20春北师大9下 中考梳理：第18讲 解直角三角形
北师大版数学九年级下册《解直角三角形》word教案
解直角三角形【教学内容】解直角三角形【教学目标】知识与技能：了解解直角三角形的定义，能通过已知条件解直角三角形。
过程与方法：通过本节课的学习，熟练应用勾股定理、直角三角形两锐角关系、边角关系解直角三角形，培养自己知识的运用能力和计算能力。
情感、态度与价值观通过学习，培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力【教学重难点】重点：学会运用已知条件解直角三角形。
难点：根据条件选择适当方法解直角三角形。
【导学过程】【知识回顾】回答并写出以下问题：Rt∆中，∠C为直角，其余5个元素之间有以下关系：如图，在ABC（1）三边之间关系：（勾股定理）（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：【情景导入】直角三角形除直角外，还有三条边和两个锐角，请问至少知道这五个元素中同个元素，就可以求出其他元素呢？【新知探究】探究一、已知两条边解直角三角形：Rt∆中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=√15，例1在ABCb=5，求这个三角形的其他元素。
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
探究二、已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）解直角三角形：Rt∆中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠例2，在ABCB=25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1）。
通过以上两种类型，我们可以知道，在直角三角形中如果知道其中的2个元素(其中至少有一个是边)，那么就可以求出其余的3个未知元素。
【知识梳理】本节课我们学习了哪些知识？你对解直角三角形有哪些认识？【随堂练习】1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列结论成立的是（）A、c=a·sinAB、b=c·cosAC、b=a·tanAD、a=c·cosA2、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）b=23，c=4；（2）c=8，∠A=60°；（3）b=7，∠A=45°；（4）a=24，b=83.3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
数学北师大版九年级下册——解直角三角形(知识点+练习)
解直角三角形1、了解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的常见类型与解法；2、会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。
1、解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形。
特别提醒：①解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边。
②在解直角三角形的问题中,除直角外,还需知道其他两个条件,而且至少有一个条件是关于边的。
这是由直角三角形的边角关系决定的。
2、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型有两种:(1)已知两边(两条直角边或一条直角边和斜边)(2)已知一边和一角(角必须为两锐角之一)特别提醒：(1)在求解直角三角形的有关问题时,要画出图形帮助分析解决问题。
(2)在解直角三角形时,正确选择关系式是关键:①若求边:一般用未知边比已知边,去寻找已知角的某一个三角函数；②若求角:一般用已知边比未知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。
选择关系式常遵循以下原则:一是选择可以直接应用原始数据的关系式;二是选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算。
(3)对于含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线的长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长,面积等,解决这类问题,我们常用的解题方法是将非基本量转化为基本量,最终达到解直角三角形的目的。
考法1 非直角三角形问题的解法在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高,对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形。
(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的(3)连接对角线,可以把矩形、菱形和正方形转化为含直三角形的图形考法2“双直角三角形”问题的解法双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形。
北师大版九年级数学下册. 解直角三角形 经典课件
复
1.两锐角之间的关系:
B
习 A+B=900
回
2.三边之间的关系:
a
c
顾 a2+b2=c2
Cb
A
正弦函数：
sin
A
A 的对边 斜边
3.边角之间 余弦函数：的Fra bibliotek系cos
A
A 的邻边 斜边
正切函数：
tan
A
A 的对边 A 的邻边
学习目标
• 1·学会解直角三角形的方法，了解直角三角形 的6个元素。
等于(D )
(A) 3sin 40°(B)3sin 50°
(C)3tan 40°
(D)3tan 50°
2.(2016南平市延平区一模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂
直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos ∠BDC=3 ,则BC的长是(A )
5
(A)4 cm
(B)6 cm (C)8 cm
A 65 . sin B b ， b 30， c
c b 30 71. sin B sin 25
tan B b ， b 30， a
a b 30 64. tan B tan 25
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a= 15 ,b= 5 ,求这个三角形的其它元素.
解 R △ A ： t 中 B a 2 b 2 在 C c ， 2 , a 1 , b 5 5 , c 2 5
在Rt△AB中 Cs， inBb 5 1, c 25 2
B30，A60.
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九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理
九年级数学下册《解直角三角形》知识
点整理
第九章
解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆
内容提要☆
一、三角函数
．定义：在Rt△AB中，∠=Rt∠，则sinA=
;sA=
;tanA=
;
2．
特殊角的三角函数值：
30°
4°
60°
sinα
sα
tanα
3．
互余两角的三角函数关系：sin=sα;…
4．
三角函数值随角度变化的关系
．查三角函数表
二、解直角三角形
．
定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
2．
依据：①边的关系：初中数学复习提纲
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
．
初中数学复习提纲俯、仰角：
2．方位角、象限角：3．坡度：
4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例（略）。
数学北师大版九年级下册解直角三角型
3.A,B两点之间的距离指线段（AB的长），
A,B两点之间的水平距离指线段（AC的长）
4.BC=BD-CD=BD-(
AE )
5.在Rt△ABC中，线段AC,线段BC与仰
角∠BAC 之间的关系？
30°
3500m
你想到了什么
1600m
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠BAC= 30°,对边BC=1900,求邻边AC的 长？
Ａ
Ｃ
填一填 记一记
角α
三角函数 sinα
30°
45°
60°
cosα
tanα
1 2
3 2
2
2
3 2
2
2
1 2
3
3
1
3
1、什么是仰角？什么是俯角？
2、学生用解直角三角形的知识解决实际问题．
合作探究
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做
仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 俯角.
视线
4.如图所示，某同学站在距离圣诞树3米的位 置C处，已知他的目高CD为1.4米。若他测 得树顶的仰角30°，求该圣诞树的高度． （ 结果保留根号）
下课了!
结束寄语
• 悟性的高低取决于有无悟“心”,其 实,人与人的差别就在于你是否去思 考,去发现,去总结.
归纳
1.在解决解直角三角形应用的过程中，我们 要理解已知与问题，学会标图，把实际问 题转化为数学问题。 2.通过标图我们要知道已知与问题存在什么 关系？ B
C
A
自主探究
类型一 如图４－17， 在离上海东方明珠塔底部
1 000 m 的A 处， 用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为
30°， 仪器距地面高AE 为1.7 m． 求上海东方明珠 塔的高度BD（结果保留根号 ）.
北师大版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用一知识讲解【学习目标】1.了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2 .会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题.【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ ABC中，/C=90° ,匕A ZB、/ C所对的边分别为a、b、c,则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.②锐角之间的关系：/A+Z B=90° .③边角之间的关系：a I）asi n 4 二一，co$ 4 二一，讪刃二一，bc 匕b a b,-，、广,I -.c c a④一一白& ——ck , h为斜边上的［Wj .2 2要点诠释：（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90° ），是已知值.（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解^要点诠释：1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算^2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键^解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解^拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母Q表示.. ,k 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离J的比叫做坡度，用字母i表示，贝Ijz-y=tana，如图, 坡度通常写成i=h: J的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.90°的水平角，叫做方向角，如图②中的 南偏东45° ,南偏西80° ,北偏西60° . 45° ,西南方向指的是南偏西45° ,西使其转化为直角三角形或矩形(3) 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方 向PA PB, PC 的方位角分别为是 40° , 135° , 245° .(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于目标方向线 OA OB, OC OD 的方向角分别表示北偏东 30° , 特别如：东南方向指的是南偏东 45 ,东北方向指的是北偏东 北方向指的是北偏西 45° . 要点诠释：1 .解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最 好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线， 来解.3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意 (关键弄清其中名词术语的意义 )，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解.①【典型例题】类型一、解直角三角形C1.在Rt △ ABC中，ZB 90° , a、b、c分别是/ A Z 8 / C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形.（1）Z B=60° , a = 4;（2）a = 1, b =焰.【答案与解析】（1）Z A= 90 ° —Z B= 90° —60 ° = 30° .b由tan B =一知，b = a|_tan B =4 Ktan60 = 4\/3., a 站 a 4由cos B =—知，c = -------= -------- 7 = 8 -c cosB cos60b（2）由tanB=—=龙得Z B= 60 , Z A= 90 -60 = 30 .aa2+b2=c2, •• c = Ja2 +b2 =V4 = 2.【总结升华】解直角三角形的两种类型是：（1）已知两边；（2）已知一锐角和一边.解题关键是正确选择边角关系.常用口诀：有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦（斜边）用切（正切）.（1）首先用两锐角互余求锐角Z A,再利用/ B的正切、余弦求b、c的值；（2）首先用正切求出/ B 的值，再求/ A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.举一反三：【变式】（1）已知Z C=90° , a=2j? , b=2，求Z A、Z B和c; （2）已知sinA= - , c=6 ，求a 和b;3【答案】（1）c=4; Z A=60°、Z B=30° ;（2） a=4; b= 2^52. （2015?湖北）如图，AD 是^ ABC 的中线，tanB=』，cosC=^ , AC=J^.求：3 2(1)BC的长；(2)sin / ADC 的值.【答案与解析】解：过点A作AE ± BC于点E,cosC^^—,2... / C=45 °,在Rt△ ACE 中，CE=AC?cosC=1,AE=CE=1 ,在Rt△ ABE 中，tanB=Jl,即焚=1,3 BE 3••• BE=3AE=3 ,••• BC=BE+CE=4 ;(2) AD 是^ABC 的中线,••• CD=』BC=2 ,2••• DE=CD - CE=1 ,. AE±BC, DE=AE ,•••Z ADC=45 °,•••sin / ADC=也2【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用. 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3.（2016?盐城）已知△ ABC中，tanB=Z, BC=6 ,过点A作BC边上的高，垂足为点D,且满足3BD : CD=2 : 1,则^ ABC面积的所有可能值为 .【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得. 【答案】8或24.【解析】解：如图1所示：图1. • BC=6 , BD : CD=2 : 1 ,BD=4 ,-■ AD ± BC , tanB=—,3.AD_2—=,则AD于E,如图,BD 39 只. . AD=^BD= 一 ,3 3. oIs — 1 8… --S AABC ==BC?AD= = X 6X k =8;223'= -BD 3—9 一 - AD= —BD=8 ,3••• S AABC =【BC?AD=【X 6x 8=24 ;2 2综上，△ ABC 面积的所有可能值为 8或24, 故答案为8或24.【总结升华】 本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本 题的关键. 举一反三：【变式】（2015?河南模拟）如图，在等腰 RtAABC 中，/ C=90°,AC=6 ,D 是AC 上一点，若tanZ DBA=」,5•••/ C=90 °, AC=BC=6 ,ACB 为等腰直角三角形，AB^2AC=^2,•.•Z A=45 °,在Rt △ ADE 中，设AE=x，贝U DE=x , AD=姬乂,在Rt△ BED 中，tanZ DBE=^=±,BE 5BE=5x ,•••x+5x=6 如，解得x=J云. . AD=V^ >V2 =2.(2)在 Rt △ DEC 中,七却"=近=如,EC 3ZC类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用 C 4 .某过街大桥的截面图为梯形，如图所示，其中大桥斜面CD 的坡度为i =1： J 3 （i = 1: J 3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），CD 的长为10 m,大桥另一斜面 AB 的坡角/ ABCC= 45° .（1） 写出过街大桥斜面 AB 的坡度； （2） 求DE 的长；（3） 若决定对该过街大桥进行改建，使 AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30° ,方便过路群众，改建后斜面为 AF,试计算此改建需占路面的宽度 FB 的长（结果精确到.0.01 m ）.【答案与解析】(1)作 A(^ BC 于 G Dd BC 于 E, 在 Rt △ AGB 中，Z AB 孚 45° , A8 BG........ AG••- AB 的坡度「=—兰=1 .BG=30 .又.. CD = 10 m . ... DE=1CD=5m 2 '(3) 由(1)知 A8 B8 5 m,在 Rt△ AFG 中，Z AF 孚 30° ,AG .35 -tan NAFG =常，即，解得 FB =5店—5 =3.66（m ）.答：改建后需占路面的宽度 FB 的长约为3.66 m .【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解.（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值.e/ 5 .腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C,利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30° ,底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D,利用三角板测得A点的俯角为60° （如图所示）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度.（结果精确到0.1米，参考数据扼=1.73）精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案与解析】 过点C 作CN AB 于E./ 4 90° — 60° = 30° , / AC 孚 90° — 30° = 60° , Z CA 孚 180° - 30° - 60°=90° .. • CD = 10,AC = 1Ct> 5. 2在 Rt △ ACE 中， 5 AE= AC • sin Z ACE 5 x sin 30 =—, 2CA AC • cos Z ACE 5 x cos 30 ° = 5 构，2 在 Rt△ BCE 中，.• / BCE 45° ,AB = AE+BE=5+：X /3=5（V3 + 1）-6.8（米）.雕塑AB 的高度约为6.8米.【总结升华】 此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角） 过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊.B。
北师大版初三数学解直角三角形重点讲解
北师大版初三数学解直角三角形重点讲解概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，ang;C=90deg;，ang;A，ang;B，ang;C 所对的边分别为a，b，c，（1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：ang;A+ang;B=90deg;；（3）边角之间的关系：解直角三角形的函数值：锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若ang;A+ang;B=90deg;，那么sinA=cosB或sinB=cosA （2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角ang;A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
解直角三角形的应用：一般步骤是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）还原为实际问题的答案。
练习题1、三角形ABC中，ang;C=90deg;，AB=8，则AC的长是（）。
2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为（）。
3、锐角三角形ABC中，AB=AC=10，BC=16，则（）。
4、正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的Dprime;处，那么ang;BADprime;= （）。
答案1、63、1∶27、0.759、30度初三数学解直角三角形重点内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
不能
两角
总结：在直角三角形的6个元素(即3条边和3个锐角)中，直角是已知元素，如
果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来.
说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，
按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
=
，则
=
．
( )
+( )
=
，
．
课堂总结
解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知
元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
的元素吗？
若已知一直角边a和一锐角A：①∠B=90 °-∠ A；
②c=
a
a
; ③b
.
sin A
tan A
若已知斜边c和一个锐角A：①∠B=90°-∠ A；
②a=c·sin A ;
③b=c·cos A.
例2.在Rt△ABC中，∠C=90°
，∠A，∠B，∠C所对的边分别为 a，b，
c，且b=30，∠B=25°
与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 BC为（ A ）
A.3sina米
B.3cosa米
C.
米
D.
米
3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整
理
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
．定义：在Rt△ABc中，∠c=Rt∠，则sinA=;cosA=;tanA=;
．特殊角的三角函数值：
0°
°
0°
sinαcosαtanα3．互余两角的三角函数关系：sin=cos α;…
．三角函数值随角度变化的关系
．查三角函数表
二、解直角三角形
．定义：已知边和角→所有未知的边和角。
．依据：①边的关系：初中数学复习提纲
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
．初中数学复习提纲俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：
．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例。
北师大版2020九年级数学《三角函数及解直角三角形》知识点总结
【文库独家】复习《三角函数及解直角三角形》在是三角形ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作ｓｉｎＡ。
（２）锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作ｃｏｓＡ。
（３）锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作ｔａｎＡ。
（４）锐角Ａ的邻边与对边的比叫做∠Ａ的余切，记作ｃｏｔＡ。
锐角Ａ的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠Ａ的三角函数。
注意：（１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１α为锐角，即同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１；（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１α为锐角，即同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；（３）商的关系：ｔａｎα＝，ｃｏｔα＝，α为锐角，即同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。
注意：（１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：︳ｓｉｎＡ︳＝１－︳ｃｏｓ²Ａ︳，︳ｃｏｓＡ︳＝１－ｓｉｎ²Ａ；（２）ｓｉｎ²α是（ｓｉｎα）²的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ²α写成ｓｉｎα²，前者是α的正弦值的平方，后者表示α²的正弦值。
特殊角有０°、３０°、４５°、６０°、９０°，它们的三角函数值如下表：注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：０°、３０°、４５°、６０°、９０°的正弦值分别是它们的余弦值分别是３０°、４５°、６０°的正切值分别是它们的余切值分别是若∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°则ｓｉｎＡ＝ｃｏｓ（９０°－Ａ）＝ｃｏｓＢ任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值ｃｏｓＡ＝ｓｉｎ（９０°－Ａ）＝ｓｉｎＢ任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值ｔａｎＡ＝ｃｏｔ（９０°－Ａ）＝ｃｏｔＢ任意锐角的正切值等于它的余角的余切值ｃｏｔＡ＝ｔａｎ（９０°－Ａ）＝ｔａｎＢ任意锐角的余切值等于它的余角的正切值用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。
第18讲 锐角三角函数与解直角三角形
.
[变式2]如图所示,在由边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经
过点C和点D,则tan∠ADC=
.
考点二
特殊角的三角函数值
[例2] (2022燕山一模)计算:
3tan 30°-tan245°+2sin 60°.
2
解:3tan 30°-tan 45°+2sin 60°
第18讲
知识点一
锐角三角函数与解直角三角形
锐角三角函数的概念
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b
正弦
余弦
正切
∠的对边
sin A=
斜边
∠的邻边
cos A=
斜边
∠的对边
tan A=
∠的邻边
=
=
=
知识点二
特殊角的三角函数值
三角
函数
sin α
30°
45°
在 Rt△BCD 中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=90 米,
∴BD=CD·cos 37°≈90×0.80=72(米).
在 Rt△ABD 中,∠A=37°,BD≈72 米,∴AB=
°
答:A,B 两点间的距离约 96 米.
≈
=96(米).
.
[变式7](2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人
位于 B 的北偏西 45°方向,则从 B 到达 C 需要多少小时?
解:如图所示,过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.由题意,得 AE∥CD,BF∥CD,
∴∠ACD=∠CAE=60°,∠BCD=∠CBF=45°.
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第18讲解直角三角形
一、知识清单梳理
知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例
1.锐角三角函数正弦: sin A＝
∠A的对边
斜边
＝
a
c
余弦: cos A＝
∠A的邻边
斜边
＝
b
c
正切: tan A＝
∠A的对边
∠A的邻边
＝
a
b.
根据定义求三角函数值时，一定
根据题目图形来理解，严格按照
三角函数的定义求解，有时需要
通过辅助线来构造直角三角形.
2.特殊角的三角函数值
度
数
三角函数
30°45°60°
sinA 1
2
2
2
3
2
cosA 3
2
2
2
1
2
tanA 3
3
1 3
知识点二：解直角三角形
3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边
和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所
有未知元素的过程叫做解直角三角形．
科学选择解直角三角形的方法
口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很
方便；
已知直边求直边，理所当然用正
切；
已知两边求一边，勾股定理最方
便；
已知两边求一角，函数关系要记
牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能
少；
已知直边求斜边，用除还需正余
弦.
例：在Rt△ABC中，已知
a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.
4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=
a
c，cos
A＝sinB=
b
c，tan A＝
a
b.
知识点三：解直角三角形的应用。