最新高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
数学苏教版选修1-1 导数的应用1
练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x∈[-1,2]时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取 值范围. 答案:(1)a=-1/2,b=-2. (2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-∞,0]及[2,+∞)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在[-1,4]上 的值域. 答:由已知得 f (0) f (2) 0,可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在[-1,4]上的值域是[-4,16].
例3: 如图,在二次函数f(x)= y 2 4x-x 的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
④求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤： i）求导数f′(x)； ii）求方程f′(x)=0的全部实根； iii）检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。 ⑤设y=f（x）在[a，b]上有定义，在(a，b)内有导数， 求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： i）求f（x）在（a，b）内的极值； ii）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，确 定f（x）的最大值与最小值。 ⑥在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定 最值，不必再与端点的函数值作比较。
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高中数学北师大版选修1-1课件：第四章导数应用2.1实际问题中导数的意义
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义.
解 由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3， 则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s). s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻 的瞬时速度为7 m/s. s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻 的瞬时速度为11 m/s.
跟踪训练3 某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单
位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系式y＝f(x)＝2 x.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义； 解 x 从 0 分钟变化到 36 分钟，y 关于 x 的平均变化率为f3366－－0f0＝1326＝13. 它表示该考生前 36 分钟平均每分钟解答13道题. (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义.
解 当 Q＝10 时的总成本 C(10)＝100＋1402＝125；
Q＝10 时的平均成本 C10 ＝C1100＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本 C′(Q)＝12Q， Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
解 由(1)得，平均成本 CQ ＝CQQ＝1Q00＋Q4 ， 而1Q00＋Q4 ≥2· 1Q00·Q4 ＝10， 当且仅当1Q00＝Q4 ，即 Q＝20 时，等号成立， 所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
2 题型探究
PART TWO
题型一 导数在物理学中的意义
例1 某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间 (单位：s). (1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； 解 当 t 从 1 s 变到 3 s 时，s 关于 t 的平均变化率为ΔΔst＝s33－－1s1＝237－－15＝ 11(m/s). 它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
高二数学选修1-1知识点
高二数学选修1－1知识点第一章：命题与逻辑结构 知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定 是特称命题．考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系★1．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在3210x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>，D ．对任意的3210x R x x ∈-+>，★2、给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3(B)2(C)1(D)0★3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第二章：圆锥曲线 知识点：1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率)01c e e a ==<<准线方程2a x c=±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>准线方程2a x c =±2a y c =±渐近线方程b y x a=±a y x b=±6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 9、抛物线的几何性质：标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2px =2p y =-2p y =离心率1e =范围0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．考点：1、圆锥曲线方程的求解2、直线与圆锥曲线综合性问题3、圆锥曲线的离心率问题典型例题：★★1．设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为（ ）A ．214pB．2C．6p D ．1336p ★★2．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．★★★3．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．第三章：导数及其应用 知识点：1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率． 2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆．5、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-； ()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x '=．6、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 7、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．8、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．9、点a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；点b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．10、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．11、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题★1.（05全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2 B. 3 C. 4 D.5★2．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16 ★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时)(x f 取得极值－2.（1）试求a 、c 、d 的值；（2）求)(x f 的单调区间和极大值；★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数2312)(bx ax e x x f x ++=-，已知12=-=x x 和为)(x f 的极值点。
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81～85，思考以下问题1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12的导数是什么？2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？[要点梳理]1．基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( )2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为12.( )3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一 利用导数公式求函数的导数思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ； (3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln1010x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则，减少求导法则的应用的烦索性．[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x 2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln10＋2x 3. 题型三 利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思路导引] 分析知，与曲线相切且与y ＝x 平行的直线与曲线的切点到直线y ＝x 的距离最小．[解]如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．[跟踪训练]求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．[解] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数． (3)利用导数运算研究曲线的切线问题．3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C.19D.13[解析] ∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.[答案] B2．函数y ＝3x 2的导数为( ) A ．y ′＝3x2B ．y ′＝32xC ．y ′＝23x3D ．y ′＝233x[解析][答案] D3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e[解析][答案] D4．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x x B ．e x＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′·ln x ＋e x·(ln x )′＝e x·ln x ＋e x·1x ＝e x (x ln x ＋1)x，所以选C.[答案] C5．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案[解析] y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，即3x 2＋2ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－2a 3.分别代入y ＝x 3＋ax 2－43a ，得0＝－43a ，即a ＝0；－8a 327＋4a 39－43a ＝0，即a ＝±3，∴a ＝0或a ＝±3.[答案] A6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________，切线的方程为__________________．[解析] y ′＝1x ，则k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，切线方程y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.[答案] 1e x －e y ＝0。
选修1-1-第三章-《导数及其应用》教案
第三章 导数及其应用备课人 周志英3.1 导数的概念教学目的1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
教学重点和难点导数的概念是本节的重点和难点 教学过程一、前置检测(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1 格 20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51；当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49；当-=∆t 0.000 01时，-=v 1 3.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1；当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9；。
最新高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.4
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
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第三章 导数及其应用
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3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其 体积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，
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第三章 导数及其应用
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(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引 入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定 义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
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1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1 ＝17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为 使利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数 得y′＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
解决优化问题的一般步骤 (1) 审 题 ： 阅 读 理 解 文 字 表 达 的 题 意 ， 分 清 问 题 和 结 论，找出问题的主要关系． (2) 建 模 ： 将 文 字 语 言 转 化 为 数 学 语 言 ， 利 用 数 学 知 识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变 量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
人教A版高中数学高二选修1-1 导数概念与运算基础知识总结
导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn xnx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 变化率问题 导数的概念
24(m/s)．
(2)因为 Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－
12Δt，所以ΔΔst＝3Δt2Δ－t 12Δt＝3Δt－12，则物体在 t＝1 s 时的瞬
时速度为 s′(1)＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
[解] 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f22－ －f11＝2＋12－11＋1＝12； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为f55－ －f33＝ 5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函 数值变化得较快．
(2)物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度
公式 V＝lim Δt→0
st0＋ΔΔtt－st0.
[解] (1)因为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以
物体在
t＝3
s
到
t＝5
s
这
段时间内
的平均速度为
Δs Δt
＝428＝
[思路导引] 利用导数公式
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
从而 y′|x＝1＝2.
求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟踪训练] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数．
人教版高中数学选修1-1教学讲义-导数及其应用
人教版高中数学选修1-1教学讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题《导数及其应用》全章复习与巩固课型□预习课□同步课■复习课□习题课授课日期及时段教学内容《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 1.基本初等函数的导数基本初等函数 导数 特别地常数函数()y c c =为常数 '0y ='0π=，'=0e幂函数()ny xn =为有理数1n y n x -=⋅211'x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'2x x =指数函数xy a = 'ln x y a a =⋅()'xxe e=对数函数log a y x = 1'ln y x a =⋅()1ln 'x x=正弦函数sin y x = 'cos y x =()2sin 1tan '='=cos cos x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2cos 1cot '='=sin sin x x x x⎛⎫⎪⎝⎭ 余弦函数cos y x ='sin y x =-要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 2.和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦．3.复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅．1xe ； ()25x x+；(1)求a ，b ；(2)求函数()f x 在()[0] 0t t >，内的最大值和最小值．【变式2】设函数()2=++ln f x x ax b x ，曲线()y f x ＝过()10P ，，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：()22f x x ≤－.例4. 设函数3()1f x ax bx =++在1x =处取得极值1-.(Ⅰ)求a b 、的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.举一反三：【变式1】如果函数()=y f x 的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()=y f x 在区间132⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内单调递增；②函数()=y f x 在区间132⎛⎫- ⎪⎝⎭，内单调递减；③函数()=y f x 在区间(4,5)内单调递增；。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.3.2
极小值点与极小值
• 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它 在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而 且在点x＝a的左侧________，右侧 _f_′(_x_)<_0_______，则f′(x把)>0点a叫做函数y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小．
• (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系， 即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所 示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
x＝a 解的个数，可转化为函数 g(x)＝13x3－x 与函数 y＝a 图象交
点个数．函数 y＝a 的图象为平行于 x 轴的直线，下面研究 g(x)
＝13x3－x 的图象.
2分
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令 g′(x)＝x2－1＝0，
解得 x＝1 或 x＝－1.
4分
∴当 x>1 或 x<－1 时，g′(x)>0；
由上表可知，函数 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间
0，34上还是减函数，因此 x＝0 不是函数的极值点；而函数 f(x)
在区间0，34上是减函数，在区间34，＋∞上是增函数，因此在 x＝34处取得极小值，其值为－22576.
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高中数学优质课件精选人教版选修1-1课件第3章导数及其应用3.2
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(2)设切点为 P(x0，y0)，
则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1，
6分
直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0)，
即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.
8分
又因直线 l 过点(0,0)，所以(3x20＋1)(0－x0)＋x03＋x0－16＝0，
32.
• 【错因】 错解中没有验证点M与曲线的位 置关系，而直接把它当作是曲线上的切点．
【正解】 设切点坐标为 N(x0,2x30－3x0)，由导数的几何意义 知切线的斜率 k 就是切点处的导数值，而 f′(x)＝6x2－3，所以 切线的斜率 k＝f′(x0)＝6x20－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋ 32.又点 N 在切线上，所以有 2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0 ＝－2.故切线方程为 y＝21x＋32.
方法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (3)方法一：y′＝xx－ ＋11′ ＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212.
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
x12′＝(x－2)′＝－2x－3
－
1x′＝(－x－12
)′＝12x－32
＝1 2x
x
2．已知函数 f(x)＝1x，则 f′(－3)＝( )
A．4
B．19
C．－14 解析：
D．－19 f′(x)＝－x12，f′(－3)＝－－132＝－19.
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第三章 导数及其应用
1 一、变化率与导数
2
()()()()()()()()
000000000000000
10,0lim
lim lim
.
x x x x x y f x x x x x y
y x x x x
x y x x f x x f x y
x x
y x x f x y f x x f x f x x
∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆＇＇＇、定义：设在处取得一个增量.
函数值也得到一个增量称
为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函
数在处的导数，记作或,
即
3
4 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率.
5 6
7
()()00.
PT x f x P PT f x k ∆→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即
8
9
()()()()003==lim
lim .
x x f x x f x y
y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即
10 二、常见函数的导数公式
11 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 12 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 13 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 14 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 15 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 16 6 若()x f x e =,则()x f x e '=
17
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a '=
18 8 若()ln f x x =,则1
()f x x
'=
19 三、导数的运算法则
20 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
21 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+• 22 3. 2
()()()()()
[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=
23
24
四、复合函数求导
25 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则
26 27
28 五、导数在研究函数中的应用
29 1.函数的单调性与导数:
30 （1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 31 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
32
()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间.
②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数.
例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数，
其函数图像为：
33 34 35 36
37
(())()y f g x g x '''=•
()()()()20.0.
f x f x f x f x ><＇＇＇（）求单调区间的步骤：
①求的定义域；②求导；
③令，解集在定义域内的部分为增区间④令，解集在定义域内的部分为减区间
38 “”“”“”“”.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用、或相连，应该用，隔开或用和
39 40
41
()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤＇＇（）一种常见的题型：
已知函数的单调性求参数的取值范围，利用若单调递增，则；若单调递减，则来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！
42 43
44 2.函数的极值与导数 45 （1）极大、极小值得定义：
46
47 ()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极 大值称是极大值点.
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点，都有且，则称是函数的一个极
小值称是极小值点.
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49 说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点. 50
51 （2）求函数的极值的步骤：
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()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><＇＇＇＇＇＇＇①确定定义区间，求导；②求方程的解；③检查左右两边的符号：
、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号，那么在处无极值.
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说明：在解答过程中通常用列表： 55 56 57 58 59 60 61 62
63 3、函数的最值与导数
64 求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 65 ①求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
66 ②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的67 是最小值. 68
69 说明：“最值”是整体概念，“极值”是个局部概念. 70 71 72
73 4、生活中的优化问题
74 解决优化问题的基本思路： 75
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30x x n n n n f x f x e f x e f x f x xf x f x xf x xf x f x xf x nf x x f x x f x nx f x x xf x nf x x --⎡⎤⎡⎤+≥=+⎣⎦⎣⎦
+≥=+⎡⎤⎣⎦
⎡⎤⎡⎤+≥=+=+⎣⎦⎣⎦
扩展：常见的导函数构造函数型：1、关系式为加型
构造构造构造注意对的符号进行讨论
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2030x x x x x n n n n n f x f x e f x e f x f x f x f x e e e f x xf x f x xf x f x x x f x x f x nx f x xf x nf x xf x nf x x x x x -+⎡⎤--⎢⎥-≥==⎢⎥⎣⎦
-⎡⎤-≥=
⎢⎥⎣⎦
--⎡⎤-≥==⎢⎥⎣⎦2、关系式为减型
构造构造构造注意对的符号进行讨论
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