
2
ˆ (a )]n1 [T ˆ (a )]n2 [T ˆ (a )]n3 [T 1 2 3
9
O
1
uk (r Rn ) uk (r )
k( r ) eik r uk ( r )
电子波函数是按晶格周期调幅的平面波
15
二、简约布里渊区
布洛赫函数k(r)与k+Kn(r)描述同一电子态
uk ( r ) a( k K h )eiK h r
h
k ( r ) eik r uk ( r )
平移对称算符与哈密顿算符对易。
8
ˆ ( R ) 本征值 (2) T n
ˆ ( R ) ( r ) ( r R ) ( R ) 由 T n n n (r )
本征值(Rn)必须满足等式
(r Rn ) ( Rn ) (r )
根据平移特点
Rn=2a1+2a2+2a3
哈密顿函数具有晶格的平移对称性
7
2.3 电子波函数的特点 （1）波函数(r)是哈密顿算符和平移对 称操作算符的共同本征函数
任意一个函数f(r)经过平移算符作用后变为
ˆ( R ) f ( r ) f ( r R ) T n n
平移对称操作算符作用在薛定谔方程左边
ˆ ( R )H ˆ (r) (r) H ˆ (r R) (r R ) H ˆ (r)T ˆ ( R ) (r) T n n n
l
16
本征函数与本征值
同一个电子态对应同一能量
E( k ) E( k K n )
即
ˆ (r ) (r ) E(k ) (r ) H k k
ˆ (r ) H k Kn ( r ) k Kn ( r ) E( k )
同一个本征值E(k)，有无数个本征函数k+Kn(r) 。
l1 l1 l1 将 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
bi bi k i 代入，得 2 2
Ni Ni li 2 2
i=1,2,3
在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体 的原胞数目：N＝N1N2N3。
20
电子的波矢密度 在波矢空间内，N的数目很大，波矢点的分布准 连续。一个波矢对应的体积为
( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n
1 2
3
设晶体在a1、 a2、a3三个方向各有个N1、N2、N3 个原胞，利用周期性边界条件有
(r ) (r N1a1 )
ˆ ( N a ) ( r ) [ (a )] N1 ( r ) (r N a ) ( r ) T 1 1 1 1 1
r xi yj zk
2 ˆ (r ) H 2 (r ) V (r ) 2m
r Rn ( x Rnx )i ( y Rny ) j ( z Rnz )k
2 2 2 2 (r ) 2 2 2 x y z
6
哈密顿算符
14
( r ) ei ( k K
h
)r
电子的波函数可取为这些平面波的线性叠加
k ( r ) a( k K h )ei( k K
h
h
)r
eik r a( k K h )eiK h r
h
a( k K
h
h
)eiK h r uk ( r )
简约波矢，对应平移操作算符本征值量子数， 物理意义是原胞之间电子波函数的位相变化。
a3 a O
ˆ ( a ) ( r ) ( r a ) eik1 a1 ( r ) T 1 1
2
a1 O
O 波函数
O波函数
12
( Rn ) [ (a1 )]n [ (a2 )]n [ (a3 )]n
2
§5.1 布洛赫波函数
一、布洛赫（Bloch）定理
1、布洛赫定理 晶体中电子波函数是按晶格周期调幅的平面波， 电子波函数具有以下形式
k 电子的波矢
k( r ) e
其中
ik r
uk ( r )
uk (r ) uk r Rn Rn n1a1 n2a2 n3a3
Rn 格矢
可以得到 即
ˆ ( R ) [T ˆ ( a )] n1 [ T ˆ ( a )] n2 [ T ˆ ( a )] n3 T n 1 2 3
ˆ ( R ) (r ) ( R ) (r ) [(a )]n1 [(a )]n2 [(a )]n3 (r ) T n n 1 2 3
2 2 d ˆ H 0 2m dx 2 2 2 k 0 E (k ) 2m 1 ikx 0 k ( x) e L
一维晶格长度 L=Na
自由电子和平面波
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微扰计算 电子的能量可写成
E(k ) E 0 (k ) E (1) (k ) E ( 2) (k )
17
简约布里渊区
为了使本征函数与本征值一一对应，即使电子 的波矢k与本征值E(k)一一对应，必须把波矢的 取值限制在一个倒格原胞区间内
bi bi ki 2 2 i 1,2 ,3
这个区间为简约布里渊区或第一布里渊区。
18
b3
O
b2 b1
简约布里渊区
19
简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的 原胞数目
h
( r ) e 证明：
右
i ( k K h )r
左
( r Rn ) ei( k K
h
)( r Rn )
eik Rn ei( k K h )r eik Rn iK h Rn ei( k K h )r ei( k K h )( r Rn )
2 ˆ (r ) H 2 (r ) V (r ) 2m 2 2 2 2 [ ] V ( r Rn ) 2 2 2 2m ( x Rnx ) ( x Rny ) ( x Rnz )
2 2 ˆ (r R ) ( r Rn ) V ( r Rn ) H n 2m
22
周期场V(x)展成付里叶级数
V( x ) V( x a )
i nx V ( x ) V0 V V0 Vn e a n 2
平均势，取为0
1 a V0 2a V ( x )dx a 2
微扰项
2
i nx 1 a * a 2 V V ( x )[ e ] dx 其中 n a a 2
[ (a1 )] N1 1
( a1 ) ei
10
i ( a ) e 为了将与a1对应起来，令＝k1· a1，代入 1
l1为整数
eiN1k1 a1 1
N1k1 a1 2l1
b1 a1 2
l1 取 k1 b1 满足上式，得到 N1
( a1 ) e
将零级哈密顿量分离出来
ˆ H ˆ H ˆ' H 0 0
2 2 2 2 d d ˆ 其中 பைடு நூலகம் V0 0 2 2m dx 2m dx 2
ˆ V e H n
n
i
2 nx a
V
24
零级近似解
ˆ 0 ( x ) E 0 ( k ) 0 ( x ) H 0 k k