信息量和熵
信息论与编码理论习题答案
信息论与编码理论习题答案LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】第二章 信息量和熵八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。
解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2⨯8log =2⨯3=6 bit因此，信息速率为 6⨯1000=6000 bit/s掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。
问各得到多少信息量。
解：(1) 可能的组合为 {1，6},{2，5},{3，4},{4，3},{5，2},{6，1})(a p =366=61得到的信息量 =)(1loga p =6log = bit (2) 可能的唯一，为 {6，6})(b p =361得到的信息量=)(1logb p =36log = bit 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) )(a p =!521信息量=)(1loga p =!52log = bit (b) ⎩⎨⎧⋯⋯⋯⋯花色任选种点数任意排列13413!13)(b p =1352134!13A ⨯=1352134C 信息量=1313524log log -C = bit 随机掷3颗骰子，X 表示第一颗骰子的结果，Y 表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z 表示3颗骰子的点数之和，试求)|(Y Z H 、)|(Y X H 、),|(Y X Z H 、)|,(Y Z X H 、)|(X Z H 。
解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为321,,x x x ，1x ，2x ，3x 相互独立，则1x X =，21x x Y +=，321x x x Z ++=)|(Y Z H =)(3x H =log 6= bit )|(X Z H =)(32x x H +=)(Y H=2⨯(361log 36+362log 18+363log 12+364log 9+365log 536)+366log 6= bit )|(Y X H =)(X H -);(Y X I =)(X H -[)(Y H -)|(X Y H ]而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H = 2)(X H -)(Y H = bit或)|(Y X H =)(XY H -)(Y H =)(X H +)|(X Y H -)(Y H 而)|(X Y H =)(X H ，所以)|(Y X H =2)(X H -)(Y H = bit),|(Y X Z H =)|(Y Z H =)(X H = bit )|,(Y Z X H =)|(Y X H +)|(XY Z H =+= bit设一个系统传送10个数字，0，1，…，9。
信息量，信息熵
信息量，信息熵1. 信息量的多与少任何事都会承载⼀定的信息量，包括已发⽣和未发⽣的事，只是它们承载的信息量有所不同。
如昨天下⾬这个已知事件，因为已经发⽣，你我都知道这件事，故它的信息量为0。
但明天会下⾬这件事，因为未发⽣，所以这事的信息量就⼤。
从上⾯例⼦可以看出信息量是⼀个与事件发⽣概率相关的概念，⼀条信息的信息量跟这个信息能解答的问题的不确定性有关。
⼀条信息能解答的问题越不确定，那它包含的信息量就越⼤。
如猜⼀个骰⼦最后向上的那⾯是多少点的游戏，这个游戏可能的情况有6种，但是猜32⽀球队中谁获得世界杯冠军的游戏则有32种可能。
所以“哪⽀球队最终获得世界杯冠军”的信息量⽐“骰⼦最后向上那⾯是多少点”的信息量⼤，因为前者是从32种可能中确定答案，⽽后者是从6种可能中确定答案。
2. 信息量的计算假设我错过了某年世界杯⽐赛，现在要去问⼀个知道⽐赛结果的朋友“哪⽀球队最终获得世界杯冠军”？他要求我猜，猜完会告诉我是对还是错，但我每猜⼀次就要给他⼀块钱。
那么我需要付给他多少钱才能知道谁是冠军？解：我可以把球队编号，从1到32，然后问“冠军的球队在1-16号中吗？”。
假如他告诉我对了，我就问“冠军的球队在1-8号中吗？”。
如果他告诉我不对，我就⾃然就知道冠军队在9-16号中。
这样我只需要猜5次就可以知道哪⽀球队是冠军了（思路类似于折半查找）所以，“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量只值5块钱。
⾹农⽤“⽐特”（bit）来作为信息量的单位。
像上边“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量是5⽐特。
如果是64⽀球队，“谁是世界杯冠军”这个问题的答案的信息量就是6⽐特，因为要多猜⼀次。
对⾜球了解的朋友看到这有疑问了，他觉得他不需要5次来猜。
因为他知道巴西，西班⽛，德国等这些强队夺冠的可能性⽐⽇本，韩国等球队⼤的多。
所以他可以先把强队分成⼀组，剩下的其它队伍⼀组。
然后问冠军是否在夺冠热门组⾥边。
重复这样的过程，根据夺冠的概率对剩下的候选球队分组，直⾄找到冠军队，这样也许三次或四次就猜出结果了。
信息论举例讲解信息量熵及互信息量
计算机科学领域的应用
数据压缩
计算机科学中的数据压缩技术同样基于信息论的原理，通 过去除数据中的冗余信息，实现数据的压缩存储和传输。
加密与安全
信息论在密码学和安全领域也有广泛应用，如利用信息论中的 混淆和扩散原则设计加密算法，保护信息的机密性和完整性。
机器学习
在机器学习中，信息论用于特征选择、模型评估等方面。例如 ，利用互信息来衡量特征与目标变量之间的相关性，从而进行
熵的性质
非负性
熵的值总是非负的，表示系统的不确定性或混乱程度不可能为负值。
可加性
对于相互独立的事件或系统，其熵的和等于各事件或系统熵的和， 表示不确定性或混乱程度可以叠加计算。
最大值性
当系统中各个事件发生的概率相等时，该系统的熵达到最大值，表 示此时系统的不确定性或混乱程度最高。
熵的计算举例
二进制信源熵的计算
举例1
对于离散随机变量 X 和 Y，其联合概率分布为 p(x,y)=[0.1, 0.2, 0.3, 0.4]，边缘概率分布为 p(x)=[0.3, 0.7] 和 p(y)=[0.5, 0.5]。根据互信息量的定义公式，可以计算出 I(X;Y)=0.1979。
举例2
对于连续随机变量 X 和 Y，其联合概率密度函数为 f(x,y)，边缘概率密度函数为 fX(x) 和 fY(y)。可以通过 数值积分的方法计算出互信息量。例如，对于正态分布 N(0,1) 和 N(0,2) 的随机变量 X 和 Y，其互信息量 为 I(X;Y)=0.5×log2≈0.3466。
要点一
目的
通过举例讲解信息量、熵和互信息量的概念，使读者更好 地理解和掌握这些概念。
要点二
意义
信息量、熵和互信息量是信息论中的基本概念，对于理解 和应用信息论具有重要意义。通过本次讲解，读者可以更 加深入地了解这些概念，并能够在实际问题中加以应用。 同时，这些概念在其他领域也有广泛的应用，如计算机科 学、控制论、统计学等，因此本次讲解也有助于读者在其 他领域中更好地应用信息论的知识。
信息论举例讲解信息量熵及互信息量讲课文档
(2)非负性：H(X)≥0； (3)确定性:若离散事件是确定事件,则H(X)＝0
（4）极值性——最大离散熵定理:设|X|为信 源消息的个数,则有H(X)小于等于log|X|，等 号当且仅当信源X中各消息等概率时成立，即 各消息等概率分布时( p=1/|X|),信源熵最大.
现在十二页，总共二十六页。
条件自信息量
前面我们引入自信息量以及熵的概念，用 以描述信源或信宿，事实上，信宿收到的消息 是与信源发出的消息密切相关。并且接受信息 与发送信息之间的关系往往是判定一个信道的 好坏的最佳标准。所以，我们需要引入互信息 量。在学习互信息量之前我们先来了解条件信 息量的概念。
单位为比特
[解法二]直接计算得：
信源消息
码字
消息后验概率 先验概率
收到0后 收到01后 收到011后
x0
000
1/4
1/3
0
0
x1
001
1/4
1/3
0
0
X2
010
1/8
1/6
1/2
0
X3
011
1/8
1/6
1/2
1
X4
100
1/16
0
0
0
X5
101
1/16
0
0
0
X6
110
1/16
0
0
0
x7
111
1/16
上述两条性质与我们实际情况非常 吻合.
现在十八页，总共二十六页。
计算互信息量的例子
例5 设信源中含有8个消息，其先验概率如下图, 试求当我们收到011所能获取到的信息量,即计算互 信息量I(x3;011).
《信息论与编码理论》(王育民李晖梁传甲)课后习题问题详解高等教育出版社
信息论与编码理论习题解第二章-信息量和熵2.1解: 平均每个符号长为:1544.0312.032=⨯+⨯秒 每个符号的熵为9183.03log 3123log 32=⨯+⨯比特/符号所以信息速率为444.34159183.0=⨯比特/秒2.2 解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,每个码字的信息量为 3*2=6 比特； 所以信息速率为600010006=⨯比特/秒2.3 解:(a)一对骰子总点数为7的概率是366 所以得到的信息量为 585.2)366(log 2= 比特 (b) 一对骰子总点数为12的概率是361 所以得到的信息量为 17.5361log 2= 比特 2.4 解: (a)任一特定排列的概率为!521,所以给出的信息量为 58.225!521log 2=- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为13521313521344!13C A =⨯所以得到的信息量为 21.134log 1313522=C 比特.2.5 解:易证每次出现i 点的概率为21i,所以比特比特比特比特比特比特比特398.221log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21log )(2612=-==============-==∑=i i X H x I x I x I x I x I x I i ii x I i2.6 解: 可能有的排列总数为27720!5!4!3!12= 没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y图中X 表示白杨或白桦，它有⎪⎪⎭⎫⎝⎛37种排法，Y 表示梧桐树可以栽种的位置，它有⎪⎪⎭⎫⎝⎛58种排法，所以共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛58*⎪⎪⎭⎫⎝⎛37=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻，因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为1960log 27720log 22-=3.822 比特 2.7 解: X=0表示未录取，X=1表示录取； Y=0表示本市，Y=1表示外地；Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得比特比特比特)01(log )01()0()00(log )00()0()(8113.04log 4134log 43)()(02698.04110435log 104354310469log 10469)1()01(log )01()0()00(log )00()0;(104352513/41)522121()0(/)1())11()1,10()10()1,00(()01(104692513/43)104109101()0(/)0())01()0,10()00()0,00(()00()(4512.04185log 854383log 83)1()01(log )01()0()00(log )00()0;(8551/4121)0(/)1()10()01(8351/43101)0(/)0()00()00()(,251225131)1(,2513100405451)10()1()00()0()0(,54511)1(,51101432141)10()1()00()0()0(,41)1(,43)0(222222222222+=====+=======+==+======+========⨯⨯+========+=========⨯⨯+========+=========+======+========⨯=========⨯=========-===⨯+====+======-===⨯+⨯====+=========x y p x y p x p x y p x y p x p X Y H X H c x p z x p z x p x p z x p z x p z X I z p x p x y p x y z p x y p x y z p z x p z p x p x y p x y z p x y p x y z p z x p b x p y x p y x p x p y x p y x p y X I y p x p x y p y x p y p x p x y p y x p a z p y z p y p y z p y p z p y p x y p x p x y p x p y p x p x p2.8 解:令{}{}R F T Y B A X ,,,,==，则比特得令同理03645.0)()(5.0,02.03.0)2.05.0(log 2.0)()2.05.0(log )2.05.0()2.03.0(log )2.03.0(5.0log 5.03.0log 3.0)5log )1(2.02log )1(5.0log )1(3.05log 2.0log 3.02log 5.0(2.0log 2.0)2.05.0(log )2.05.0()2.03.0(log )2.03.0()()();()(2.0)(,2.05.0)(2.03.0)1(3.05.0)()()()()(5.0max 2'2222223102231022222==∴==+-=---++-+=-+-+-+++-----++-=-===-=+=-⨯+=+==p p I p I p pp p I p p p p p p p p p p p p p p X Y H Y H Y X I p I R P p F P pp p B P B T P A P A T P T P2.9 & 2.12解:令X=X 1,Y=X 1+X 2,Z=X 1+X 2+X 3, H(X 1)=H(X 2)=H(X 3)= 6log 2 比特 H(X)= H(X 1) = 6log 2 =2.585比特 H(Y)= H(X 2+X 3)=6log 61)536log 365436log 364336log 363236log 36236log 361(2222222+++++ = 3.2744比特 H(Z)= H(X 1+X 2+X 3)=)27216log 2162725216log 2162521216log 2162115216log 2161510216log 216106216log 21663216log 2163216log 2161(222222222++++++= 3.5993比特 所以H(Z/Y)= H(X 3)= 2.585 比特 H(Z/X) = H(X 2+X 3)= 3.2744比特 H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X) = 2.585-3.2744+2.585 =1.8955比特H(Z/XY)=H(Z/Y)= 2.585比特 H(XZ/Y)=H(X/Y)+H(Z/XY) =1.8955+2.585 =4.4805比特 I(Y;Z)=H(Z)-H(Z/Y) =H(Z)- H(X 3)= 3.5993-2.585 =1.0143比特 I(X;Z)=H(Z)-H(Z/X)=3.5993- 3.2744 =0.3249比特 I(XY ;Z)=H(Z)-H(Z/XY) =H(Z)-H(Z/Y)=1.0143比特 I(Y;Z/X)=H(Z/X)-H(Z/XY) = H(X 2+X 3)-H(X 3) =3.2744-2.585 =0.6894比特 I(X;Z/Y)=H(Z/Y)-H(Z/XY) =H(Z/Y)-H(Z/Y) =02.10 解:设系统输出10个数字X 等概,接收数字为Y,显然101)(101)()()(919===∑∑==i j p i j p i Q j w i iH(Y)=log10比特奇奇奇奇偶18log 81101452log 211015)(log)()()(log )()(0)(log ),()(log ),()(22,2222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--=--=∑∑∑∑∑∑∑≠====x y p x y p x p x x p x x p x p x y p y x p x y p y x p X Y H x y x i y x y x所以I(X;Y)= 3219.2110log 2=-比特2.11 解:（a ）接收前一个数字为0的概率 2180)0()()0(==∑=i i i u p u q wbits p pw u p u I )1(log 11log )0()0(log )0;(2212121-+=-==（b ）同理 418)00()()00(==∑=ii iu p u q wbits p p w u p u I )1(log 22)1(log )00()00(log )00;(24122121-+=-== （c ）同理 818)000()()000(==∑=ii iu p u q wbits p p w u p u I )1(log 33)1(log )000()000(log )000;(28132121-+=-== （d ）同理 ))1(6)1(()0000()()0000(4226818p p p p u p u q w ii i+-+-==∑=bitsp p p p p p p p p p w u p u I 42264242268142121)1(6)1()1(8log ))1(6)1(()1(log )0000()0000(log )0000;(+-+--=+-+--==2.12 解:见2.9 2.13 解: (b))/()/()/(1log)()/(1log)()/()/(1log)()/(1log)()/(XY Z H X Y H xy z p xyz p x y p xyz p xy z p x y p xyz p x yz p xyz p X YZ H x y z xyzxyzxyz+=+===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑(c))/()/(1log)/()()/(1log)/()()/(X Z H x z p xy z p xy p xy z p xy z p xy p XY Z H xyzxyz=≤=∑∑∑∑∑∑（由第二基本不等式） 或)1)/()/((log )/()()/()/(log)/()()/(1log)/()()/(1log)/()()/()/(=-⨯≤=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑xy z p x z p e xy z p xy p xy z p x z p xy z p xy p x z p xy z p xy p xy z p xy z p xy p X Z H XY Z H xyzxyzxyzxyz（由第一基本不等式）所以)/()/(X Z H XY Z H ≤(a))/()/()/()/()/(X YZ H XY Z H X Y H X Z H X Y H =+≥+等号成立的条件为)/()/(x z p xy z p =,对所有Z z Y y X x ∈∈∈,,,即在给定X 条件下Y 与Z 相互独立。
信息熵越大
信息熵越大我们说换位思考是成功者的必备品质之一，但是，换位一定要完整地换位，也就是不能在一个思考过程中，前面部分的主语是你，后面部分的主语又变成了他。
用一句简单的话来总结——不能搞精神分裂，否则你得到的只是精神病似的混乱，离成功越来越远。
——坤鹏论在坤鹏论看来，许多人对于信息熵的不理解，主要是因为：第一，概率，概率是信息熵的核心，偏偏大多数人不懂、不理解概率。
第二，有数学公式，尽管只是中学时学的数学公式，但我们早把它们还给了老师。
第三，概率和信息熵是反比关系，概率越高，信息熵越低；概率越低，信息熵越高，理解它需要在脑子里面先转个弯。
第四，讨论信息熵的人多、文章更多，但是人们理解的层次不同，于是正错纠缠，让人难以分辨。
今天和明天，坤鹏论根据自身学习过程中的从疑惑到解惑，讲几个信息熵学习中最常见的迷惑。
今天先讲最经典的——到底是信息熵越大，信息量越多？还是信息熵越大，信息量越少？很多人很难理解的是——信息熵越大，信息量越多。
坤鹏论发现，网上对此有相当多的错误说法。
今天就来细细掰饬一下它。
理解了它，对信息熵的科普级学习也基本算是圆满了。
第一，信息、信息熵、信息量都是针对接收者而言。
有个词叫：立场坚定。
坤鹏论觉得“立场”这个词很好，我们在分析问题，看待事物时，一定要分清立场，也就是你此时此刻是站立在谁的位置上的。
我们经常犯晕乎，或者是被别人说晕乎，其中关键之一就是其中掺杂了立场变化，我们却没有意识到。
这就是《官场现形记》中的那句名言：见人说人话，见鬼说鬼话，见了官场说官场上的话，见了生意人说生意场中的话。
这就是讲话者的立场不断随着他的谈话对象而改变，见风使舵，左右逢源，应变能力极强。
但是，要相信的是，人只要一开口，背后都带着利益诉求。
所以，看待事物以及听别人对它的评论，一定要先找到主语（立场）是谁。
这很重要，就像坤鹏论之前所说的，看评论听建议，一定多长个心眼，要思考判断如果实施下来，谁是最大受益者，这样才能透过语言的迷雾看透背后的利益纠葛，最大限度保你不会“被别人卖，还替人家数钱”。
二章信息量和熵
pK
)
熵的性质－可加性
HM ( p1q11, p1q21,..., p1qm11, p2q12 , p2q22 ,...,
p2qm2 2 ,..., pK q1K , pK q2K ,..., pK qmK K )
K
HK ( p1, p2 ,..., pK ) pk Hmk (q1k , q2k ,..., qmkk ) k 1
1/2 1/2
收到0
1-p p
1-p 0
p
p
1 1-p
收到01
1/2 1/2
收到011
1-p p
0
1
非平均互信息量
I (xk ; y j ) f (q(xk ), p(xk | y j ))
I (xk ; y j ) I (xk ; y j1) I (xk ; y j2 | y j1) I (xk ; y j3 | y j1 y j2 )
if p(xk | y j ) 1
I (xk ;
yj)
log
p(xk | y j ) q(xk )
log
1 q( xk
)
log
q( xk
)
定义：给定集合｛X, q(xk)｝,事件xk∈X的 自信息量定义为：
I
( xk
)
log
1 q( xk
)
log
q( xk
)
非平均自信息的性质
非负性 体现先验不确定性大小
几点说明： （1）I(xk; yj)=loga(rkj/(qkwj))。因此有对称性：
I(xk; yj)=I(yj; xk)。 （2）当rkj=qkwj时I(xk; yj)=0。（当两个事件相互独
立时，互信息量为0）。 （3）当rkj>qkwj时I(xk; yj)>0，当rkj<qkwj时I(xk; yj)<0。
信息为什么还有单位，熵为什么用log来计算？
信息为什么还有单位，熵为什么用log来计算？前言学习观10里大家一定会有不少疑惑，其中之一就是那些信息到底是怎么计算出来的。
在该视频中得以解答。
不过最少还仍然有两个问题：•为什么网上有那么多说”熵是描述混乱或无序的？•为什么做题消耗了那么多能量，小明最后只获得了2 bits 的信息?第一个问题：牵扯到热力学熵的一种应用，然而不管考虑的是不是热力学熵，这种描述都是非常具有误导性的。
因为热力学熵就是信息熵的特例，如果不能想明白二者的关系，意味着还没搞明白。
接下来的视频会详细解释。
题外话，很多人会觉得这个概念非常难的原因是因为它们反常识，违背你日常生活经验所构建出的模型。
多数人都会根据自己已有的经验进行判断，从而产生抵触。
但是不要认为自己很笨，因为信息和热力学熵的关系困扰科学家们都足足一百年之久。
第二个问题：牵扯到信息与知识的关系。
是最主要想讲的内容。
视频正文01—“不科学啊”上个视频学习了如何定性的判断什么是熵和信息，其中有个例子：当小明不知道选择题是 ABCD 哪个选项时：•小红告小明“D 选项是错的”，提供了 0.415 bits 的信息•再告诉小明“A选项是错的”，提供了 0.585 bits 的信息•再告诉小明“B选项是错的”，提供了 1 bit 的信息可明明每次都是告诉他一个错误选项，为什么三次提供给小明的信息量却都不相同？信息量到底是怎么计算的？信息为什么还有单位？02—“以此类推”回想一下，什么东西有单位？质量，温度等物理量。
没错，信息也是一个物理量。
要测量这个物理量，不妨回想一下我们是怎么测量质量的，“千克”最初又是怎么被定义出来的？其实最初我们并不知道千克的质量，而是选择了一个参照物，把这个物体的质量就称为千克。
当想要测量其他物体的质量时，就看这个物体的质量相当于多少个参照物体的质量。
这里的”多少个“便是千克。
如果换另一个参照物体，那么单位就会变化，比如斤。
测量信息是也是一样，既然信息消除的是不确定性，那么就选择另一个事件的不确定性作为参照事件。
第二章 信息量和熵
第二章信息量和熵一、离散变量的非平均信息量1、离散变量的非平均自信息量集合{X；p(x)}中某个事件x的自信息量定义为：=—log p(x) ——表达式是唯一的；I（x）=log1()p x其中，p(x)为事件x发生的概率。
含义：完全确定事件x所必需的信息量；事件x中固有（包含）的信息量；事件x出现的先验不确定性大小。
2、联合概率事件的非平均自信息量联合空间{XY，p(xy)}中任一事件xy，x∈X和y∈Y的联合自信息量定义为：I（xy）=—log p(xy)同理：I（xyz）=—log p(xyz) 。
3、离散变量的非平均条件信息量联合空间{XY，p(xy)}中，事件x∈X和y∈Y，事件x在事件y 给定（已知）时的条件信息量定义为：I（x/y）=—log(/)p x y含义：已知y时事件x所具有的不确定性；给定y时事件x中还剩余的信息量；给定y条件下完全确定事件x所必需的信息量。
4、离散事件的非平均互信息量两个离散事件集{X ，p(x)}和{Y ，p(y)}中，事件y ∈Y 的出现给出关于事件x ∈X 的信息量定义为： I （x ；y ）=log(/)()p x y p x 含义：事件x 和y 之间的互信息量；从事件y 中可获得关于事件x 的信息量。
5、离散事件的非平均条件互信息量对于三个离散事件集的联合概率空间{XYZ ，p(xyz )}，给定事件z Z ∈条件下，事件x X ∈和事件y Y ∈之间的条件互信息量定义为：I （x ；y /z ）=log(/)(/)p x yz p x z =log (/)(/)(/)p xy z p x z p y z 注：I （x ；y /z ）应理解为：I{(x ;y )/z}含义：已知事件z 的条件下，从事件y 中可获得关于事件x 的信息量。
6、离散事件非平均信息量的性质 ● 非平均自信息量非负； I （x ）=—log p(x)≥0； I （x/y ）=—log (/)p x y ≥0 。
信息熵和信息量的关系
信息熵和信息量的关系嘿，朋友们，今天我们来聊聊信息熵和信息量。
别担心，不会是枯燥的数学课，我们轻松聊聊，大家也可以从中得到点乐趣。
你知道吗？信息熵这个词听起来就像是高深莫测的黑科技，但其实它跟我们的生活息息相关，就像那杯咖啡，早上没有它我可是没法睁开眼睛的。
信息熵，简单来说，就是衡量信息不确定性的一个概念。
想象一下，你在一个派对上，大家都在聊天，突然有个人走过来，带着一张神秘的纸条。
你一看，哦，原来是今晚的惊喜嘉宾是谁。
你能想象那种兴奋吗？这就是信息量的感觉，越少的人知道的事，越让人感到新鲜和刺激。
反过来，信息熵就像是派对上的气氛，越混乱，大家越不知道接下来会发生什么，嘿，那可真是个谜。
再说说生活中的信息熵。
比如说，早上起床，打开冰箱，发现里面什么都有，也什么都没有。
各种瓶瓶罐罐，看得你眼花缭乱，想要做个早餐，可又不知道先从哪开始。
那就是信息熵高，选择多得让人头疼。
相反，冰箱里如果就剩一瓶酱油和一块豆腐，哎呀，这信息量可是少得可怜，决定晚饭吃啥就简单多了。
你看，信息量多的时候，选择多，但有时候反而让人烦。
人生就像一场博弈，有时候信息多得让人喘不过气，有时候却又觉得无从下手。
还有个有趣的点，信息熵其实跟概率有关。
就像买彩票一样，中奖的概率可小得像针尖上的蚊子。
越多人买彩票，中奖的可能性就越低，信息量就越少。
可是，等你真的中奖了，那份惊喜就像天上掉下来的馅饼，简直让人心花怒放。
相反，如果你天天都中小奖，虽然信息量多，但你也习惯了这种“幸运”。
慢慢地，那种刺激感就会降低，反而觉得无趣。
这就像生活中的小确幸，平平淡淡才是真，有时候反而能更让人开心。
说到这里，你可能会问，怎么把这些抽象的概念用在我们的日常生活里呢？很简单，咱们要学会把生活中的信息熵调低。
比如说，简化你的选择。
每当你打开衣柜，面对满满一柜子的衣服时，不妨试试把衣服分类，挑出你最喜欢的那几件。
哎，少即是多，选择少了，心情自然也会好些。
这就像在书店里，书架上摆满了各种书籍，最后你只会拿起一本你熟悉的，没错，信息量的选择让你失去了热情。
《信息量和熵》课件
信息量和熵的发展趋势和挑战
发展趋势：随着科技的发展，信息量和熵的概念和应用将更加广泛和深入 挑战：如何有效处理和利用大量信息，提高信息处理效率和准确性 挑战：如何应对信息泄露和网络安全问题，保护个人隐私和企业机密 挑战：如何平衡信息量和熵的关系，实现信息资源的合理配置和利用
THANKS
汇报人：PPT
信息增益在机器学习中的应用
信息增益用于特征选择，提高模型泛化能力 信息增益用于决策树构建，提高模型预测准确性 信息增益用于分类和回归问题，提高模型处理复杂数据的能力 信息增益用于优化模型参数，提高模型训练效率
Part Six
信息量和熵的未来 发展
信息量和熵的理论研究前景
信息量和熵在数 据压缩和信息传 输中的应用
信息增益的概念
信息增益：在信息论中，信息增益是指通 过增加信息量来提高信息传输效率的过程。
熵增原理：在热力学中，熵增原理是指在 一个封闭系统中，熵总是增加的。
信息增益与熵增原理的关系：信息增益 可以看作是熵增原理在信息论中的应用， 通过增加信息量来降低系统的熵。
信息增益的应用：信息增益在信息检索、 机器学习等领域有着广泛的应用，如决 策树、随机森林等算法中都使用了信息 增益的概念。
信息量与概率分布有关，概率 越大，信息量越小
信息量与信息熵有关，信息熵 是信息量的期望值
信息量与信息传递有关，信息 量越大，信息传递越困难
信息量的数学定义
信息量公式：I(X) = log(P(X))
信息量：描述一个事件发生 的概率
信息量单位：比特（bit）
信息量与概率的关系：概率 越大，信息量越小；概率越
小，信息量越大
信息量的微观解释
信息量是描述信息不确定性的度量 信息量与概率分布有关，概率越大，信息量越小 信息量与信息熵有关，信息熵是信息量的期望值 信息量与信息增益有关，信息增益是信息量的增加量
编码之统计编码与信息熵
1．统计编码原理──信息量和信息熵根据香农信息论的原理，最佳的数据压缩方法的理论极限是信息熵。
如果要求在编码过程中不丢失信息量，即要求保存信息熵，这种信息保持的编码又叫熵保存编码，或叫熵编码。
熵编码是无失真压缩。
当然在考虑人眼失真不易察觉的生理特性时，有些图像编码不严格要求熵保存，信息允许通过部分损失来换取高的数据压缩比。
这种编码属于有失真数据压缩。
信息是用不确定性的量度定义的，也就是说信息被假设为由一系列的随机变量所代表，它们往往用随机出现的符号来表示。
我们称输出这些符号的源为“信源”。
也就是要进行研究与压缩的对象。
信息量信息量指从N个相等可能事件中选出一个事件所需要的信息度量或含量，也可以说是辨别N个事件中特定事件过程中所需提问“是”或“否”的最小次数。
例如：从64个数（1～64的整数）中选定某一个数（采用折半查找算法），提问：“是否大于32？”，则不论回答是与否，都消去半数的可能事件，如此下去，只要问6次这类问题，就可以从64个数中选定一个数，则所需的信息量是=6（bit）。
我们现在可以换一种方式定义信息量，也就是信息论中信息量的定义。
设从N中选定任一个数X的概率为P(x)，假定任选一个数的概率都相等，即P(x)=1/N，则信息量I(x)可定义为：上式可随对数所用“底”的不同而取不同的值，因而其单位也就不同。
设底取大于1的整数α，考虑一般物理器件的二态性，通常α取2，相应的信息量单位为比特（bit）；当α=e，相应的信息量单位为奈特（Nat）；当α=10，相应的信息量单位为哈特（Hart）。
显然，当随机事件x发生的先验概率P(x)大时，算出的I(x)小，那么这个事件发生的可能性大，不确定性小，事件一旦发生后提供的信息量也少。
必然事件的P(x)等于1，I(x)等于0，所以必然事件的消息报导，不含任何信息量；但是一件人们都没有估计到的事件（P(x)极小），一旦发生后，I(x)大，包含的信息量很大。
熵的统计物理学解释
熵的统计物理学解释熵是一个在物理学和信息论中广泛使用的概念，用以描述系统的无序程度或混乱程度。
在统计物理学中，熵可以通过系统的微观状态的数量来表示。
本文将从统计物理学的角度解释熵的含义和应用。
一、熵的基本概念熵（Entropy）是由鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）于19世纪中叶提出的，是热力学中非常重要的一个概念。
热力学第二定律指出，自然界中的任何一个孤立系统都会自发地朝着无序的状态发展。
熵的具体计算公式为S = k lnW，其中S表示熵，k是玻尔兹曼常数，W是系统的微观状态数量。
熵的单位通常以焦耳/开尔文记作J/K。
二、统计物理学的基础统计物理学研究的是由大量微观粒子组成的系统的宏观性质。
统计物理学提供了熵的微观解释，将系统的熵与微观粒子的状态数或叫微观态数量联系起来。
在统计物理学中，我们能够根据系统的微观状态数来计算熵。
每个微观状态都对应着系统的一个可能的宏观状态。
系统的全部可能的微观状态数就是微观态数量W。
三、熵与宏观状态的关系熵与系统的宏观状态紧密相关。
当系统处于有序状态时，它的熵较低，而当系统处于混乱无序的状态时，它的熵较高。
以一个简单的例子来说明，假设有一个有两个粒子的系统，每个粒子只能处于两个可能的状态：0或1。
当两个粒子都处于相同的状态时，系统处于有序状态，此时系统只有一种微观态，熵为0。
而当两个粒子处于不同的状态时，系统处于无序状态，此时系统有两种微观态：01和10。
系统的熵为1。
当粒子数量增加时，系统的微观状态数急剧增加，熵也随之增加。
四、熵的增加与热力学第二定律根据热力学第二定律，孤立系统的熵不会减少，只能增加或保持不变。
这个概念可以用统计物理学的角度进行解释。
当系统处于有序状态时，微观状态数较少，熵较低。
当系统演化到无序状态时，微观状态数增加，熵增加。
由于孤立系统处于单一的无序状态的概率更大，所以熵的增加是自然趋势。
五、熵与信息论的联系熵的概念不仅存在于物理学中，在信息论中也有类似的概念。
第二章信息量和熵习题解09-08-11
第二章-信息量和熵习题解2.1 莫尔斯电报系统中，若采用点长为0.2s ，1划长为0.4s ，且点和划出现的概率分别为2/3和1/3，试求它的信息速率(bits/s)。
解: 平均每个符号长为:1544.0312.032=⨯+⨯秒 每个符号的熵为9183.03log 3123log 32=⨯+⨯比特/符号所以，信息速率为444.34159183.0=⨯比特/秒2.2 一个8元编码系统，其码长为3，每个码字的第一个符号都相同(用于同步)，若每秒产生1000个码字，试求其信息速率(bits ／s)。
解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,每个码字的信息量为 3*2=6 比特；所以，信息速率为600010006=⨯比特/秒2.3 掷一对无偏的骰子，若告诉你得到的总的点数为：(a ) 7；(b ) 12。
试问各得到了多少信息量?解: (a)一对骰子总点数为7的概率是366 所以，得到的信息量为 585.2)366(log 2= 比特(b) 一对骰子总点数为12的概率是361所以，得到的信息量为 17.5361log 2= 比特2.4 经过充分洗牌后的一付扑克(含52张牌)，试问：(a) 任何一种特定排列所给出的信息量是多少?(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量?解: (a)任一特定排列的概率为!521, 所以，给出的信息量为 58.225!521log 2=- 比特 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为 13131313525213!44A C ⨯=所以，得到的信息量为 21.134log 1313522=C 比特.2.5 设有一个非均匀骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求各点出现时所给出的信息量，并求掷一次平均得到的信息量。
解:易证每次出现i 点的概率为21i,所以 比特比特比特比特比特比特比特398.221log 21)(807.1)6(070.2)5(392.2)4(807.2)3(392.3)2(392.4)1(6,5,4,3,2,1,21log )(2612=-==============-==∑=i i X H x I x I x I x I x I x I i ii x I i2.6 园丁植树一行，若有3棵白杨、4棵白桦和5棵梧桐。
熵的统计解释及其与信息论的关系
熵的统计解释及其与信息论的关系熵是一个在物理学、信息论和统计学中广泛应用的概念。
它最初由热力学中的第二定律引入，描述了一个系统的无序程度。
然而，熵的概念在信息论中得到了扩展和深化，成为了衡量信息量的重要指标。
本文将探讨熵的统计解释以及它与信息论的关系。
首先，我们来了解熵在统计学中的定义和解释。
在统计学中，熵被用来描述一个随机变量的不确定性。
假设有一个离散随机变量X，它可以取得n个可能的取值，每个取值的概率分别为p1, p2, ..., pn。
那么这个随机变量的熵H(X)可以通过以下公式计算：H(X) = -p1*log(p1) - p2*log(p2) - ... - pn*log(pn)其中，log表示以2为底的对数。
这个公式的含义是，对于每个可能的取值，我们计算其概率乘以以2为底的对数，再取负数，然后将所有结果相加。
这样得到的结果就是随机变量X的熵。
熵的统计解释是基于信息的平均量来衡量随机变量的不确定性。
如果一个随机变量的概率分布非常均匀，即每个可能的取值的概率都接近相等，那么它的熵就会很高，表示它具有较大的不确定性。
相反，如果一个随机变量的概率分布非常集中在某些取值上，那么它的熵就会很低，表示它具有较小的不确定性。
接下来，我们来探讨熵与信息论的关系。
信息论是一门研究信息传输和处理的学科，它的核心思想是通过量化信息的不确定性来分析和优化信息传输系统。
而熵在信息论中扮演了重要的角色。
在信息论中，熵被定义为一个随机变量的平均信息量。
假设有一个离散随机变量X，它可以取得n个可能的取值，每个取值的概率分别为p1, p2, ..., pn。
那么这个随机变量的熵H(X)可以通过以下公式计算：H(X) = -p1*log(p1) - p2*log(p2) - ... - pn*log(pn)这个公式与统计学中的熵的定义是一样的。
可以看出，信息论中的熵和统计学中的熵在形式上是一致的。
它们都是通过计算概率分布的负对数来衡量不确定性。
信息量的度量如何计算公式
信息量的度量如何计算公式信息量的度量是指在一定的信息传输过程中，信息的多少和质量的度量。
在信息论中，我们通常使用熵来度量信息的多少，熵越大表示信息量越大。
下面我们将介绍信息量的度量以及相关的计算公式。
在信息论中，熵是度量信息量的一个重要概念。
熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(H(X)\)表示随机变量\(X\)的熵，\(p(x_i)\)表示随机变量\(X\)取值为\(x_i\)的概率。
通过计算熵，我们可以得到随机变量\(X\)的信息量。
在实际应用中，我们经常使用二进制编码来表示信息。
在这种情况下，我们可以使用香农编码来计算信息量。
香农编码是一种使用变长编码来表示信息的编码方式，通过根据信息的概率分布来确定每个信息的编码长度，从而实现信息的高效表示。
香农编码的计算公式为：\[L = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(L\)表示信息的平均编码长度。
通过计算香农编码，我们可以得到信息的平均编码长度，从而可以评估信息的压缩效果和传输效率。
除了熵和香农编码，我们还可以使用信息熵来度量信息的多少。
信息熵是一种用于度量信息量的概念，它是对信息量的期望值。
信息熵的计算公式为：\[H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)\]其中，\(H(X)\)表示随机变量\(X\)的信息熵，\(p(x_i)\)表示随机变量\(X\)取值为\(x_i\)的概率。
通过计算信息熵，我们可以得到随机变量\(X\)的平均信息量。
在实际应用中，我们可以使用信息熵来评估信息系统的复杂度和传输效率。
通过计算信息熵，我们可以得到系统中信息的平均复杂度，从而可以评估系统的性能和稳定性。
综上所述，信息量的度量是信息论中的重要概念，我们可以使用熵、香农编码和信息熵来度量信息的多少。
信息论举例讲解信息量熵及互信息量
对于离散型随机变量X，其取某个具体值 x时，所提供的信息量为-logP(x)，其中 P(x)为该值出现的概率。例如，随机变 量X有两个等概率的取值0和1，则X取0 或1时所提供的信息量均为log2。
连续型随机变量的信息量
总结词
连续型随机变量的信息量是指该随机变量在某个区间内取值时所提供的信息量。
02
CHAPTER
熵的概念与性质
熵的定义
熵
熵是系统不确定性的度量，表示系统随机变量的不确定性 和概率分布的不均匀性。在信息论中，熵用于量化信息的 不确定性或随机变量的混乱程度。
数学公式
熵H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)是随机变量X取某 个值的概率。
解释
熵表示随机变量X的平均不确定性，即当随机变量取某个 值时，我们预期需要平均多少信息量来消除不确定性。
天气预报
假设明天下雨的概率是0.2，不下雨的概率是0.8，那么明天天气的熵就是- (0.2 * log2(0.2) + 0.8 * log2(0.8)) = 0.97比特。
03
CHAPTER
互信息量的概念与性质
互信息的定义
互信息量
描述两个随机变量之间相互关联 程度的一种度量，其值等于一个 随机变量的熵与两个随机变量的 联合熵之差。
详细描述
对于连续型随机变量X，其取某个区间[a, b]内的值时，所提供的信息量为 ∫−logP(x)dxF−logP(x)dxF−logP(x)dxF，其中P(x)为X在区间[a, b]内的概率密度函数。例如，若X服从 均匀分布，则其在某个长度为Δx的区间[a, a+Δx]内取值时，所提供的信息量为logΔx。
信息论举例讲解信息量、熵及 互信息量
信息量和信息熵
信息量和信息熵
信息量和信息熵是信息科学领域中非常重要的概念，它们与信息
的量化和度量有着密切的关系。
信息量是指在某一信息系统中，某个
信息所包含的信息量大小，通常用比特（bit）来表示。
而信息熵则是
用来度量信源不确定度的一个概念，它描述了信源在发出消息时所包
含的不确定度大小，通常用香农熵（Shannon Entropy）来表示。
信息量的大小和信息源本身的特性有关，一个消息的信息量大小
往往与其概率成反比，即出现概率越高的信息，其信息量越小。
例如，在掷骰子的过程中，掷出一个点数为1的情况概率为1/6，其所包含的信息量较大；而掷出一个点数为3的情况概率为1/2，其所包含的信息量较小。
另外，信息量还与信息系统的编码方式有关，不同编码方式
所需要的信息量也不同。
信息熵是基于信息概率论而提出的概念，也是一种度量信息不确
定度的方式。
在信息熵中，信源的不确定度越大，则熵值越大；反之，则熵值越小。
具体而言，如果一个信源发出的信息有n种可能的情况，每种情况出现的概率为p1,p2,...,pn，则其信息熵可以表示为H=-
p1logp1-p2logp2-...-pnlogpn。
综上所述，信息量和信息熵作为信息科学中的重要概念，可以帮
助我们更好地理解和量化信息，为信息处理和通讯提供了理论基础。
信息论度量方法
信息论度量方法
信息论中，信息的度量方法有多种，以下是几种主要的度量方式：
1. 信息量：信息量可以用比特（bit）来度量，比特是信息论中最基本的单位，表示二进制系统中的一个选择。
比特的数量表示传递或存储的信息量
的大小。
2. 信息熵：信息熵是信息理论中度量信息不确定性的概念。
熵的值越大，
表示信息的不确定性越高。
熵可以用来度量某个事件或数据集中的信息量。
3. 信噪比：信噪比是度量信号中有用信息与噪声比例的指标。
它可以用来
衡量信号中噪声对有用信息的影响程度。
4. 信息速率：信息速率是单位时间内传输或处理的信息量。
常用的单位是
比特每秒（bps）或字节每秒（Bps）。
5. 信息传输效率：信息传输效率是指在给定的带宽或资源条件下，能够传输的有效信息量。
它是通过传输速率和信道容量的比值来度量的。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
解释熵越小纯度越高信息量越小的含义_概述及说明
解释熵越小纯度越高信息量越小的含义概述及说明1. 引言1.1 概述熵是信息论中一个重要的概念，它用于衡量系统的混乱程度或不确定性。
在信息论领域，熵越小代表系统越有序和纯净，同时也意味着包含在系统中的信息量较少。
本文将详细解释熵越小代表纯度越高以及信息量越少的含义。
1.2 文章结构本文将分为以下几个部分来探讨熵与纯度之间的关系以及对应的实例说明和应用场景论述：- 第2部分：熵与纯度的关系，包括介绍熵的概念、纯度的定义以及信息量的解释。
- 第3部分：通过实例说明熵越小纯度越高的概念，包括温度与分子状况相关性解释、声音音调与声波震幅相关性解释以及图像像素值统计与图像质量相关性解释。
- 第4部分：论述应用场景中熵越小带来的益处，主要包括数据压缩和信息传输优势、密码学中熵越小加密算法优势以及过滤垃圾邮件中熵越小效果优势。
- 第5部分：总结熵与纯度关系及信息量的含义，并对实践应用做出相应的启示。
1.3 目的通过本文，我们将深入探究熵与纯度之间的关系，解释熵越小代表纯度越高以及信息量越少的含义。
同时，我们将阐述熵越小所带来的益处，并分析其在不同领域中的应用场景。
通过理解和应用这一概念，我们可以更好地处理信息和优化各种系统。
接下来，我们将开始介绍熵与纯度之间的关系。
2. 熵与纯度的关系2.1 熵的概念熵是信息论中的重要概念，用来衡量一个随机变量的不确定性或信息量。
以物理学角度解释，熵是系统内部无序程度的度量。
熵越高，系统越混乱，不确定性也越大。
2.2 纯度的定义纯度表示系统或数据集的元素具有相同属性或类别的程度。
在分类问题中，纯度高指标示元素之间更具相似性，并且属于同一类别。
反之，则表示元素之间差异较大。
2.3 信息量的解释对于一个事件发生概率较低的情况，其发生所带来的信息量较高；而对于一个事件发生概率较高的情况，其发生所带来的信息量较低。
与此相关联，熵可以视为描述事件互补和相对稀有性质的指标。
当事件多样化时，熵增加；当事件倾向单一时，熵减小。
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2.2 离散集的平均自信息量－ 熵
熵
集HX中(事x件) 出现的平均q不(x确)定lo性g q(x)
例2.2.1 H(p) 例2.2.2
条件熵和联合熵
XY独立时有H(X|Y)=H(XH) (XY) p(xy) log p(xy)
H(X | Y) p(xy)log p(x | y)
xy
xy
H ( XY) H ( X ) H (Y | X )
H (Y ) H ( X | Y )
熵的性质
• 对称性 • 非负性 • 确定性 • 扩展性 • 可加性 • 极值性 • 是H(P)上凸函数
熵的性质－可加性
• H ( p 1q 11, p 1q 12, … , p 4q 44) = H ( p 1… , p 4) + p 1H ( q 11, … , q 14) + … + p 4H ( q 41, … , q 44)
I
(u1; u2
)
I
(u1; u3
|
uu3 2
)
I (u1;u3) I (u1;u2 | u3)
离散变量的非平均自信息量
I (xk ; y j )
log
p(xk | y j ) q(xk )
1 log q(xk ) log q(xk )
I (xk
)
log
1 q(xk )
第二章 信息量和熵
信息量和熵
• 2.1 离散变量的非平均信息量 • 2.2 离散集的平均自信息量－熵 • 2.3 离散集的平均互信息量 • 2.4 连续随机变量的互信息和熵 • 2.5 凸函数和互信息的凸性
2.1 离散变量的非平均信息量
输入，输出空间定义
• 输入空间X={xk,k=1,2,…,K},概率记为q(xk) • 输出空间Y={yj,j=1,2,…,J},概率记为ω (yj) • 联合空间XY={xkyj ;k=1,2,…,K;j=1,2,…,J}, 概率为p(xkyj)
三个事件集的条件互信息定义为
I (u1;u2
| u3)
log
p(u1 | u2u3 ) p(u1 | u3 )
log
p(u1u2 | u3 ) p(u1 | u3 ) p(u2 | u3 )
可以推广到任意有限多个空间情况
互信息的可加性
u1
u2 u3
系统
u1
u2
系统
I
(u1; u2u3
)
log
q(xk )
非平均自信息的性质
非负 体现先验不确定性大小
I (xk ; y j ) I (xk ) I (xk ; y j ) I ( y j )
条件自信息和联合自信息
I (u1 | u2 ) log p(u1 | u2 )
I (xk y j ) log p(xk y j )
q11 p1 q12
p2
q13
q14
p3
p4
熵的极值性
引理1: lnx≤x-1 引理2：
H ( p1,, pK ) pk log qk k 1
H(X|Y) ≤H(X) H ( U 1 … U N )
≤H(U1)+…+H(UN)
熵的凸性
H(P)是P的上凸函数
H (P1 (1 )P2 ) H (P1) (1 )H (P2 )
信息处理定理
X
Y
系统1
pZ(x出y |现z)情况p下(x，| zX) 和p(Yy独| z立) I(X;Y | Z) 0 H(X | YZ) H(H | Z)
p(xkyj)= p(xk|yj)ω (yj)= p(yj|xk)q(xk)
非平均互信息量
例2.1.1
输入消息 码字
பைடு நூலகம்X1
000
X2
001
X3
010
X4
011
X5
100
X6
101
X7
110
x8
111
p(xk)
1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8
收到0
1/4 1/4 1/4 1/4 0 0 0 0
I (xk ; y j ) I (xk ) I (xk | y j ) I ( y j ) I ( y j | xk )
自信息、条件自信息和互信息
I(xk)
I(yj)
I (xk ; y j ) I (xk ) I ( y j ) I (xk y j )
I(xk ;yj)
2.3 离散集的平均互信息量
平均互信息量
1. 非负性
I (X ;Y2).
对 称性p(xy) log xy
p(x | y) q(x)
3.
I(X;Y) H(X ) H(X |Y) H (Y ) H (Y | X ) H ( X ) H (Y ) H ( X | Y )
收到01
0 0 1/2 1/2 0 0 0 0
收到011
0 0 0 1 0 0 0 0
非平均互信息量
输入消息 码字
X1
000
X2
001
X3
010
X4
011
X5
100
X6
101
X7
110
x8
111
p(xk)
1/8 1/4 1/8 1/4 1/16 1/16 1/16 1/16
收到0
1/6 1/3 1/6 1/3 0 0 0 0
I (xk ; y j ) If((xqk (; xykj)3,|py(jx1 yk j|2y) j ))
I (xk ; y j ) loga
p(xk | y j ) q(xk )
loga
p( y j | xk )
( y j )
I ( y j ; xk )
条件互信息和联合事件互信息
平均互信息量
4. I(X;Y)≤H(X) ,I(X;Y)≤H(Y)
H(X)
H(X|Y)
I(X;Y)
H(Y)
H(Y|X)
条件互信息
I ( X ;Y
|
Z)
xyz
p(xyz) log
p(xy | z) p(x | z)
I(X ;Y | Z) H(X | Z) H(X | YZ)
I ( X ;YZ ) I ( X ;Y ) I ( X ; Z | Y ) I(X;Z) I(X;Y | Z)
收到01
0 0 1/3 2/3 0 0 0 0
收到011
0 0 0 1 0 0 0 0
非平均互信息量
例2.1.2
输入消息 码字
X1
000
X2
111
p(xk)
1/2 1/2
收到0
1-p p
1-p 0
p
p
1 1-p
收到01
1/2 1/2
收到011
1-p p
0
1
非平均互信息量
I (xk ; y j ) I (xk ; y j1) I (xk ; y j2 | y j1)