高中数学抛物线最值问题

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抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。

此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。

例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1到直线l 的距离为d2,则d12的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d12最小，依据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d12的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d122-1最小，∵F （1，0），则2，则d12的最小值为．抛物线求最值问题（其次类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差肯定值的最值问题。

此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。

例题已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先推断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，依据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。

此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。

抛物线中的最值问题

例一、例一、在抛物线y 的最小值。点P在抛物线 2=x上，定点在抛物线上定点A(3,0),求|PA|的最小值。求的最小值法一、法一、目标函数法
解：设 = P (x, y ) ∴ y
2 2
Q P 点在抛物线上，点在抛物线上， PA = = = (x − 3)2 + y x 2 − 6x + 9 + x x 2 − 5x + 9 5 2 11 (x − ) + 2 4
例三、例三、已知定点M ），F是抛物线y =2x的焦点的焦点，已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P |PM|+|PF|取得最小值取得最小值，在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P 求点P的坐标
分析：，由抛物线的定义：如图，分析：如图由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。与到准线的距离相等。即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共线时距离之和最小。线时距离之和最小。
N F F
M
P M
解：如图所示在抛物线 y2 = 2x上任取一点上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线，作MN 准线L，作交抛物线于P（，） ⊥L ，MN交抛物线于（x，y）交抛物线于由抛物线的定义得：由抛物线的定义得： |P’F|= |P’N’|
练习：练习：
1.已知M(a,0) 为抛物线y = 2px(p> 0)的对称轴
2
上的一个定点在抛物线上求一点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线、求抛物线上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值距离最小值，时抛物线上的点的坐标

关于抛物线的十个最值问题-模板

关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。

抛物线的最大最小值怎么求

抛物线的最大最小值怎么求
概述
在数学中，我们经常要求解抛物线函数的最大值和最小值，这对于确定函数的
凹凸性和函数图像的特点都具有重要意义。

本文将介绍如何求解抛物线函数的最大值和最小值的方法。

抛物线函数的一般形式
抛物线函数通常表示为y=ax2+bx+c的形式，其中a eq0。

其中，a控制
了抛物线开口的方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b控制了抛物线的
位置；c是y轴的截距。

最大最小值的求解
对于抛物线函数y=ax2+bx+c，它的最大值或最小值发生在顶点处。

因此，我们只需找到抛物线的顶点坐标即可求解最大最小值。

求解顶点坐标
抛物线的顶点坐标可以通过公式 $x = -\\frac{b}{2a}$ 求解得到。

将x的值代入
抛物线函数中即可得到对应的y值，从而确定顶点坐标。

确定最大最小值
通过观察a的正负性可以确定抛物线的开口方向，若a>0，则抛物线开口向上，顶点为最小值点；若a<0，则抛物线开口向下，顶点为最大值点。

示例
假设有抛物线函数y=2x2−4x+3，我们按照上述方法求解其最大最小值。

1. 求解顶点坐标： $x = -\\frac{-4}{2*2} = 1$，将x=1代入函数得到y=2∗12−
4∗1+3=1，所以顶点坐标为(1,1)。

2. 确定最大最小值：由于a=2>0，故
顶点为最小值点，最小值为1。

结论
通过以上方法，我们可以求解任意抛物线函数的最大最小值，进而帮助我们理
解函数的特性和性质。

抛物线函数的最大最小值计算在数学建模和实际问题求解中具有广泛的应用。

抛物线最值问题

( x - 3) + 4 x
2
= x2 - 2x + 9
= ( x - 1) 2 + 8
min
x³ 0
= 2 2, 此时M (1, 2)
变3
\ 当x = 1时，
２
变式训练：
已知点M 在抛物线y = 4 x上运动，点Q在圆(x - 3) + y = 1上运动,则 MQ 的最小值是
.
2 2 2
小组讨论、交流：
只需求出动点M到圆心 A(3,0)距离最小值再减去圆半径即可。
y
M
F
练习
A
Q .
x
所以 MQ min = 2 2 - 1
2
的最小值是多少？
小组讨论、交流：
y
M
F
x
l
已知点F为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,A(3,2) 为定点，点M 是抛物线上任意一点，则 MA + MF 的最小值是，此时点M的坐标是
小组活动：
。
探究2
y
M A
讨论解决方案
F
x
探究3
已知抛物线y ＝４x和定点Ａ(7,8), 抛物线上有一动点Ｍ，点Ｍ到点Ａ的距离为d1，点Ｍ到抛物线准线距离为d 2，则d1＋d 2的最小值是 .
2 2 最小值为ＡF ＝（7-1） +（8-0) =10
y M F
A
M
x
思考：已知点Ａ３０，点 ( , ) M在抛物线y２＝４x 上运动，求 MA 的最小值，及此时点M的坐标.
解：设点Ｍ( x, y)是抛物线y 2＝４x 上任一点,则y = 4 x
AM =
=
2
y M F Ax

思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题

思维特训(九) 抛物线背景下线段和(差)的最值问题类型一二次函数中的“饮马问题”基本原理：两点之间，线段最短．解题思路：利用抛物线自身的轴对称性找到抛物线上某点关于对称轴的对称点，实现化“折”为“直”，再结合函数的相关知识解决．1．如图9－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式；(2)设P 是直线l 上的一个动点，当PA＋PC 最小时，求点P 的坐标．图9－12．如图9－2，抛物线y＝ax2＋bx＋3 经过A(1，0)，B(4，0)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．图9－23．如图9－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l 与x 轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)PQ 是该抛物线对称轴l 上的动线段，且PQ＝1，求PC＋QB 的最小值．图9－3类型二二次函数中线段差的最大值问题基本原理：三角形任何两边之差小于第三边．解题思路：先根据原理确定线段差的最值问题时的图形，再根据已知条件进行求解．4．如图9－4，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点C，P 是该抛物线上一动点，点P 从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 不与点A，C 重合)，过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D.(1)求抛物线的解析式．(2)当D 在线段AC 上运动时，求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|的值最大？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－45．2016·眉ft已知：如图9－5，在平面直角坐标系xOy 中，A，B，C 分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，(1)求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当|PM－AM|取最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．图9－56．已知：如图9－6，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 3＋6 与x 轴、y 轴的交点＝－4x分别为A，B，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C.(1)直接写出点C 的坐标，并求经过A，B，C 三点的抛物线的解析式．(2)若(1)中抛物线的顶点为D，在直线BC 上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．(3)若把(1)中的抛物线向左平移3.5 个单位长度，则图象与x 轴交于G，N(点G 在点N 的左侧)两点，交y 轴于点E，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q 到E，N 两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图9－63 典题讲评与答案详析 1．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－1，0)，B (3，0)，⎧0＝a －b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1，解得⎨⎩0＝9a ＋3b ＋3， ⎩b ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴对称轴为直线 x ＝1.∵A ，B 是抛物线与 x 轴的交点，∴点 A ，B 关于直线 l 对称，∴PA ＋PC 最小时，点 P 就是直线 BC 与直线 l 的交点(如图)．∵B (3，0)，C (0，3)，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－x ＋3.∵点 P 在直线 l 上，∴点 P 可设为(1，m )．将(1，m )代入 y ＝－x ＋3，可得 m ＝2，∴P (1，2)．2．解：(1)由已知，得⎧a ＋b ＋3＝0， ⎧a ＝4， ⎨ 解得⎨ 15 ⎩16a ＋4b ＋3＝0， ⎩b ＝－ 4 . ∴抛物线的解析式为 y 3 2 15＋3.＝4x － 4 x(2)∵A ，B 关于对称轴对称，如图，连接 BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P ，此时 PA ＋PC ＝BC ，∴四边形 PAOC 的周长的最小值为 OC ＋OA ＋BC .∵A (1，0)，B (4，0)，C (0，3)， ∴OA ＝1，OC ＝3，BC ＝ OB 2＋OC 2＝5，∴OC ＋OA ＋BC ＝3＋1＋5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点 P ，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长的最小值为 9.3．解：(1)∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 经过 C (0，3)，∴c ＝3.∵抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋3 经过 A (－3，0)，B (1，0)，⎧0＝a ＋b ＋3， ∴⎨ ⎧a ＝－1， ∴⎨⎩0＝9a －3b ＋3， ⎩b ＝－2，∴抛物线的解析式为 y ＝－x 2－2x ＋3.(2)过点 C 作直线 l 的对称点 E ，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，过点 Q 作 QF ∥PE ，交 EG 于点 F ，连接 FB ，如图，则有 PC ＝PE ，EF ∥PQ .∵EF ∥PQ ，QF ∥PE ，∴四边形 EFQP 是平行四边形，∴EF ＝PQ ＝1，PE ＝FQ ，∴PC ＝FQ ，∴PC ＋QB ＝FQ ＋QB ，根据两点之间线段最短可得 FQ ＋QB (即 PC ＋QB )的最小值为 FB .∵抛物线 y ＝－x 2－2x ＋3 的对称轴为直线 x ＝－1，C (0，3)，∴点 E 的坐标为(－2，3)， ∴点 F 的坐标为(－2，2)．在 Rt △FGB 中，FG ＝2，GB ＝1－(－2)＝3，根据勾股定理可得 FB ＝ FG 2＋GB 2＝ 13.∴PC ＋QB 的最小值为 13.4．解：(1)∵抛物线 y ＝x 2＋bx ＋c 过点 A (3，0)， B (1，0)， ⎧9＋3b ＋c ＝0， ⎧b ＝－4， ∴⎨ ⎩1＋b ＋c ＝0，解得⎨ ⎩c ＝3， ∴抛物线的解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. (2)令 x ＝0，则 y ＝3，∴点 C (0，3)，则直线 AC 的解析式为 y ＝－x ＋3. 设点 P (x ，x 2－4x ＋3)．∵PD ∥y 轴， ∴D (x ，－x ＋3)， ∴PD ＝(－x ＋3)－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ＝－(x 3 2 9 ．∵a ＝－1＜0，∴当 x 3 －2) ＋4(0<x <3) PD 的长度有最大值9＝2时，线段 4.(3)∵抛物线的对称轴垂直平分 AB ，∴MA ＝MB .由三角形的三边关系，可知|MB －MC |＜BC ，∴当 M ，B ，C 三点共线时，|MB －MC |的值最大，为 BC 的长度．设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)，⎧k ＋m ＝0， ⎧k ＝－3，则⎨ ⎩m ＝3，解得⎨⎩m ＝3，∴直线 BC 的解析式为 y ＝－3x ＋3.∵抛物线 y ＝x 2－4x ＋3 的对称轴为直线 x ＝2，∴当 x ＝2 时，y ＝－3×2＋3＝－3，∴M (2，－3)，即抛物线的对称轴上存在点 M (2，－3)，使|MA －MC |的值最大．5．解：(1)设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c .3 ⎧ ＝－4，， ⎨ 由题意易知 A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)，⎧a ＋b ＋c ＝0， ∴⎨c ＝3， ⎩16a －4b ＋c ＝0，⎧a 3 解得⎨b9 ⎩＝－4， c ＝3， ∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为 y ＝－3 2 9 ＋3.(2)存在．∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∴BC ＝AC ＝5，AB ＝ 10. 如图，当 BP 綊 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP ＝AC ＝5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB ，∴点 P 的坐标为(5，3)．4x －4x当点 P 在第二、三象限时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点 P 的坐标为(5，3)时，以点 A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．(3)设直线 PA 的解析式为 y ＝kx ＋m (k ≠0)．∵点 A (1，0)，P (5，3)在直线 PA 上，⎧k ＝， ⎧5k ＋m ＝3，4 ∴⎨ ⎩k ＋m ＝0，解得⎨ ⎩m ＝－3 4 ∴直线 PA 的解析式为 y 3 3＝4x －4.当点 M 与点 P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，知|PM －AM |<PA ，当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝PA ，∴当点 M 与点 P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即 M 为直线 PA 与抛物线的交点． 3 3 y ＝ x －，解方程组 4 4 3 9 ⎩y ＝－4x 2－4x ＋3， ⎧x 1＝1，⎧⎪x 2＝－5，得⎨ ⎨ 9 ⎩y 1＝0，⎪⎩y 2＝－2， ∴点 M 的坐标为(1，0)或(－59 时，|PM －AM |的值最大．此时|PM －AM |的最大值为 5.6．解：(1)如图①，连接 CH .，－2)由轴对称的性质，得 CH ⊥AB ，BH ＝BO ，CH ＝CO ，∴在 Rt △CHA 中，由勾股定理，得4 AC 2＝CH 2＋AH 2. ∵直线 y 3 ＋6 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A ，B ，＝－4x ∴当 x ＝0 时，y ＝6，当 y ＝0 时，x ＝8， ∴B (0，6)，A (8，0)， ∴BO ＝6，OA ＝8，在 Rt △AOB 中，由勾股定理，得 AB ＝10. 设 C (p ，0)，则 OC ＝p ， ∴CH ＝p ，AH ＝4，AC ＝8－p ， ∴(8－p )2＝p 2＋42，解得 p ＝3，∴C (3，0)．设抛物线的解析式为 y ＝ax 2＋bx ＋c . ⎧a 1 ⎧6＝c ，＝4，由题意，得⎨64a ＋8b ＋c ＝0，解得⎨b 11 ⎩0＝9a ＋3b ＋c ，＝－， ⎩c ＝6， ∴抛物线的解析式为 y 1 2 11x ＋6. ＝4x － 41 2 11 1⎛x 11⎫ (2)不存在．理由：如图②，设抛物线对称轴交 x 轴于点 F .∵y ＝4x － 4 x ＋6＝4⎝ － 2 ⎭ 2 25 －16， ∴ 11 25 25 D ( 2 ，－16)，∴DF ＝16. 设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b ′，则有 ⎧6＝b ′， ⎨ ⎧k ＝－2，解得⎨ ⎩0＝3k ＋b ′， ⎩b ′＝6， ∴直线 BC 的解析式为 y ＝－2x ＋6. 设存在点 P 使四边形 ODAP 是平行四边形，P (m ，n )．过点 P 作 PM ⊥OA 于点 M ，则∠PMO ＝∠AFD ＝90°，PO ＝DA ，PO ∥DA ， ∴∠POM ＝∠DAF ，∴△OPM ≌△ADF ， ∴PM ＝DF ＝n 25 25 2m ＋6，＝16，∴16＝－ ∴m 71 ＝32，但 OM ＝AF ＝8 11 5 71 － 2 ＝2≠32， ∴点 P 不在直线 BC 上，即直线 BC 上不存在满足条件的点 P . (3)由题意得，平移后的抛物线的解析式为 y 1 －2)225 为直线 x ＝2.＝4(x －16，∴平移后抛物线的对称轴1 9∴⎨9当x＝0 时，y＝－16；当y＝0 时，01(x－2)225＝41 9解得x1＝－，x2＝.－16，2 2∵点G 在点N 的左侧，∴G(19 9－2，0)，E(0，－16)，N(2，0)．如图③，连接EG，直线EG 交直线x＝2 于点Q，则此时点Q 到E，N的距离之差最大．设直线EG 的解析式为y＝k0x＋b0，则⎧0＝－2k0＋b0，⎧k0＝－8，⎨9 解得⎨9⎩b0＝－16，⎩b0＝－16，∴直线EG 的解析式为y＝－9 9⎧y 9 9 8x－16，⎧x＝2，⎪＝－8x－16，⎪解得⎨ 45⎪⎩x＝2，∴Q(2 45 ．⎪⎩y＝－16，，－16)。

抛物线最值问题

抛物线最值问题最值训练一：例1．在抛物线y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。

例2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。

跟踪训练练习1:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。

练习2: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。

练习3: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。

练习４：若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与抛物线ｘ²＝４ｙ相较于Ａ、B两点，且|AB|=4(1)试用k来表示b(2)求弦ＡB中点Ｍ离ｘ轴的最短距离最值训练二：1、A、B是抛物线y²=2px (p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）。

求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值（2）直线ＡＢ经过一个定点跟踪训练：定长为５的线段ＡＢ的两端点在抛物线ｙ²＝４ｘ上移动，试求线段ＡＢ中点M 到y轴的最短距离。

2.已知定点M（3,2），F是抛物线y²=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|ＰＭ|＋|ＰＦ|取得最小值，求点P的坐标。

跟踪训练１：设P是曲线y²=4(x-1)上一动点，则求点P到点（0,1）的距离和点P到y轴的距离之和的最小值。

跟踪训练２：设Ｐ为抛物线ｙ＝ｘ²上一动点，求Ｐ到直线ｌ：３ｘ－４ｙ－６＝０的距离的最小值最值训练三1、已知抛物线y²=x，动弦AB长为2、求AB中点纵坐标的最小值。

跟踪训练1：点P在抛物线y²=x上，定点A（3,0），求|PA|的最小值跟踪训练2：若P为抛物线y²=x上一动点，Ｑ为圆（ｘ－３²＋ｙ²＝１上一动点，求|ＰＱ|的最小值。

高中数学抛物线最值问题讲课稿

抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。

此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。

例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。

此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。

例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。

抛物线的最值问题

O
.
F
x
y0 2 3 y0 46 y0 48y0 16 46 , ( y0 R ) d 16 80 5 此时P(9,24) 当y0 24时, d min 2
探究五：距离和的最小值。
例在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。解：
解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点P( x0 . y0 )
例:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。 y
则y0 2 64x0 4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y0 2 将x0 代入得： 64 2
p4 2p 8，由 y2 8x 知：
y
此抛物线的焦点坐标是:F (2 ， 0)
准线l方程是:x 2 .
由定义知： PF dPl 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
K
P Q O 2 F 4
x
显然，当Q， P， K 三点共线时，
• 例：在抛物线y2 =64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
例在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
y 解：设抛物线平行于L的切线方程为
4x 3 y m 0 x 联立 4 x 3 y m 0 2 P y 64x 2 消 x 得 y 48y 16m 0 L 48 48 4 16 m 0 m 36 y 24, x 9 46 36 2 P9,24 d min 有最小值.

抛物线中的最值问题

抛物线中的最值问题作者：王荣李家洪来源：《高中生学习·高二理综版》2015年第03期圆锥曲线的最值是一类综合性强、涉及知识广的问题.破解这类问题常利用函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想与方法，将它转化为解不等式、求函数的值域或利用平面几何知识来解决.本文对抛物线中常见的几类最值分类探究.点与点、点与线之距离的最值问题例1 在抛物线[y2=2pxp>0]上求一点，使它到直线[l]：[Ax+By+C=0]（其中[A≠0，pB2法1 由已知，直线[l]与抛物线相离，设直线[l1]：[Ax+By+m=0]与抛物线相切，联立[Ax+By+m=0，y2=2px]消去[x]得，[A2py2+By+m=0].由[Δ=B2-4∙A2p∙m=0]得，[m=pB22A].故直线[l1]的方程为：[Ax+By+pB22A=0].由两平行线间的距离公式得，[dmin=pB22A-CA2+B2=pB2-2AC2AA2+B2=2AC-pB22AA2+B2].进而得所求抛物线上的点为[pB22A2，-pBA].法2 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]，则[y02=2px0].点[P]到直线[l]的距离[d=Ax0+By0+CA2+B2=A∙y022p+By0+CA2+B2=A2p∙y0+pBA2+p2AC-pB2A2A2+B2.]又[pB2注意到[y0∈R]，因此，当[y0=-pBA]时，[dmin=2AC-pB22AA2+B2]，可得所求点的坐标为[pB22A2，-pBA].法3 由已知，直线[l]与抛物线相离，设抛物线上一点[Px0，y0]到直线[l]的距离最短.在抛物线[y2=2px]中，两边同时对[x]求导得[2y∙y=2p]，即[y=py].故[y|y=y0=py0].由[py0=-AB]得，[y0=-pBA]，即所求点[P]的坐标为[pB22A2，-pBA].根据点到直线的距离公式得[dmin=2AC-pB22AA2+B2].线段之和（或积）的最值问题例2 过抛物线[y2=2pxp>0]的焦点[F]作两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值.法1 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，则直线[CD]的方程为[y=-1kx-p2].联立[y=kx-p2，y2=2px]消去[x]得，[ky2-2py-kp2=0].则[Δ=4p2k2+1>0]恒成立.记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，得[y1+y2=2pk]，[y1y2=-p2].故[AB=1+1k2y1+y22-4y1y2=2p1+1k2]，同理[CD=2p1+k2].[∴AB+CD=2p1+1k2+2p1+k2=2p2+k2+1k2，][AB∙CD=4p21+1k21+k2=4p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[AB+CDmin=8p]，[AB∙CDmin=16p2].法2 由题意知，直线[AB]，[CD]均不垂直于坐标轴.设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，直线[AB]的斜率为[k]，则[y1-y2x1-x2=k].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，两式相减得[y12-y22=2px1-x2]，即[y1+y2=2p∙x1-x2y1-y2]，故[y1+y2=2pk.]又直线[AB]的方程为[y=kx-p2]，所以[y1+y2=kx1+x2-p]，即[x1+x2=2pk2+p].由抛物线的定义得，[AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2][=x1+x2+p][=2pk2+2p，]同理[CD=2p1+k2].以下略.点拨一般地，设[Ma，b]是不在抛物线的[y2=2pxp>0]上的定点，过点[M]作抛物线的两条互相垂直的弦[AB]，[CD]，求[AB+CD]与[AB∙CD]的最小值. （留与同学们解答）三角形、四边形等多边形之面积的最值问题例3 过抛物线[y2=2pxp>0]的顶点[O]引两条互相垂直的动弦[OA]和[OB]，求三角形[AOB]的面积的最小值.法1 直线[OA]和[OB]的斜率均存在且不为零.设直线[OA]的方程为[y=kx]，则直线[OB]的方程为[y=-1kx].联立[y=kx，y2=2px]得[A2pk2，2pk]，同理得[B2pk2，-2pk].所以[SΔAOB=12OA∙OB][=124p2k4+4p2k2∙4p2k4+4p2k2=2p22+k2+1k2]，当[k2=1]即[k=±1]时，[SΔAOBmin=4p2].法2 设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，由[OA⊥OB]得，[x1x2+y1y2][=0].又[y12=2px1]，[y22=2px2]，于是得[x1x2=4p2].[SΔAOB2=14OA2∙OB2=14x12+y12x22+y22=14x12+2px1x22+2px2][=14x1x22+2px1x2x1+x2+4p2x1x2][≥14x1x22+2px1x22x1x2+4p2x1x2][=144p22+2p∙4p224p2+4p2∙4p2=16p4].从而[SΔAOB≥4p2]. 当且仅当[x1=x2=2p]时取等号.因此[SΔAOBmin=4p2].点拨一般地，设[Pa，b]是抛物线上的一定点，过点[P]作抛物线[y2=2pxp>0]的两条互相垂直的动弦[PA]和[PB]，求三角形[APB]的面积的最小值. （留与同学们解答）弦长为定值之动弦中点到准线距离的最值问题例4 定长为[l]（[l>0]）的线段[AB]的两端点在抛物线[y2=2pxp>0]上移动，求线段[AB]的中点[M]到[y]的最短距离.法1 由题意知，直线[AB]的斜率一定不为零.故可设直线[AB]的方程为[x=ty+m].联立[x=ty+m，y2=2px]消去[x]得，[y2-2pty-2pm=0].则[Δ=4ppt2+2m>0].记[Ax1，y1]，[Bx2，y2]，[∴y1+y2=2pt]，[y1y2=-2pm].从而[x1+x2=ty1+y2+2m=2pt2+2m].[AB=1+t2y1+y22-4y1y2=4p1+t2pt2+2m，]又[AB=l].[∴4p1+t2pt2+2m=l2]，即[m=l28p1+t2-12pt2].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=xM=x1+x22=pt2+m=l28p1+t2+12pt2].即[d=p2l2p2t2+1+t2].设[μ=t2+1]，由[t∈R]知，[μ≥1].[∴d=p2l2p2μ+μ-1].若[l2p≥1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2].此时[t2=l2p-1].若[0综上可得[dmin=l-p2，l≥2p，l28p， 0法2 设线段[AB]的中点[Mx0，y0].直线[AB]的参数方程为[x=x0+tcosα，y=y0+tsinα]（其中[t]为参数，直线的倾斜角[α∈0，π]）.代入[y2=2px]整理得，[sin2αt2+][2y0sinα-pcosαt][+y02-2px0=0].记点[A]，[B]对应的参数分别为[t1]，[t2].由韦达定理与参数的几何意义知，[t1+t2=-2y0sinα-pcosαsin2α]，[t1t2=y02-2px0sin2α].因为[M]是线段[AB]的中点，及[AB=l]，所以[t1+t2=0]，[t1t2=-l22].[∴y0=pcosαsinα，]且[y02-2px0=-14l2sin2α].线段[AB]的中点[M]到[y]的距离[d=x0=l28psin2α+y022p=l28psin2α+p2cos2αsin2α][=l28psin2α+p21sin2α-p2].令[μ=sin2α]，由[α∈0，π]知，[0从而[d=l28pμ+2pl2μ-p2] .若[2pl≤1]即[l≥2p]时，[dmin=l-p2]，此时[sin2α=2pl].若[2pl>1]即[0除上述几类最值问题，还有很多类型.解题中要灵活运用抛物线的定义、平面几何知识化为熟悉的类型运用常规方法求解.。

关于抛物线的十个最值问题

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。

高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)

微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。

抛物线中的若干最值问题

抛物线中的若干最值问题
1.抛物线的最高点在哪里？
抛物线的最高点，即顶点，是x坐标为-b/2a的点，y坐标为f(-
b/2a)。

2.抛物线与x轴交点有几个？
抛物线与x轴交点有0个、1个或2个，具体取决于抛物线的开口方向和方程的根。

3.抛物线的对称轴方程是多少？
抛物线的对称轴方程是x=-b/2a，具有以下特点：
-对称轴垂直于x轴；
-顶点位于对称轴上。

4.抛物线的最小值在哪里？
当抛物线开口向上时，抛物线没有最小值，最小值为负无穷；当抛物线开口向下时，最小值为f(-b/2a)。

5.抛物线有没有最大值？
当抛物线开口向上时，最大值为f(-b/2a)；当抛物线开口向下时，抛物线没有最大值，最大值为正无穷。

6.抛物线经过定点的条件是什么？
设定点为(x0,y0)，则抛物线经过该点的条件是方程f(x0)=y0成立。

7.抛物线对于x轴的对称点是哪个？
抛物线上任意一点与x轴对称的点的纵坐标为该点纵坐标的相反数，横坐标不变。

8.抛物线的拐点在哪里？
当抛物线开口向上并且a>0时，抛物线不存在拐点；当抛物线开口向下并且a<0时，拐点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)-|a|/4。

9.抛物线的单调区间是什么？。

抛物线与线段和差最值问题(含答案)

抛物线与线段和差最值问题(含答案)线段和差最值问题是数学中常见的优化问题，需要运用一些基本的数学知识和技巧来解决。

下面分别给出四道相关的例题。

一、如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx-2$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$A(-1,\frac{1}{2})$。

1）求抛物线的解析式以及顶点$D$的坐标；2）判断$\triangle ABC$的形状，证明你的结论；3）点$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，当$MC+MD$的值最小时，求$m$的值。

二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-2,-4)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$三点。

1）求抛物线$y=ax^2+bx+c$的解析式；2）若点$M$是该抛物线对称轴上的一点，求$AM+OM$的最小值。

三、如图，已知直线$y=\frac{1}{12}x+1$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$D$，抛物线$y=x+bx+c$与直线交于$A$、$E$两点，与$x$轴交于$B$、$C$两点，且$B$点坐标为$(1,0)$。

1）求该抛物线的解析式；2）在抛物线的对称轴上找一点$M$，使$|AM-MC|$的值最大，求出点$M$的坐标。

四、已知抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx$经过点$A(4,\frac{5}{2})$，设点$C(1,-3)$，请在抛物线的对称轴上确定一点$D$，使得$AD-CD$的值最大，则$D$点的坐标为。

解题思路：1、对于第一题，先求出抛物线的解析式，再通过求导得到顶点的坐标，最后利用勾股定理求出最小值点的坐标。

2、对于第二题，先利用三点求解得到抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴，最后利用距离公式求解最小值。

3、对于第三题，先求解抛物线的解析式，再通过求导得到对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。

4、对于第四题，先求解抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。

抛物线最值问题

抛物线最值问题抛物线是二次函数的一种，其一般形式为f(x)=ax²+bx+c (a ≠0)。

在解决实际问题时，我们经常会遇到与抛物线最值相关的问题。

这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，以及确定使函数取得最值的自变量的值。

下面我们来探讨一下抛物线最值问题的解决方法。

我们需要了解抛物线的开口方向和对称轴。

开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

对称轴是抛物线上的一条水平直线，使得抛物线上的点关于这条直线对称。

对称轴的方程为x=-b/2a。

我们可以根据抛物线的开口方向和对称轴来确定函数的最值。

1. 当a>0时，抛物线向上开口，函数在对称轴处取得最小值。

最小值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最小值。

2. 当a<0时，抛物线向下开口，函数在对称轴处取得最大值。

最大值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值。

3. 当a=0时，抛物线变为一次函数y=ax²+bx+c。

此时，函数在顶点处取得最大值或最小值。

顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值或最小值。

通过以上分析，我们可以总结出求解抛物线最值问题的一般步骤：1. 确定抛物线的开口方向和对称轴。

2. 根据开口方向和对称轴确定函数的最值及其对应的自变量的值。

3. 将最值代入实际问题中进行求解。

与抛物线有关的最值问题

与抛物线有关的最值问题一、定义法求最值例1：设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；（2）若B 点的坐标为（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．分析：第（1）个问题可以转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．第（2）个问题可以联想到平面上到两定点距离之和最短的点在两定点连线线段上的这一几何性质来解决．解：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为221+，即为5；（2）如图2，自B 作BQ 垂直准线于Q 交抛物线于1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化．练习：若点A 的坐标为()2,3，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得PF PA +取得最小值，求P 点坐标．解：由抛物线的定义，PF 等于P 到抛物线到准线的距离P P '，当且仅当在同一直线上时，有PF PA +=P P 'PA +最小，此时点P 的纵坐标等于A 点纵坐标，即2=y ，此时P 点坐标为()2,2．二、函数法求最值例2：在抛物线24x y =上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短．分析：本题可以结合求一元二次函数的最值问题来解决，其最值总是在顶点或边界点达到，但要特别注意有的问题的顶点并不一定在给定的区间内。

如最值不在顶点，就要考虑边界点的函数值．解：设抛物线上的点)4,(2t t P ，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离174)21(41754422+-=+-=t t t d 当21=t 时，174min =d ，故所求点为)1,21(．点评：求最值问题也往往涉及到一元二次函数问题，这种问题在圆锥曲线的最值问题中也常常见到)1,21(．练习：已知一曲线x y 22=，（１）设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离 |PA|；（２）设点A 的坐标为（a,0）a ∈R ，求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．解：（1）设M （x,y ）是曲线上任意一点，则x y 22= )0(≥x ，31)31(2)32()32(22222++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥0，94min 2=MA ∴ 所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是32=AP ．（2）设M （x,y ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2222+-=+-=)12()]1([2-+--=a a x 0≥x ，综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=aa d 12)1a ()1a (时当时当<≥．三、判别式法求最值问题例3：抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离是__________．分析：将直线平移到与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，消去y或x 得一个一元二次方程，利用△=0求出直线方程和切点，再求切点到已知直线的距离即可．解：设2l ：x-y+c=0，又点 A 满足 ⎩⎨⎧==+-xy c y x 202消去x 得：y 2=2（y-c ）即：y 2－2y+2c=0 ，由△=4－8c=0,得c=21，∴A （21，1），∴A 到直线 1l 的距离d= 113121++-= 245 即为所求．点评：结合判别式，求出抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离，其实质是确定直线和抛物线的位置关系问题抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离．练习：若点P 在y 2=x 上，点Q 在圆()23-x +y 2=1上，求PQ 的最小值．解：如图，要求PQ min ，只需以A 为圆心，r 为半径的圆与抛物线相切，再由r-1得．()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22223ry x xy ，消去y 得，x 2-5x+9-b 2=0 ，△=)9(4252r --= 0 ，解得 211411==r ∴ PQ1211-．当然，如何求解与抛物线有关的最值,是一个综合性较强的问题，关键要灵活应用．。

抛物线的最大值公式

抛物线的最大值公式
抛物线是一种非常常见的数学曲线，它在日常生活中大量运用，比如桥梁设计、发射导弹、设计游乐设施等。

抛物线是由一条水平线和一条垂直线所固定的焦点所产生的一种曲线，可以用一个简单的公式来计算抛物线的最大值。

抛物线最大值公式为：y = ax² + bx + c，其中，a是抛物线的形状，b是抛物线的位置，c是抛物线的高度。

由此可以看出，a决定了抛物线的形态，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的高度。

具体地说，如果a大于0，则抛物线开口朝上，如果a小于0，则抛物线开口朝下。

而b则决定了抛物线在x轴上的位置，比如当b=0时，抛物线在原点上方。

最后，c则调整了抛物线的高度，如果c为正数，则抛物线在y轴上方，如果c为负数，则抛物线在y轴下方。

在求解抛物线最大值时，需要使用求导数的方法，即将函数y = ax² + bx + c求导，然后再令导数为0，求出x的值，再将x带入函数中求出y的值。

这个过程可以用求解极值的方法来实现，即通过一些技巧化简函数，使其变得易于求导，然后利用导数的特性找到最值点。

总之，掌握抛物线最大值公式及其求解方法对于数学爱好者、物理学家、工程师和各种从事科学技术工作的人都是非常重要的。

只要掌握了这个公式，就可以轻松地解决各种涉及到抛物线的问题，为日常生活、科学研究和技术创新等方面提供有益的指导和帮助。

抛物线的最大值和最小值怎么算

抛物线的最大值和最小值计算方法在数学中，抛物线是一种常见的曲线形状，通常表示为二次方程y=ax2+bx+c，其中a、b和c为常数，且a eq0。

抛物线在二维平面上呈现出开口朝上或朝下的形态，其最大值或最小值可以通过一些简单的方法或公式来计算。

寻找抛物线的最大值和最小值假设给定的抛物线为y=ax2+bx+c，我们可以通过以下步骤来寻找其最大值或最小值：1.计算顶点坐标：抛物线的顶点坐标(ℎ,k)公式为 $h = -\\frac{b}{2a}$ 和 $k = c-\\frac{b^2}{4a}$。

这里ℎ代表顶点的横坐标，k代表顶点的纵坐标。

2.最大值或最小值判断：–当a>0时，抛物线开口朝上，顶点为最小值。

–当a<0时，抛物线开口朝下，顶点为最大值。

3.最大值和最小值的计算：–当抛物线开口朝上，最小值为点(ℎ,k)的纵坐标k。

–当抛物线开口朝下，最大值为点(ℎ,k)的纵坐标k。

示例问题求解假设有抛物线y=2x2−4x+3，求其最大值和最小值。

1.计算顶点坐标：根据公式，$h = -\\frac{-4}{2 \\cdot 2} = 1$ 和 $k =3 - \\frac{(-4)^2}{4 \\cdot 2} = 1$。

因此，顶点坐标为(1,1)。

2.最小值判断：由于a=2>0，所以抛物线开口朝上，顶点(1,1)为最小值。

3.最小值计算：最小值为顶点(1,1)的纵坐标k，所以最小值为1。

因此，抛物线y=2x2−4x+3的最小值为1。

总结通过计算抛物线的顶点坐标，我们可以确定其最大值或最小值。

根据抛物线开口的方向（朝上或朝下），我们可以判断出顶点是最小值还是最大值。

最小值或最大值的计算可以简单地取顶点的纵坐标。

这些方法可以帮助我们更好地理解和解决抛物线相关的问题。