第四章_相似原理和量纲分析分解
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第四章 量纲分析与相似原理
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的 流速大小成比例，方向相同。 •流速比尺：
u
up um
ap
v
vp / t p
v 2 •加速度比尺： a am vm / t m l
t l
v
三、动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
F
P
( pA) p ( pA) m
p l
2
故得欧拉准则方程：
p v
2
p p 1 or ( 2 ) p ( 2 ) m v v
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两 者对应的欧拉数 Eu p /( v 2 ) 必须相等。
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则。 •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则。
§4-5 相似原理的应用
一、模型律的选择
•从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难 实现。
•实际应用时，通常只保证主要力相似。
一般情况下： 有压管流、潜体绕流： 明渠流动、绕桥墩流动： 选雷诺准则
选弗劳得准则
二、模型设计
•定长度比尺 l ，确定模型流动的几何边界；
•选介质 ，一般采用同一介质：
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
§4-1
量纲分析的基本概念和原理
一、单位与量纲
•单位：表征物理量数值大小的标准。如长度单位 m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。
•量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、 mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。 •量纲的符号表示：据GB3101-93，在物理量的 代表符号前面加“dim”表示量纲。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
第四章 相似理论与量纲分析
27
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
第四章相似原理与量纲分析
求原型对应的水头Hp为多少？ 解： 主要受重力作用，应为Fr相等.
u
2 p
um2
g p Lp gm Lm
∵ u 2gH
um Lm
up
Lp
Hm HP
um2
u
2 p
Cu CL
CH Cu2 CL
∵ Q uA
§4-3相似原理的应用
CQ
Qm Qp
um Am u p Ap
CuC
2 L
CL
C
2 L
C5/2 L
第四章 相似原理与量纲分析
§4-1相似的基本概念
§4-1相似的基本概念
相似系统：模型与原型之间必须具有：
⑴外形必须几何相似。
⑵运动状态、力的作用情况必须相似。 ⑶表征同类物理性质的量必须具有同一比值。
⑴外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线
性长度具有同一比例。
长度比尺（缩小倍数）： CL
LP（原型） Lm（模型）
QP=12L/s
Qm
4
12 0.4
0.0758L / S
0.0101
2、用空气做实验：vm=0.17cm2/s,
Qm
12 4 0.4
1.275L / S
0.17
§4-3相似原理的应用
例二：水流自坝顶下泄，流量Qp=1000m3/s, 如取模型与原型
尺度比
CL
1 40
,求模型对应的流量为多少?若模型水头Hm=8.4cm
1
或： p p
p
u
2 p
pm
m um2
(Eu)p=(Eu)m 欧拉数反映了压力与惯性力的比值
若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同 时满足Re、Fr、Eu准则，才能实现动力相似。
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
第四章 相似原理和量纲分析
三、平面弯曲问题 对于高次超静定平面框架，可以用模型试验 解决， 如下图：
一般来说，模型形状应做成几何相似，各截面处的弯矩 M 正比于 Fl ，
Fl 3 挠度正比于 ，故弯矩和挠度的比例数各为： EI CM M Fl C F Cl M m Fm l m
W 3 Em I m CW C F Cl Wm EI C x Cl , CqC x C y C C l
CG
G Gm
Ce
e em
Cx G
但
C
（c） m m m Em （d） 1 m 1 2 m
1 1 2
E
故
由此比要求
m
称为泊松模型律（e）
C C E （f）
把（c）代入（a）
C m
CG Gm
∵ C C E
CF Cl2
∴ 如果模型材料被选定： C E 已被确定。 则荷载比例数 C F 和长度比例数只能任选其一。
• • • • • • •
例4-I 矩形(b×h)截面简支梁受线分布载荷q，梁长l，以梁 内正应力公式为例，导出模型与实梁的相似条件。 解：梁内任意位置处的正应力公式为 qx (a)
• 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中 含有r个量是无量纲独立的，则独立的纯数有n－r个。 例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ 之间的π项。 取r=2, n=6. π的个数为6－2=4个
(1 , 2 ,......) 0
1
C e e m
CG Gm
2 m
2
C m 0
要求
C C e CG Ce CG C （g） Cx Cx C x2
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
第四章相似和量纲分析
密度比例尺是第三个基本比例尺，其它动力学的比例尺 均可按照物理量的定义或量纲由长度比例尺、速度比例 尺和密度比例尺确定出来。
基本比例尺 密度比例尺 质量比例尺 力的比例尺 导 出 比 例 尺
力矩（功、能） 比例尺 动力粘度比例尺 压强（应力） 比例尺
'
m V l 3 m ' 'V ' F ma F m a l 2 v 2 F ' m'a '
l t l/v t ' ' ' t l /v v
v v2 a v/t a ' ' ' a v / t t l
加速度比尺
流量比尺
导 出 比 例 尺
q l 3 / t l3 q ' 3' ' l2 v q l / t t
运动粘度比尺 角速度比尺
4
2.雷诺模型法
用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的 场合。相似准则为Re，有：
惯性力 vl v ' l ' Re ； ； v 粘性力 ' l
vl
基本比例尺为： 长度、密度、运动粘度比例尺
l , ,
雷诺模型法的应用广泛，管道流动、液压技术、水利机械 多采用。
3 Relynold雷诺数，惯性力与粘性力之比。
l v 1
vl
v' l ' Re '
三个相似准数
雷诺数 弗劳德数 欧拉数
惯性力 Re 粘性力 vl v 惯性力 Fr gl 重力 p 压力 Eu 2 v 惯性力
第四章相似原理及量纲分析
牛顿出生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯普。在牛顿出
生之前三个月，他的父亲就去世了，两年之后他的母亲改
嫁他人，把牛顿留给了他的祖母。牛顿的天才很早就展现
来。
牛顿最开始在乡村学校读书，12岁的时候离家到格兰
瑟文法学校就读。在格兰瑟他寄宿在当地的一个药剂师家
中并最终和这名药剂师的继女订了婚。1661年，也就是19
即C'a Ca；反之亦然。这就是弹性力相似准则（柯西准则）。
柯西数
法国人：柯西1789年8月2l日 出生生于巴黎，他的父亲路 易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁 王朝的官员，在法国动荡的 政治漩涡中一直担任公职。 由于家庭的原因，柯西本人 属于拥护波旁王朝的正统派， 是一位虔诚的天主教徒。
一生建树颇多，在连续 介质力学的研究中给出了 柯西数。
面积比例尺: 体积比例尺:
CA
A' A
l'2 l2
Cl 2
CV
V ' l'3 V l3
Cl 3
满足上述条件，流 动才能几何相似
（4-2） （4-3）
图4-1 几何相似
二 运动相似（时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应 点流速（加速度）的方向一致，大小的比 例相等，即它们的速度场（加速度场）相似。
工程流体力学
第四章 相似原理和量纲分析
第四章 相似原理与量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
理论分析 实验研究
模型实验
数值模拟
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理，
模型实验方法以及量纲分析法。
第一节 流动的力学相似
表征
流动
按性 质分
过程
的物
第四章量纲分析和相似理论
pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠
内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
x LαTβMγ
（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1，则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re， d
l d
v2 2g
令
f1
Re，，则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模 型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。
相似性原理和量纲分析
tp tm
lp lm
vp vm
t
v2 l
4
运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验 的目的
（3）动力相似
Fp Fm
F
λF——力的比尺
5
达朗伯定理： FT FG FP FE FI 0 动力相似→对应点 上的力的封闭多边 形相似
动力相似是运动相似的保证
6
2.相似准则 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 在相似流动中应该是相等的
24
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表
名称
长度比尺λl 流速比尺λv 加速度比尺λa 流量比尺λQ
λυ=1
λl λl-1 λl-3 λl
比尺 雷诺准则
λυ≠1
λl λυλl-1 λυ2λl-3 λυλl
弗劳德准则
λl λl1/2 λl0 λl5/2
25
名称
时间比尺λt 力的比尺λF 压强比尺λp 功能比尺λW 功率比尺λN
解：风洞实验中粘性力是主要的——雷诺准则
υ相同
vpl p vmlm
vm
vp
lp lm
300 20 1
6000km/ h
难以实现，要改变实验条件
20
（2）改用水
水 1.007 10 6 m2 / s 空气 15.7 10 6 m2 / s
vpl p vmlm
p m
vm
vp
l pm lm p
结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择 相似准则，是模型实验的关键
16
4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m 的风口送风，要求风口风速8m/s，如取λl=5，确定模型 尺寸及模型的出口风速 解：λl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，
第四章_相似原理和量纲分析
比热容dimcp= dimcv = L2T-2-1 气体常数dimR = L2T-2-1。
§4.5
两个流场表面张力相似，它们的韦伯数必定相等，反之亦然。韦伯数反映表面张力对 流体的作用，与表面张力有关的现象由We决定，比如液体射流的分裂与雾化等。
§4.3
一、流动相似条件
流动相似条件
保证流动相似的必要和充分条件。 1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程所描述。 2.单值条件相似 几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、黏度等） 初始条件（初瞬时速度分布等） 3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
重力相似准则
( ma ma ) mg mg
弹性力相似准则
( ma ma ) KA KA
黏性力相似准则
( ma ma ) dv dv A x A x dy dy
表面张力相似准则
( ma ma ) l l
压力相似准则
( ma ma ) pA pA
§4.2
1.重力相似准则
Fi ma
FP
Fg
FP
F
Fi ma
FP
Fg
F
a
Fg
Fi ——惯性力
F
Fg
§4.1
流动的力学相似
四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系
几何相似是流动力学相似的前提条件。
动力相似是决定运动相似的主导因素。
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
四相似原理及量纲分析
相似原理及量纲分析4-1 试导出用基本量纲L ，T ，M 表示的体积流量V q ，质量流量m q ，角速度ω，力矩M ，功W 和功率P 的量纲。
4-2用模型研究溢流堰的流动，采用长度比例尺20/1=l C 。
（1）已知原型堰顶水头h=3m ，试求模型的堰顶水头。
（2）测得模型上的流量s m q V 319.0'=，试求原型上的流量。
（3）测得模型堰顶的计示压强Pa p c 1960'-=，试求原型堰顶的计示压强。
[]Pa s mm 39200;9.399;15.03- 4-3有一内径d=200mm 的圆管，输送运动粘度m 25100.4-⨯=ν的油，其流量m q V 312.0=。
若用内径d=50mm 的圆管并分别用C ︒20的水和C ︒20的空气作模型实验，试求流动相似时模型管内应有的流量。
[s m 3410553.7-⨯;s m 3210139.1-⨯] 4-4 将一高层建筑的几何相似模型放在开口风洞中吹风，风速为s m v 10=，测得模型迎风面点1处的计示压强Pa p e 980'1=，背风面点2处的计示压强Pa p e 49'2-=。
试求建筑物在s m v 30=强风作用下对应点的计示压强。
[]Pa Pa 441;8820-4-5长度比例尺40/1=l C 的船模，当牵引速度s m v 54.0'=时，测得波阻N F W 1.1'=。
如不计粘性影响，试求原型船的速度、波阻及消耗的功率。
[]kw N s m 4.240;70400;415.3 4-6长度比例尺2251=l C 的模型水库，开闸后完全放空库水的时间是4min ，试求原型水库放空库水的时间。
[60min]4-7新设计的汽车高1.5m ，最大行驶速度为108km/h ，拟在风洞中进行模型实验。
已知风洞实验段的最大风速为45m/s ，试求模型的高度。
在该风速下测得模型的风阻为1500N ，试求原型在最大行驶速度时的风阻。
第4章 量纲分析和相似原理
4.3 相似准则数
粘性力： F (
du ) A ( )l dy l v
2
vl
压力： Fp (p) A (p)l 重力： Fg mg
2
l g
3
4.3 相似准则数
惯性力： i ma l F
3
l t
2
l t
4 2
v l
(
v l
)p (
v l
2
2 2
EV l
)m
Ma p Ma m
2
(
v EV /
)p (
2
v EV /
)m
2
马赫数
Ma v /
EV /
马作流的性马 赫用动比力赫 数并受值与数 相相弹，弹， 等似性即性是 。时力两力惯 ，
4.3.5 韦伯数
由惯性力和表面张力的关系，得
4.1 单位和量纲
量纲分类：
（1）几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0； （2）运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0；
（3）动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0。
4.1 单位和量纲
无量纲数（纯数，如相似准数）：
α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点： （1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）具有客观性； （3）在超越函数（对数、指数、三角函数） 运算中，均应用无量纲数。
速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例 关系，则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证流动相似，应满足： 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
4.2.1 几何相似
几何相似：模型与原型具有相同形状但但大
(4)量纲分析和相似原理
φ(π1, π 2, π 3,……, π n-m)=0
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式: F(q1,q2,q3,……,qn)=0
（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量，而在明 渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N(π)=(n-m)，并写出其余 物理量与基本物理量组成的π表达式
1 Re
2
d
0
p
V
2
据π定理有：
1 p l k f 2 1 , 2 , 3 , 4 f 2 , , , 2 Re V d d
改写为 p
V
2
l k F , , Re d d
或
l k F , , Re 2 V d d l k 2 p V F , , Re d d
1 1 1 1 1 0
L : 2
2 3 2 1 0 2 0
2
T : 2 M :
L : 3
2 1 0
3 3 3 1 0 0
2 2 2 0 2 1
3 0 3 1 3 0
1 x1 x 2 x 3 x 4 2 x1 x 2 x 3 x 5
所求的物理方程为
2 2 2
1
1
2
f 2 1 , 2 0
[例]：有压管流中的压强损失。 根据实验，压强损失与流速V，管长 l ,管径d，管壁 粗糙度k，流体运动粘滞系数υ ，密度ρ有关，即试用 π定理法求该物理方程。 p f l , d , k , , , V 解： 这7个量中，基本物理量有3个，令管径、平均 流速、密度为基本量，量纲依次为
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P F v 3 k F kv k kl2 kv 功率比例尺 k P P Fv
动力粘度比例尺 k
F dy Fdy ) k kl kv /( A dvx Advx
§4.2
一、牛顿相似准则
F ma F ma
F V dv / dt F Vdv / dt
动力相似准则
FP
Fi ma
FP
F
a
Fg
F
Fg
F
a
Fg
FP
Fi ma
FP
kF 1 2 2 k kl kv
F Ne 2 2 l v
Fg
F
动力相似准则
二、各单项力相似准则（续）
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF Fg Fg
V g k kl3k g Vg
代入
kF 1 2 2 k kl kv
Fr——弗劳德数，表征惯
性力与重力的比值。
kv 1 1/ 2 (kl k g )
v v Fr ( g l )1 / 2 ( gl)1 / 2
FP
Fi ma
FP
F
a
Fg
FP
F
Fi ma
FP
Fg
Fi ——惯性力
Fg
F
§4.1
流动的力学相似
四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系
几何相似是流动力学相似的前提条件。
动力相似是决定运动相似的主导因素。
运动相似是几何相似和动力相似的表现。
Fr Fr
两个流场重力相似，它们的弗劳德数必定相等，反之亦然。弗劳德数反映重力对流体 的作用，与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动，兴波阻力等。
§4.2
2.黏性力相似准则
动力相似准则
二、各单项力相似准则（续）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力场相似。
kF F F
(dv x / dy) A k k v kl (dvx / dy) A
几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型 流场相似的重要特征。
§4.1
流动的力学相似
五、基本比例尺、其它动力学比例尺
常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺 长度比例尺 速度比例尺 密度比例尺
kl
kv
Fi/ aV k F k k 2F 2 Fi / aV ka kV kl kv
§4.1
流动的力学相似
五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续）
用基本比例尺表示的其它动力学比例尺 F 2 2 k k k 力的比例尺 F l kv F M F l 3 2 k k k k k 力矩（功、能）比例尺 M F l l kv M Fl
/ A k F p FP 2 k kv 压强（应力）比例尺 k p p FP / A k A
F F 2 2 2 2 l v l v
模型与原型的流场动力相 似，它们的牛顿数必定相等。
——牛顿数
§4.2
动力相似准则
二、各单项力相似准则
模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如 重力、黏性力、压力、弹性力、表面张力等）都要服从牛顿相似准则， 即各单项力作用下的相似准则）。
第四章 相似原理和量纲分析
§4.1 §4.2
§4.3 §4.4 §4.5
流动的力学相似 动力相似准则
流动相似条件 近似的模型试验 量纲分析法
§4.1
流动的力学相似
流体的运动状态 流体的动力性质
三类表征流动过程的物理量： 流场的几何形状
一、几何相似
模型与原型的全部对应线性长度的比例相等
长度比例尺 面积比例尺 体积比例尺
重力相似准则
( ma ma ) mg mg
弹性力相似准则
( ma ma ) KA KA
黏性力相似准则
( ma ma ) dv dv A x A x dy dy
表面张力相似准则
( ma ma ) l l
压力相似准则
( ma ma ) pA pA
§4.2
1.重力相似准则
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
§4.1
流动的力学相似
二、运动相似（续）
模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对 应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。
§4.1
三、动力相似
流动的力学相似
模型与原型的流场所有对应点和对应时刻，作用在流体上的所 有力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。
力的比例尺
F Fg Fi FP kF .... FP F Fg Fi
FP ——总压力 F ——切向力
Fg ——重力
F
a
Fg
l 线性长度对应成比例， kl l 则对应角度必然相等。 A l 2 kA 2 kl2 A l V l 3 kV 3 kl3 V l
L l
L l’
§4.1
二、运动相似
流动的力学相似
模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对 应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。
代入
kF 1 2 k kl2 kv
kk v l 1 k
Re——雷诺数，表征惯性 力与粘滞力的比值。
vl vl vl vl Re
l为定型尺寸
k kv kl k
Re Re
两个流场黏性力相似，它们的雷诺数必定相等，反之亦然。雷诺数反映黏性力对流体 的作用，与黏性力有关的现象由Re决定，比如流动的流态：湍流，层流。
体积流量比例尺
kqV
l 3 / t kl3 qV 2 3 kl kv qV kt l /t
运动粘度比例尺
l 2 / t kl2 k 2 kl kv l / t kt
角速度比例尺
v / l kv k v / l kl
动力粘度比例尺 k
F dy Fdy ) k kl kv /( A dvx Advx
§4.2
一、牛顿相似准则
F ma F ma
F V dv / dt F Vdv / dt
动力相似准则
FP
Fi ma
FP
F
a
Fg
F
Fg
F
a
Fg
FP
Fi ma
FP
kF 1 2 2 k kl kv
F Ne 2 2 l v
Fg
F
动力相似准则
二、各单项力相似准则（续）
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF Fg Fg
V g k kl3k g Vg
代入
kF 1 2 2 k kl kv
Fr——弗劳德数，表征惯
性力与重力的比值。
kv 1 1/ 2 (kl k g )
v v Fr ( g l )1 / 2 ( gl)1 / 2
FP
Fi ma
FP
F
a
Fg
FP
F
Fi ma
FP
Fg
Fi ——惯性力
Fg
F
§4.1
流动的力学相似
四、几何相似、运动相似和动力相似三者间的关系
几何相似是流动力学相似的前提条件。
动力相似是决定运动相似的主导因素。
运动相似是几何相似和动力相似的表现。
Fr Fr
两个流场重力相似，它们的弗劳德数必定相等，反之亦然。弗劳德数反映重力对流体 的作用，与重力有关的现象由Fr决定，例如波浪运动，兴波阻力等。
§4.2
2.黏性力相似准则
动力相似准则
二、各单项力相似准则（续）
在黏性力作用下相似的流动，其黏性力场相似。
kF F F
(dv x / dy) A k k v kl (dvx / dy) A
几何相似、运动相似和动力相似是模型流场和原型 流场相似的重要特征。
§4.1
流动的力学相似
五、基本比例尺、其它动力学比例尺
常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺 长度比例尺 速度比例尺 密度比例尺
kl
kv
Fi/ aV k F k k 2F 2 Fi / aV ka kV kl kv
§4.1
流动的力学相似
五、基本比例尺、其它动力学比例尺（续）
用基本比例尺表示的其它动力学比例尺 F 2 2 k k k 力的比例尺 F l kv F M F l 3 2 k k k k k 力矩（功、能）比例尺 M F l l kv M Fl
/ A k F p FP 2 k kv 压强（应力）比例尺 k p p FP / A k A
F F 2 2 2 2 l v l v
模型与原型的流场动力相 似，它们的牛顿数必定相等。
——牛顿数
§4.2
动力相似准则
二、各单项力相似准则
模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上的各种性质的力（如 重力、黏性力、压力、弹性力、表面张力等）都要服从牛顿相似准则， 即各单项力作用下的相似准则）。
第四章 相似原理和量纲分析
§4.1 §4.2
§4.3 §4.4 §4.5
流动的力学相似 动力相似准则
流动相似条件 近似的模型试验 量纲分析法
§4.1
流动的力学相似
流体的运动状态 流体的动力性质
三类表征流动过程的物理量： 流场的几何形状
一、几何相似
模型与原型的全部对应线性长度的比例相等
长度比例尺 面积比例尺 体积比例尺
重力相似准则
( ma ma ) mg mg
弹性力相似准则
( ma ma ) KA KA
黏性力相似准则
( ma ma ) dv dv A x A x dy dy
表面张力相似准则
( ma ma ) l l
压力相似准则
( ma ma ) pA pA
§4.2
1.重力相似准则
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
§4.1
流动的力学相似
二、运动相似（续）
模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对 应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。
§4.1
三、动力相似
流动的力学相似
模型与原型的流场所有对应点和对应时刻，作用在流体上的所 有力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。
力的比例尺
F Fg Fi FP kF .... FP F Fg Fi
FP ——总压力 F ——切向力
Fg ——重力
F
a
Fg
l 线性长度对应成比例， kl l 则对应角度必然相等。 A l 2 kA 2 kl2 A l V l 3 kV 3 kl3 V l
L l
L l’
§4.1
二、运动相似
流动的力学相似
模型与原型的流场在满足几何相似的基础上，所有对应点和对 应时刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。
代入
kF 1 2 k kl2 kv
kk v l 1 k
Re——雷诺数，表征惯性 力与粘滞力的比值。
vl vl vl vl Re
l为定型尺寸
k kv kl k
Re Re
两个流场黏性力相似，它们的雷诺数必定相等，反之亦然。雷诺数反映黏性力对流体 的作用，与黏性力有关的现象由Re决定，比如流动的流态：湍流，层流。
体积流量比例尺
kqV
l 3 / t kl3 qV 2 3 kl kv qV kt l /t
运动粘度比例尺
l 2 / t kl2 k 2 kl kv l / t kt
角速度比例尺
v / l kv k v / l kl