解析函数的孤立奇点
(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
内 , f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线,
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
,
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z( n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z( n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定, 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法:
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
4.0解析函数的孤立奇点
其中
( z ) a m a m1 ( z z 0) ( z0 ) 0
z z0
a0 ( z z0 ) m 是解析函数,且
如果z0是f(z)的极点,lim | f ( z ) | 或写作 lim f ( z )
z z0
极点的判定定理 (1)f(z)在奇点z0的去心邻域内的Laurent级数的主要 部分为有限多项; (2)f(z)在z0点的去心邻域0<|z-z0|<R内能表示为如下 ( z) 形式:
f ( z0 ) f '( z0 )
f
( m 1)
( z0 ) 0,
f
( m)
( z0 ) 0
例如:z=0,z=1分别为函数f(z)=z(z-1)3的一级与三级零点。
(2)极点的概念 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域内,Laurent级数中的主 要部分为优先多项(即有限个负幂项),即为
奇点是z=kπ (k=0,±1, ±2, …),很显然他们都是孤立 奇点,又
(sin z )'| z k cos z | z k (1) 0 1 所以z=kπ都是sin z的一级零点,从而是 的一阶 sin z 极点
k
3.本性奇点 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域的Laurent级数中 主要部分为无限多项(即含无限多个负幂项),则 称z0为f(z)的本性奇点。
2、非孤立奇点
z z0
f ( z)
( z)
二、孤立奇点的分类 奇点
z0
k k k 0 0
∞
| R
k
类型
展开 a ( z z ) ,0 | z z 式
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法有限孤立奇点是一种重要的数学概念,它是一种有限、孤立的特殊点,具有解析函数的性质。
有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。
本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究,主要介绍以下内容:一、有限孤立奇点的定义有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点,这些点具有解析函数的性质。
可定义为:若函数f(x)在x=x_0处及它的邻域内无有限值,则称x_0是f(x)的有限孤立奇点。
这里,f(x)一般指定义域上的可导分析函数,并且特征点x_0也要满足函数f(x)在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。
首先,有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数,从而有助于函数分析。
其次,有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题,比如求解方程。
在应用中,有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础,涉及到一些数学上的研究,如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法判断一个点是否为有限孤立奇点,有多种方法可以实现。
首先,是通过函数的求导,利用极值定理,从而判断函数是否有孤立的极值点,若是的话,这个点就可能是有限孤立奇点。
其次,还可以利用超参数曲面,观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。
再次,可以利用数值求解的方法,给定函数的定义域,进行穷举,并利用精确数值计算和迭代法,不断收敛,最后达到极值点。
最后,还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法,提出了多种判定方法,以便解析函数中有限孤立奇点的判断。
借助这些方法,可以更深入地了解函数的性质,为函数分析和应用提供有力的理论支持。
第四章-解析函数的孤立奇点--有限点
例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析,并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有:
z z0
这样得到下面的结论:
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析,则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断:若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2),则
z
k
是
sin
z的一阶零点,即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型,并指出极点级
数
(2) f2(z) sin z z 12 z 13
解: 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点,分别取
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法
孤立奇点和非孤立奇点的判断方法全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:孤立奇点和非孤立奇点是数学分析领域中的重要概念,它们在研究函数的性质和图像的特征时起着至关重要的作用。
对于数学学习者来说,了解孤立奇点和非孤立奇点的判断方法,对于深入理解复变函数、微分方程等数学领域都具有重要意义。
下面将详细介绍关于孤立奇点和非孤立奇点的判断方法。
我们先来介绍孤立奇点的判断方法。
孤立奇点是函数在某点附近出现的奇异行为。
在复变函数中,孤立奇点通常指代的是在某点附近函数不再是解析的点。
判断一个点是否为孤立奇点,可以通过以下方法来进行:1. 极限判别法:计算函数在该点附近的极限,如果极限不存在或为无穷大,则该点为孤立奇点。
2. 泰勒级数展开:对函数进行泰勒级数展开,如果展开后的级数包含了负幂次项(即有无穷多个非零项),则该点为孤立奇点。
3. 周围点的解析性:观察该点周围的函数是否在该点附近解析,如果不解析,则该点为孤立奇点。
接下来,让我们来介绍非孤立奇点的判断方法。
非孤立奇点是指函数在某点的附近呈现出的非奇异行为。
一般来说,当一个点不是孤立奇点时,它可能是可去奇点、极点或本质奇点。
判断一个点是否为非孤立奇点,可以通过以下方法来进行:1. 极限判别法:计算函数在该点附近的极限,如果极限存在并有限,则该点为非孤立奇点。
2. 函数的特殊性质:观察函数在该点附近的特殊性质,例如可积、有界等。
3. 应用奇异性定理:对于复变函数,可以根据奇异性定理来判断非孤立奇点的性质,这需要结合数学分析的相关知识来进行判断。
判断一个点是孤立奇点还是非孤立奇点需要综合运用极限判别法、泰勒级数展开、函数的特殊性质等方法。
在实际应用中,还需要根据具体函数的特点来选择合适的方法进行判断。
对于复变函数、微分方程等领域的研究者来说,掌握孤立奇点和非孤立奇点的判断方法是至关重要的。
通过深入了解和熟练运用这些方法,可以更好地理解函数的性质,为相关领域的研究工作提供重要的理论支持。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数,即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是,复变函数的导数可以沿任意方向取值,因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点,可以分为两类:可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点,探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲,如果函数在某一点附近有定义,但在该点处没有定义,则该点就是该函数的孤立奇点。
例如,函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点,因为它在z=0附近有定义,但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法:性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为,孤立奇点可以分为以下三类:(3)本质奇点:如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述,则该点为本质奇点。
例如,函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述,因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数,任何方法都无法消除奇点。
2、类型(1)一阶孤立奇点:如果孤立奇点的极限存在,则其阶数为1阶。
例如,函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点,在实际问题中具有广泛的应用。
其中,最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如,孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性,还可以用于电磁场中的场分布计算,以及通信系统中的信号传输分析等。
此外,在数学中,孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑,以及在复分析中的一些基础问题中。
总之,孤立奇点作为复变函数中的重要特征,是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点,
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析,则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0,得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点,此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
解析函数的孤立奇点
( 0 z z0 ) 其和函数F (z)为在 z0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义 f (z0 ) c0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.
f
(z)
F(z)
c0
,
, z
z z0 z0
lim
zz0
f
(z)
c0
2) 可去奇点的判定
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
f (z) 的 m 级零点. 例6 z 0是函数 f (z) z(z 1)3的一级零点,
z 1是函数 f (z) z(z 1)3的三级零点.
2.零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m级 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2,m 1); f (m)(z0 ) 0.
z
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0
的奇点特性.
sin
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1, 2,) k
因为 lim 1 0, k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0不是孤立奇点.
5.1.15.1.1孤立奇点
sin z 的可去奇点. z
lim sin z 1 z0 z
2 极点
如果洛朗级数中只含有限多个 z z0 的负幂项,
且其中关于 z z0 1的最高幂为 z z0 m , 则称
孤立奇点 z0 为 f (z) 的 m 级极点.
在 0 z 内,有
ez 1
z3
1 z3
n0
zn n!
1 孤立奇点的分类
以洛朗级数为工具对解析函数的孤立奇点分类
2 留数定理
以留数定理为工具对解析函数的复积分计算
沈阳 理工
留数 大学
孤立奇点
1 孤立奇点的定义 2 孤立奇点的分类
一、孤立奇点的定义
如果函数 f (z) 在 z0 点不解析,但在 z0 点的某个
去心邻域 0 z z0 内处处解析,则称点 z0 为 f (z)
1
1 z2
1 2!z
1 3!
1z 4!
由于展开式中关于 z1 的最高幂为 z2 , 因此 z = 0
为函数 ez 1 的二级极点. z3
3 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项, 则称孤立奇点 z0 为 f (z)的本性奇点.
在 0 z 内,有
sin 1 z1 z3 z5 (1)n1 z(2n1)
根据展开式中负幂项的不同情况将孤立奇点进行分类.
1 可去奇点
如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项, 则称孤立 奇点 z0为 f (z) 的可去奇点.
在 0 z 内,有
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) 1 1 z2 1 z4
z z 3! 5!
3! 5!
由于展开式中不含 z 的负幂项,因此 z = 0为函数
第五章留数§1孤立奇点一、零点Def设在解析区域内点处的值为零
第五章 留数§1 孤立奇点一、零点:Def :设)(z f 在解析区域内点0z 处的值为零,则称0z 为解析函数)(z f 的零点。
如果)()()(0z z z z f m ϕ-=(其中)(z ϕ在0z 解析,且0)(0≠z ϕ,m 为某一正整数),则称0z 为)(z f 的m 级零点(特别1=m 时,0z 为)(z f 的简单零点)显然,3)1()(-=z z z f 有一级零点0=z 和三级零点1=z 。
Th1、0z 为)(z f 的m 级零点⇔0)()()(0)1(00==='=-z fz f z f m ,0)(0)(≠z f m证明:必要性:0z 为)(z f 的m 级零点,)()()(0z z z z f m ϕ-=,)(z ϕ在0z 解析,且0)(0≠z ϕ,)(z ϕ可以在0z 展成Taylor 级数, +-+-+=202010)()()(z z C z z C C Z ϕ(0)(00≠=z C ϕ)故 +-+-+-=++20210100)()()()(m m m z z C z z C z z C z f ,即是说)(z f 在0z 的Taylor 展式前m 项系数为零,即0)(0)(=z fn (1,,1,0-=m n )而0!)(0)(0≠=m z f C m ,即0)(0)(≠z f m 充分性:)(z f 在0z 的展式: +--+-+=--100)1(0010)()!1()()(!1)()()(m m z z m z f z z z f z f z f)()()()!1()(!)()()()!1()()(!)(000)1(0)(0100)1(00)(z z z z z m z f m z f z z z z m z f z z m z f m m m m m m m ϕ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-=+-++-=+++ 令 +-++=+)()!1()(!)()(00)1(0)(z z m z f m z f z m m ϕ,有)(z ϕ在0z 解析,且0)(0≠z ϕ例、考察函数z z z f sin )(-=在原点0=z 的性质解:显然)(z f 在0=z 解析,且0)0(=f ,由)!5!31()!5!3()(2353 +-=++--=z z z z z z z f 或由 z z f cos 1)(-=',z z f sin )(='',z z f cos )(='''得0)0(='f ,0)0(=''f ,01)0(≠='''f知0=z 为z z z f sin )(-=的三级零点 二、孤立奇点:称0z 为)(z f 的孤立奇点,是指函数)(z f 在0z 不解析,但在0z 的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析。
解析函数的孤立奇点
z0 的某一去心邻域 0 < z z0 < δ 内处处解析, 则 内处处解析,
孤立奇点. 称 z0 为 f (z ) 的孤立奇点. 1 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 e z , sin z 的孤立奇点 z 1 z = 1 是函数 的孤立奇点. 的孤立奇点 z+1 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 注意: 孤立奇点一定是奇点, 立奇点. 立奇点
3
讨论函数在孤立奇点的情况 孤立奇点, 如果点 z0 为函数 f (z ) 的孤立奇点,则在点 z0 某去心邻域 0 < z z0 < δ 内可设 f (z ) 的Laurent 级数展开式为
f (z) =
n = ∞
cn ( z z0 )n ∑
+∞
其中
1 f ( z )dz cn = ∫ ( z z0 )n+1 (n为整数 ) 2πi c
思考 z = 0 是
sin z z3
的几级极点? 的几级极点
注意: 注意 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 是
点 z0 为
f (z ) 的
阶极点的充要条件 充要条件为 m 阶极点的充要条件为 z0
1 的 f (z)
阶零点. m 阶零点.
推论2 阶零点(k=1,2),则 推论 若点 z0 为函数 f k (z ) 的 m k 阶零点 , 阶零点; z0为函数 f1 ( z ) f 2 ( z ) 的 m1 + m2 阶零点;当 m1 < m2 时, z0为函数
10
例
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 z + z 中不含负幂项 z 3! 5! sin z z=0是 的可去奇点 . z
解析函数零点与孤立奇点
定义法:将函数f(z)在a处的洛朗级数展开,通过找出负指数项的个数的方法来判断处解析函数的孤立奇点的三种类型.
极限法:通过对函数f(z)在a处的极限求解,即可判断出孤立奇点的类型.即:
当a是函数f(z)的可去奇点时,有lim┬(z→a) f(z)存在但是为有限个;
当a是函数f(z)的极点时,有lim┬(z→a) f(z)=∞;
当n<m时,lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞.[7]
孤立奇点在复变函数极限求解中主要是利用极点来求解∞/∞型的复变函数求极限问题.如果函数f(z)和g(z)在点z_0的去心邻域:0<|z-z_0 |<R内解析,并且z_0是函数f(z)的n阶极点,是函数g(z)的m阶极点,则有:
当n>m时,lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞;[8]
解析函数的零点在极限的求解中的应用主要是针对于0/0型的复变函数求极限问题.如果z_0是解析函数f(z)的n阶零点,也是g(z)的m阶零点,则有:
当n>m时,lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =0; [5]
当n=m时,lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =(f^m (z_0 ))/(g^n (z_0 ) ) ,即是分子、分母展开式中的首项系数之比;[6]
对于孤立奇点的分类,我们主要是以解析函数的洛朗展开式为工具,根据洛朗展开式中的负指数的有无和系数将孤立奇点分为以下三种类型:
对于f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项的系数为0,则称a为函数f(z)的可去奇点;
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项有无数多项,则称a为函数f(z)的本质奇点;
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项存在,则称a为函数f(z)的极点,而且a还是函数f(z)的一阶极点,一阶极点也称为单极点。
5.1孤立奇点解读
一、孤立奇点的定义及分类 二、孤立奇点的判定条件
三、零点与极点的关系
四、函数在无穷远点的性态
§5.1 孤立奇点
定义 5.1 若 z z0 为函数 f ( z )的一个奇点,且存在一 个去心邻域 0 z z0 , f ( z )在其中处处解析,则称 z0为f(z)的孤立奇点. 设z0为f(z)的一孤立奇点,因为在0 z z0 中解析, f(z)可展成z- z0的洛朗级数,即
1 z sin z Res , 0 a 1 . 6 5! z
z dz ,这里C: |z–1|= 3 例5.23 计算积分 2 2 2 ( z 1) ( z 1) C 取正向. z 解:令f(z)= 2 ,则z1=i, z2=–i为f(z)的两个 2 2 ( z 1) ( z 1)
f ( z ) an ( z z0 ) n a n ( z z0 ) n
n 0 n 1
(1)级数中不出现负幂项,此时称点z0为f(z)的可去奇点; (2)级数中只含有有限个负幂项,则点z0称为f(z)的极点; (3)级数中含有无穷多个负幂项,点z0称为f(z)的本性奇点
又g(z)=(z−z0)mf(z),因而得到
g m1 ( z0 ) 1 d m1 lim m1 m 1! m 1! zz0 d z
(2) 若z0是f(z)的一阶极点,那么
z z
0
m
f ( z) .
Res[ f ( z ), 0] lim( z z0 ) f ( z ).
ez 例5.21 计算f(z)= 在z=0处的留数. sin z
解: P(z)=ez,Q(z)=sinz,于是P(0)=1,Q(0)=0,Q'(0)=1.
解析函数孤立奇点的分类
解析函数孤立奇点的分类。
函数孤立奇点是复杂学科数学中概念,它指的是给定函数f(x),在某个合理的定义域内,使得f(x)的导数不存在的点,又称为函数的驻点,孤立奇点。
孤立奇点有各种分类,根据它们的奇性、个数、特征等,可以将它们分为局部奇点、全局奇点、桥点、谷点、极点、波动点、交叉点、分叉点、折点等。
局部奇点指的是一个函数在某个区间上存在一个奇点,此区间除了这一个奇点外,函数f (x)在其余点上都是单调或满足另外一种定义条件。
这种孤立奇点多数出现在非线性函数图像上,由于它是一种极值,具有局部最小或最大的特点,而且只存在于这一个特定的区间,因此也被称为局部奇点。
全局奇点是指在函数f(x)在整个定义域内有一个"孤立"的奇点,此时它既不是极值也不是波动点。
只有一个这样的点,这种奇点称为"全局奇点"。
桥点,也称拱点,是指函数f(x)在某一区间内,其对应的值在两个序列段中,存在一个连续曲线,将每个序列段连接起来,这个点被称为桥点。
谷点指的是函数f(x)本身的一个极值点,即某一区间的函数值处于最低,该点被称为谷点,也被称为凹点。
极点是指一个函数在某一定义域内,函数值变化不灵敏,梯度趋近于零值,这类孤立奇点被称为极点。
交叉点是指在函数f(x)的曲线图上,在某个区间中,函数值有两个连续的极值,这两个极值的中点,被称为交叉点。
分叉点,也叫报分点,是指在函数f(x)的曲线图上,函数值在某个区间开始处为一个极值,在两个区间的中点处变成另一个极值,这样的点就是分叉点。
折点是指在函数f(x)的曲线图上,如果在两个定义域上,函数值有连续极值,而转折点之间有一个孤立点,这个点就是折点。
以上就是函数孤立奇。
如何理解数学中的孤立奇点
孤立奇点1.1 孤立奇点我们把不解析的点称做奇点. 下面我们讨论孤立奇点的定义: 若函数()f z 点0z 不解析,但在0z 的某个去心领域 00||z z r <-<内处处解析,则称0z 为()f z 的孤立奇点.例如,0z =是函数 1()f z z =的孤立奇点.0z =和1z =-都是21()(1)f z z z =+ 的孤立奇点.但并不是所有的奇点都是孤立奇点.如0z =和负实轴上的点都是函数()ln f z z =的奇点.但它们不是孤立奇点. 下面我们看一下函数()f z 在00||z z r <-<内的洛朗展式0()()n n f z C z z +∞-∞=-∑ , (1.1) 101()(0,1,2,)2()p n n C f C d n i z ζζπζ+==±±-⎰ . (1.2) 1.2 孤立奇点的分类根据(1.1)式,可将孤立奇点分为如下几类.1.2.1 可去奇点当(1.1)中0n <时,0n C =,则称孤立奇点0z 为()f z 的可去奇点,即 2010200()()()n n C C z z C z z C z z +-+-++-+ . (1.3) 此时,式(1.2)的和函数()S z 在0z 点解析.当0z z ≠时,()()f z S z =;当0z z =时0()S z C =.但由于0000lim ()lim ()z z z z f z S z C →→===,所以不论()f z 在0z 有无定义.若令00()f z C =,则在0||z z r -< 内有2010200()()()()n n f z C C z z C z z C z z =+-+-++-+ . (1.4) 于是()f z 在0z 点解析.这就是孤立奇点0z 被称可去奇点的原因.例如,sin ()z f z z =,0z =为可去奇点. 这是由于()f z 在0z =的洛朗级数 35111z ()3!5!f z z z z -+()=24613!5!7!z z z =-+-+ . 中不含负幂项,若约定函数sin ()z f z z =在0z =处的值为0.则函数sin ()z f z z = 在0z =处解析.1.2.2 极点如果只有有限个(至少一个)整数0n <,使得0n C ≠,那么我们说0z 是函数()f z 的极点.如果式(1.1)只含有有限多个0z z -的负幂项,且关于0z z -的最高次幂项为0()m z z --,即1201001020()()()()()m m f z C z z C z z C C z z C z z ----=-++-++-+-+ (1.5) 其中1m ≥,0m C -≠.称孤立奇点0z 为()f z 的m 阶极点. 令21020()+m m m g z C C C --+-+=++ (z-z )(z-z ).则(1.4)式可表示为01()=()z-m f z g z (z ),其中()g z 在0||z z r -<内解析,且0()0g z ≠.反之,若(1.4)式成立,则称0z 是()f z 的m 阶极点. 按照1m =或1m >,我们也说0z 是()f z 的单极点或m 重极点. 例如,2()(1)(2)z f z z z =-+,1z =,2z =分别是()f z 的一阶极点和二阶极点. 1.2.3 本性奇点在(1.1)式中如果有无穷多个0z z -的负幂项,则称孤立奇点0z 为()f z 的本性奇点.例如,1()z f z e =,0z =是本性奇点,这是由于()f z 在0z =的去心领域的洛朗级数中含有无穷多个z 的负幂项.不难发现,当z 沿负实轴趋于0时,有10z e →.当z 沿正实轴趋于0时,有1z e →+∞.故01lim z z →不存在,也不为∞.。
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..解析函数的孤立奇点
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第五章
教学课题:第二节 解析函数的孤立奇点 教学目的:1、掌握孤立奇点的三种类型;
2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理;
3、归纳奇点的所有情况;
4、充分理解关于本性奇点的两大定理。
教学重点:孤立奇点的三种类型
教学难点:孤立奇点的三种类型的判定定理 教学方法:启发式、讨论式 教学手段:多媒体与板书相结合
教材分析:孤立奇点是解析函数中最简单最重要的一种类型,以解析函数的洛朗级数为工具,研究解析函数在孤立奇点去心邻域内一个解析函数的性质。
教学过程:
1、解析函数的孤立奇点:
设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析,那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。
在D 内,f (z )有洛朗展式
,)()(0∑+∞
-∞
=-=
n n n
z z z f α
其中
,...)2,1,0(,)()
(211
0±±=-=
⎰+ρζζζπαC n n n d z f i
ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。
,)(0
0∑+∞
-=-n n
n z z α为f(z)的正则部分, ,)(1
0∑+∞
=---n n n
z z α
为f(z)的主要部分。
例如,0是z e z
z z z 1
2,sin ,sin 的孤立奇点。
一般地,对于上述函数f (z ),按照它的洛朗展式含负数幂的情况(主要部分的情况),可以把孤立奇点分类如下:
2、可去奇点 如果当时n =-1,-2,-3,…,0=n α,那么我们说0z 是f (z )的可去奇
点,或者说f (z )在
0z 有可去奇点。
这是因为令0
)(α=z f ,就得到在整个圆盘
R z z <-||0内的解析函数f (z )。
例如,0分别是z e z
z z z 1
2,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。
定理5.3函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析,那么0
z 是f (z )的可去奇
点的必要与充分条件是:存在着极限,0)(lim 0
α=→z f z z ,其中0α是一个复数。
证明:(必要性)。
由假设,在R z z <-<||00内,f (z )有洛朗级数展式:
...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ,所以它的和函数在R z z <-||0内解析,于是显然存在着0)(lim 0
α=→z f z z 。
(充分性)。
设在R z z <-<||00内,f (z )的洛朗级数展式是
,)()(0∑+∞
-∞
=-=
n n n
z z z f α
由假设,存在着两个正数M 及)(0R ≤ρ,使得在00||0ρ<-<z z 内,
,|)(|M z f <
那么取ρ,使得00ρρ<<,我们有
,...)2,1,0(221||1±±==≤
+n M
M n n n ρ
ρπρπα 当n =-1,-2,-3,…时,在上式中令ρ趋近于0,就得到,...)3,2,1(0---==n n α。
于是
0z 是f (z )的可去奇点。
推论5.3设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析,那么0z 是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是:存在着某一个正数)(0R ≤ρ,使得f (z )在00||0ρ<-<z z 内有界。
3.席瓦尔兹(Schwarz)引理 如果函数)(z f 在单位圆1<z 内解析,并且满足条件
)1(,1)(,0)0(<≤=z z f f 则在单位圆1<z 内恒有
1)0()(≤'≤f z z f 且有
如果上述等式成立或在圆1<z 内一点00≠z 出前一式等号成立则
当且仅当
)1(,)(<=z z e z f i α
4.极点 下面研究极点的特征。
如果只有有限个(至少一个)整数n ,使得0≠n α,那么我们说0z 是
f (z )的极点。
设对于正整数m ,0
≠-m α,而当n<-m 时,0=n α,那么我
们
0z 是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1,我们也称0z 是f (z )的单极点或m
重极点。
设函数f (z )在R z z <-<||00内解析,0z 是f (z )的)1(≥m 阶极点,那么在
R z z <-<||00内,f (z )有洛朗展式:
...
)(...)(...)()()(0010011
010+-++-++-+
+-+
-=
--+--n n m m m
m z z z z z z z z z z z f αααααα
在这里0≠-m α。
于是在R z z <-<||00内
...
)(...)(...)()()(001001
1
01
0+-++-++-+
+-+
-=
--+--n n m m m
m
z z z z z z z z z z z f αααααα
在这里)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数,并且0)(0≠z ϕ。
反之,如果函数f (z )在R z z <-<||00内可以表示成为上面的形状,而)(z ϕ是一个在R z z <-||0内解析的函数,并且0)(0≠z ϕ,那么可以推出0z 是f (z )的m 阶极点。
定理5.4设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析,那么0z 是f (z )的极点的
必要与充分条件是:∞=→)(lim 0
z f z z 。
证明:必要性是显然的,我们只证明充分性。
在定理的假设下,存在着某个正数
)(0R ≤ρ,使得在00||0ρ<-<z z 内,0)(≠z f ,于是)
(1
)(z f z F =
在0
0||0ρ<-<z z 内解析,不等于零,而且0)
(1
lim
)(lim 0
==→→z f z F z z z z 。
因此0z 是F (z )的一个可去奇点,从而在00||0ρ<-<z z 内,有洛朗级数展式:
...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z F βββ
我们有0)(lim 0
0==→z F z z β。
由于在00||0ρ<-<z z 内,0)(≠z F ,由定理5.1,可以
设0,0...110≠====-m m ββββ。
由此得)()()(0z z z z F m Φ-=,其中)(z Φ在
00||ρ<-z z 内解析,并且不等于零)0)((0≠=Φm z β。
于是在00||0ρ<-<z z 内,
)()
(1
)(0z z z z f m
ϕ-=
, 在这里,
)
(1)(z z Φ=
ϕ在00||ρ<-z z 内解析,)0)()((10≠==--m m z βαϕ。
因此0z 是
f (z )的m 阶极点。
推论5.4设函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析,那么0z 是f (z )的m 阶
极点的必要与充分条件是:m m z z z f z z -→=-α)()(lim 00
,在这里m 是一个正整数,
m -α是一个不等于0的复数。
5.本性奇点
关于解析函数的本性奇点,我们有下面的结论: 如果有无限个整数n<0,使得0≠n
α
,那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。
定理5.6函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析,那么0z 是f (z )的本性奇点的必要与充分条件是:不存在有限或无穷极限)(lim 0
z f z z →。
例0是函数z e 1
的本性奇点,不难看出z
z e 10
lim →不存在。
解:当z 沿正实轴趋近于0时,z
e 1趋近于∞+;
当z 沿负实轴趋近于0时,z
e 1趋近于0; 当z 沿虚轴趋近于0时,z
e 1
没有极限。
6.毕卡(Picard )定理
定理5.7如果a 为f(z)的本性奇点,则对于任何常熟A 不管它是有限数还是无限数,都有一个收敛于a 的点列
{}n z ,使得
A z f a
z n =→)(lim {证略}。