过程控制与自动化仪表-第四章-微分方程

du o (t ) RC ui (t ) dt
电气系统微分方程
课堂习题
求图所示电气系统的微分方程式，图中Ui(t)为输入量，Uo(t)为
输出量，C为电容，R1、R2为电阻值。
电气系统微分方程
课堂习题
求图所示电气系统的微分方程式，图中Ui(t)为输入量，Uo(t)为
输出量，C为电容，R1、R2为电阻值。
d2y F F (t ) Fk (t ) Ff (t ) m dt 2 F(t)
（4）写中间变量与输出量的关系式
K m
Fk (t ) ky
dy F f (t ) fv f dt
y(t)
f
（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得
d2y dy m 2 ky f F (t ) dt dt
被控过程的数学模型
系统微分方程的建立
一般步骤
1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及
内部中间变量，搞清各变量之间的关系。
2) 忽略一些次要因素，合理简化。
3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 列写中间变量的辅助方程。（方程数与变量数相等） 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方 程式。
（3）：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程
被控过程的数学模型
被控过程数学模型在过程控制中的重要性：
（1）：全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统设计 的基础。 （2）：良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。 （3）：数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要条件。 （4）：通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或仿真， 可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指导。 （5）：利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的故障 及其原因，并提供正确的解决途径。
为输出量，m为质量，k为弹簧的弹性系数，f为粘滞阻尼系数
电气系统微分方程
基本定理：
1.环路电压定律
U
i
0 和节点电流定律
I I
i
o
2.典型元件的电压与电流的关系
电气RLC系统
例 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试 列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
R
L C
ur(t)
uc(t)
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。 （2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
电气RLC系统
（3）由KVL写原始方程：
i( t )
ur(t) L R uc(t)
di L Ri uc ur dt
C
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
机械回转系统
θ
Ts k
T J
d Tf f dt
J
T
d J 2 T T T f Ts dt
2
d 2 d J 2 f k T dt dt
k— 弹性扭转变形系数
f — 转动时粘滞摩擦系数
机械系统微分方程
课堂习题
求图所示机械系统的微分方程式，图中F(t)为输入量，位移x(t)
被控过程的数学模型
数学模型的特点
（1）：相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。
（2）：简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现 了系统性质。 （3）：静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。
（4）：动态模型：变量各阶导数之间百度文库系的微分方程。
数学模型的类型
（1）：微分方程：时域、其它模型的基础、直观、求解繁琐 （2）：传递函数：复频域、微分方程拉氏变换后的结果
duc iC dt
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
d 2uc duc LC RC uc u r 2 dt dt
电气有源系统
下图是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路。电压ui(t)
和uo(t)分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。
ui t u A d u A uo t I C R dt
被控过程数学模型
被控过程的数学模型
数学模型的概念
数学模型是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表 达式。而被控过程的数学模型指过程的输入变量与输出变量之
间定量关系的描述。
1）过程的输入变量至输出 变量的信号联系称为通道 2）控制作用至输出变量的 信号联系称为控制通道 3）干扰作用至输出变量的 信号联系称为干扰通道 过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和
解：遵照列写微分方程的一般步骤有：
（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为
F(t) m f
K
y(t)
中间变量。
（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时， 系统处于平衡状态。
机械平移系统
（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即
机械系统微分方程
基本定理：
1.牛顿第二定律：F=ma 2.简化模型为阻尼器f、弹簧k、质量块m
大小： F
f
dy f v f dt
大小：Fk
k y
f —粘滞摩擦系数
k
—弹簧系数
方向均为阻碍物体运动趋势
机械平移系统
例 弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为 输出量的运动方程式。