高中数学抛物线最值问题

抛物线求最值问题（第一类）

1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。

此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。

例题已知抛物线方程为x

y4

2=,直线l的方程为0

-y

x,在抛物线上

4=

+

有一动点P到y轴的距离为d1,P到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？

分析：如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．

解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．

过焦点F作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，

则d1+d2的最小值为．

抛物线求最值问题（第二类）

2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。

此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。

例题已知点P 在抛物线y2=4x 上，那么点P 到点Q （2，-1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 C ．（1，2）D ．（1，-2）

分析：先判断点Q 与抛物线的位置，即点Q 在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M ，P ，Q 三点共线时取得，可得到答案．

解：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ ，故最小值在M ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，

Q的纵坐标都是-1，

抛物线求最值问题（第三类）

3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。

此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。

例题抛物线x

y2

2=上任一点到直线x-y+1=0的距离的最小值是多少分析：由题意可设P为抛物线上任意一点，则P到直线x-y+1=0的距离d===，由二次函数的性质可求距离d的最小值

解：方法一由题意可设P为抛物线上任意一点，

则P到直线x-y+1=0的距离d===

由二次函数的性质可知，当y=1即P（）时，d=

故答案为：

方法二求导x

=，1

y2

1=

y

可知当y=1即P（）时，d最小，故答案为：