运筹学—对策论(三)

定理3 定理 设x*∈ S1* ,y*∈ S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 ∈ ∈ 则 是 的解的充要条 件是：对任意i=1,2, …,m和j=1,2, …,n，有 件是：对任意 和 ， E(i,y*) ≤ E(x*,y*) ≤ E(x*,j) 定理4 定理 设x*∈ S1* ,y*∈ S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 ∈ ∈ 则 是 的解的充要条 件是：存在v,使得 使得x*和 分别是不等式组 件是：存在 使得 和y*分别是不等式组 m E(x,j) ∑ aijxi ≥ v , j=1,2, …,n E(i,y) i=1 m n ∑ xi ＝ 1 ∑ aijyj i=1 ≤ v , i=1,2, …,m j=1 xi≥0 , i=1,2, …,m n 和 ∑ yi ＝1 j=1 yj≥0 , j=1,2, …,n 的解， 的解，且v=VG 。
定理7 定理 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2;A}，G2= {S1, ， 其中α>0为任一常数，则有⑴ VG2= α VG1 为任一常数， S2; α A} ，其中 为任一常数 则有⑴ ⑵ T(G1)=T(G2) 例 2 设G1和G2赢得矩阵分别为 6 4 3 2 A2= 4 8 A1= 2 4 4 0 2 0 定义5 设G={S1 ， S2；A}为矩阵对策，其中 为矩阵对策， 定义 为矩阵对策 S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β 1, β 2, …, β n} ，A=（aij） ， （ 如果对一切j=1,2, …,n,都有 i0j≥ ak0j 即矩阵 都有a 即矩阵A 。如果对一切 都有 m×n × 的第i 行均不小于第k 行的对应元素，则称局中人Ⅰ 的第 0行均不小于第 0行的对应元素，则称局中人Ⅰ 的纯策略α 优超于α 同样，若对一切i= 的纯策略 i0优超于 k0 ；同样，若对一切 1,2, …,m, 即矩阵A的第 列均不小于第j 的第l 都有a 都有 ij0≤ ail0即矩阵 的第 0列均不小于第 0列的对应 元素，则称局中人Ⅱ的纯策略β 优超于β 元素，则称局中人Ⅱ的纯策略 j0优超于 l0。
优超原则：定理 给出了一个简化赢得矩阵 的原则， 给出了一个简化赢得矩阵A的原则 优超原则：定理8给出了一个简化赢得矩阵 的原则， 称之为优超原则。根据这个原则，当局中人Ⅰ 称之为优超原则。根据这个原则，当局中人Ⅰ的某 纯策略α 纯策略 i被其它纯策略或纯策略的G 中划去第i行而得到一个与原对策 超，可在矩阵 中划去第 行而得到一个与原对策 等价但赢得矩阵阶数较小的对策G′，通过求G′而得 等价但赢得矩阵阶数较小的对策 ，通过求 而得 的解。 到G的解。 的解
运筹学—对策论 三 运筹学 对策论(三) 对策论 定理5 对任一矩阵对策G= {S1, S2;A}，一定存在混合 定理 对任一矩阵对策 ， 策略意义下的解。 策略意义下的解。 记矩阵对策G的解集为 记矩阵对策 的解集为T(G), 关于对策解集有下列 的解集为 两个性质： 两个性质： 定理6 }， 定理6 设有两个矩阵对策 G1= {S1, S2;A1}，G2= {S1, S2;A2} ，其中 1 =(aij), A2 =(aij+L),L为任一常数，则有 其中A 为任一常数， 为任一常数 ⑴ VG2= VG1+L ⑵T(G1)=T(G2) 例 1 设G1和G2赢得矩阵分别为 5 A1= 2 4 1 4 0 7 A2= 4 6 3 6 2
复习已讲的矩阵对策内容
定理1 矩阵对策G={S1 ， S2；A}在纯策略意义下有解 定理 矩阵对策 在纯策略意义下有解 的充要条件是：存在纯局势（ 的充要条件是：存在纯局势（ α i* , β j* ）使得对一切 i=1,2, …,m, j=1,2, …,n, 均有 ij*≤ ai*j* ≤ ai*j 。 均有a 定理2 矩阵对策G= {S1, S2;A} 在混合策略意义下有解 定理 矩阵对策 的充要条件是：存在x ∈ 的充要条件是：存在 *∈ S1* ,y*∈ S2*,使(x*,y*)为E(x,y) ∈ 使 为 的一个鞍点，即对一切x ， 的一个鞍点，即对一切 ∈ S1* ,y∈ S2*，有 E(x,y*) ≤ E(x*,y*) ≤ E(x*,y)
对于A 易知无鞍点，应用定理4， 对于 3，易知无鞍点，应用定理 ，求解不等式组 7y1+3y2≤ υ 7x3+4x4≥ υ 4y1+6y2≤ υ 3x3+6x4≥ υ y1+y2=1 x3+x4=1 和 y1,y2 ≥ 0 X3,x4 ≥ 0 首先考虑方程组的解 7x3+4x4= υ 7y1+3y2= υ 3x3+6x4= υ 4y1+6y2= υ x3+x4=1 y1+y2=1 求解得x 求解得 3*=1/3，x4 *=2/3； y1*=1/2，y2 *=1/2； υ=5 ， ； ， ； 于是，原矩阵对策的一个解就是： 于是，原矩阵对策的一个解就是： X*=(0,0,1/3,2/3,0)T， Y*=(1/2, 1/2,0,0,0 ) T ， VG=5
练习题 “二指莫拉问题”。甲乙二人游戏，每人 二指莫拉问题” 甲乙二人游戏， 二指莫拉问题 出一个或两个手指， 出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出 的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确， 的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确， 则他所赢得的数目为二人所出指数之和， 则他所赢得的数目为二人所出指数之和，否 则重新开始。 则重新开始。写出该对策中各局中人的策略 集合及甲的赢得矩阵， 集合及甲的赢得矩阵，并回答局中人是否存 在某种出法比其它出法更为有利。 在某种出法比其它出法更为有利。
例 4 设赢得矩阵为 3 2 0 3 0 5 0 2 5 9 A= 7 3 9 5 9 求解这个矩 4 6 8 7 5.5 阵对策。 阵对策。 6 0 8 8 3 解： 由于第 行优超第 行，第3行优超第 行，故可划 由于第4行优超第 行优超第1行 行优超第2行 行优超第 去第1行和第 行和第2行 去第 行和第 行，得到新的赢得矩阵 7 3 9 5 9 A1= 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3 列优超第3列 列优超第4列 对A1第1列优超第 列，第2列优超第 列，1/3×(第1 列优超第 列优超第 ×第 优超第5列 故可划去第3﹑ ﹑ 列 列)+2/3 (第2列)优超第 列，故可划去第 ﹑ 4﹑5列，得 第 列 优超第 到新的赢得矩阵 A2第1行优超第 行优超第 7 3 7 3 A3= 4 6 3行，故划去第 行 A2= 4 6 6 0 3行，得到 行
在定理8中 若纯策略α 不是为α 推论 ： 在定理 中，若纯策略 1不是为 2, …,αm中 而是为α 之一所优超 ，而是为 2, …,αm的某个凸线性组合所 优超，定理的结论仍然成立。 优超，定理的结论仍然成立。 例： A= 7 4 6 3 6 0 9 8 8 9 5.5 3 1/3×(第1列)+2/3 ×第 列 (第2列)优超第 列 第 列 优超第4列 优超第
例 3 设G赢得矩阵为 赢得矩阵为
3 A= 5 2
2 2 5
2 3 1
定理8 为矩阵对策， 定理 设G={S1 ， S2；A}为矩阵对策，其中 为矩阵对策 S1={α1,α2, …,αm}，S2={ β 1, β 2, …, β n} ， ， A=（aij）m×n 。如果纯策略 1被α2, …,αm中之一所优 （ 如果纯策略α × 可得到一个新的矩阵对策G′： 超 ，由G可得到一个新的矩阵对策 ： G′= {S1 ′, S2； 可得到一个新的矩阵对策 A ′} 其中S 其中 1 ′= {α2, …,αm}， ， A ′ =（aij ′）(m－1)×n aij ′= aij , i=2, …,m , （ ） － × j=1,2, …,n ,则⑴V G′ =VG ；⑵ G′中局中人Ⅱ的最优 中局中人Ⅱ 则 中局中人 策略就是其在G中的最优策略 中的最优策略； 策略就是其在 中的最优策略；⑶若(x2*, …, xm*)T是 G′中局中人Ⅰ的最优策略，则x*= (0，x2*, …, xm*)T便 中局中人Ⅰ 中局中人 的最优策略， ， 是其在G中的最优策略 中的最优策略。 是其在 中的最优策略。