应用随机过程2随机过程的基本概念

2010-9-2
理学院 施三支
二维随机向量（ X (t1 ) ， X (t2 ) ） (t1 , t2 ) T
二维
分布 联合分布函数
函数
Ft1,t2 (x1, x2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2} ，
称为随机过程 X (t) 的二维分布函数。
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随机过程{ X (t) ， t T }是一个二元函数
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X(t)的取值称为状态，状态的全体称为状态空间， 记为S
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参数T 状态S 分类
T离散、S离散 T离散、S非离散（连续） T非离散（连续） 、S离散 T非离散（连续） 、S非离散（连续）
固定， X(t)称为样本函数或轨道， 固定t， X()称为一个随机变量。
X
(t)
t 3
,
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
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二、随机过程的数字特征
1．均值函数
设随机过程{ X (t) ， t T }， 则 m(t) E[ X (t)]， t T ， 称为随机过程 X (t) 的均值函数
或称为数学期望
独立 如果
FXY (t1,,tn ；t1,,tm ；x1,, xn ； y1,, ym ）
FX (t1,, tn；x1,, xn ） FY ( t1,, tm ； y1,, ym ）
则称随机过程 X (t) 和 Y (t) 相互独立
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例2.2.1
袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时 间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量
n 维随机向量（ X (t1 ) ， X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
n维 分布
联合分布函数
函数
Ft1,t2 ,,tn ( x1, x2 ,, xn )
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,，X (tn ) xn }
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有限 维分 布族
1维，2维，…分布函数的全体：
的分布函数
FXY (t1,,tn ； t1,,tm ； x1,, xn ； y1,, ym ）
P{X(t1) x1,, X(tn) xn；Y（t1） y1,,Y（tm ） ym }
称为两个随机过程的n + m维联合分布函数
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相互 设 X(t) 和Y(t)，t1,t2,,tn ，t1,t2 ,,tm T
简称协方差函数
注
当 t1 t2 t T ，有
D(t) K (t,t) E[( X (t) m(t))2 ]
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4．互协方差函数
设 X (t) 和 Y (t) 是两个随机过程，对任意 t1, t2 T ，则 K XY (t1, t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
第2章 随机过程的基本概念 和基本类型
2.1 随机过程的基本概念 2.2 有限维分布与Kolmogorov定理 2.3 随机过程的基本类型
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2.1 随机过程的基本概念 一、直观背景及例
例2.1.1
电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X(t)，t[0,24]。
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2.2 有限维分布与Kolmogorov定理
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ， t T }是一个随机过程，
一维
分布 对于固定的 t1 T ， X (t1 ) 是一个随机变量，
函数 其分布函数为
Ft1 (x1) P{X (t1) x1}， t1 T
称 Ft1 ( x1 ) 为随机过程 X (t ) 的一维分布函数。
说明 均方差函数
D(t)的平方根 (t) D(t) 它表示 X (t) 在各个时刻 t 对于 m(t) 的偏离程度
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3．协方差函数
随机过程 X (t) 在 t1, t2 T 的状态 X (t1 ) 和 X (t2 )
二阶中心混合矩
K (t1,t2 ) E[( X (t1 ) m(t1 ))( X (t2 ) m(t2 ))] 称为随机过程 X (t) 的自协方差函数
例2.1.2 研究某一商品的销售量
一般情况下它是一个随机变量X ，并且依赖 时间t，即随机变量X(t)，t=1,2,…
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例2.1.3
国民收入问题 随着各种随机因素的影响而随机变化，
一般地有 Y (t) C(t) I (t)
其中C(t)、I(t)分别表示t年的消费和积累
说明 m(t) 是 X (t) 的所有样本函数在时刻 t 的函数值的
平均
它表示随机过程 X (t) 在时刻 t 的摆动中心
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ， t T }的二阶中心矩 D(t) D[ X (t)] E[( X (t) m(t))2 ]
称为随机过程 X (t) 的方差函数
{Ft1,t2 ,,tn (x1, x2 ,, xn ), t1, t2 ,, tn T , n 1}
一个随机过程的统计特性可由其有限维分布函数族表 达出来。
一个随机过程有限维分布函数族具有对称性和相容性。
定理2.2.1 (Kolmogorov存在定理) 设一分布函数族满足对称性和相容性，则必存在一
个随机过程{X(t),t∈T}，使得这个分布函数族恰好是X(t) 的有限维分布族。
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联合 设 X(t) 和Y(t)，t1,t2,,tn ，t1,t2 ,,tm T
分布 函数 为两个随机过程，n + m维随机向量
{ X (t1 ) , X (t2 ) ,…, X (tn ) ，Y (t1) ,Y (t2 ) ,…,Y (tm ) }
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二、随机过程的定义
设E是随机试验， {}是它的样本空间，T
是一个参数集，若对于每一个 t T ，都有随机
变量 X (t,) 与之对应，则称依赖于 t 的随机变 量 X (t,) 为随机过程，通常记作
{ X (t) ， t T }或 X (t) 。
说明
参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但 有时也用其它物理量作为参数集。