转动惯量

自

2
T
r 3 T2R2g 4 2 所以：r = 4.2 104 km
T = 8.64 104 s R = 6.4 103 km
卫星轨道高度 h = 3.6 104 km
影响卫星定点的因素：
1.月日引力 2.地球引力不均匀 3.太阳辐射压力不 断改变卫星轨道的 偏心率
赤道
自
O lm
M
§4 — 3 角动量 角动量守恒定律
一、质点的角动量
1. 以 v 在空间运动的质
点（m），它对于惯性参照
系中某点的角动量 L 定义为：
L

r
p

r
(mv)
Z L
Y O
mr O
p
X
2.讨论
（1） rIIv

Z
L0
说明质点作穿过参考点的 直线运动，没有绕参考点 转动的趋势。
Y
A
l
O
Z
rA
v0
ro LA
v
X
例 2. 估算同步卫星的运行高度
解：依题意 自 = 卫
因为 f 为有心力
M 0
即
mr 2卫
C 赤道
r c
卫星作圆周运动
I
卫
自
f
卫
G
Mm r2

mr 2 卫
r 3
GM
自2
在地球表面 r = R
mg G Mm GM gR2 R2
三、转动惯量
1. 定义：
n
J (miri2 ) i 1
转动惯量是刚体转动惯性的量度，由刚体 自身的结构（转轴、质量、形状）决定， 与外界因素无关，是刚体的固有性质。
a´
o´
a
o
2. 性质
1.
转轴、质量一定：转动惯量与刚体的 形状即质量的分布有关 。
2.
形状、质量一定：转动惯量与转轴的 位置有关。
MR
O
m
守恒律与对称
能量守恒
时间平移不变性
动量守恒
空间平移不变性
角动量守恒
空间转动不变性
宇称守恒
空间反演不变性
作业： 习题集P17： （一）5，7（二）4，6
1.刚体绕定轴转动的角动量
L

J

vi mi
ri
2.刚体的角动量定理
t
t0 Mdt L L0
定理
作用在刚体上的冲量矩等于角动量的增量
五、刚体的角动量守恒
1.定律：刚体所受的合力矩等于零、或不 受外力矩作用时，刚体的角动量保持不变。
M 0
LC
2.讨论
Y O
mr O
p
X
例如，子弹相对于枪管，
竖 直 发 射 的 火 箭 相 对 于 地 心 。
（2） rv
L Lmax

Z
Lmax rmv
L
说明质点绕参考点转动趋势最大。
Y
O
例如，圆周运动
L

mr
2
mr O
p
X
（3）当 00 (r, v) 900 时，动量的一部
分引起转动的趋势，另一部分不引起转动的趋势。
注意
角动量描述的是物体 相对于某一参考点或 某一转轴的转动状态。
v
m Lp • r
P
A
二、质点的角动量定理及守恒定律
1. 角动量定理
M

dL
dt
t2 t1
Mdt

L2

L1
定理：质点对某点所受的冲量矩等于质点对该 点角动量的增量。
取半径为r,宽为dr的圆环为质元,则
dm ds
R
R
(b)由定义求J: J r 2 2rdr 2r3dr
源自文库
0
0
1 mR 2 2
叠加
n
J J1 J2 Ji i 1
例2 求圆柱体绕其中心轴的转动惯量 。
解：将圆柱体分解为许多质量为mi的圆盘。
则每个圆盘的转动惯量为
3.
形状、转轴一定：转动惯量与刚体的 质量有关。
4. 转动惯量具有可加性。
质量连续分布的刚体
J r2dm
dm dl 一维
dm ds 二维
dm dv 三维
例2.
一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘 面垂直的轴的转动惯量
解:
J r 2dm
(a)取质元dm
视频
三、质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.质点系的角动量定理
M

dL
dt
t

t0 M 外dt L2 L1
定理
作用于质点系的合外力矩对时间的 累计等于质点系角动量的增量。
2.质点系的角动量守恒定律
M外 0

L
n
(ri

mvi
)

C
i
四、刚体绕定轴转动的角动量定理
注意
定理中的 L 和 M 都必须对同一 参考点而言。
2.角动量守恒定律
M 0
L

r
mv
C
M 0
F合 0 F合 0
力平行于转轴
力的作用线 过转轴
例 1.
设一质量为m的滑块在水平面（OZX） 内以初速度v0 = v0 i从原点O出发沿X轴滑动。 假设滑块与水平面的摩擦力 f = -f i恒定不 变，试求任意时刻滑块对原点O以及对Y轴 上离原点距离为 l 的一点A 的角动量。
（1）若 J = C， = C
节离心节速器.mpg速
（2）若 J C, J00
转椅
J
（3）由质点和定轴转动的刚体组成的体系， 当合外力矩为零时，体系的角动量守恒。
（4）当转轴改变时，则守恒条件不再成立。
视频
例 3.
一静止悬挂的刚体可绕通过棒上端的
轴 O 转动，棒的质量为 m ，长为 l 。
J

1 2
mi R2
R
mi
整个圆柱体对中心轴的转动惯量为
J
i
(1 2
mi R2
)

1 2
MR 2
M
平行轴定理
Jo = Jc + md2
例3 钟摆对悬挂点的转动惯量 。
解：杆 Jom =（1/3）ml2 盘 JoM =Jc + Md2 = （1/2）MR2 +M（R+l）2
Jo =Jom + JoM = （1/3）ml2 +（1/2）MR2 +M（l+R）2
另有质量为 m1 的子弹，以水平速度 v0 射棒的下端，穿出后的速度 v = v0 / 3。 求（1）子弹穿出时棒的角速度。
（2）棒达到的最大角度
lm
v0
v
m1
例 4.
一个质量为 M 、半径为 R 的水平 均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自 由转动。在盘的边缘站着一个质量为 m 的人。两者最初相对静止，求当人沿盘 边行走一周时，盘对地面转过的角度。