小船渡河、牵连速度专题训练(附答案)

小船渡河模型

1．小船要横渡一条宽400m 的小河，河水流速是3m/s ，船在静水中的速度是5m/s ，（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：

(1)要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处?最短时间是多少? (2)要使船航程最短，船头应指向何处?最短航程为多少?渡河时间又是多少?

2．汽艇在宽为400 m 、水流速度为2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s ．求： （1）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？

（2）若水流速度为4 m/s ，船在静水中的速度为2 m/s ，求出船能过河的最短航程？

3．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小1v ，船在静水中的速度大小2v ，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后020s t =到达对岸下游60m 处；第二次船头保持与河岸成53θ=︒角向上游航行时，小船恰好经过时间t 1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53︒=0.8，cos53︒=0.6，求： (1)求船在静水中的速度大小v 2； (2)求第二次过河的时间t 1；

(3)若上游大暴雨，导致水流速度增大到10m/s 时，求小船到达河对岸的最短位移x 及所用时间时间t 2。

4．一条宽度为L 的河，水流速度v 水恒定，

(1)若船在静水中的速度为v 船，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度v v >船水，怎样渡河位移最小？最小位移？

(3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。

参考答案

1．【详解】

(1)船头始终垂直河岸航行时，在垂直于河岸方向的速度最大，到达对岸时间最短，且最短时间

1400

s 80s 5

d t v =

==船 （2）由于船速大于水速度，船能到达正对岸时航程最短，此时设船与河岸夹角为θ，则

3

cos 5

v v θ=

=水船 可得 θ=53°

船头与上游河岸夹角为53°最短航程为河宽400m

4m/s v ==合

过河时间 2=100s d

t v =合

2．【详解】

（1）由合运动与分运动具有等时性及分运动的独立性知，在船速一定的情况下，船头应垂直指向

对岸开渡河时间最短.则：t =1

d

v =100 s （其中d 为河宽）.

（2）由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图，设船从A 点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只需船的合速度v ′方向与AB 间的夹角α最小，由于v 1′的大小恒定，所以当v ′与圆周相切，即v 1′⊥v ′时航程最短.由相似三角形关系知最短航程为

'2

'1

X 800m v d v ==.

3．【详解】

(1)第二次到达正对岸，有 21cos v v α= 第一次航行时，有 10s v t = 解得 25m/s v =

(2)第一次过河时，河宽为 20100m d v t == 第二次过河时间为 1225s sin d

t v α

=

=

(3)由于船速小于水速，所以船无法到达正对岸，设船头与上游河岸的夹角为β ，则当

21

1cos 2v v β=

=' 时，小船到达对岸的位移最小，所用的时间为

12sin d t v β=

=

最小位移为 200m sin d

x β

=

=

4．（1）如图所示

设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为

2sin v v θ=船

渡河所用时间为 2sin L L

t v v θ

=

=船 由此可知L 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=90°时，sin θ=1（最大），所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小为 min =

L

t v 船

（2））如图所示，渡河的最小位移即河的宽度

为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ，根据三角函数关系有

cos v v θ=

水船

因为0≤cos θ≤1，所以只有在v 船＞v 水时，船才有可能垂直河岸渡河，此时渡河最短位移为L ； （3）由题可知水流速度不变，而游艇的运动轨迹是曲线，故游艇的速度发生变化，根据运动轨迹可知，游艇的加速度沿y 轴正方向，与游艇的初速度方向相同，故游艇沿y 轴方向做匀加速直线运动。

牵连速度

一、单选题

1．如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m ，水的阻力恒为f ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时（ ） A ．人拉绳行走的速度为v sinθ B ．人拉绳行走的速度为cos θ

v C ．船的加速度为cos θF f

m

- D ．船的加速度为

F f

m

- 2．如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v 匀速向右运动当小车运动到与水平面夹角为θ时，下列关于物体A 说法正确的是（ ）

A ．物体A 此时的速度大小为cos v θ，物体A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力

B ．物体A 此时的速度大小为cos v θ，物体A 做加速运动，绳子拉力大于物体重力

C ．物体A 此时的速度大小为/cos v θ，物体A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力

D ．物体A 此时的速度大小为/cos v θ，物体A 做加速运动，绳子拉力大于物体重力

3．如图，汽车向右沿水平面运动，通过绳子提升重物M 。若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则在重物匀速上升的过程中，有（ ） A ．汽车做加速运动 B ．汽车做匀速运动 C ．地面对汽车的支持力增大 D ．绳子张力不断减小

4．如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( ) A. 10sin cos v v αθ=