圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题

会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建

.

一、主要知识及主要方法：

1.

形式出现，特殊方法往往比较奏效。

2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。

3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

二、精选例题分析

【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同

动点A 、B 满足AO BO ⊥．

（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；

若不存在，请说明理由．

【举例2】已知椭圆2

2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ⎛ ⎝⎭

，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；

()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.

【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2

4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且

AF FB λ=u u u r u u u r

（0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为

M 。

（Ⅰ）证明FM AB ⋅u u u u r u u u r

为定值；

（Ⅱ）设ABM △的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．

问题4．直线m ：1y kx =+和双曲线221x y -=的左支交于A 、B 两点，直线l 过点()2,0P -和线

段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.

（四）课后作业：

1.已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点为F ，过F 作直线与椭圆相交于A 、B 两点，若有

2BF AF =，求椭圆离心率的取值范围.

2.过抛物线22y px =的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB

求证：AB 交抛物线的对称轴上一定点.

3.如图，在双曲线22

11213

y x -

=的上支上有三点()11,A x y

()2,6B x ，()33,C x y ，它们与点()0,5F ()1求13y y +的值；()2证明：线段AC 某一定点，并求此点坐标.

（六）走向高考：

1.（05重庆）已知椭圆1C 的方程为14

22

=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；

（Ⅱ）若直线l ：y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B

满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.

2.（06江西）P 是双曲线221916

x y -

=的右支上一点，,M N 分别是圆()2

254x y ++= 和()2

251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 .A 6 .B 7 .C 8 .D 9

3.（07重庆）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为()3,0F ，右准线l 的方程为：12x =.

()1求椭圆的方程；()2在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠

证明：1

23111FP FP FP ++为定值，并求此定值.

4.(05全国Ⅰ）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆

于A 、B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与(3,1)a =-r

共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r (,)R λμ∈，证明2

2μλ+为定值.

5.(05全国Ⅱ)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2

2

12

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF u u u r 与

FQ u u u r 共线，MF u u u u r 与FN u u u r 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u u r

．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．

6.(04浙江)已知双曲线的中心在原点，右顶点为()1,0A ，点P 、Q 在双曲线的右支上，点(),0M m 到直

线AP 的距离为1，

()

1若直线AP 的斜率为k ，且k ∈⎣, 求实数m 的取值范围；

()

2当1m =

时，APQ △的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.

7.

（07重庆文）如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.

()1求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； ()2若α

为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证

明

:cos2FP FP α-为定值，并求此定值.