湖南省高考数学试卷

湖南省2008年普通高等学校单独招生统一考试数学试卷时量150分钟，满分150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 如果事件A 在1次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24S R π=球，体积公式334R V π=球， 其中R 表示球的半径一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．函数2(x2x 1)2y log -+=(x>1)的反函数为y=1()f x -,则1(2)f -等于 ……………………（ ） A ．3 B ．2 C ．0 D ．-22．设集合{}x A (x,y)y 2==，{}B (x,y)y a,a R ==∈，则集合A B I 的子集个数最多有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3． 从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为……… （ ）A．12 B ．2 C D 4．过P （1，1）作圆224x y +=的弦AB ，若12AP BA =-u u u r u u u r ，则AB 的方程是………（ ） A y=x+1 B.y=x +2 C.y= -x+2 D.y= -x-25．在310(1x )(1x)-+展开式中，5x 的系数是 ………………………………………… （ ）A ． 297-B ． 252-C ．297D ．2076．函数y 2si n(2x)3π=-的单调递增区间是 ………………………………………… （ ）A ．5k ,k 1212ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈ B ． 511k ,k 1212ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈ C ．k ,k 36ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈ D ． 2k ,k 63ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k z)∈ 7．若n n b lim 1()11b →∞⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，则b 的取值范围是 …………………………………………（ ） A ．1b 2＜＜1 B ． 11b 22-＜＜ C ．1b 2＜ D ．10b 2＜＜8．设0x ＜＜1，则y=49x 1x +-的最小值为 ………………………………………… （ ） A ．24 B ．25 C ．26 D ．19．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法 ……………………………………………………………………………（ ）A ．24种B ．72种C ．84种D ．120种10．平面α的一条斜线l 与平面α交于点P ，Q 是l 上一定点，过点Q 的动直线m 与l 垂直，那么m 与平面α交点的轨迹是……… （ ）A ．直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线（第9题图） 得分 评卷人 复评人二、填空题（本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11．3(1i)(2i)i --+= . 12．不等式11(sin x 2)0x 1x 1⎛⎫+-< ⎪++⎝⎭g 的解集为 ． 13．设M 是椭圆22143x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA •u u u u r u u u u r 的 最小值等于 .14.设f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (x 3)f (x)1+=-g ，f (1)2-=，则f (2008)= ．15．将一个钢球置于由6根长度为2m 的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为 3（m ）.三．解答题(本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)得分 评卷人 复评人16．（本小题满分12分）已知ABC ∆的外接圆的半径为2,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，又向量m (sin A sin C,b a)=--u u r ，2n (sin A sin B)=+r ,且m n ⊥u u r r （I ）求角C;（II ）求三角形ABC 的面积S 的最大值．得分 评卷人 复评人17．（本小题满分12分）湖南省某单位从5名男职工和3名女职工中任意选派3人参加省总工会组织的“迎奥运，争奉献”演讲比赛．（I ）求该单位所派3名选手都是男职工的概率;（II ）求该单位男职工、女职工都有选手参加比赛的概率；（III ）如果参加演讲比赛的每一位选手获奖的概率均为13，则该单位至少有一名选手获奖的概率是多少？18. （本小题满分12分）把边长为2的正三角形ABC 沿BC 上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 的中点为P.（I ）求异面直线AC ，PD 所成的角的余弦值;（II ）求二面角C —AB —D 的大小;（III ）在AB 上是否存在一点S ，使得AC ⊥面PSD ？若存在，试确定S 的位置，若不存在，试说明理由.19．（本小题满分12分）设函数2f (x)x(x a)=-（I ）证明： a 3<是函数f (x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件；（II ）若x 0,a 1∈⎡+⎤⎣⎦时，2f (x)2a ＜恒成立，且f (0)0=，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F （1，0）的距离小1.（I ）求曲线C 的方程;（II ）过F 作弦PQ 、RS ，设PQ 、RS 的中点分别为A 、B ，若0PQ RS •=u u u r u u u r ，求AB u u u r 最小时，弦PQ 、RS所在直线的方程;（III ）是否存在一定点T ，使得AF TB FT λ=-u u u r u u r u u u r ？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由.21．（本小题满分14分）数学社区提供已知曲线C ：2f (x)3x 1=-，C 上的两点A 、n A 的横坐标分别为2与n a (n 1,2,3,)=…，1a 4=，数列{}n x 满足[]n 1n tx f (x 1)113+=-++（t 0＞且1t 2≠，t 1≠）．设区间[]n n n D 1,a (a 1)=＞，当n x D ∈时，曲线C 上存在点n n n p (x ,f (x ))，使得点n p 处的切线与n AA 平行．（I ）建立n x 与n a 的关系式；（II ）证明：{}n (x1)t log 1-+是等比数列；（III ）当n 1D +n D ⊂≠对一切n N +∈恒成立时，求t 的范围．参考答案一． 选择题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B D C D B C B C A二． 填空题（每小题5分）11．3i -- 12。

{1}x x >- 13。

-1 14。

12 15。

6π三． 解答题16.02sin sin )sin sin )()sin 04m n m n A C A C b a B ⊥⇒=∴-++-=u r r u r r Q g 解：(I)（（……………2分且2R=22，由正弦定理得：222()()()02242a cbb a R R R -+-=化简得： 222c a b ab =+- ……………4分由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-133sin 3242S ab C ab ==≤11分所以，max 33,2S ABC =∆此时，为正三角形……………12分17．解：（I ）记事件A=“该单位所派的选手都是男职工” ……………1分则P （A ）=3538528C C = ……………3分（II ）记事件B=“该单位男职工、女职工选手参加比赛” ……………4分则P （B ）=2112535333884556C C C C C C +=……………7分（III ）设该单位至少有一名选手获奖的概率为P ，则或32191327P P =-=033（0）=1-C （）……………12分18．（解法一）（I ）取AB 的中点为Q ，连接PQ ，则PQ AC P ，所以，DPQ ∠为AC 与BD 所成角……………2分又CD=BD=1，2PD ∴=PQ=1，DQ=1 2222cos 24PD PQ OQ DPQ PD PQ +-∴∠==⋅……………4分 （II ）过D 作DR AB ⊥，连接CR ，ACD ABD ⊥Q 面面，CD ABD ∴⊥面CR AB ∴⊥CRD C AB D ∴∠--就是二面角的平面角……………6分在Rt ADB ∆中，3DR AB AD BD DR ⋅=⋅⇒= 23tan 3CD CRD DR ∴∠==……………8分 C AB D ∴--23二面角的大小为arctan3……………9分 （解法二）（I ）如图，以D 为坐标原点，DB 、AD 、DC 所在直线分别为x,y,z 轴建立直角坐标系。

则A （0,3,0），C （0，0，1），B （1，0，0），P （11,0,22），D （0，0，0） 3,1)AC ∴=u u u r ，11(,0,)22PD =u u u r ……2分 所以，异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为24……………4分 （II ）面DAB 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r ………5分设面ABC 的一个法向量2(,,)n x y z =u u r ，则12030030n AC z n AB x ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩u r u u u r g u u r u u u r g ,取2(3,3,3)n =-u u r ，……………7分则 1211221cos ,7n n n n n ∴<>==u r u u r u r r g u r u u r ……………8分 C AB D ∴--21二面角的大小为arccos 7…………9分 （III ）不存在。

若存在S 使得AC PSD ⊥面，则AC PD ⊥，与（I ）矛盾。

故不存在…12分19．解：（I ）f Q （x ）在区间(1,2)上递减，其导函数22f (x)3x 4ax a '=-+……………1分 '2'2(1)0430(2)0812********f a a f a a a a a a ⎧⎧<-+<⎪⎪∴⇒⎨⎨<-+<⎪⎪⎩⎩<<⎧⇒⇒<<⇒<⎨<<⎩……………4分故a 3<是函数f (x)在区间(1,2)上递减的必要而不充分的条件……………5分（II ）2()()f x x x a =-Qa f (x)3(x a)(x )3'=--……………6分当a>0时，函数()y f x =在（,3a -∞）上递增，在(,)3a a 上递减，在(,)3a +∞上递增，故有 22()227132(1)2a f a a f a a ⎧<⎪⇒<<⎨⎪+<⎩……………9分 当a 〈0时，函数()y f x =在(,)3a +∞上递增，∴只要232(1)246510f a a a a a -<⇒-+-> 令32()4651g a a a a =-+-，则'221()1212512()202g a a a a =-+=-+>…………11分 所以()g a 在(,0)-∞上递增，又(0)10g =-<2(1)2f a a ∴-<不能恒成立。