拉普拉斯变换 例题解析

(
)
L(s ) =
2 s s + 2s + 2
(
2
)
L−1 : l (t ) = L-1 [L(s )]
复习拉普拉斯变换的有关内容 1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数
s = σ + jω
F(s ) = Fx + jFy
例： F(s ) = s + 2 = σ + 2 + jω （2）复数模、相角
ur
Δu − u a − θ m − θ up − − − − − − − −
l
消去中间变量得：
Tm & l& + l& + k 1 k 2 k 3 k 4 k m l = k 1 k 2 k 3 k m u a ─二阶线性定常微分方程
即： &l& +
1 & k1k 2 k 3k 4 k m kk kk l+ l = 1 2 3 m ua Tm Tm Tm
[ [
]
]
4
拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： L[af1 ( t ) + bf 2 ( t )] = aF1 (s) + bF2 (s) （2）微分定理： L[f ′(t )] = s ⋅ F(s ) − f (0)
证明：左 = ∫ f ′ ( t ) ⋅ e − st dt = ∫ e − st df ( t )
∞ 0
⎧f ( t )：像原 ⎨ ⎩F(s)：像
3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃： 1(t ) = ⎨
L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e −st dt =
0
∞
⎧0 t < 0 ⎩1 t ≥ 0
∞
− 1 −st e s
[ ]
0
=
−1 (0 − 1) = 1 s s
2.
指数函数： f ( t ) = ⎨
∞ ∞
⎧0 t < 0
at ⎩e
t≥0
L[f ( t )] = ∫ e at ⋅ e −st dt = ∫ e −(s−a )t dt
0 0
=
− 1 − ( s −a ) t e s−a
[
]
∞ 0
=
−1 1 (0 − 1) = s−a s−a
3. 正弦函数： f ( t ) = ⎨
⎧0 ⎩sinωt
1).F(s) = 2s 2 − 5s + 1 s ( s 2 + 1)
s s + 8s + 17
2
f(t) = 1 + cost-5sint
2).F(s) =
f(t) = 17e −4t cos(t + 14o ) = e −4t ( cost − 4sint ) f(t) = 1 − t 1 + 9t −10t e − e 81 81
F(s) =
F(s) =
π s 5 0.866s + 2.5 15 e = 2 2 s +5 s 2 + 52
3).f (t) = sin(5t +
π
3
)
4).f (t) = e −0.4t cos12t 5).f (t) = t ⋅ ⎡ ⎣1 − 1[ t − t 0 ]⎤ ⎦ F (s) = 1 − (1 + t 0s ) e − t 0s s2
0
∞
左 = ∫ f ′(t ) lime −st dt = ∫ f ′(t ) ⋅ 1 ⋅ dt = f (t ) 0 = f (∞ ) − f (0) = 右 = lim sF(s ) − f (0 )
s→0 0 s→0 0
∞
[
]
∞
∞
∴有： f (∞ ) = lim sF(s )
s →0
证毕
z 例 9： F(s ) =
1 求 f (∞) s(s + a )(s + b ) 1 1 = s(s + a )(s + b ) ab
解： f (∞ ) = lim s
s→0
z 例 10： f (∞ ) = sinωt t → ∞ ≠ lim s s→0
ω =0 s + ω2
2
拉氏变换附加作业 一． 已知 f(t),求 F(s)=?
1
1 1 （3）积分定理： L ∫ f (t )dt = ⋅ F(s ) + f (-1) (0) s s 1 零初始条件下有： L ∫ f (t )dt = ⋅ F(s ) s
[
ω
L[sin′ωt ] =
1
]
ω
⋅s⋅
s ω = 2 2 s +ω s + ω2
2
（证略）
[
]
进一步有：
⎡ ⎤ 1 1 1 1 L ⎢ ∫∫L∫ f (t )dt n ⎥ = n F(s ) + n f (−1) (0 ) + n −1 f (− 2 ) (0) + L + f (− n ) (0) s s s ⎢{ ⎥ s ⎣ n ⎦
⎤ ⎡ ⎤ e − 2t cos(5t − )⎥ = L⎨e −2t cos ⎢5( t − )⎥ ⎬ z 例 8： L ⎡ ⎢ 3 ⎦ 15 ⎦ ⎣ ⎣ ⎩ ⎭
π − (s + 2 ) ⎧ -π s s+2 s ⎫ 15 e = ⎨e 15 2 = ⋅ 2 ⎬ s + 5 ⎭ s →s + 2 (s + 2)2 + 5 2 ⎩
&A − x & 0 ) = k 2x0 ∴ k 1 ( x i i − x A ) = k1x A 解出 x A = x i −
k2 x0 k1
&i − 代入 B 等式： f(x
k2 &0 − x & 0 ) = k 2x0 x k1
& i = f(1 + f ⋅x
& m + f mω m = M m ┈牛 力矩方程： J m ⋅ ω
顿 变量关系： u a
i − Mm ωm E b −− −
消去中间变量有：
&m + ωm = kmua Tmω
⎧T = J m R [R ⋅ f m + C e C m ] ⎪ m ⎨ ⎪k m = C m [R ⋅ f m + C e C m ] ⎩
π
⎧
π
⎫
（5）终值定理（极限确实存在时）
lim f (t ) = f (∞ ) = lim s ⋅ F(s )
t →∞ s →0
证明：由微分定理 ∫ f ′(t )e −st dt = sF(s ) − f (0)
0
∞
f ′(t )e −st dt = lim sF(s ) − f (0 ) 取极限： lim s →0 s →0 ∫
2、
线性系统特性──满足齐次性、可加性
z 线性系统便于分析研究。 z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。 z 非线性元部件微分方程的线性化。 例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点 α 0 处的线性化增量方程
y(α ) = E 0 cosα
解：在 α = α 0 处线性化展开，只取线性项：
(
)
虚位移定理： L[e at ⋅ f (t )] = F(s - a ) （证略） z 例 6：求 L[e at ]
解 : L e at = L 1(t ) ⋅ e at =
[ ] [
]
1 s−a
z 例 7： L[e -3t ⋅ cos5t ] =
s s + 52
2
=
s →s + 3
s+3 (s + 3)2 + 5 2
时间函数 传递函数
（4）X-Y 记录仪（不加内电路）
⎧比较点 : Δu = u r - u p ⎪ ⎪放大器 : u a = k 1 ⋅ Δu ⎪ && + θ& = k u ⎪电动机 : Tmθ m m m a ⎨ ⎪减速器 :θ = k 2θ m ⎪绳轮 : l = k ⋅ θ 3 ⎪ ⎪ ⎩电桥电路 : u p = k 4 ⋅ l
1 - t T
1).f(t) = 1-e
1 1 1 T F (s) = − = 1⎞ s s+ 1 ⎛ s⎜s + ⎟ T ⎝ T⎠
2).f (t) = 0.03(1 − cos2t)
s ⎤ 0.12 ⎡1 F(s) = 0.03 ⎢ − 2 = 2⎥ ⎣ s s + 2 ⎦ s ( s 2 + 22 )
[ ]
=
t =0
1 s3
（4）位移定理 实位移定理： L[f (t - τ )] = e −τs ⋅ F(s )
⎧0 t < 0 ⎪ z 例 5： f (t ) = ⎨1 0 < t < 1 ⎪0 t > 0 ⎩
求F(s )
解： f ( t ) = 1( t ) − 1( t − 1)
∴ F(s ) = 1 1 −s 1 − ⋅ e = 1 − e −s s s s
第二章：控制系统的数学模型 §2.1 引言
·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达 式。 ·建模方法 ⎨
⎧机理分析法 ⎩实验法（辩识法） ⎧时域：微分方程 ⎩复域：传递函数
·本章所讲的模型形式 ⎨
§2.2 控制系统时域数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立
（1）L-R-C 网络
s + 0.4
( s + 0.4 )
2
+ 12