曲轴系统的扭转振动

1 2 e
(I ω
C2φ2 + ( I 2ωe2 − C2 ) φ3 = 0
I1ωe2 -C1 Det = 0
C1φ1 + ( I 2ωe2 − C1 − C2 ) φ2 + C2φ3 = 0
-C1 ) φ1 + C1φ2 = 0
（4-14）
这是一个线性齐次方程，若有非零解，系数行列式必须为零，即
C1 I 2ωe2 − C1 − C2 C2
图4-3 三质量扭振系统
I1 ϕ1 + C1ϕ1 − C1ϕ 2 = 0 I 2 ϕ2 − C1ϕ1 + ( C1 + C2 ) ϕ2 − C2ϕ3 = 0 I 3 ϕ3 − C2ϕ2 + C2ϕ3 = 0
（4-13）
第二节 扭转振动系统自由振动计算
三、三质量扭振系统
设通解 ϕi = φi sin(ωet + ε )，此时各质量应为同步运动。代入方程式 （4-13）得到频率方程为
整理为微分方程
I1 ϕ1 − C (ϕ1 − ϕ2 ) = 0 I 2 ϕ2 − C (ϕ2 − ϕ1 ) = 0
它们的解为
ϕ
ϕ1 =φ1 sin (ωe t+ε ) ϕ2 =φ2 sin (ωe t+ε )
图4-2 二质量扭振系统
第二节 扭转振动系统自由振动计算
M ξ = −ξ ϕ
式中，负号表示阻尼力矩与速度方向相反。
•
（4-21）
第三节 强迫振动与共振
一、单自由度系统的有阻尼振动
此时扭振方程为
•
MI + M ξ + M ϕ = 0 → I ϕ + ξ ϕ + Cϕ = 0
令 ξ = Dξ 0 , ξ 0 = 2ωe I 。其中ξ0为临 界阻尼系数，D为阻尼准则数，则如 图4-6所示的单质量有阻尼扭振系统的 扭振方程为
4.研究扭振的目的
通过计算找出临界转速、振幅、扭振应力，决定是否采取减振措施， 或避开临界转速。
5.扭振当量系统的组成
根据动力学等效原则，将当量转动惯量布置在实际轴有集中质量的 地方；当量轴段刚度与实际轴段刚度等效，但没有质量。
第二节 扭转振动系统自由振动计算
一、单质量扭振系统
单质量的扭振系统是有一根一端固 定、只有弹性没有质量（因而没有惯性） 的假象轴和在轴的另一端固定着的一个 只有质量（惯性）没有弹性的假象圆盘 所组成（如图4-1）
2 e
=0
（4-9） 4-9
式（4-9）称为系统频率方程，此行列式转化为
I1 I 2ωe2 − ( I1 + I 2 )C = 0
由此得系统的固有频率为
（4-10）
ωe1 = ωe 2 = ωe = C ( +
将式（4-11）代入（4-8）可得
1 I1
φ2 I1 =− φ1 I2
I +I 1 )= C 1 2 I1 I1 I 2
2
T=
两个相邻角振幅的比值为
− Dωe t
2π
1 − D 2ωe
2π D 1− D 2
ln
Φ1 2π D ，称为对数缩减。 = 2 Φ2 1− D
Φ1 e = − Dω ( t +T ) = e − DωeT = e Φ2 e e
（4-25）
φ3 C2 C1 − I1ωe2 φ2 C1 − I1ωe2 α1 = 1, α 2 = = ,α3 = = φ1 C1 φ1 C1 C2 − I 3ωe2
穷组解。令 α i =
φ i / φ1 为相对振型，则
（4-18）
第二节 扭转振动系统自由振动计算
三、三质量扭振系统
Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅰ 设 ωe < ωe ，可得到 α 2、α 3 和 α Ⅱ、α Ⅱ 。 2 3
第一节 扭转振动的基本概念
1.扭转振动定义
扭转振动是使曲轴各轴段间发生周期性相互扭转的振动，简称扭振。
2.扭转的现象
1）发动机在某一转速下发生剧烈的抖动，噪声增大，磨损增加，油 耗增加，功率下降，严重时发生曲轴扭断。 2）发动机偏离该转速时，上述现象消失。
3.扭转发生的原因
1）曲轴系统由具有一定弹性和惯性的材料组成，本身具有一定的固 有频率。 2）系统上作用有大小和方向呈周期性变化的干扰力矩。 3）干扰力矩的变化频率和固有频率合拍时，系统产生共振。
ϕ =φ sin (ωe t+ε )
其中
ϕ0ωe 2 ϕ0 ，ε =arctan 2 φ = ϕ0 + ωe ϕ
第二节 扭转振动系统自由振动计算
二、二质量扭振系统
如图4-2所示，二质量扭振系统中转动 惯量I1和I2的运动方程为
I1 ϕ1 = C (ϕ1 − ϕ2 ) I 2 ϕ2 = C (ϕ2 − ϕ1 )
图4-5 多质量扭振系统
第二节 扭转振动系统自由振动计算
四、多质量扭振系统
根据达朗伯原理，多质量扭振系统的自由振动微分方程组为
I1 ϕ1 = −C1 (ϕ1 − ϕ2 ) I 2 ϕ2 = C1 (ϕ1 − ϕ2 ) − C2 (ϕ2 − ϕ3 ) M I k ϕ k = Ck −1 (ϕk −1 − ϕ k ) − Ck (ϕk − ϕ k +1 ) M I n ϕn = −Cn −1 (ϕn −1 − ϕ n )
对应
ωⅠ ，有主振型如图4-4a所示。 e
ωⅡ ，有主振型如图4-4b所示。 e
对应
可以注意到，三质量系统求出了两个又 有频率。一般来讲，多质量系统所求出的固 有频率个数等于质量数减一。
图4-4 三质量系统固有振型
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四、多质量扭振系统
对于多缸机来说，进行扭转振动计算时通常都有简化成比气缸数多一 个质量（飞轮）或者两个质量（飞轮+齿轮系）的多质量系统。其模型的 简化方法与三质量扭振系统相同，但是如图4-5所示的多质量扭振系统固有 频率的计算的方法却完全不同。在计算机和计算方法不太发达的20世纪70 年代之前，主要采用试算逼近法，如托列试算法。现代都是利用数值计算 方法，对惯性系数矩阵、弹性系数矩阵进行矩阵变换和迭代求解，可以达 到很高的计算速度和精度，可以很方便地求出各阶固有频率和振型。
第二节 扭转振动系统自由振动计算
一、单质量扭振系统
先列出圆盘的运动方程： 弹性力矩 惯性力矩
M ϕ = −Cϕ
MI = − I ϕ
根矩理论力学，得 或
MI + M ϕ = 0, I ϕ + Cϕ = 0 C ϕ + ϕ = 0， + ωe2ϕ =0 ϕ I
2
此二阶线性齐次微分方程的解为
0 C2 = 0 （4-15） I 3ωe2 − C2
I1 I 2 I 3ωe4 − C1 ( I1 I 3 + I 2 I 3 ) + C2 ( I1 I 2 + I1 I 3 ) ωe2 + ( I1 + I 2 + I 3 ) C1C2 = 0
（4-16）
第二节 扭转振动系统自由振动计算
第二节 扭转振动系统自由振动计算
三、三质量扭振系统
图4-3所示为三质量扭振系统，其运动微分方程为
I1 ϕ1 = −C1 (ϕ1 − ϕ2 ) I 2 ϕ 2 = C1 (ϕ1 − ϕ2 ) − C2 (ϕ2 − ϕ3 ) I 3 ϕ3 = −C2 (ϕ2 − ϕ3 )
整理得到
（4-22）
ϕ + 2ωe D ϕ + ωe2ϕ = 0
（4-23）
•
其通解为
ϕ = e− Dω t C1 cos 1 − D 2 ωet + C2 sin 1 − D 2 ωet
e
(
图4-6 单质量有阻尼扭振系统
)
（4-24）
第三节 强迫振动与共振
一、单自由度系统的有阻尼振动
令 1 − D ωe = ωξ , ωξ 为有阻尼自由振动的角频率，其中D<<1， 这是一个衰减振动。如图4-7所示，振动周期为
大量理论和实践研究表明，这种现象的原因主要是由于曲轴发生了大 幅度扭转振动所引起的，由于轴系扭转刚度不足，在随时间周期变化的单 拐扭矩作用下，各曲拐间会产生相当大的周期性相对扭矩，气缸数愈多， 曲轴愈长，这种现象愈严重，这就是曲轴的扭转振动。
当轴系达到某一转速时施加在曲轴上的周期变化的扭矩与曲轴本身 振动频率之间产生“合拍”现象这就是所谓共振，发生共振时曲轴扭转 变形的幅度将大大超过正常值，轻则产生很大的噪声，重则使曲轴断裂。 因此，在设计内燃机时，必须对轴系的振动 特性进行计算分析，以确定 其临界转速、振动、振幅、扭振应力以及是否需要采取减震措施。
（4-19）
经过整理得到用矩阵形式表示的自由振动微分方程组，即
I ϕ + C {ϕ} = 0
{}
（4-20）
这是一个标准的二阶微分方程矩阵形式，可以很方便地用矩阵求解的 方法解出固有频率和振型。这里不再详述。
第三节 强迫振动与共振
一、单自由度系统的有阻尼振动
内燃机扭振系统的阻尼，内容十分复杂，凡是能够使扭振衰减的因素， 统称之为阻尼。由阻尼产生的力矩，称为阻尼力矩Mξ。扭振系统的阻 尼有多种，可以分为： １）外阻尼——由于扭振部件的外表面与外界发生摩擦而形成的阻尼。 ２）内阻尼——由轴系反复变形、材料内部分子之间发生摩擦而产生的 阻尼。 ３）假阻尼——由于轴系弹性参数、惯性参数，以及强迫振动频率的不 稳定、脉动冲击等干扰了共振现象的产生，使共振振幅 不能达到其最大值，起了减振效应，这种想象称之为假 阻尼。 由于阻尼的复杂性，很难用解析分析方法来进行计算。一般是通过一定的 实验，用半径验公式进行计算。由于相对摩擦所形成的阻尼力矩Mξ，一般 • 可用阻尼系数及运动部件的角速度 ϕ 来表示，即
图4-1 单质量扭振系统
设轴的扭转刚度为C(N•m/rad)，圆盘的单位角度转动惯量（简称转动 惯量）为I(kg•m2/rad)，轴的长度为l，如图4-1所示。由于这种单质量扭振 系统的运动可由圆盘的一个变量（扭转角 ϕ）来表征，故称单自由度系统。 所谓自由扭转振动是指当扭振系统受到一个暂时的干扰力矩左右使系 统偏离平衡位置一个不大的角度，并突然排除干扰力矩使系统不再受任何 外界干扰的作用，仅由于轴系本身的恢复力矩与惯性力矩的交替变换，系 统就按着本身固有频率ωe（或称自振频率）而产生的扭转振动。 接下来研究这种扭转振动。
（4-11）
（4-12）
第二节 扭转振动系统自由振动计算
式（4-12）给出了二质量固有振幅的相对值。因为 前面已经指出，振幅的绝对值不是系统的特征参数， 而取决于初始条件，但是振幅的相对值却决定于系统 特性参数I1和I2。画一线段连接两质量的相对振幅就得 到二质量扭振系统的振形图。因为φ1和φ2异号，故振 形线必然与零线有一个交点，这个交点的位置也是为 系统特性所确定而固定不变的。在系统振动过程中， 这一点是静止不动的，称为节点。在式（4-11）中令 其中一个转动惯量为无穷大，则系统就成为固定于此 静止质量的单质量系统。对应的固有频率就是单质量 系统的固有频率。
二、二质量扭振系统
ϕ 将 ϕ1 、 2 代入微分方程，得
( I1ωe2 -C ) φ1 + Cφ2 = 0 2 Cφ1 + ( I 2ωe -C ) φ2 = 0
（4-8）
ϕ 要使上面的方程对 ϕ1 、 2 有非零解，系数行列式的值Det必须为零，即
I1ωe2 -C Det = C
C I 2ω -C
三、三质量扭振系统
据此四次方程可以得出四个根，其中两个正根有效。
ωⅠ e
4 1 2 1 2 C1C2 2 2 = (ωe1,2 + ωe2,3 ) m 4 (ωe1,2 − ωe2,3 ) + I 2 （4-17） Ⅱ 2 ωe 2 Ⅱ ωe 式中， Ⅰ 和ωe 带入到频率方程式（4-14），此时频率方程对 φ i 有无
内燃机设计之
曲轴系统的扭转振动
太原理工大学
2012.3.17
曲轴系统的扭转振动
第1节 第2节 第3节 3 第4节 第5节 第6节 第7节
曲轴振动的基本概念 扭转振动系统自由振动计算 强迫振动与共振 曲轴扭振系统的激发力矩 曲轴系统的强迫振动和共振 扭转振动的消减措施 扭振的现代测试分析方法
第一节 扭转振动的基本概念
在内燃机的使用实践中，人们早就发现当内燃机达到某一转速时变得 运转很不均匀，伴随着机械敲击和抖动，性能也变差了。如果这样长期运 转下去，曲轴就很可能断裂。当转速提高或降低一些，均使敲击和抖动减 轻，甚至消失。由此可见，这不是由于发动机的不平衡性引起的，否则抖 动应随转速的提高而剧增，因为不平衡惯性力是与转速平方成正比的。